У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 27.4.2025

"Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта"

Соиск. Дзарахохов А.В.

Кафедра математики.

Горский государственный аграрный университет

Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.

Рассмотрим уравнение

 (1)

в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых  соответственно и характеристиками

уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция.

Пусть  – параболическая,  - гиперболическая области Ω,  - интервал прямой y=0.

ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение

уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

, (2)

, (3)

где  - непрерывные, а  - дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем

. (4)

Решение задачи Коши  для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]:

, (5)

где .

Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим

. (6)

В равенстве (6) сделаем замену

.

В результате получим

.

Заменяя в последнем равенстве x через , получаем:

. (7)

Из равенства (7) находим

, (8)

где .

Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно , получаем [2]:

. (9)

Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:

. (10)

Рассмотрим

.

Произведя замену переменных  в последнем равенстве, получим

. На основании равенства [3]

будем иметь

. (11)

Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между  и , привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:

. (12)

При m = 0 оно принимает вид:

. (13)

Устремляя  из Ω1, получаем функциональное соотношение между  и , привносимое на линию y = 0 в виде:

. (14)

В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14)  и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче

, (15)

. (16)

Решение (15), (16) представим в виде:

, (17)

где обозначено

.

Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем . Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем .

После определения  в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и . Нетрудно убедиться, что решение  этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению

, (18)

где

 – функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции  получаем интегральное уравнение

 (19)

с ядром

и правой частью .

Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве .

ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия:

, (20)

. (21)

Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию  однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям

.

Пользуясь функцией Грина  второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение  задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению

, (22)

где .

Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно  и :

 (23)

,

,

,

.

В силу свойства функции Грина  и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве  [4].

Пусть теперь m > 0. Исключая  из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно :

, (24)

удовлетворяющее граничному условию

 (25)

в случае задачи 1 и нелокальному условию

 (26)

в случае задачи 2.

Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем:

 (27)

Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):

. (28)

Учитывая равенство (28) в (27), получаем:

 (29)

где

. (30)

Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим

,

.

Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь:

Откуда заключаем, что . Таким образом, относительно  получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

, (31)

4 Труды молодых ученых  № 3,  2007 где

.

Так как , то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь

, (31)

где

Полагая в равенстве (31) х=х0 и х=1, однозначно определим

,

, если выполнены условия

.

После определения функции  в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и , которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5).

Список литературы

Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1959.

Трикоми Ф.О. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947.

Мюнтц Г. Интегральные уравнения //Л.-Н.ГТТИ. 1934. Т1.

Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журнал. Киев, 1995. Т.47, №12.




1. SMM или маркетинг в социальных медиа
2. Лесная быль АНАПА Витязево Гостевой дом
3. Тема 29 Учёт затрат на производство
4. Крихітка Цахес
5. ОПАСНЫЕ ОБЪЕКТЫ Радиационноопасными называют объекты народного хозяйства использующие в своей деятельн
6. Интродукция как фактор сохранения биоразнообразия растительного мира Павлодарской области
7. Гражданско патриотическое воспитание школьников
8. Современный экологический кризис
9. Предположим слайд содержит диаграмму отображающую продажу
10. Курсовая работа- Компютерна графіка