Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Б.4
ГРУППА. ПРИМЕРЫ ГРУПП. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ГРУПП. ПОДГРУППЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ ГРУПП
Опр. G≠пустому мн-ву, <G,o> - группа, если выполняются три условия (аксиомы группы): 1. «о» – ассоциативна (a,b,c справидливо) (aob)oc=ao(boc).
2. Должны существовать нейтральные эл-ты ().
3. Для каждого а должен существовать симметрич. эл-т ()() aoa’=a’oa=e.
Примеры: 1. <Z,+> - группа. + - ассоц., 0 – нейтр. эл-т, а=-а —симметр.эл-т. 2. <Q,o> - не группа. «о» – ассоциативна, —нейтр.эл-т, , , q≠0 => симм.для q=0 нет.
3. <Q*,o> - группа. Q*=Q-{0}. 4. G={1,-1}, <G,o> - группа .
Прост.св-ва групп: 1. Нейтральный Эл-т в группе единственен.
2. Для каждого Эл-та группы симметр.ему Эл-т будет единственным.
3. оба Ур-я являются разрешимыми: аох=b, yoa=b.
Док-во: x=a’ob, => ao(a’ob)=(aoa’)ob=eob=b. y=boa’ – аналогично.
4. В произвольной группе Ур-я из св-ва 3 имеют единственное решение.
Док-во: Пусть - решения aox=b. aox1=b и aox2=b => aox1=aox2, a’o(aox1)=a’o(aox2), (a’oa)ox1=(a’oa)ox2 => x1=x2. Аналогично рассматривается второе Ур-е.
5. В любой группе выполняется обобщенный закон асс-ти, т.е. , - не зависят от расстановки в ней скобок. Поэтому скобки в дальнейшем можно опустить.
6. , , , т.к. опер.может быть не коммутат.
7. (aob)’=b’oa’. 8. (aob)n=bnoan. (верно для абелевой группы). 9.
10. (a’)’=a. 11. (a')n=(an)’. 12. В группе выполняется закон сокращения: aoc=boc => a=b, coa=cob=>a=b. Док-во: aoc=boc => aococ’=bococ’ => a=b. 13. В таблице умножения в группе в одной строке не могут встретиться два одинаковых Эл-та(аналогично для столбца). Док-во: Пусть в одной строке встретились два одинаковых Эл-та: aob=x и aoc=x => aob=aoc => b=c.
Понятие подгруппы:
Опр. <G,o> - группа — называется её подгруппой, если <H,o> - группа.
Примеры: <Z,+> - группа, m-четные числа <m,+> - подгруппа. + - бин.алг.опер.(сумма 2х чёт.чисел – чёт.число) в m. + - ассоц. 0 – нейтр.эл-т, . Пусть m – нечётное число, , => + - не бинарная алг.опер. – m2 не подгруппа.
Т-ма: Н – подгруппа G <=> 1. . 2. .
Док-во: (I) H – подгруппа G по опр. => справедливо 1 и 2, т.к. <H,o> - по определению является группой, то операция «о» в Н – бин.алг.опер., т.е. выполняется условие 1.; Во-вторыхнайдется ему симм.эл-т т.е. выполняется 2.
(II) Из 1 и 2 => что H – подгруппа G по опр-ю. Во-первых из 1 => «о» - бин.алг.опер., ассоц.во всем мн-ве G, а т.к. H подгруппа G, то операция «о» - ассоц.в Н. Покажем, что в Н существ.нейтр.эл-т: На основе утв-я 2 , aoa’=e, но поскольку, a и a’, то е. Нейтральный Эл-т всей группы очевидно будет нейтральным Эл-том в подгруппе Н. , aoa’=a’oa=e- это вытекает из второго пункта т-м и пред. пункта док-ва. Ч.т.д.
Опр. <G1,o>, <G2,o> - подгруппы называется изоморфизмом, если биективно этому изоморфизму. Обозн. . Замечание: изоморфность двух групп означает, что эти группы имеют одинаковые строения и св-ва. А отличаются друг от друга только обозначением своих элементов.
Пример <G1,o><G,*> , ,
Изоморфизм – это элементарное преобразование. Изоморфные группы иногда считаются одной и той же группой.
Пример 2. Рассмотрим группу всех положительных действительных чисел относительно умножения и группу всех действительных чисел зададим относительно сложения, и покажем, что эти группы изоморфны по следующим функциям. ,,. Покажем, что - биекция.
А) : .
Б) : - всегда разрешимо относительно x, т.е. x=ey. Покажем ,что - изоморфизм. , т.е. .
Б.5
КОЛЬЦО. ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОЛЬЦА. ПОДКОЛЬЦО. ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ КОЛЕЦ.
Опр. Кольцом называется непустое множество <K,+,*> с заданными на нём бинарными алгебраическими операциями сложением «+» и умножением «*», если:
Примеры: 1. <N,+,*> - не кольцо, т.к. N по сложению не группа. 2. <Z,+,*> - кольцо, 3. <Q,+,*> - кольцо, 4. <R,+,*> - кольцо. Замечание: т.к. <K,+> - группа, то a+x=b разрешимо относительно x (по опр. группы), x=b-a — разность.
Св-ва: 1. <K,+> - группа, то для опер.+ в кольцах остаются справедливыми все доказанные св-ва для групп. 2. - это следует из 2п опр-я методом мат.инд.
3. (из предыдущего методом мат.инд.)
4. . Д-во: . Аналогично доказ.второе соотн-е. ч.т.д.
5. .
6. . Д-во: .
—Подкольцом кольца К называется непустое подмножество К1 кольца К с операцией сложения и умножения, если оно само образует кольцо относительно тех же операций.
Т-ма: L подкольцо кольца К: 1. , 2. , 3. . Д-во: (I) Пусть L – подкольцо К => выполняется условие 1,2 и 3, т.е. L-кольцо, <L,+>-абелева группа => «+»-бин.алг.опер. в L=> выполняется 1. =>3. L – кольцо => умножение является бин.алг.опер. в L => 2.
(II) Пусть выполняется 1, 2 и 3 => L подкольцо. Из 2 и 2 => “+” и ”*”- бин.алг.опер. в L => из 1 и 3 <L,+> - подгруппа в группе <K,+> => <L,+> - группа. Т.к. сложение коммутат. Опред. Во всём мн-ве К, а L – подмн-во К, то «+» и во мн-ве L => <L,+> - абелева группа. Аналогично, умножение будет ассоц.в L и «*» - дистрибутивно относительно сложения групп. Т.о. для L справедливы все условия в опр-ии кольца => L – является кольцом.
Б.6
ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ. НАБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ДВУХ ЧИСЕЛ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Теорема о делении с остатком. Пусть а – целое число и b – натуральное число, отличное от нуля. Разделить число а на b с остатком – значит представить его в виде а=bq+r, где , q и r – целые числа. При этом q называется неполным частным, а число r – остатком от делении а на b.
Доказательство. Возьмем числа: (1). При рассмотрим множество М тех чисел в (1), которые больше чем а. Согласно аксиоме Архимеда М не пусто, а , следовательно (теорема I), во множестве М должно быть наименьшее число, которое мы обозначим через bs’. Обозначим через s число, на единицу меньшее, чем s’; тогда s+1=s’ и . При a<0, -a>0 мы можем взять множество М тех числ из (1), которые больше, чем –а, или равны –а, и обозначить через bt’ наименьшее из них; тогда при t=t’-1 будет , так что . Мы видим, что во всех случаях для a и b (b>0) существует целое q, такое, что (2). Обозначая через r разность a-bq, из (2) получаем r=a-bq<b(q+1)-bq=b и , так что a=bq+r, .
Докажем теперь единственность таких q и r. Пусть a=bq+r и a=bq’+r’, где ; . Предположим сначала, что r’>r; тогда bq+r= bq’+r’, r’-r=b(q-q’), где , так что 0<r’-r<b, q>q’ и следовательно (теорема III), , т.е. . Мы получили противоречие с тем, что пред этим имели r’-r<b. Точно таким же путем мы получаем противоречие, предположив, что r>r’, т.е. должно быть r’=r, и тогда b(q-q’)=0; а поскольку .
Деление с остатком всегда выполнимо, а неполное частное и остаток однозначно определяются делимыми и делителем, как показывает следующая теорема.
Теорема. Для любых целых чисел а,b, при b>0 существует единственная пара целых чисел q и r, удовлетворяющая условиям: (1) а=bq+r и .
Доказательство. Докажем, что существует
Б.24
ПОЛЕ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.
Пусть К – некоторое коммутативное кольцо. Элемент х, который является решением уравнения а∙х =b, где а0 называют частным элементов b и а, а операция нахождения частного называется делением. Ни в каком кольце невозможно деление на ноль:
разделить элемент а на ноль означает найти в кольце такой элемент х, что , где невозможно, т.к. левая часть равна нулю. Опр: Множество Р в котором имеется хотя бы один элемент, отличный от нуля и определены бинарно - алгебраические операции «+» и «∙» называется полем, если выполняются следующие условия: 1. <Р,+,∙> - коммутативное кольцо, 2. Для любых а, b из Р имеет единственное решение. Поле – это коммут. кольцо, в котором выполняется операция деления, кроме деления на ноль. Опр: <Р,+,∙> - поле, если 1. <Р,+,∙> - коммут. кольцо 2. <Р\{0},∙> - абелева группа. Свойства: 1 группа: т.к. всякое поле явл-ся кольцом , то все св-ва колец выполняются в любом поле 2 группа: 1) во всяком поле есть единичный элемент, причем единственный 2) 3) 4) в любом поле 5) в любом поле нет делителей нуля Док-во: покажем, что если , если , то существует элемент и Поле комплексных чисел: Множество С=называют полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами, если рассматривать это множество относительно операций сложения и умножения: 1) 2) Алгебраическая форма комплексного числа: Опр: если компл. число , то компл. число наз-ся сопряженным к числу z. (0,0)=0, (0,1)=i – мнимая единица Лемма: 1. z+0=z 2. z∙0=0, 3. z∙1=z, 4. док-во: 5. 6. 7. док-во:
- алгебраическая форма комплексного числа, а-действит. часть, b- мнимая часть компл. числа
Учитывая правило 7. можно задать деление:
Теорема(о единственности алг. формы компл. числа): Любое компл. число в алг. форме представляется однозначно док-во: Пусть Противоречие получили, что i – действительное число
Б.12
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ОПЕРАЦИЙ НАД НИМИ.
