Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 22
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы1 и обозначаются строчными буквами с двойным индексом: , где первый индекс () соответствует номеру строки, а второй индекс () – номеру столбца. Матрица размера может быть записана в одном из видов
либо
При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись .
Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называется треугольной.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – матрицей-столбцом. Обе такие матрицы называют также вектором.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается .
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядком матрицы.
Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональной матрицей
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается .
Матрица, полученная из исходной перестановкой строк со столбцами, называется транспонированной матрицей и обозначается :
.
Заметим, что .
В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.
1. Сравнение матриц. Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:
.
2. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:
.
3. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:
.
При сложении и умножении матриц на чило действуют все законы сложения и умножения.
4. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу строки на столбец:
Рис.1
А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты складываются. То есть, чтобы получить элемент матрицы надо каждый элемент −ой строки матрицы умножить на соответствующий по порядку элемент −го столбца и результаты сложить.
При записи знак умножения может быть опущен: .
Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную матрицу получаем квадратную матрицу.
Умножение матриц не коммутативно, т.е. в общем случае .
Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения:
Отметим также свойство умножения для транспонированных матриц
.
5. Возведение в степень. Для квадратных матриц определено возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом, очевидно, справедлив коммутативный закон умножения
.
►Пример 1.
а) Даны матрицы , .
Выполнить указанные действия:
1) указать размер матрицы ,
2) записать элемент матрицы ,
3) найти: а) транспонированную матрицу, б) матрицу ,
4) вычислить ,
5) вычислить ( - единичная матрица).
Решение.
1) Матрица имеет 3 строки и четыре столбца, следовательно, ее размер .
2) Элемент находится во второй строке и первом столбце матрицы :.
3) Транспонированная матрица получается из исходной, при замене строк на столбцы, а для записи матрицы необходимо все элементы матрицы умножить на три:
а) , б) .
4) Матрицы и имеют одинаковый размер, следовательно, их можно складывать
.
5) Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Следовательно, возможно умножение , При этом получаем матрицу , имеющую три строки и три столбца:
Аналогично возможно и умножение , получаем матрицу .
.
Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы необходимо взять единичную матрицу второго порядка
. ◄
Упражнения.
1. Даны матрицы:
Выполнить действия:
а) , б), в), г), д).
Ответы:
а), б), в), г), д).
Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера , вычисляемая по определенному правилу (см., например, ). Обозначается определитель одним из символов .
Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из одного числа, – равен самому числу:
.
Для определителей второго и третьего порядков имеем:
; (1)
. (2)
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):
Рис. 2
Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, соединенных на рисунке одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных простых схем не составлено, и для вычисления надо использовать упрощения, основанные на свойствах определителей.
Введем несколько важных понятий.
Минором определителя −го порядка называется определитель, полученный из данного вычеркиванием −ой строки и −го столбца.
Алгебраическим дополнением к элементу определителя называется выражение
.
Для вычисления определителя −го порядка справедливы рекуррентные формулы через определители ()−го порядка:
(3)
. (4)
Свойства определителей.
Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.
.
То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
►Пример 2. Вычислить определители:
1) , 2) , 3), 4) , 5) .
Решение.
1) Определитель вычислим по формуле (1) .
2) Определитель вычислим по формуле (2) и по формулам (3,4) . По формуле (2)
.
Для вычисления по формуле (3) возьмем вторую строку (выбор строки произволен) и вычислим миноры и алгебраические дополнения к элементам этой строки
.
.
По формуле (3) имеем .
3) Заметим, что в определителе во втором столбце имеется два нуля. Воспользуемся формулой (4) и выберем для разложения второй столбец
.
4) Определитель имеет треугольный вид, следовательно,
.
6) Определитель имеет пятый порядок. Разложение по элементам строки (столбца) приводит к четырем определителям четвертого порядка, что в свою очередь дает для каждого из них четыре определителя третьего порядка. Многовато! Воспользуемся пятым свойством определителей. Умножим первую строку на минус единицу и прибавим ее ко второй строке. Затем последовательно первую строку умножим на минус два и прибавим к третьей строке; первую строку умножим на минус три и прибавим к четвертой строке: первую строку умножим на минус четыре и прибавим ее к четвертой строке. Замечаем, что первая строка при наших действиях остается неизменной, поэтому все операции можно сделать за один шаг перехода. Договоримся условно записывать сделанные операции над равенством перехода. Получаем
Упражнения.
1. Вычислить определители:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ..
Ответы:
а) -12; б) 29; в) 87; г) 0; д) 48; е) 160; ж) 394.
