Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Неопределённый интеграл
Интегрирование является обратной операцией по отношению к дифференцированию, так же как деление является обратной операцией по отношению к умножению, логарифмирование - обратной операцией по отношению к потенцированию и т.д.
Определение
Пусть в некоторой области определены две функции f (x) и F (x). Если выполнено равенство
F' (x) = f (x),
то f (x) называется производной от функции F (x), a F (x) - первообразной относительно функции f (x)
Пример 1. Найти первообразную F(x) функции f (x) = 2x и построить графики
Решение. Из таблицы производных находим, что F(x)=x2. Действительно, (x2)’=2x. Ниже на рисунке 1 представлены требуемые графики
Рис. 1
Ясно, что такая первообразная не единственна. Например, функция x2+5 также является первообразной относительно функции 2x. Более того, всякая функция вида
F (x) = x2 + С является первообразной относительно 2x, т.к. (х2 + С)' = 2х
Итак, справедливо утверждение:
Любая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную
Определение:
Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество первообразных:
∫ f (x) dx = F (x) + С
где F' (x) = f (x), С = const, х - переменная интегрирования, f (x) - подинтегральная функция, f (x) dx – подинтегральное выражение
Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
Действительно, по определению
что и требовалось доказать
2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной
В самом деле,
3. Постоянная выносится из под знака интеграла
Действительно, используя свойство 2, получаем
4. Интеграл суммы равен сумме интегралов с точностью до произвольной постоянной
В самом деле,
Для нахождения интегралов сложных функций удобно пользоваться заранее составленной таблицей наиболее употребительных в той или иной сфере научной деятельности интегралов простейших функций. Тогда поиск первообразной сводится к сведению заданного интеграла к одному или нескольким табличным интегралам
Таблица производных и интегралов
|
№ |
F’ (x) = f (x) |
|
|
1 |
||
|
2 |
||
|
3 4 |
|
|
|
5 6 |
|
|
|
7 8 |
|
|
|
9 10 |
= = |
|
|
11 12 |
= = |
|
|
13 |
||
|
14 |
||
|
15 |
Простейшие методы неопределенного интегрирования
Замена переменной под знаком интеграла проводится по формуле
(1)
Это следует из того, что
Применение формулы (1) слева направо называют подстановкой, а справа налево – подведением под дифференциал
Интегрирование по частям проводится по формуле
(2)
Эта формула вытекает из того, что . Проинтегрируем обе части этого равенства: . Требуемая формула получается с учетом свойства 2.
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Сделаем подстановку t=6x-5, dt=6dx. Получаем
Проверка:
Ответ:
Пример 3. Найти интеграл
Решение. Заведем сначала функцию 1/x, а потом функцию 1/lnx под знак дифференциала
Ответ:
Пример 4. Найти интеграл
Решение. Подведем cosx под знак дифференциала: cosx dx=dsinx. Отсюда получаем
Ответ:
Пример 5. Найти интеграл
Решение. Данный интеграл удобнее находить интегрированием по частям. Для этого примем, что u=x, dv=cosxdx. Далее по формуле (2)
Ответ:
Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция следующего вида
,
где Qm(x) и Рn(х) — многочлены степени m и п соответственно. Если m<n, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.
Любую неправильную дробь можно всегда преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной дроби, например, делением уголком.
Пример 6. Привести неправильную дробь к правильной дроби
Решение. Числитель данной дроби представим так: x+5=(x+1)+4. Далее
Дробь является правильной (m=0, n=1)
Пример 7. Привести неправильную дробь к правильной дроби
Решение. Числитель данной дроби разделим уголком на знаменатель:
Отсюда получаем следующее представление исходной функции через сумму квадратного многочлена и правильной функции:
Простейшими дробями называются дроби вида:
Дроби первого вида легко интегрируются непосредственно с помощью таблицы интегралов
Пример 8. Найти интеграл
Решение.
Пример 9. Найти интеграл
Решение.
Дроби второго вида в случае r=1 интегрируются так:
а) в числителе выделяется производная знаменателя
б) в знаменателе выделяется полный квадрат
В результате этих преобразований исходный интеграл распадается на два интеграла, которые достаточно легко сводятся к табличным интегралам
Пример 10. Найти интеграл
Решение. Сначала в числителе выделим производную знаменателя
Получаем следующее представление исходного интеграла:
Первый интеграл в полученном выражении равен логарифму от модуля знаменателя, т.е.