Комплексное число z = a + bi, а – действительная часть числа z, bi – его мнимой частью
Геометрич.: Каждому комплексному числу z = a + bi поставим в соответствие точку М(а,b) плоскости. Точка М(а,b) наз. точкой, изображающей число a + bi
Координатная плоскость, точки которой изображают комплексные числа, наз. комплексной плоскостью. r - модуль комплексного числа a + bi. Угол называется аргументом числа z и обозначается arg z. Аргумент комплексного числа z имеет бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на целые кратные числа 2. Между декартовыми и полярными координатами точки существует следующая связь, справедливая при любом расположении точек на плоскости: a = r*cos, b = r*sin отсюда z = a + bi = r*cos+( r*sin)i = r (cos+ i*sin)
Сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу параллелограмма, т.е. по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат
Тригон. форма: Всякое комплексное число z однозначным образом записывается в виде z = r (cos+ i*sin), где r = |z|, = arg z. – тригономет. форма записи. Пусть комплексные числа z и t заданы в тригонометрической форме z = r (cos+ i*sin), t = p (cos+ i*sin). Перемножим эти числа z*t = [r (cos+ i*sin)] * [p (cos+ i*sin)] = r*p(cos cos+i cos sin+i sin cos- sin sin) = r*p[cos()+i*sin()] запись произведения z*t в тригонометрической форме, поэтому | z*t| = r*p или | z*t| =| z|*|t|, т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей. arg(zt) = или . arg(zt) = arg z + arg t, т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. Правило распространяется на любое конечное число множителей. Аналогично для частного только t 0
отсюда модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленного на модуль делителя. аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.
Геометрический смысл умножения: вектор, идущий от 0 к z повернем против часовой стрелки на угол (гамма) =arg t, а затем растянем этот вектор в p=|t| раз
Б.14
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПРИМЕРЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. БАЗИС И РАНГ.
Пусть Р – некоторое поле <Р,+,-,*,1 > (Множество Р с операциями сложения и умножения называется полем, если в Р содержатся элементы, отличные от 0, и выполняются свойства: 1. (a + b) + c = a +( b+ c) – ассоциативность сложения 2. a +b = b+a – коммутативность сложения 3. Уравнение а +х =b имеет ровно одно решение для любых a и b (обратимость сложения) 4. (a+b)c = ac+bc a(b+c)=ab +ac (дистрибутивность умножения относительно сложения) 5 (ab)c = a(bc) – ассоциативность умножения 6. ab =ba – коммутативность умножения 7. Уравнение ax =b имеет ровно одно решение для любого a 0 и b
Непустое Множество V наз-ся векторным пространством над полем Р, если в V задана б.а.о. «+» и задана оп-ция «*» элементов из Vна скаляр из поля Р, если выполняются след. аксиомы:
1. абелева группа
2.
3. 1*а=а
4.
5.
Элементы векторного пространства V над полем Р будем называть векторами.
Примеры пространств: арифметическое пр-во
Св-ва: 1. явл. абелевой группой то все св-ва группы справедливы и для произвольных векторных пространств
2.
3. !
4. Док-во: пусть а произвольный вектор из пространства V, тогда по свойству 2 Отсюда из единственности нейтрального
5.
6. В произвольном векторном пространстве существует правило знаков
Линейно зависимые и независимые векторы: (1)
Опр: Система векторов (1) наз-ся лин. зав., если сущ-ют скаляры не все равные нулю, такие что (2)
Опр: Система векторов (1) наз. л.н., если для всех скаляров из выполнимости (2) следует, что
Базисом конечной системы векторов наз-ся непустая л.н. подсистема этой системы векторов, такая что каждый вектор системы S лин. выр-ся через векторы системы .
Теорема: всякая конечная система векторов, имеющая хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом.
Теорема: любые два базиса конечной системы векторов S содержат одинаковое кол-во векторов. Док-во:
Пусть и два различных базиса системы S. По опред. базиса ~ S и ~ S по транзитивности ~ при этом по опред. базиса и л.н., тогда они могут содержать одинаковое кол-во векторов по теореме (какой то из параграфа 3)
Рангом конечной системы векторов S наз-ся число равное количеству векторов в любом базисе системы векторов S
Б.27
РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ.
ОПР 1. Ур-я вида (1) наз-ся линейными уравнениями, где -числа из некоторого числового поля. -символы называемые неизвестными.
ОПР2. Частным решением (1) наз-ся такой n-мерный вектор () при подстановке которых в ур-е вместо неизвестных получается истинное числовое равенство.
ОПР3. Общим решением (1) наз-ся множество всех частных решений этого уравнения.
ОПР4. Пусть даны m ур-й с n неизв-ми. Тогда
……………………………… (*)
тогда (*) наз. СЛУ (сист. лин-х ур-й).
ОПР4.Частным решением (*) является такой n-мерный вектор, который при подстановке в каждое из уравнений сист. (*) дает истинное числовое равенство.
ОПР5. Общим решением (*) наз-ся множество всех частных решений.
Пусть вместе со (*) рассматривается еще одна система к ур-й с n неизвестными
(2)
Сист (2) наз. следствием сист(*), если каждое решение (*) является реш (2).
Сист. (*) и (2) наз. равносильными, если совпадают их общие решения или каждая из них является следствием другой.
Опр. Линейной комбинацией ур-я сист.(*) наз. уравнение полученное из (*) след. образом: каждое уравнение (*) умножается на некоторое число, а полученные уравнения почленно складываются.
ОПР. Элем-ми преобр-ми СЛУ называют след. преобр-я:
() умножение обеих частей какого-нибудь ур-я системы на отличный от нуля скаляр;
() прибавление(вычитание) к обеим частям какого-либо ур-я системы соотв-щих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр);
() исключение их системы или присоединение линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.
Теорема(об элементарных преобраз-х) Если одна СЛУ получена из другой при помощи конечного числа элем-х преобр-й, то эти СЛУ равносильны.
ОПР. СЛУ наз-ся совместной , если она имеет х. б. одно частное решение, в противном случае несовместной, когда общее реш. Ø
ОПР. Ур-е вида наз. линейным однородным ур-ем.
Теорема. Всякая однородная линейная сист. совместна.
Теорема. Однор. СЛУ, в которой число ур-й меньше числа неиз-х имеет не нулевое решение.
Теорема(критерий совместности) СЛУ совместна т. и т. т., когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Пусть дана произвольная СЛУ:
……………………………… (1)
А=, =-расширенная матрица(получена из А добавлением столбца свободных членов)
А-основная матрица(матрица составленная из коэффициентов сист.)
Пусть (1’) -векторная форма заданной системы.
Док-во: необх. Пусть (1) совместна, т. е. имеет решение. вектор с() являющийся решением (1) и векторного произведения (1’)
2.
Док-ем, что рангА=ранг. Будем считать ранг А и -столбцовый ранг. Будем находить ранг . Заметим, что рав-во (2), что вектор В является линейной комбинацией векторов . Заметим, что если над векторными столбцами выполнять элем. преобр-я, то ранг этой системы векторов, а значит и ранг не изменится. С учетом равенства (2) прибавим к последнему столбцу матр. первый столбец, умнож. на (-), второй на (-),…,(-)
S= рангS=ранг=рангА.
т. к. выбросив нулевой столбец, мы не изменим ранг, то от сюда следует, что ранг =рангА.
дост: Пусть рангА=ранг. Док-ем, что система (1) совместна, что существует хотя бы одно решение. рангА=ранг=r. Пусть первый r вектор из столбцов матр. А (3) образуют базис системы векторов {} так как . рангА=ранг=r, то векторы системы (3) являются базисом А для векторов столбцов матрицы (4) {В}. Всякий вектор из системы (4), а значит и вектор В через базис (3 линейно выражается. Существует (5) В=. Рав-во (5) не изменится, если прибавить к нему несколько нулевых векторов В= с=(,0,…,0)-является решением системы. чтд.
Опр. Совместная СЛУ наз. определенной, если она имеет единственное решение, неопр-й в противном случае.
Теорема(критерий определенности) Для того, чтобы СЛУ была определенной необх. и дост. , чтобы ранг матрицы этой системы был равен количеству неизвестных этой системы.
Метод Гаусса:
Решить систему:
х1=х2=х3=х4=1
Эта система однородных уравнений, причем число уравнений меньше числа неизвестных, поэтому она должна быть неопределенной. Подвергаем преобразованию расширенную матрицу этой системы: ( от 1 строки отнимем 2 стр., затем от 1 отнимем 3)
Мы пришли к системе уравнений:
В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных х и х. Пусть х= Тогда из второго ур-ия следует х, после чего из 3-го ур-я получаем х, и из 1-го х. Таким образом , , -1, будет общий вид решения заданной системы уравнений.
Б.15
КОНЕЧНОМЕРНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ. ПОДПРОСТРАНСТВА. ИЗОМОРФИЗМ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ.
V-произвольное векторное пространство над полем P.
ОПР.V над полем P наз. конечномерным векторным пр-вом(КВП), если найдется такая конечная система векторов {а1,а2,…,аn}V, что V=L(а1,а2,…,ак).
Примеры: -арифметическое n-мерное пространство. Имеет базис, значит конечномерное.
ОПР. Базисом КВП наз-ся непустая упорядоченная конечная система векторов S= {а1,а2,…,аm}, которая удовл. след. усл.:
1)S-лнз.
2)каждый вектор из пространства V линейно выражается через векторы системы S, т.е. V= L (в1,в2,…,вm)
Теорема. Любые два базиса КВП состоят из одинакового количества векторов.
V-векторное пространство; S= {а1,а2,…,аr}, Т=(в1,в2,…,вs)-два базиса
Док-ем, что r=s.
V=L(S)=L(T)
S,T-лнз, S~T(эквивалентно Т). А две эквивалентные между собой системы векторов, состоят из одинакового количества векторов. т. е. r=s. ч.т.д.
ОПР.КВП наз-ся пространством размерности n и обоз. dimV=r, если базис пространства V состоит из r векторов.
Нулевое векторное пр-во не имеет конечного базиса, его размерность считается равной нулю.
Св-ва размерноси:
1. Если размерность пр-ва V=n, k>n, то любая система векторов из пространства V, содержащая к векторов является лз.
2. dimV=n {в1,в2,…,вm} лнз, то mn
3. Если U подпр-во пр-ва V, то размерность U V.
Теорема.Если векторное пространство V есть сумма пространств V1 +V2= V, то размерность V= dim(V1 +V2)= dim V1 + dimV2 - dim (V1 V2).
Подпространства.
Пусть V-произвольное вект-е пр-во над полем P. L-непустое подмножество пр-ва V LV.
ОПР. Непустое подмножество L векторного пр-ва V над полем P называют его подпространством, если L само является векторным пр-ом над полем P относительно операций, определенных в пр-ве V.