Матрица называется обратной к квадратной матрице , если
,
где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица . Обратная матрица существует только в том случае, если , и ее элементы находятся по формуле
,
где - алгебраическое дополнение к элементу .
Внимание! Алгебраические дополнения вычисляются к элементам строки, а записываются в столбец.
Если , то матрица называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.
Обозначается обратная матрица , т.е.
,
при этом ее определитель .
Для невырожденных матриц и выполнены соотношения
,
.
Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:
или .
Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, указанные уравнения имеют различные решения.
При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.
, (5)
. (6)
►Пример 5. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу , если ; .
Решение.
Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. , если матрица невырожденная. Вычислим определитель матрицы :
.
Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:
Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу.
,. ◄
При вычислениях множитель лучше оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.
Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Ответы:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .
2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Ответы: а) ; б) ; в); г); д) .
Рангом матрицы (обозначение:) называется порядок отличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто базисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
- транспонирование;
- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;
- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
- перестановка строк (столбцов);
-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).
Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Переход от исходной матрицы к эквивалентной будем обозначать символом .
Используя выше перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.
►Пример 7. Найти ранг матрицы .
Решение.
Преобразуем матрицу:
Минор , а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, . ◄
При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.
Упражнения.
1. Найти ранг матриц:
а); б);
в); г). Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.
Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида
(7)
где − заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.
Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.
(8)
В противном случае линейная система называется неоднородной.
Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:
, (9)
при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.
Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.
Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы
– матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица-столбец свободных членов,
- матрица-столбец неизвестных.
Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения
,
а решение (9) в виде матрицы-столбца .
Матрица коэффициентов
называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,
называется расширенной матрицей системы.
Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.
Теорема Крамера.
Пусть дана система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных
(10)
Если определитель основной матрицы системы
, (11)
не равен нулю, то система имеет единственное решение и , где
Определители , получены из определителя (11) заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.
►Пример 8. По формулам Крамера найти решение системы уравнений
Решение.
Вычислим определители и найдем решение
Ответ: .◄
Упражнения.
Решить системы по формулам Крамера:
1) 2) 3)
Ответы: 1), 2), 3).
Система из уравнений с неизвестными (10) в матричной форме имеет вид (5)
,
где , ,.
Если матрица невырожденная, то система имеет единственное решение, которое вычисляется по формуле .
►Пример 9. С помощью обратной матрицы найти решение системы
Решение.
Проведем необходимые вычисления:
.
Ответ:. ◄
Упражнения.
Найти решение систем с помощью обратной матрицы:
а) б) в)
г) Ответы: а) ; б) ; в) г) .
Рассмотрим линейную систему общего вида:
Теорема Кронекера-Капелли.
Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы () был равен рангу расширенной матрицы ().
Пусть ==. Тогда верны следующие утверждения.
Следствие 1. Если ранг матрицы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение.
Следствие 2. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. При этом неизвестных, которые называются свободными, принимают произвольные значения. Говорят, что система имеет степеней свободы.
Метод Гаусса (исключение неизвестных) состоит в том, что с помощью умножения уравнений на ненулевые числа и сложения в первом уравнении оставляем все неизвестные, во втором на одно меньше, в третьем на два меньше и т.д. Эту операцию (назовем ее процедурой Гаусса) удобно проводить, используя матрицы.
Составим расширенную матрицу системы и отделим для удобства свободные члены вертикальной линией. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Элементарные преобразования матрицы проводим только для строк.
Умножая первую строку на соответствующие коэффициенты и прибавляя к лежащим ниже строкам, получим нули в первом столбце. Затем проделываем такую же процедуру со второй строкой, третьей и т.д., до предпоследней строки. В результате преобразований получаем матрицу, по которой можно записать систему, равносильную исходной.
Рассмотрим три ситуации, возникающие при исследовании линейных систем.
1) . Система несовместна.
►Пример 10.
Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение.
Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:
.
Как и в примере 2 над стрелочкой указаны выполняемые операции.
Для удобства вычислений переставим четвертую строку на место второй и за счет второй строки получим нули во втором столбце во всех строках ниже второй, а затем за счет третьей строки - в третьем столбце:
В четвертой строке легко было получить нули, умножив третью строку на минус единицу и прибавив ее к четвертой. Мы не упрощали вычислений, чтобы сохранить алгоритм получения нулей в нижележащих строках за один шаг.
По преобразованной матрице определяем ранги: ,, следовательно, данная система уравнений несовместна.
.
Ответ: система не имеет решений. ◄
2) . Система совместна и имеет единственное решение. В результате преобразований приходим к ступенчатой системе, решение которой легко находится.
