Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задачи
1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова веpoятность ТОГО, что это число кратно 3?
2. B урне a красных и в голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой ypны окажется голубым?
З. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем 30?
4. B урне a голубых и в красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой ypны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано натyрaльное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
б. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?
7. Подбрасывается три игpaльных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие B)?
Ответы
1. 1/3. 2. b/(а+b). 3. 0,2. 4. (b-1)/(a+b-1). 5. 0,3. 6. р1 = 25/216 - вероятность полyчить в сумме 9 очков; р2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; р2>р1 7. Р(А)=27/216, Р(В)=25/216, Р(А)>Р(В).
Вопросы
1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. B каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
б. Какое определение вероятности называют классическим?
§ 1.3. Комбинаторика и вероятность
Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только спс порядком, называются перестановками этик элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают через Рn; это число равно n! (читается эн-факториал):
Pn=n!, (1.3.1)
где
Pn! = 1*2*3*... n, (1.3.2.)
З а м е ч а н и е 1. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению полагaют 0! = 1.
Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой
Anm = n(n-1)(n-2)…(n-m+1). (1.3.3)
Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по т обозначают: Сnm или (nm ). Это число выражается формулой
Cnm = (1.3.4)
З а м е ч а н и е 2. По определению полагают C„° =1.
Для числа сочетаний спpаведливы равенства:
Cnm = Cnn-m, Cn+1m+1 = C n m + Cnm+1, (1.3.5)
С„°+Сn1 + Cn 2 + … + Cnn-1 + Cnn = 2n. (1.3.6)
Последнее равенство иногда формулируется в виде следующей теоремы o конечных множествах.
Число всех подмножеств множества, состоящего из из n элементов, равно 2".
Отметим, что числа перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством
Cnm =
З а м е ч а н и е 3. Выше предполагалось, что все n элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества c повторниями вычисляют по другим формулам.
Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вила, n2 элементов другого вида и т.д., то число gерестановок c повторениями определяется формулой
Pn(n1,n2,…,nn)= (1.3.7)
где n1+n2+...+nk =n.
Число размещений по m элементов c повторениями из п элементов равно nm , т. e.
(Anm)c повт = nm (1.3.8)
Число сочетаний c повторениями из n элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из n+m — 1 элементов по m элементов, т.e.
(Сn m )c повт = Cn+m-1 m. (1.3.9)
При решении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из множества объектов m способами, a другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно m + n способами.
Правило произведения. Если объект A можно выбрать из множества объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно вы брать n способами, то пара объектов (А, B) в указанном порядке может быть выбрана m * n способами.
Классическая схема подсчета вероятностей пригодна для решении ряда сугубо практических задач. Рассмотрим, например, некоторое множество элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным, или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет. Подобного рода ситуации опи-
сываются урновой схемой: в урне иместся N шаров, из них M голубых, (N-M) красных.
Из урны, содержащей N шаров, в которой находится ,M голубых шаров, извлекается n шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема n будет обнаружено m голубых шаров. Обозначим через А событие "в выборке объема n имеется т голубых шаров", тогда
П р и м е р 1. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три рaзличные должности из десяти кандидатов?
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (1.3.3). При n= 10, m= 3 получаем
П р и м е р 2. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
Р е ш е н и е. Согласно формуле (1.3.1) при n=5 находим
П p и м e p 3 . Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (1.3.4) находим
П р и м е р 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?
Р е ш е н и е. Здесь нужно найти число перестановок с повтoрениями, которое определяется формулой (1.3.7). При k = 2, n1 = 3, n2 = 3, n=6 по этой формуле получаем
П р и м е р 5. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах замок, ротор, топор, колокол?
Р е ш е н и е. В слове замок все буквы различны, всего их пять. В оответствии c формулой (1.3.1) получаем
Р5 =5!=1* 2* 3*4* 5=120.
B слове ротор, состоящем из пяти букв, буквы р и o повторяются дважды. Для подсчета различных перестановок применяем формулу (1.3.7). При n = 5, n1 = 2, n2 = 2 по этой формуле находим Р5(2;2)=
B слове топор буква o повторяется дважды, поэтому
Р5(2)=
B слове колокол, состоящем из семи букв, буква к встречается дважды, буква o - трижды, буква л - дважды. B соответствии c формулой (1.3.7) при n = 7, n1, = 2, n2 = 3, n3 = 2 получаем
P7(2;3;2)=
П p и м e p 6 . На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, M, H, C. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?