Теорема о подпространствах. Непустое подмн-во L векторного пр-ва V над полем P (LV над P) явл. его подпространством тогда и только тогда, когда вып-ся след. усл:
1) а, вL (а+в) L.
2) аL Р (а) L.
Изоморфизм векторных пространств.
Пусть V1 иV2 векторные пр-
ва над одним и тем же полем Р.
ОПР. Векторные пр-ва V1 и V2 над Р наз-ся изоморфными, если существует такое биективное отображение φ: V1 →V2, которое сохраняет основные операции т.е.:
1) а, вV1 ,φ(а,в)= φ(а)+φ(в)
V1 V2
2) аV1 , Р ,φ(,а)= φ(а)
V1 V2
V1 V2 .
Св-ва изом. вект прост:
1. Если φ-это изоморфизм V1 →V2, то φ()=
2. Если φ-изоморфизм пр-тв V1,V2, то лнз система пр-ва V1 переходит в лнз систему пр-ва V2.
3.При изоморфизме векторных пространств V1 и V2 базис пр-ва V1 переходит в базис пр-ва V2.
Теорема об изоморфизме векторных пространств. (сх. док-ва) Два КВП одинаковой размерности над одним и тем же полем изоморфны.
Док-во: Пусть V1 иV2 векторные пр-ва над одним и тем же полем Р. dim V1=dimV2. Пр-ва конечно-мерные значит у каждого из них есть базис:
{е1,е2,…,еn} -базис V1 (1), а {е1′,е′2,…,е′n}-базис V2 (2). Изоморфизмом явл отображение φ: V1 →V2(на), которое задается след. образом: хV1(х-вектор) следует, что х можно однозначнозаписать: х=V1. Тогда φ(х)= V2 (координаты те же, а базисные векторы меняются). Непосредственно проверяется, что данное отображение явл. изоморфизмом(по опр.). Например, φ(х+у)= φ(х)+ φ(у). Пусть х=V1, у=V1.
φ(х+у)= (+)е´+…+(+) =е´+…++е´+…+= φ(х)+φ(у).(гомоморфизм-сохранение операций).
Б.16
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. БЕСКОНЕЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СОСТАВНОГО ЧИСЛА И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ.
Каждое число n имеет, по крайней мере два положительных делителя: 1 и n. Существуют натуральные числа, которые не имеют положительных делителей, отличных от 1 и самого себя.
ОПР. Натуральное число р. наз-ся простым, р>1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.(2,3,5,7,11,13,17,19,21)
ОПР. Натуральное число n >1 наз-ся составным, если n имеет, по крайней мере один положительный делитель, отличный от 1 и n.
Согласно этому опред., если n сост. число, то у n имеется делитель а, такой, что n=ab, где b=n/a тоже такое, что 1<b<n.
Все четные числа, кроме 2, составные, так как при n=2k,k>1 будет, что 2 делитель n и 1<2<n.
Согласно данным опр. множество натуральных чисел разбивается на 3 подмножества: простые числа, составные, число 1, которое не причисляется ни к простым, ни к составным.
Теорема Эвклида. Множество простых чисел бесконечно.
Док-во: предположим, что множество простых чисел конечно. Пусть р=
{ р1,…,рк }-все простые числа. Рассмотрим следующее натуральное число: n= р1,…,рк +1. n не может быть простым т. к. n>р, отсюда n-составное и делиться нацело на р(по крайней мере на одно простое), отсюда 1 делиться на р, а это невозможно. ч.т.д.
Св-ва прост. чисел:
1 если р делится нацело на d, то d=1 или d=p.
2 Для любых р1, р2 , если р1 дел. нацело на р2 , то р1 = р2 .
3 Для любых n не равных единице n делится нацело х. б. на одно простое число
4 Для любых n принадлежащих N, для любого простого р: n делится нацело на р или (n, р)=1-взаимопросты.
5 ав делится нацело на р, то а делится нацело на р или в делится нацело на р.
Основная теорема арифметики.
Любое n принадлежащие N, n не равное единице можно разложить в произведение простых множителей, причем это разложение однозначно с точностью до порядка сомножителей.
Док-во:1 существ. применим индукцию по числу n:
1) n=2 можно разложить 2=2*1
2) Пусть 1<к<n-верно
3) док-ем, что для n верно. По св-ву 3 число n имеет по крайней мере один делитель.
1 случай: если само n является простым, то разложение состоит из одного числа
2 случай: если n-составное n=p*n1, 1<n1<n, где по индуктивному предположению n1 разлагается
на произведение простых чисел. Тогда очевидно и n разлагается на произведение простых чисел. чтд.
2 единств. Пусть n=р1*р2*…*рк
n=q1* q2*…* qs.
Док-ем, что n=к. pi=qi при подходящей нумерации. р1*р2*…*рк = q1* q2*…* qs отсюда следует, что р1*р2*…*рк делится нацело на q1, тогда по св-ву 5 по крайней мере одно из чисел. р1,р2,…,рк делится нацело на q1. Пусть р1 делится нацело на q1 отсюда следует, что р1 =q1 .Т.о. получим р2*р3*…*рк = q2* q3*…* qs. Теперь применяя индукцию по числу n, получим, что мы имеем два канонических разложения для некоторого n1<n. По индуктивному предположению n1 должно разлагаться в произведение простых чисел, причем единственным образом, отсюда следует, что к-1=s-1 отсюда следует, что k=s и р2 = q2 , р3=q3, рк=qk. т. е. соответствующие множители равны отсюда следует, что pi=qi , для любых i=1,…,k/ чтд.
Замечание. Сгруппировав в разложении одинаковые простые числа и расположив их в порядке возрастания, причем n=(1), где р1<р2<…<рк, . Разложение (1) каноническое разложение, запись вида (1)-однозначна, поскольку число n единственным способом можно записать в виде произведения простых чисел.
Б.19
ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ
Конечные систематические дроби
Любое натуральное число может быть представлено в виде:
,(1)
где g – натуральное число, называемое основанием системы счисления, и все коэффициенты ak,0kn – целые числа, такие, что 0ak<g. Запись натурального числа в виде (1) называется g–ичной или записью в g – ичной системе счисления.
Рассмотрим аналогичное представление любых рациональных чисел. При этом, поскольку любое рациональное число может быть представлено в виде a = n + r, где n – целое число, а 0r<1, мы ограничимся изучением таких рациональных чисел, что 0r<1. Эти числа могут быть записаны в виде правильных положительных дробей: r = , 0p<q.
Самым простым случаем является, когда знаменатель дроби является степенью основания системы счисления, т.е. когда r = , где 0a < gn. В этом случае представим числитель дроби в виде g-ичного числа:
, 0m<n (2)
и разделим обе части равенства на gn. Так как m < n, то получим следующее представление дроби :
= , 0bk<g. (3)
Добавляя в случае необходимости нулевые слагаемые, можно представить (3) в виде:
= . (4)
Чтобы сделать запись (4) похожей на (1), положим bn - k = ak. Тогда
= . (5)
Мы доказали следующее утверждение:
ТЕОРЕМА 1. Любую положительную правильную дробь вида r = можно представить в виде конечной суммы (5), где при всех k имеем 0ak<g.
Вместо записи (5) обычно пишут так:
= 0,а1…аn. (6)
Дробь (6) называют конечной g–ичной систематической дробью. При g=10 получаем конечные десятичные дроби.
Запись дроби в виде (5) однозначно определена, поскольку однозначно определена запись (2) ее числителя.
Запись вида (5) допускают не только дроби β1,…, βк, но и любые дроби , обладающие следующим свойством: в разложении знаменателя дроби b на простые множители входят лишь простые числа, участвующие в разложении на простые множители основания системы счисления g. Иными словами, если
g = , то b = .
Некоторые из показателей β1,…, βк могут равняться нулю.
В самом деле, пусть b = и g = . Обозначим через β наибольший из показателей β1,…, βк. Тогда имеем:
= ==,
причем, βαj - βj0, так как αj1 и β βj.
Отсюда ясно, что дробь в указанном случае можно представить в виде (5).
Справедливо и обратное утверждение: если дробь несократима и ее можно представить в виде (5), то в в разложении b на простые множители входят лишь простые числа, участвующие в разложении на простые множители основания g. В самом деле, пусть
= .
Приведем сумму в правой части к одному знаменателю gn. Получаем, что дробь = . Значит, agn = bc. Так как a и b взаимно просты, то по теореме 3 параграфа3 главы1 gn делится на b. А это может быть лишь при условии, что в разложении b на простые множители входят лишь множители, участвующие и в разложении числа g.
Итак мы доказали следующую теорему:
ТЕОРЕМА 2. Правильная несократимая дробь может быть представлена в виде:
=
в том и только в том случае, когда в разложение знаменателя b на простые множители входят только те простые числа, которые участвуют и в разложении на простые множители основания g.
СЛЕДСВИЕ. Несократимая дробь может быть представлена в виде десятичной дроби в том и только в том случае, когда в разложение ее знаменателя на простые множители входят лишь простые числа 2 и 5, т.е. когда b = 2α5β.
Бесконечные систематические дроби
В пункте 1 было показано, что лишь узкий класс рациональных чисел может быть представлен в виде конечных g-ичных рациональных дробей. Введем теперь бесконечные g-ичные дроби и покажем, что любое рациональное число может быть выражено периодической g-ичной бесконечной дробью. Как и выше, будем рассматривать лишь числа на промежутке 0r<1.
ОПР 1. Правильной бесконечной g-ичной дробью называется ряд
, (1)
где для всех n имеем 0an<g.
Так как для любого n имеем , а ряд сходится поскольку является геометрической прогрессией со знаменателем g-1<1, то и ряд (1) сходится при любых значениях коэффициентов аn, таких, что 0an<g. Иными словами, всегда существует действительное число а , такое, что
а = (2)
Это число записывается так:
а = 0,а1…аn… (3)
Запись x =N,а1…аn… (4) означает, что x = (N + а), где N-натуральное число или нуль, а а=0,а1…аn…
Таким образом, каждой бесконечной g-ичной дроби соответствует некоторое число х. Любое действительное число можно представить в виде (4), причем ткая запись однозначно определена, за исключением случая, когда х можно записать в виде конечной g-ичной дроби.
Рассмотрим запись в виде бесконечной g-ичной дроби рациональных чисел. При этом ограничимся случаем, когда 0r<1. В этом случае r можно записать в виде r = , где –несократимая правильная дробь. Докажем следующую теорему:
ТЕОРЕМА 3. Пусть - правильнаянесократимая дробь. Тогда можно представить в виде конечной или бесконечной g-ичной дроби:
= , (5)
где для всех n имеем 0an<g.