►Пример 11. Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение.
Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:
Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. По преобразованной матрице составляем систему, равносильную исходной
Полученная система имеет ступенчатый вид и легко решается.
Ответ: .◄
3) . Система совместна, но имеет бесконечное множество решений. Это множество решений находим, перенося члены со свободными неизвестными в правую часть уравнений.
►Пример 12. Решить систему уравнений
Решение.
Преобразуем расширенную матрицу системы
.
Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы , число неизвестных равно пяти. Следовательно, система совместна, но имеет бесконечное множество решений. Число степеней свободы равно двум. Выберем свободными неизвестными и выразим через них:
отсюда получаем
Ответ запишем в виде вектора-столбца.
Ответ:. ◄
Упражнения.
Исследовать и решить системы уравнений:
1. Ответ: .
2. Ответ: .
3. Ответ: .
4. Ответ: .
Каждый студент выполняет задание при конкретных значениях и , которые определяются по номеру в журнале группы: −первая цифра номера по списку, − вторая. Если номер по списку однозначный .
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
№ |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
1. Вычислить определители:
, , .
2. Даны матрицы:
, , , .
Вычислить:
3. Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:
а) б)
4. Исследовать и решить системы уравнений:
а)
б)
в)
Рассмотрим применение табличного процессора EXCEL для работы с матрицами.
Табличный процессор EXCEL работает с числовыми матрицами и может осуществлять следующие операции:
Сложение матриц, умножение матриц на число, преобразование матрицы осуществляются с помощью строки формул. Для нахождения определителя транспонированной матрицы, обратной матрицы, а также умножение матриц следует пользоваться соответствующими встроенными функциями: МОПРЕД; ТРАСП; МОБР; МУМНОЖ., К сожалению, нет встроенной функции для определения ранга матрицы. Ранг придется находить переходом к эквивалентной матрице. Такой переход полезен и для исследования линейных систем.
Сложение матриц.
В ячейки введена матрица .
В ячейки введена матрица .
В ячейку введена формула и скопирована в диапазон .
Умножение матрицы на число.
В ячейки введена матрица ,
В ячейку введено число .
В ячейку введена формула и скопирована в диапазон .
Вычисление определителя, транспонирование, нахождение обратной матрицы.
Перечисленные операции проводятся с помощью соответствующих встроенных функций.
В ячейки введена матрица , в ячейки - матрица .
В ячейку введем формулу =МОПРЕД, заполним поле значений аргумента , получаем значение определителя матрицы .
При выполнения операций транспонирования, умножения матриц, нахождения обратной матрицы необходимо предварительно выделить диапазон ячеек для записи результата. Результат получается нажатием клавиш (ввод массива).
Пример. Вычислить обратную матрицу для .
Выделить диапазон ячеек для записи обратной матрицы.
Вызвать Мастер функций, выбрать имя функции МОБР, ввести в поле значений аргумента функций и нажать клавиши (ввод массива).
Пример. Умножить матрицы и . Определим размерность результата6 4*4, и выделим диапазон для записи умножения двух функций.
Вызвать Мастер функций, выбрать имя функции МУМНОЖ, Ввести в поле значений аргумента функций 1 первую матрицу для умножения , в поле 2 – вторую матрицу и нажать клавиши (ввод массива). В ячейках - результат умножения .
Преобразование матрицы в эквивалентную матрицу проведем, последовательно получая нули в первом, втором и т.д. столбцах ниже диагональных элементов.
В ячейки введем заданную матрицу.
Получим нули в первом столбце матрицы .
В ячейку введем формулу и скопируем ее в ячейки .
В ячейку введем формулу и скопируем ее в ячейки .
Аналогично получаем нули во втором столбце.
В ячейку введем формулу и скопируем ее в ячейку .
В ячейку введем формулу и скопируем ее в ячейки .
Вычисления прекращаются, так как мы получили нижележащие строки нулевые. Эквивалентная матрица имеет вид (нулевые строки отброшены)
|
1 |
1 |
2 |
1 |
-1 |
3 |
|
0 |
-2 |
-22 |
-6 |
16 |
-34 |
|
0 |
0 |
-1069 |
-291 |
807 |
-1646 |
.
Следовательно, ранг матрицы равен трем.
Табличный процессор EXCEL ориентирован на работу с числами. Однако существуют специализированные пакеты, например, MATHCAD MATHEMATICA в которых возможны символьные операции, и работа с такими пакетами значительно помогает решению задач и проведению исследований.
1 Элементами матрицы могут быть и другие математические объекты, при этом свойства, рассмотренные для числовых матриц, в основном сохраняются.