P е ш e н и e . Из пяти различных элементов можно составить Р5 перестановок: Р5 =1 *2*3 *4*5 =120 . Значит, всего равновозможных исходов будет 120, a благоприятствующих данному событию - только один. Следовательно,
formula
П р и м е р 7. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тop?
P e ш e н и е . Чтобы отличить одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р1, р2, о1, о2. Общее число элементарных исходов равно: A35 =5*4*3=60. Слово ротор получится в 1*2*2 = 4 случaяx (mo1p1, mo1p2,mo2p1,mo2p2). Искомая вероятнoсть равна
P= =
При подсчете числа благоприятных случаев здесь воспользовались правилом произведения: букву m можно выбрать одним способом, буквy o - двумя, букву p - двумя способами.
Пример 8. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант, - по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны . Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?
P e ш e н и e. Занумеруем карточки c буквами:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
а |
а |
л |
н |
т |
т |
Слово ,талант не изменится, если буквы a переставить местами, но по расположению карточек получится иная комбинация: т5 а2 л3 а1 н4 т6.
Если в каждой из эта двух комбинаций то же проделать c буквой т, то получим еще 2 различные комбинации карточек со словом талант. Значит, появлению слова талант благоприятствуют 4 элементарных исхода. Общее число равновозможных элементарных исходов равна числу пeрecтaновок из б элементов: n = б!= 720. Следовательно, искомая вероятность
Р= ==
З а м е ч а н и е. Эту вероятность можно найти и с помощью формулы (1.3.7), которая при n = б, n1= 1, n2 = 1, n3=2, n4= 2 принимает вид:
Р6 (1,1,2,2) = 180. Таким образом, P = 1/180.
П p и м e p 9 . На пяти одинаковых карточках написаны буквы на двух карточках л, на остальных трех u. Выкладывают наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии?
Р е ш е н и е . Найдем число перестановок из этик пяти букв c повторениями. По формуле (1.3.7) при n = 5, n1 = 2, n2 = 3 получаем
P5(2,3)==10
Это oбщeе число равновозможных исходов опыта, даному coбытию А-«появление слова лилии" благоприятствует один. B соответствии С формулой (1.2.1) получаем
P(A)==0,1
П р и м е р 10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятнocть того, что среди б взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Р е ш е н и е. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь б деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по б элементов ( С6 10).
Определяем число исходов, благоприятствующих событию A - "среди б взятых деталей 4 стандартных". Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять C47способами, при этом остальные б — 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7 = 3 нестандартных деталей можно С2 3 способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно C4 7*С2 3.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P(A)=====0,5
З а м е ч а н и е. Последняя формула является частным случаем формулы (1.3.10): N=10, М=7, n=б, m=4.
П р и м е р 1 1. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, рaзыгpывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.
Р е ш е н и е. Число всех равновозможных случаев распределения 5 билeтов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. С25 5 . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты , равно С15 3 . Каждая такая тройка может сочетаться c любой па-рой из десяти девушек, a число таких пар равно С10 2 . Следовательно, число групп по 5 студентов, образованных из группы в 25 студентов в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению С15 3*С10 2 . Это произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы так чтобы три билета получили юноши и два билета - девушки.
В соответствии c формулой (1.2.1) находим искомую вероятность
P(A)=
З а м е ч а н и е. Последняя формула является частным случаем формулы (1.3.10): N=25, M= 15, n=5, m=3.
П р и м е р 1 2. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают б шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара (событие А)?
Р е ш е н и е. В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет С30 6 . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствyющиx событию A. Три красных шара из 15 можно выбрать С15 3 способами, два голубых шара из 9 можно выбрать С9 2 способами, один зеленый из 6 – С6 1 способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию A, будет m = С15 3 *С9 2 *С6 1. По формуле (1.2.1) находим искомую вероятность
Р(А) =
Пример 13. B ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых.
Р е ш е н и е. Общее число элементарных исходов данного опыта равно числу сочетаний из 15 по 6, т.е.
С 615 =
Чисто благоприятных исходов равно произведению
C25 *C410 =
Искомая вероятность определяется формулой (1.3.10):
P=