Д-ВО: Разделим ga на b с остатком: ga = ba1 + r1, где 0r1<b. Далее разделим на b с остатком число gr1: gr1 = ba2 + r2, потом число gr2 и т.д. В результате получим цепочку равенств:
ga = ba1 + r1, 0a1 , 0r1<b,
gr1 = ba2 + r2, 0a2 , 0r2<b,
…………..
grn-1 = ban + rn, 0an , 0rn<b
(если один из остатков, скажем rn, равен нулю, то все ak и rk при k > n равны нулю).
Деля первое равенство на bg, получаем, что
= . (6)
Далее из второго равенства выводим, что
= .
Подставляя это выражение в (6), находим, что
= .
Проводя аналогичные рассуждения, получим, что при любом значении n выполняется равенство:
= , 0rn<b. (7)
Так как rn < b, то 0. Значит, = 0, потому
== 0.
Это означает, что является суммой ряда ,т.е. что
= = 0,а1…аn… (8)
Чтобы доказать, что (8) дает разложение дроби в бесконечную g–ичную дробь, осталось убедиться в том, что для всех n выполняются неравенства 0an<b. Но из равенства grn-1 = ban + rn, где 0rn<b, следует, что . Поскольку по условию rn-1< b, то получаем, что 0an<g. Теорема доказана.
Выясним теперь, является ли разложение (5) однозначно определенным, т.е. можно ли представить в виде двух различных g-ичных дробей.
Сначала рассмотрим случай, когда - конечная g-ичная дробь:
= . (9)
По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:
. (10)
Поэтому, если an > 0, то
=.
Это равенство показывает, что если число может быть представлено в виде конечной суммы вида (9), то его можно представить и в виде суммы бесконечного ряда, получаемого уменьшением на 1 последнего отличного от нуля коэффициента an и прибавлением суммы вида (10).
Докажем, что для всех остальных рациональных чисел (т.е. для всех чисел, которые нельзя записать в виде конечной суммы (9)) представление в виде ряда (5) единственно.
ТЕОРЕМА 4. Если рациональное число r = , 0r<1, нельзя представить в виде конечной суммы (9), то существует единственный ряд вида (5), суммой которого является число r.
Д-ВО: Проведем доказательство от противного. Предположим, что r допускает два представления в виде рядов:
r = (11) и r = (12)
Предположим далее, что первые k коэффициентов этих рядов совпадают, a1=b1,… ak=bk, но ak+1 > bk+1. Так как по предположению число r нельзя представить в виде конечной суммы вида (9), то в разложении (11) найдется отличны от нуля коэффициент an, где n>k+1. Поэтому имеется равенство:
r >. (13)
С другой стороны, наибольшее значение для суммы ряда (12) при заданных значениях b1 = a1, bk= ak и bk+1 достигается, если bk+2 = bk+3 =…= g – 1. Значит,
=. (14)
Так как ak+1 > bk+1, то ak+1 bk+1 + 1, и поэтому
. (15)
Неравенства (13) и(15) противоречат друг другу. Следовательно, предположение о существовании двух разложений (11) и (12) числа r неверно. Теорема доказана.
Если = , то E() = и E()= .
Значит,
E() - g E(). (16)
Периодические систематические дроби
ОПР 2. Систематическая дробь по основанию g: 0,а1…аn… называется чисто периодической с периодом s, если для всех k выполняется равенство ak = ak+s , причем s – наименьшее натуральное число с этим свойством (иными словами, если 0 < q <s, то найдется такое k, что ak ak+q).
ОПР 3. Систематическая дробь 0,а1…аn… называется смешанной периодической дробью с периодом s, если найдется такое m > 0, что для всех k > m имеем: ak = ak+s, причем s – наименьшее натуральное число с этим свойством.
Чисто периодическую дробь с периодом s записывают так: 0,(а1…аs),
а смешанную периодическую дробь – так: 0,а1…аm(аm+1…аm+s ).
ТЕОРЕМА 5. Пусть знаменатель несократимой, правильной дроби взаимно прост с основанием системы счисления, (b, g) = 1. Тогда дробь представима в виде чисто периодической g–ичной дроби, период s которой равен порядку числа g по модулю b:
= 0,(а1а2…аs).
Д-ВО: Пусть порядок числа g по модулю b равен s. Это значит, что s-наименьшее натуральное число, такое, что 1(mod b).
Отсюда следует, что c =-целое число. Но тогда для любого k имеем:
,
и поэтому
E() = E() + .
Значит, по формуле (16) п2 для любого k выполняется равенство:
= E() - gE() = E() + - g[E( + )] = E() - gE() = .
Итак, мы доказали, что для всех k выполняется равенство = .
Чтобы доказать, что s - период, осталось показать, что s–наименьшее натуральное число, такое, что = для всех k. Предположим, что существует такое число t, что 0 < t < s, но для всех k выполняется равенство = . Тогда имеем:
= , = ,…,= , = = и т.д.
Поэтому
= .
Следовательно,
= a1gt-1 + … + at + = N + , где N = a1gt-1 + … + at.
Значит, agt = Nb + a, a(gt – 1) = Nb, и поэтому a(gt – 1)0(mod b).
Так как по условию (a, b) = 1, то это сравнение можно сократить на a. Мы получили, что 1(mod b), а этого не может быть, поскольку 0 < t < s, а s–наименьшее натуральное число, для которого 1(mod b). Теорема доказана.
Мы разобрали полностью два случая: когда b-делитель одного из чисел gn (см. теорему 2) и когда b и g взаимно просты. Рассмотрим теперь общий случай, когда в каноническое разложение числа b входят как простые множители, входящие в разложение числа g, так и простые множители не входящие в разложение g.
ТЕОРЕМА 6. Пусть разложение числа b на простые множители имеет вид:
b = *
Причем g делится на p1,…,pk и не делится на q1,…,qs.Тогда правильная несократимая дробь может быть представлена в виде: = 0,а1…аm(аm+1…аm+s ), где справа стоит смешанная периодическая g–ичная дробь. Период этой дроби равен порядку s числа g по модулю c = , а число цифр между запятой и началом первого периода равно наибольшему из показателей α1, …, αk, т.е. показателей при тех простых числах, на которые делится и основание g, m = max(α1, …, αk).
Д-ВО: По условию число b можно представить в виде: b = c, где c = , а потому (q, c)=1, а p1,…,pk - простые множители, входящие и в разложение числа g. Пусть m = max(α1, …, αk). Тогда gm делится без остатка на , и поэтому дробь равна несократимой дроби со знаменателем c, взаимно простым с g:
= , (g, c) = 1.
По теореме 5 дробь можно представить в виде суммы натурального числа N и чисто периодической g–ичной дроби с периодом s, равным порядку g по модулю c. Записывая N в g–ичной системе счисления, получаем, что
= a1,gm -1 + … + am + . (1)
Но =, и поэтому =. Поэтому, чтобы получить разложение дроби , надо обе части равенства (1) разделить на gm. Мы получим:
= ,
т.е. = 0,а1…аm(аm+1…аm+s ). Теорема доказана.
Б.20
МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ И АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Простое транцендентное расширение кольца
Пусть К и L – коммуникативные кольца.
ОПР1 Кольцо К называется простым расширением кольца L с помощью элемента х, если выполняются следующие условия:1. L К,
2. аК, то а = аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (1), где аn, an-1,…, a1, a0 – элемены L, х- тот элемент, с помощью которого строится расширение, nN.
Обозначается: K = L[x].
ОПР2 Расширение K = L[x] называют простым транцендентным расширением, если выполняется следующие условие: аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = , К. Отсюда следует, что аn=, an-1=,…, a0=. Т.к. L К, то аn = an-1 =…= a0 =.
Если К является простым транцендентным расширением L, то элемент х называется транцендентным относительно кольца L.
ТЕОРЕМА1 Если K = L[x] является простым транцендентным расширением, то представление каждого элемента из кольца К в виде равенства (1) однозначно.
Д-ВО: проводится методом от противного с учетом ОПР2.
ОПР3 Кольцо K = L[x], т. е. простое транцендентное расширение L при помощи х , называют кольцом многочленов от переменной х над кольцом L, а каждый элемент из кольца К представленный в видеравенства (1) называют многочленом от переменного х над кольцом L.
Понятие многочленов. Операции над ними и их свойства.
ОПР4 Многочлены от одного переменного х над областью целостности с единицей (К с 1) назовем выражение вида: аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (2), где аn, an-1,…, a1, a0 кольцу К, х- некоторый символ, называемый переменной, nN.
ЗАМЕЧАНИЕ Понятие многочлен можно было бы определить и над произвольным кольцом К, т.е. не обязательно над областью целостности с единицей. Тогда операция умножения не обладала бы многими «хорошими» свойствами и теория делимости оказалась бы «бедной».
Обозначим множество всех многочленов вида (2) символом K[x] и зададим на этом множестве операции «+» и «*» многочленов.
В равенстве (2) элементы аn, an-1,…, a1, a0 – коэффициенты многочлена. При условии, что аn0 натур. число n называют степенью многочлена, аnxn, an-1xn-1, …,a1x,a0 – одночлены многочлена, аnxn- старший член многочлена при условии, что n0, аn – коэффициент при старшем члене.
ОПР5 Два многочлена из множества K[x] равны, если равны их степени и равны все коэффициенты при соответствующих степенях переменного х. (это алгебраическое определение равенства двух многочленов.
Обозначать многочлены будем используя функциональный подход:
f(x) = аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , аn0, φ(x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b1x + b0 , bm0.
Степень f(x) = n, степень φ(x) = m, nm – для определенности, bm+1 = bm+2 = … = bn = 0. f(x) и φ(x)К.
ОПР6 Суммой двух многочленов f(x) и φ(x) назовем многочлен
f(x) + φ(x) = (аn + bn)xn + (аn-1 + bn-1)xn-1 + … + (а1 + b1)x1 + (a0 + b0) (3)
ОПР7 Произведением многочленов f(x) и φ(x) назовем многочлен
f(x) * φ(x) = (4)
ТЕОРЕМА2 Степень суммы двух многочленов не превосходит наибольшую из степеней слагаемых. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней умножаемых.
Д-ВО: следует из определения 6 и 7.
ТЕОРЕМА3 Если К – область целостности с единицей, то <K[x],+,*> - тоже является областью целостности с единицей.
ОПР8 Область целостности с единицей K[x] называют кольцом многочленов от одного переменного х над областью целостности К.