В общем случае справедливо равенство:
В частности, если g(x)=x, то получаем табличный интеграл (см. п. 4)
Найдем второй интеграл. Для этого в знаменателе выделим полный квадрат:
Второй интеграл в полученном выражении можно представить так:
Вычислим этот интеграл методом замены переменной
В общем случае справедливо равенство:
В частности, если a=1, то получаем табличный интеграл (см. п. 11)
Учитывая промежуточные результаты, окончательно получаем
Пример 11. Найти интеграл
Решение. По аналогии с предыдущим примером сначала в числителе выделим производную знаменателя
Получаем следующее представление исходного интеграла:
Первый интеграл в полученном выражении равен логарифму от модуля знаменателя, т.е.
Найдем второй интеграл. Для этого в знаменателе выделим полный квадрат:
Второй интеграл в полученном выражении можно представить так:
Вычислим этот интеграл методом замены переменной
В общем случае справедливо равенство:
В частности, если a=1, то получаем табличный интеграл (см. п. 13)
Учитывая промежуточные результаты, окончательно получаем
Дроби второго вида в случае r>1 интегрируются c помощью так называемых рекуррентных соотношений.
Итак, для вычисления интеграла от рациональной дроби
необходимо:
1) если функция неправильная, то преобразовать ее как правильную
2) разложить знаменатель на линейные или неприводимые квадратичные множители
в) записать правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами
г) приводя сумму простейших дробей к общему знаменателю, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов и решить ее
д) получить ответ с учетом вычисления интегралов от многочлена и простейших дробей
Пример 12. Вычислить интеграл:
Решение. Приводим заданную дробь к правильной дроби посредством деления многочленов уголком
Далее разложим знаменатель на линейные множители:
Теперь второе слагаемое можно представить так:
Полученную дробь можно разложить на сумму простейших дробей первого вида с неопределенными коэффициентами A, B, C:
Для отыскания этих коэффициентов найдем дополнительные множители:
Приравняем числители левой и правой частей:
Из высшей алгебры известно, что многочлены равны, если все коэффициенты в них при соответствующих степенях между собой равны.
Приравняем коэффициенты при степенях x2, x, 1:
х2: А + В + С = 2
х1: 5А + 3В + 2С = 0
х0: 6А = - 1
Полученную систему решаем, например, по правилу Крамера. Для этого подсчитаем главный и три вспомогательных определителя.
В соответствии с правилом Крамера имеем:
Итак, неопределенные коэффициенты определены. Подставляя вместо них конкретные численные значения, получаем
Интегрирование иррациональных функций
Изучение методов интегрирования иррациональных выражений начнем со следующего примера, дополняющего таблицу интегралов
Пример 13. Показать, что
Решение. Убедиться в правильности первообразной можно, продифференцировав правую часть. Иначе говоря, можно показать, что
F ’(x) = f (x). В нашем примере необходимо показать, что
Действительно,
,
поскольку
Следовательно,
Некоторые приемы интегрирования иррациональных выражений
1. Сведение к табличным интегралам.
Пример14. Вычислить
Решение. Сведём данный интеграл к предыдущему
2. Замена переменных, приводящая к избавлению от иррациональности под знаком интеграла.
Рассмотрим интегралы вида:
Для рационализации (приведения подинтегральной функции к рациональному виду) необходимо сделать замену переменной
,
где m – наименьшее общее кратное.
Пример 4. Вычислить
3. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим интеграл,
в котором подинтегральная функция является рациональной функцией аргументов sinx и (или) cosx. Вычисление интеграла такого типа проводится при помощи универсальной тригонометрической подстановки:
Выразим sin x, cos х и dx через универсальную тригонометрическую подстановку, а именно,
sin x = 2 sin cos = 2 tg cos2 =
(здесь использована формула: )
cos x = cos2 - sin2 = 2 cos2 - 1 =
du =
Таким образом, универсальная тригонометрическая подстановка означает следующую замену переменной в интеграле:
Пример 5. Вычислить:
Решение.
Теперь рассмотрим тригонометрический интеграл специального вида:
Вычисление интегралов такого типа осуществляется более простыми подстановками по сравнению с универсальной тригонометрической подстановкой:
cos x = u, sin x dx = - du – если р + q нечётное
tg x = u, dx / cos2 x = du – если р + q чётное