Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Матрицы, определители, системы уравнений
1.Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки.
2 Матрица называется треугольной, если
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
3 Матрица называется единичной, если
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .
4 Матрица называется квадратной, если
в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной
5 Матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов
6 При сложении двух матриц
Нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
7 При умножении матрицы на число Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
8 Суммой матрицы и матрицы будет матрица С, равная
9 Произведением матрицы на матрицу будет матрица С, равная
10
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
11 Алгебраическим дополнением элемента определителя любого порядка называется
его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:
то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
12 Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
.
13 Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
14 При умножении определителя любого порядка на число то все строки определителя умножатся на это же число
15.При перемене двух строк или столбцов местами в определителе его значение местами он меняет свой знак на обратный
16. Определитель любого порядка равен нулю, если ( свойства определителя)
Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
• Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.
Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю
17 Значение определителя любого порядка треугольного вида равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Система линейных алгебраических уравнений
называется неоднородной, если среди правых частей bi системы есть хоть одна, отличная от нуля
19 Система линейных алгебраических уравнений
называется однородной, если все правые части системы равны нулю
20 Система линейных алгебраических уравнений
может быть решена методом Гаусса, если ( m и n )
21 К элементарным преобразованиям матрицы относится
перестановка любых двух строк матрицы;
умножение любой строки на произвольное, отличное от нуля, число;
сложение любой строки с другой строкой , умноженной на произвольное число;
транспонирование матрицы.
22 Система линейных алгебраических уравнений
может быть решена методом Крамера, если ( m и n ) равны
23 Система трех линейных неоднородных уравнений либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений, если главный определитель этой системы:
Равен нулю и хотя бы один из дельта I не равен нулю
24 Система трех линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда главный определитель этой системы: не равен нулю
Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет ненулевые решения, если определитель этой системы: , то она имеет ненулевые решения.
25 Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет только нулевое решение, если определитель этой системы: не равен нулю
26 Для системы линейных алгебраических уравнений
дополнительным определителем переменной х2 является
27 Пусть -главный определитель, а -дополнительные определители системы уравнений
то по правилу Крамера система имеет бесконечное множество решений, если
28 Пусть -главный определитель, а -дополнительные определители системы уравнений
то по правилу Крамера система не имеет решения, если
29 Пусть -главный определитель, а -дополнительные определители системы уравнений
то система по правилу Крамера имеет единственное решение, если
Векторы и операции над ними
Вектором называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец
2 Два вектора называются коллинеарными, если лежат на одной или параллельных прямых
Длиной вектора называется (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:
Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.
Векторы и коллинеарны, если х1/х2=у1/у2=z1/z2
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю
Пусть - скалярное произведение векторов и .
Тогда для любого вектора справедливо соотношение (свойства скал. произв.)
Механический смысл скалярного произведения состоит в том, что работа равна произведению силы на перемещение
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что S = [a x b]
Векторным произведением двух векторов называется
Пусть - векторное произведение векторов и .
Тогда для любых векторов и справедливо (свойства вект. произв.)
Механический смысл скалярного произведения состоит в том, что работа равна произведению силы на перемещение
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что S = [a x b]
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю
Смешанным произведением трех векторов называется , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
17 Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: .
18 Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю
Прямая, плоскость
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид ,
Уравнение прямой на плоскости проходящей через точки
М1(х1 ; у1 ) и М2 (х2 ; у2 ) имеет вид .
3. Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид ,
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид
5. Если прямые и перпедикулярны, то А1А2+В1В2
6. Если прямые и параллельны, то
7. Если прямые и параллельны, то их угловые коэффициенты равны k1 = k2
8. Если прямые и перпендикулярны, то их угловые коэффициенты k1k2 = -1
9. Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид ax + by + cz + d = 0.
10 Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, имеет вид
.
11 Угол между плоскостями и определяется по формуле
12 Если плоскости и параллельны, то векторы лежащие на них тоже параллельны
13 Если плоскости и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов лежащих на плоскостях равно нулю
14 Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид ,
15 Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид
16 Угол между плоскостью и прямой
определяется по формуле