ТЕОРЕМА4 K[x] – кольцо многочленов от одного переменного является простым транцендентным расширением кольца К.
Д-ВО: 1). Очевидно, что КK[x] (видно из определения 6 и 7).
2). Каждый элемент из кольца K[x] по его определению представим в виде равенства (1).
3). Если f(x) = аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = = 0*xn + 0*xn-1 + … + 0*x + 0 , то определению 5 следует, что аn = 0, an-1 = 0,…, a0 = 0. Все условия транцендентного расширения выполняются. Теорема доказана.
Теорема 4 показывает существование простых транцендентных расширений.
Отметим, что существует функциональный подход к определению многочлена: f(x) = аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , где область определения D( f ) = K и область значения E( f ) = K, а, следовательно, существует и определение равенства двух многочленов как функций.
ОПР 9 Пусть f(x) и φ(x)K[x], где К – это область целостности. Тогда будем считать, что f(x) = φ(x) в функциональном смысле, если аK f(а) = φ(а).
ТЕОРЕМА 5 Если К – бесконечная область целостности, то алгебраическое и функциональное определения равенства двух многочленов над областью К равносильны.
ЗАМЕЧАНИЕ Над конечной областью целостности функциональное и алгебраическое определения неравносильны.
Многочлены над полем. Делимость многочлена.
Пусть F – некоторое поле, F[x] – кольцо многочленов над этим полем, f(x) и g(x) - многочленыF[x].
ОПР 10 Говорят, что многочлен f(x) нацело делится на g(x) (f(x)g(x)), если существует многочлен φ(x)F[x] такой, что f(x) = g(x)*φ(x).
Свойства делимости:
Д-ВО: f(x) = аnxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = = а* g(x) f(x)а.
Д-ВО: f(x) = [а*f(x)] f(x)а*f(x).
ОПР 11 Говорят, что многочлен f(x) делится с остатком на многочлен g(x), если существуют такие многочлены φ(x) и r(x), что выполняются условия:
ТЕОРЕМА 6 (о делении с остатком) Для любых двух многочленов f(x) и g(x), где g(x)θ существуют многочлены φ(x) и r(x), удовлетворяющие условиям определения 11, причем эти многочлены определены однозначно.
Д-ВО: 1. Существование:
Пусть f(x) = аnxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0 и g(x) = bmxm + bm-1xm-1 +…+ b1x + b0 , причем an0.
Если ст.f(x) < ст.g(x) или если f(x) = θ, то условию опред11 удовлетворяют многочлены: φ(x) = 0, r(x) = f(x). Тогда f(x) = g(x)*0 + f(x) – существование доказано.
Пусть ст.f(x) ст.g(x), тогда домножим многочлен g(x) на одночлен h1(x) так, чтобы старший член f(x) был равен старшему члену многочлена g(x)*h1(x). Очевидно, что h1(x) = .
Рассмотрим разность f(x) - g(x)*h1(x) = f1(x), ст.f1(x) < ст.f(x) или f1(x) = θ. Если f1(x) = θ, то мы нашли многочлен, который нам требовался. Если f1(x)θ и ст.f1(x) ст.g(x), то домножим g(x) на h2(x) так, чтобы старший член многочлена f1(x) был равен старшему члену многочлена g(x)*h2(x) и рассмотрим разность f1(x) - g(x)*h2(x) = f2(x). Получаем, что ст.f2(x) < ст.f1(x) или f2(x) = θ. Если f2(x) = θ, то мы опять нашли нужный многочлен.
Этот процесс продолжим, если f2(x)θ. На каком то шаге получим:
fs-2(x) - g(x)*hs-1(x) = fs-1(x)
fs-1(x) - g(x)*hs(x) = fs(x), ст.fs(x) < ст.fs-1(x) или fs(x) = θ.
Этот процесс конечный, т.к. степень многочленов f1, f2,…,fs убывает и является натуральными числами. Т.е. не более чем через m – шагов, мы получим, что степень ст.fi(x) < ст.g(x).
Сложим почленно все равенства, полученные в этом процессе:
f(x) = g(x)*[ h1(x) + h2(x) + … + hs(x)] + fs(x) или f(x) = g(x)* φ(x) + r(x), т.е. существование доказано.
2. Единственность:
Предположим, что существует две пары таких многочленов: f(x)=g(x)*φ(x)+r(x) и f(x)=g(x)*ψ(x)+r1(x), причем 0ст.r(x) < ст.g(x) и 0ст.r1(x) < ст.g(x). Найдем их разность:
g(x)*[φ(x) - ψ(x)] = r1(x) - r(x) (*) [r1(x) - r(x)]g(x) и ст.[r1(x) - r(x)] < ст.g(x).
Отсюда следует, что это возможно только при условии, что r1(x) = r(x). Из равенства (*) следует, что φ(x) = ψ(x), т.е. единственность доказана.
Наибольший общий делитель многочлена.
ОПР 12 Многочлен d(x) называется общим делителем многочленов f1(x), f2(x),…, fn(x), если fi(x) d(x), где i = 1…n.
ОПР 13 Наибольшим общим делителем (НОД) многочленов f1(x), f2(x),…, fn(x) называется такой многочлен D(x), что выполняется два условия:
ТЕОРЕМА 7 Если D(x) и D׳(x) – это НОД многочленов f1(x), f2(x),…, fn(x), то D(x) = а * D׳(x), где аF.
ОПР 14 НОД D(x) называется нормированным, если его старший коэффициент равен единице.
СЛЕДСТВИЕ из теоремы 1 Нормированный НОД многочленов определен однозначно.
D(x) = ( f1, f2,…, fn ) - нормированный НОД.
ЛЕММА 1 Если многочлен f(x)g(x), где g(x)θ, то НОД f(x) и g(x) равен g(x), т.е. ( f(x), g(x) ) = g(x).
ЛЕММА 2 Если f(x) = g(x)* φ(x) + r(x), где 0 ст.r(x) < ст.g(x), то ( f(x), g(x) ) = ( g(x), r(x) ).
Покажем, что для любых двух многочленов f(x) и g(x), f(x)θ, g(x)θ существует конечная последовательность Евклида.
Разделим f(x) на g(x) с остатком: f(x) = g(x)* φ(x) + r0(x), где ст.r0(x) < ст.g(x).
Разделим g(x) на r0(x) с остатком: g(x) = r0(x)* φ1(x) + r1(x), где ст.r1(х) < ст.r0(x).
Разделим r0(x) на r1(x) с остатком: r0(x) = r1(x)* φ2(x) + r2(x), где ст.r2(х) < ст.r1(x).
и так далее … rк-3(x) = rк-2(x)* φк-1(x) + rк-1(x).
rк-2(x) = rк-1(x)* φк(x) + rк(x), где ст.rк(х) < ст.rк-1(x).
rк-1(x) = rк(x)* φк+1(x).
У нас последовательность конечная, т.к.степень многочленов – числа натуральные, степень остатков убывает, поэтому в результате получится многочлен нулевой степени, на который любой многочлен делится нацело.
Последовательность называется последовательностью Евклида. Она существует для любых двух многочленов f(x) и g(x), отличных от r(x), и конечна.
ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА Наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) является последний отличный от нуля остаток в последовательности Евклида для этих многочленов.
Д-ВО: следует из леммы 1 и леммы 2.
ТЕОРЕМА 3 Если D(x) = (f1(x), f2(x),…, fn-1(x)), а d(x) = (D(x), fn(x)), то отсюда следует, что d(x) = (f1(x), f2(x),…, fn-1(x), fn(x)).
Д-ВО: проводится методом мат. индукции.
СЛЕДСТВИЕ из теоремы 3 Если d1(x) = (f1(x), f2(x))
d2(x) = (d1(x), f3(x))
d3(x) = (d2(x), f4(x))
…
dn-1(x) = (dn-2(x), fn(x)), то следует, что dn-1(x) = (f1(x), f2(x),…,fn(x)).
ТЕОРЕМА 4 (о линейном представлении НОД двух многочленов). Пусть D(x) = (f(x), g(x)). Тогда существуют многочлены φ(x) и ψ(x) такие, что выполняется два условия:
Д-ВО: Для доказательства существования таких многочленов можно воспользоваться последовательностью Евклида. Выражая из предпоследнего равенства rк(x), затем вместо rк-1(x) поставим его в выражение из третьего равенства снизу и т.д. Поднимаясь вверх по последовательности Евклида выразим D(x) через f(x) и g(x), т.е. получим равенство (5).
Если степень многочленов φ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям теоремы, то теорема доказана.
Пусть ст.φ(x) ст.g(x). Разделим φ(x) на g(x) с остатком: φ(x) = g(x)*h1(x) + r1(x) (6), ст.r1(x) < ст.g(x). Подставим равенство (6) в равенство (5):
D(x) = f(x)*[g(x)*h1(x) + r1(x)] + g(x)*ψ(x) = f(x)r1(x) + g(x)* [f(x)h1(x) + ψ(x)] (7)
Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках, через s(x): s(x) = f(x)h1(x) + ψ(x).
Покажем теперь, что ст.s(x)< ст.f(x). Предположим, что ст.s(x)ст.f(x), тогда ст.f(x)*r1(x) < ст.s(x)*g(x) так как выполняется ст.r1(x) < ст.g(x) ст.D(x) = ст.s(x)*g(x) (8)
С другой стороны g(x)D(x) ст.g(x)ст.D(x), ст.g(x)*s(x) > ст.D(x) (9)
Утверждения (8) и (9) противоречат друг другу. Значит предположение неверно, т.е. ст.s(x)< ст.f(x).
Теорема доказана.
Б.29
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА В ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ.
Неприводимые многочлены над данным полем. Примеры. Свойства неприводимых многочленов (два-три доказать). Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.
Пусть Р – произвольное кольцо. Многочленом от х с коэффициентами из Р назовем выражение вида
а0+а1х+а2х2+…+anxn (*),
где n – любое неотрицательное число, и а0, а1, а2,…,an – элементы кольца Р.Элемент ak (k=0,1,2…n) кольца Р будем называть коэффициентом многочлена (*) при xk. Для k>n условимся считать, что коэффициент при xk равен нулю. Для обозначения многочленов будем пользоваться символами f(x), g(x) и т.п.
Многочлены f1(x) и f2(x) будем считать равными, если для любого k коэффициент многочлена f1(x) при xk равен коэффициенту многочлена f2(x) при xk.
Замечание: Так как для задания многочлена (*) существенны лишь коэффициенты а0, а1, а2,…,an, то можно было бы назвать многочленом просто последовательность (а0,а1,а2,…,an) элементов кольца Р, определив соответствующим образом операции сложения и умножения таких последовательностей. Однако, в конечном счете, запись многочлена в виде выражения (*) оказывается более удобной.
Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов, которые найдут в дальнейшем многочисленные применения.
В самом деле, по условию f(x)=g(x)φ(х) и g(x)=h(x)ψ(х), а поэтому f(x)=h(x)[ψ(x)φ(x)].
Действительно, из равенств f(x)=φ(x)ψ(x) и g(x)=φ(x)χ(x) вытекает f(x)g(x)=φ(x)[ψ(x)χ(x)].
Действительно, если f(x)=φ(x)ψ(x), то f(x)g(x)=φ(x)[ψ(x)g(x)].
Из II и III вытекает следующее свойство:
Действительно, если f(x)=а0+а1х+а2х2+…+anxn, а с – произвольное число, не равное нулю, т.е. произвольный многочлен нулевой степени, то
В самом деле, из равенства f(x)=φ(x)ψ(x) следует равенство f(x)=[сφ(x)]·[c-1ψ(x)].
Действительно, f(x)=c-1[cf(x)], т.е. f(x) делится на cf(x).
Если, с другой стороны f(x) делится на g(x), причем степени f(x) и g(x) совпадают, то степень частного от деления f(x) на g(x) должна быть равной нулю, т.е. f(x)=dg(x), d0, откуда g(x)=d-1f(x).
Отсюда вытекает следующее свойство:
Наконец, из VIII и I вытекает свойство
Определим те многочлены, которые играют в кольце многочленов такую же роль, какую в кольце целых чисел играют простые числа. Заранее подчеркнем, что речь в этом определении будет идти лишь о многочленах, степень которых больше или равна единице; это вполне соответствует тому, что при определении простых чисел и изучении разложений целых чисел на простые множители числа 1 и –1 исключаются из рассмотрения.
Пусть дан многочлен f(x) степени n, n≥1, с коэффициентами из поля Р. Ввиду свойства V все многочлены нулевой степени будут служить делителями для f(x). С другой стороны, по VII, делителями для f(x) будет и все многочлены cf(x), где с – отличный от нуля элемент из Р, причем ими исчерпывается все делители многочлена f(x), имеющие степень n. Что же касается делителей для f(x), степень которых больше 0, но меньше n, то они могут в кольце P[x] существовать, а могут и отсутствовать. В первом случае многочлен f(x) называется приводимым в поле Р (или над полем Р), во втором – неприводимым в этом поле.
Вспоминая определение делителя, можно сказать, что многочлен f(x) степени n приводим в поле Р, если он может быть разложен над этим полем (т.е. в кольце P[x]) в произведение двух множителей, степени которых меньше n:
f(x)=φ(х)ψ(х), (1)
и f(x) неприводим в поле Р, если в любом его разложении вида (1) один из множителей имеет степень ), а другой – степень n.
Следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что о приводимости или неприводимости многочлена можно говорить лишь по отношению к данному полю Р, так как многочлен, неприводимый в данном поле, может оказаться приводимым в некотором его расширении . Так, многочлен х2 – 2 с целыми коэффициентами неприводим в поле рациональных чисел – он не может быть разложен в произведение двух множителей первой степени с рациональными коэффициентами. Однако в поле действительных чисел этот многочлен оказывается приводимым, как показывает равенство
.
Многочлен х2 + 1 неприводим не только в поле рациональных чисел, но и в поле действительных чисел; он делается приводимым, однако, в поле комплексных чисел, так как .
Укажем некоторые основные свойства неприводимых многочленов, причем будем помнить, что речь идет о многочленах, неприводимых в поле Р.
В самом деле, если бы этот многочлен был разложим в произведение множителей меньшей степени, то эти множители должны были бы иметь степень 0. Однако произведение любых многочленов нулевой степени снова будет многочленом нулевой степени, а не первой.
Это свойство следует из свойств I и VII. Оно позволит там, где это будет нужно, ограничится рассмотрением неприводимых многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице.
Если (f(x),p(x))=d(x), то d(x), будучи делителем неприводимого многочлена р(х), либо имеет степень 0, либо же есть многочлен вида ср(х), с0. В первом случае f(x) и p(x) взаимнопросты, во втором f(х) делится на р(х).
Действительно, если f(х) не делится на р(х), то по в), f(х) и р(х) взаимнопросты, а тогда1, многочлен g(x) должен делится на р(х).
Свойство г) без труда распространяется на случай произведения любого конечного числа множителей.
Т: Всякий многочлен f(x) из кольца Р[x], имеющий степень n, n≥1, разлагается в произведение неприводимых множителей.
Действительно, если многочлен f(x) сам неприводим, то указанное произведение состоит всего из одного множителя. Если же он приводим, то может быть разложен в произведение множителей меньшей степени. Если среди этих множителей снова имеются приводимые, то производим из дальнейшее разложение на множители, и т.д. Этот процесс должен остановиться после конечного числа шагов, так как при любом разложении f(x) на множители сумма степеней этих множителей должна равняться n, и поэтому число множителей, зависящих от х, не может превосходить n.
Разложение целых чисел на простые множители однозначно, если ограничиваться рассмотрением целых положительных чисел. Однако в кольце всех целых чисел однозначность имеет место лишь с точностью до знаков: так, - 6=2·(-3)= (-2)·3=, 10=2·5=(-2)·(-5) и т.д. Аналогичное положение имеет место и в кольце многочленов. Если
f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
есть разложение многочлена f(x) в произведение неприводимых множителей и если элементы с1, с2, …, сs из поля Р таковы, что их произведение равно 1, то
f(x)= [с1p1(x)] · [с2p2(x)]… [сs ps(x)]
также будет, ввиду б), разложением f(х) в произведение неприводимых множителей. Оказывается, что этим исчерпываются все разложения f(х):
Т: Если многочлен f(х)из кольца Р[x] двумя способами разложен во произведение неприводимых множителей:
f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x), (2)
то s=t и, при соответствующей нумерации, имеют место равенства
qi=cipi(x), i=1, 2, …s, (3)
где сi – отличные от нуля элементы из поля Р.
Эта теорема верна для многочленов первой степени, так как они неприводимы. Будем поэтому вести доказательство индукцией по степени многочлена, т.е. будем доказывать теорему для f(x), предполагая, что для многочленов меньшей степени она уже доказана.
Так как q1(x) является делителем для f(х), то, ввиду свойства г) и равенства (2), q1(x) будет делителем хотя бы одного из многочленов pi(x), например, для p1(x). Так как, однако, многочлен p1(x) неприводим, а степень p1(x) больше нуля, то существует такой элемент с1, что
q1(x)=c1p1(x). (4)
Подставляя это выражение q1(x) в (2) и сокращая на р1(x) (что законно, так как в кольце P[x] нет делителей нуля), мы получим равенство р2(х)р3(х)…ps(x)=[c1q2(x)]q3(x)…qt(x). Так как степень многочлена, равного этим произведениям, меньше степени f(x), то уже доказано, что s – 1 = t – 1, откуда s = t, и что существуют такие элементы с2’, с3, …, сs, что с2’р2(х)= c1q2(x), откуда q2(x)=(с1-1с2’)p2(x), и cipi(x)=qi(x), i=3,…,s, Полагая с1-1с2’=с2 и учитывая (4), мы получим равенства (3).
Доказанной сейчас теореме можно дать такую более короткую формулировку: всякий многочлен разлагается на неприводимые множители однозначно с точностью до множителей нулевой степени.
Всегда можно рассматривать, впрочем, разложение следующего специального вида, которое будет для каждого многочлена уже вполне однозначным: берем любое разложение многочлена f(x) на неприводимые множители и из каждого из этих множителей выносим за скобки старший коэффициент. Мы получим разложение
f(x)=a0р1(х)р2(х)…ps(x), (5)
где все pi(x), i=1, 2 …, s, являются неприводимыми многочленами со старшими коэффициентами, равными единице. Множитель а0 будет равен старшему коэффициенту многочлена f(x), как легко доказать, выполнив перемножение в правой части равенства (5).
Неприводимые множители, входящие в разложение (5), не обязаны быть различными. Есил неприводимый многочлен р(х) встречается в разложении (5) несколько раз, то он называется кратным множителем для f(x), а именно k-кратным (в честности двукратным, трехкратным и т.д.), если в разложении (5) содержится ровно k множителей, равных р(х). Если же множитель р(х) входит в (5) лишь один раз, то он называется простым (или однократным) множителем для f(x).
Если в разложении (5) множители р1(х), р2(х),… рl(х), отличны друг от друга, а всякий другой множитель равен одному из них, и если рi(х), i=1, 2, …l, является ki-кратным множителем многочлена f(x), то разложение (5) можно переписать в следующем виде:
. (6)
Именно этой записью мы будем дальше обычно пользоваться, не оговаривая особо, что показатели равны кратностям соответствующих множителей, т.е. что pipj при ij.
Б.21
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. СОПРЯЖЕННОСТЬ МНИМЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. НЕПРИВОДИМЫЕ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ МНОГОЧЛЕНЫ.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (без док-ва). Многочлены, неприводимые над полем комплексных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена над полем действительных чисел. Многочлены, неприводимые над полем действительных чисел.
Пусть F[x] – кольцо полиномов от х над полем F.
О: Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой полином положительной степени из F[x] имеет в поле F хотя бы один корень
Т. Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Д-во: Пусть f – произвольный полином положительной степени из F[x]. Если f(0)=0, то нуль есть корень полинома f. Допустим, что f(0)0, и положим М=|f(0)|. Пусть r – такое положительное число, что
(1) (zC)(|z|≤r→M≤|f(z)|).
Такое r существует2.
Пусть K={zC| |z|≤r}. Функция |f| достигает наименьшего значения на множестве K3, т.е. существует такое число аK, что
(2) |f(a)|≤|f(z)| для всякого zК (|z|≤r0),
в частности
(3) |f(a)|≤|f(0)|=М.
Из (1) и (3) получим
(4) (zC)(|z|≤r0→|f(a)|≤|f(z)|).
На основании (2) и (4) заключаем, что
(5) (zC)(|f(a)|≤|f(z)|).
Если f(a)0, то, по лемме Даламбера4, существует такое комплексное число с, что
|f(с)|<|f(а)| (сС).
Однако последнее неравенство противоречит (5), поэтому случай, когда f(a)0 невозможен. Следовательно, f(а)=0, т.е. комплексное число а является корнем полинома f.
Следствия:
1. Всякий полином из кольца С[x], степень которого больше единицы, приводим в кольце С[x].
Действительно, пусть fС[x] и степень f>1. По теореме, существует аС такое, что f(a)=0. Тогда5 (x – a) делит f, т.е. существует полином g в С[x], что f=(х – а)·g. При этом степень g>0, поскольку степень f>1. Таким образом, полином f приводим в кольце С[x].
2. Любой полином f положительной степени из кольца С[x] можно единственным образом представить в виде произведения комплексного числа и нормированных линейных множителей, т.е. в виде
(1) f=c(x – 1)…( x – n),
где 1, …, n – корни полинома f (в С) и с – старший коэффициент полинома.
Это утверждение вытекает из следствия 1 6
Если в разложении (1) 1, …, m есть все различные корни полинома f в С, то это разложение можно представить в виде
(2) k1+…+km=n.
Разложение (2) называется каноническим разложением полинома f на неприводимые множители. Число ks называется показателем кратности корня s.
3. Всякий полином f положительной степени n из С[x] имеет точно п комплексных корней, если каждый его корень считать столько раз, какова его кратность.
Т. Пусть f – полином, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел R. Тогда существуют такие a, b R, что b0 и полином f ассоциирован с полиномом (x – a)2+b.
Д-во: По теореме об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел полином f имеет хотя бы один комплексный корень. Пусть a+bi – корень полинома f, где a, b множеству R. Если b=0, то x – a делит f, что противоречит условию неприводимости f над кольцом R. Следовательно, b0. Применим к полиномам f и (x – a)2+b теорему о делении с остатком. Согласно этой теореме, в кольце R[x] существуют полиномы q(x) и cx+d такие, что
Полагая в этом равенстве x=a+bi, получаем
Отсюда вытекает, что ca+d=0, bc=0. Так как b0, то c=0 и d=0. Таким образом,
f(x)=q(x)[(x – a)2+b2].
Поскольку, по условию, полином f неприводим над кольцом R, то степень полинома q(x) равна нулю. Следовательно, полином f ассоциирован с полиномом (x – a)2+b.
Следствие: В кольце R[x] неприводимы только полиномы первой степени и полиномы второй степени, ассоциированные с полиномами вида (x – a)2+b, где a, b – любые действительные числа и b0.
Из этого следствия и доказанной выше теоремы вытекает следующая теорема.
Т. Любой полином f положительной степени из кольца R[x] можно единственным образом представить в виде произведения действительного числа и неприводимых над R полиномов не выше чем второй степени:
где bk0.
Следствия:
Т. Каждый многочлен f(x) C[x] степени n≥1 может быть разложен на линейные множители в кольце C[x].
Д-во: Согласно «основной теореме алгебры»7 всякий многочлен f(x) C[x] степени n≥1 имеет корень х0 в поле С. В случае, когда степень f(x) больше единицы, из наличия корня у многочлена f(x) вытекает его приводимость8. Следовательно, в кольце C[x] неприводимы только многочлены первой степени.
Каждый многочлен f(x) C[x] степени n≥1 может быть разложен на неприводимые множители в кольце C[x]. Из предыдущего замечания вытекает, что это разложение является разложением на линейные множители. ч.т.д.
При изучении многочленов с действительными коэффициентами представляют интерес не только их действительные, но и мнимые корни, рассмотрение которых позволяет, в частности, выяснить, какие многочлены приводимы в кольце R[x].
Установим одно простое свойство совокупности всех комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами.
Т. Если комплексное число х0 является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное числотакже является корнем этого многочлена.9
Д-во: Пусть данный многочлен имеет вид
По условию, f(x0)=0, т.е.
Для вычисления воспользуемся следующими свойствами операции комплексного сопряжения
а также тем, что любое действительно число совпадает со своим сопряженным. Имеем:
т.е. также является корнем многочлена f(x).
ч.т.д.
Из этой теоремы можно вывести, что в кольце R[x] неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени, не имеющие действительных корней.
В самом деле, пусть f(x) R[x] – многочлен степени п≥3 и х0 – какой-либо комплексный корень. Если х0 R, то многочлен f(x) делится на х – х0 в кольце R[x] и, следовательно, приводим. Если х0 R, то, по доказанной теореме, также является корнем многочлена f(x) (причем ). В этом случае в разложение многочлена f(x) на линейные множители в кольце C[x] входят множители и . Следовательно, f(x) делится на квадратный трехчлен
.
Так как и , то
и, значит, многочлен f(x) приводим в кольце R[x].
Таким образом, в кольце R[x] всякий многочлен, степень которого больше двух приводим. Что касается многочленов второй степени, то из них неприводимы в кольце действительных чисел те и только те, которые не имеют действительных корней.
Из описания неприводимых многочленов в кольце R[x] следует, что нормированные разложение на неприводимые множители любого многочлена f(x) R[x] имеет вид
(1)
где х1,х2,…,xs – различные числа, а - различные квадратные трехчленные, не имеющие действительных корней. Обозначим через yi какой-либо комплексный корень трехчлена ; тогда другим его корнем будет и, значит,
(2)
Подставляя эти выражения в (1), получаем разложение многочлена f(x) на линейные множители C[x]:
(3)
Заметим, что yi yj при i j, так как в противном случае из формулы (2) следовало бы, что
По той же причине . Отсюда следует, что yi и - корни кратности li/ Таким образом, каждому неприводимому делителю h(x) второй степени многочлена f(x) R[x] соответствует пара сопряженных мнимых корней многочлена f(x), причем кратность каждого из них равна кратности делителя h(x).
Поскольку мнимые корни алгебраического уравнения с действительными коэффициентами разбиваются на пары сопряженных, то число действительных корней (с учетом кратностей) либо равно степени уравнение, либо на четное число меньше. В частности, любое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
Б.28
СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ. ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ.
Дать определение простого алгебраического расширения поля. Сформулировать и доказать теорему о строении простого алгебраического расширения поля. Привести пример использования этой теоремы в элементарной математике.
Простое расширение поля. Пусть P [x] – кольцо полиномов от х над полем P, где P – подполе поля F. Напомним, что элемент поля F называется алгебраическим над полем P , если является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].
О: Пусть P F и F. Простым расширением поля P с помощью элемента называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество P и элемент . Простое расширение P с помощью обозначается через P (), основное множество поля P () обозначается через P().
Пусть F, P [x] – кольцо полиномов от х и
т.е. P[] есть множество всех выражений вида , где а0, а1,… аn, Р и п – любое натуральное число.
Легко видеть, что алгебра - подкольцо поля P () – является кольцом; это кольцо обозначается символом P [].
Т1. Пусть P [x] – кольцо полиномов от х над P и P () – простое расширение поля P . Пусть ψ – отображение P[х] на P[] такое, что ψ(f) = f() для любого f из P[х]. Тогда:
Д-во: Утверждения (а) и (b) непосредственно следуют из определения ψ. Отображение ψ сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P [x]
Далее, по условию, ψ есть отображение P[х] на P[]. Следовательно, ψ является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P [].
Поскольку ψ – гомоморфизм кольца P [x] на P [], то11 фактор-кольцо P [x]/Ker ψ изоморфно кольцу P [].
Следствие. Пусть - трансцендентный элемент над полем P . Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [].
Д-во: В силу трансцендентности над P Ker ψ = {0}. Поэтому2 P [x]/{0} P []. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x] P [].
Минимальный полином алгебраического элемента. Пусть P [x] – кольцо полиномов над полем P .
О. Пусть - алгебраический элемент над полем P . Минимальным полиномом элемента над P называется нормированный полином из P [x] наименьшей степени, корнем которого является . Степень минимального полинома называется степенью элемента над P .
Легко видеть, что для всякого элемента , алгебраического над P , существует минимальный полином.
Предложение: Если - алгебраический элемент над полем P , а g и – его минимальные полиномы над P , то g = /
Д-во: Степени минимальных полиномов g и совпадают. Если g , то элемент (степени п над P ) будет корнем полинома g - , степень которого меньше степени полинома (меньше п), что невозможно. Следовательно g = .
Т2. Пусть - алгебраический элемент степени п над полем P ( Р) и g – его минимальный полином над P . Тогда:
Д-во: Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т.е. существуют в P[x] такие полиномы и h, что
g = h, 1 ≤ deg , deg h < deg g = n.
Тогда g() = () h() = 0. Так как P () – поле, то () = 0 или h() = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента над P равна n.
Предположим, что f P[x] и f() = 0. По условию, g() = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f.
|
P |
Пусть ψ – гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [] (ψ(f) = f() для всякого f из P[х]), рассмотренный в Т1. В силу (b) ядро гомоморфизма ψ состоит из кратных полинома g, т.е. Ker ψ = (g). Следовательно12 фактор-кольцо =P [x]/(g) изоморфно кольцу P [].
Поскольку P[] P(), то P [] есть область целостности.
|
P |
|
P |
|
P |
|
P |
|
P |
|
P |
Так как P [], то фактор-кольцо также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент из обратим в . Пусть f – элемент смежного класса . Так как , то f() 0; поэтому полином g не делит f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g – взаимно простые. Следовательно, в P[x] существуют такие полиномы u и v, что uf + vg = 1. Отсюда вытекает равенство , показывающее, что элемент обратим в кольце . Итак, установлено, что фактор-кольцо является полем.
В силу (с) и (d) P [] является полем и поэтому P() P[]. Кроме того, очевидно, P[] P(). Значит, P[] = P(). Следовательно, кольцо P [] совпадает с полем P ().
Строение простого алгебраического расширения поля.
Т3. Пусть - алгебраический над полем P элемент положительной степени п. Тогда любой элемент поля P () однозначно представим в виде линейной комбинации п элементов 1, , …,n-1 с коэффициентами из Р.
Д-во: Пусть - любой элемент поля P (). По Т2 P() = P[]; следовательно, в P[х] существует полином f такой, что
(1) = f ().
Пусть g – минимальный полином для над P ; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[х] полиномы h и r такие, что
(2) f = gh+r, где r = 0 или deg r < deg g = n, т.е.
r = c0 + c1x + …+ cn-1xn-1 (ci P).
Полагая в (2) х = и учитывая равенство (1), имеем
(3) = c0 + c1 + …+ cn-1n-1.
Покажем, что элемент однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, , …,n-1. Пусть
(4) = d0 + d1 + …+ dn-1n-1 (di P)
- любое такое представление. Рассмотрим полином
= (с0 – d0) + (с1 – d1)x + …+ (сn-1 – dn-1)xn-1.
Случай, когда степень меньше п, невозможен, так как в силу (3) и (4) () = 0 и степень меньше степени g. Возможен лишь случай, когда = 0, т.е. c0 = d0,…, cn-1 = dn-1. Следовательно, элемент однозначно представим в виде линейной комбинации элементов1, , …,n-1.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть - алгебраический элемент степени n>1 над полем P ; f и h – полиномы из кольца полиномов P [x] и h() 0. Требуется представить элемент в виде линейной комбинации степеней элемента , т.е. в виде (), где Р[x].
Эта задача решается следующим образом. Пусть g – минимальный полином для над P . Так как, по Т2, полином неприводим над P и h() 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g – взаимно простые. Поэтому в P[x] существуют такие полиномы u и v, что
(1) uh + vg = 1.
Поскольку g() = 0, из (1) следует, что
u()h() = 1, .
Следовательно, , причем f, u Р[x] и f()u() Р[x]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби .
Б.32
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. РОЛЬ АКСИОМ ИНДУКЦИИ В АРИФМЕТИКЕ.
Содержательная аксиоматическая теория натуральных чисел.
N – множество натуральных чисел (натуральный ряд).
1 – первый элемент множества
«+» – сумма – тернарное отношение во множестве N
«∙»– произведение – тернарное отношение во множестве N
В качестве первичных терминов выступают мн – во N, одно унарное отношение (отношение быть единицей), и тернарных отношения (быть суммой, быть произведением).
.
N1:, т.е. мн-во N непустое, т.к. содержит 1 и 1 не есть сумма каких-либо натуральных чисел;
N2:, для любого элемента а из мн-ва N, а+1 непустое и состоит из одного элемента;
N3:, т.к. по N2(a+1) и (b+1) состоят из одного элемента, то N3 можно записать следующим образом:
N3:;
N4:- слабая форма ассоциативности;
N5:;
N6:- слабая дистрибутивности;
N7: аксиома индукции
.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел.
Свойства сложения
Д-во: Пусть (а – произвольный), зафиксируем его. Обозначим Ма – мн-во элементов: . Очевидно, что (по построению). Рассмотрим семейство мн-в и покажем, что . Используем для этого аксиому индукции:
Д-во: Зафиксируем произвольные числа
Д-во: Зафиксируем произвольный эл-т
Д-во: Зафиксируем эл-ты
Свойства умножения
Полукольцо натуральных чисел
Определение: Непустое мн-во А относительно 2-х бинарно-алгебраических операций «+» и «∙» называется полукольцом, если:
1. ;
2. ;
3.
Независимость аксиомы индукции. Роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий.
Чтобы доказать независимость аксиомы индукции от др. аксиом, достаточно указать такую интерпритацию на нашей теории из объектов непротиворечивой теории, на к-ой аксиомы N1 – N6 вып-ся, а N7 нет.
Будем считать, что аксиоматическая теория натуральных чисел непротиворечива.
I Интерпретация (J1).
Пусть За 1 возьмем пару , сложение и умножение определим след. образом:
Легко проверить, что для интерпретации (J1) вып-ся акс-мы N1 – N6. проверим, напр., акс-му . Покажем, что Это следует из того, чтоАналогично док-ся истинность акс-м N2 – N6. Покажем, что акс. N7 не имеет места на . Рассм-м вспомог. мн-во
. Возьмем мн-во Проверим условие акс. N7.
1)
2) Пусть Док-м тогда, что
а) если , т.е. Рассм-м
.
2) сли , т.е.
Т.е. условия акс. вып-ся . Но это не так, напр.,
Итак, акс. N7 на интерп-и (J1) не вып-ся. В связи сэтим при построении теории возникают некоторые потери. В частности предположим, что на мн-ве определено бинар. отношение «>», обладающее св-вами транзитивности, антисимметричности, антирефлексивности, связности и монотонна относ-но обеих операций. Рассм-м пары и . Т.к. отношение связно, то или . Пусть, напр., . Т.к. отношение монотонно по сложению, то
(1) и (2) (св-во транзитивности). Получили противоречие со св-м антирефлк-ти. Следовательно, отношение порядка построить невозможно на данной интерприт-и. Т.о. теорию неравенств нельзя обосновать без аксиомы индукции.
Б.31
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ.
Аксиоматическая теория целых чисел. Система целых чисел – это минимальное кольцо, которое является расширением полукольца натуральных чисел.
Z – мн –во, его элементы называют целыми числами.
«+» – б.а.о. сложения
«∙»– б.а.о. умножения
0 – нейтральный эл-т по сложению в Z
N – подмн-во мн-ва Z, его эл-ты называют натуральными числами
– б.а.о. на мн-ве N
Система называется системой целых чисел, если она удовлетворяет аксиомам Z1 – Z13.
I.
Z1: ;
Z2: ;
Z3: ;
Z4: ;
Z5: ;
Z6: ;
Z7: ;
Z8: ;
II.
Z9: ;
Z10: ;
Z11: ;
Z12: ;
Z13: аксиома минимальности
Пусть , если:
.
Кольцо целых чисел.
Будем называть
КАТЕГОРИЧНОСТЬ СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Теорема: Аксиоматическая теория целых чисел категорична.
Д-во: Будем считать, что аксиоматическая теория целых чисел не противоречива. Покажем, что любые 2 модели аксиоматической теории целых чисел, удовлетворяющих аксиомам Z1 – Z13 изоморфны.
Пусть построены 2 модели нашей теории: и . Установим их изоморфизм, т.е. необходимо установить взаимнооднозначное соответствие между основными множествами колец так, чтобы результаты операций не нарушались. Рассмотрим множество и . Это полукольца в N (по аксиомам). Т. к. аксиом. теория натуральных чисел категорична, то любые 2 модели натуральных чисел изоморфны. Тогда , которое является биективным и изоморфным, т.е.. Известно, что. Воспользуемся этим, чтобы установить отображение из Z1 в Z2. обозначим через соответствие . Докажем, что:
1. – отображение
2. –биекция
3. – гомоморфизм (сохраняет операции)
1) Покажем, что - отображение, т.е.
Т.к. f – изоморфизм, то
2) Покажем, что –биекция.
а) Док-м, что - сюръекция («на»)
Пусть
б) Док-м, что -инъективно. (т.е. ).
Будем док-ть
След-но – биекция.
(т.е.).
Аналогично док-ся .
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ
Т – ма: Аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива.
Схема док-ва:
Б.25
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ КОРНЯ.
Первичные термины и аксиомы системы действительных чисел
Опр. Системой действительных чисел наз-ся линейно и архимедовски упорядоченное поле, всякая фундаментальная последовательность эл-в которого сходится.
R – мн –во, его элементы называют действительными числами.
«+,∙» – б.а.о. сложения, умножения на R
0,1 –эл-ты мн-ва R
«>» – бинар. отношение на мн-ве R
Система называется системой действительных чисел.
I.Аксиомы группы А (аксиомы поля)
R1: ;
R2: ;
R3: ;
R4: ;
R5: ;
R6: ;
R7: ;
R8:
R9: ;
R10:;
R11:. ( R - поле)
II. Аксиомы группы В (R12 -R16 - аксиомы упорядоченного поля + R17 –архимедовски упорядоченное поле )
R12: (связность);
R13: ;
R14: ;
R15: (монотонность относ-но «+»);
R16: (монотонность относ-но «∙»);
R17:
III. Аксиома группы С
R18: аксиома полноты
Для любой фундаментальной последовательностиэлементов мн-ва R существует
Опр. Пусть - поле. Оно наз-ся упорядоченным, если на Р задано бинар. отношение «>», причем:
1) - упорядоч. мн-во
2)
3)
Т.е. из аксиом R1 – R17 , что - строго линейно архимедовски упорядоченное поле.
Свойства действительных чисел
Первая группа аксиом и является свойствами. К ним добавляется теорема о корне
Т-ма 1(о существовании корня любой натур. степени из полож. числа)
Д-во: По Т. Вейерштрасса:
Единств-ть:
противоречит тому, что отношение порядка является строгим β – единственно. Ч.т.д.
Т-ма 2. Всякое действ. число есть предел последовательности рац-х чисел.
Д-во: Пусть r – произвольное действительное число. Рассмотрим стационар. последовательность действительных чисел. Т.к. , то по теореме (Пусть . Для последовательности эл-в архимедовски линейно упорядоченного поля А можно в поле указать эквивалентную ей относ-но архимедовски линейно упорядоченного поля Р послед-ть.) можно указать последовательность рац. Чисел эквивал-ю . . Ч.т.д.
Т-ма 3 Поле можно линейно и строго упорядочить не более чем одним способом.
Д-во: Пусть R+ и R++ - полож. части поля действ. чисел. Пусть Значит для α можно найти такое, что . Т.о. . Следовательно (по критерию однозначности). Ч.т.д.
Построение модели
Т – ма: Аксиоматическая теория R чисел непротиворечива относительно акс. Теории Q чисел.
Схема док-ва:
1 т.к. Если произведение двух взаимнопростых многочленов делится на третий, то на него делится каждый из этих многочленов
2 В силу теоремы о возрастании модуля полинома: Пусть f – полином положительной степени из С[z]. Для всякого действительного числа М>0 существует такое действительное число r>0, что для любого комплексного числа z |f(z)|≥М, как только |z|≥r.
3 В силу теоремы: Модуль любого полинома f из С[z] достигает своего наименьшего значения на множестве С.
4 Пусть f(х) – полином положительной степени над полем комплексных чисел и аС.Если f(a)0, то существует такое комплексное число с, что |f(с)|<|f(а)|.
5 По теореме: Пусть f – полином над кольцом К и с0К. Элемент с0 является корнем полинома f тогда и только тогда, когда х – с0 делит полином f в кольце К[x].
6 и теоремы о разложимости полинома над полем в произведение нормированных неприводимых множителей. Любой полином положительной степени из F[x] можно единственным образом представить в виде произведения элемента поля F и нормированных неприводимых в кольце F[x] полиномов.
7 Основная теорема алгебры: Всякое алгебраическое уравнение положительной степени с числовыми коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел
8 По теореме Безу многочлен, имеющий корень х0, делится на х – х0. Степень частного при этом, очевидно, будет на единицу меньше степени самого многочлена. Поэтому, всякий многочлен, степени ≥2, имеющий корень в поле Р, приводим.
9 Отметим, что утверждение теоремы представляет интерес только в случае, когда х0 – мнимое число, поскольку, если х0 действительное, то
10 Алгебра называется фактор-кольцом кольца K по идеалу I и обозначается через K /I.
11 По теореме: Пусть f – эпиморфизм кольца K на кольцо K ’с ядром I. Тогда фактор-кольцо K /I изоморфно кольцу K ’.
12 По теореме: Пусть f – эпиморфизм кольца K на кольцо K ’с ядром I. Тогда фактор-кольцо K /I изоморфно кольцу K ’.