Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція №3
Сила тиску рідини на плоску фігуру. Центр тиску. Сила тиску рідини на горизонтальну поверхню. Гідростатичний парадокс. Сила тиску рідини на плоску прямокутну стінку. Закон Архімеда
3.1 Сила тиску рідини на плоску фігуру. Центр тиску
Сила тиску рідини на плоску фігуру
У багатьох технічних задачах необхідно визначати не тільки тиск рідини в окремих точках, але й загальну силу тиску рідини на стінки, які її обмежують. Розглянемо визначення сили тиску рідини на плоску поверхню площею F довільної форми, яка є частиною площини, що нахилена під кутом α до горизонту (рис. 3.1). Для зручності похила площина повернена на 900 і суміщена з площиною рисунку.
Рис. 3.1
Рідина тисне на точки площини F неоднаково: у верхніх точках тиск менший, а у нижніх – більший. Тому для визначення загальної сили тиску на плоску поверхню необхідно визначити елементарну силу тиску dP на нескінченно малу площину dF, розташовану біля точки з глибиною занурення h, а потім отриманий вираз проінтегрувати по всій площі F.
Сила dP, яка діє на нескінченно малу площину dF
dP = p dF
Враховуючи, що згідно з основним рівнянням гідростатики p = ρ g h, отримаємо
dP = ρ g h dF
Підставивши h = y sinα, отримаємо
dP = ρ g y sinα dF
Проінтегруємо останній вираз по площі F
(3.1)
З курсу теоретичної механіки відомо, що інтеграл у формулі (3.1) є статичним моментом площі F відносно осі Оx.
Цей статичний момент SX дорівнює добутку площі F на відстань yc від осі Оx до центру тяжіння С площини
SX = yC F
Підставивши значення Sx у вираз (3.1) отримаємо
P = ρ g sinα yC F
Враховуючи, що в останньому рівнянні hC = yC sinα є глибиною занурення центра тяжіння С площини, отримаємо
P = ρ g hC F (3.2)
Позначивши pC = ρ g hC – манометричний (надлишковий) тиск у центрі тяжіння плоскої поверхні, рівняння (3.2) перетворимо до вигляду
P = pC F (3.3)
З рівняння (3.3) випливає, що сила тиску рідини на плоску поверхню (за умови рівності тиску на її вільній поверхні p0 атмосферному) дорівнює добутку тиску у її центрі тяжіння на площу поверхні. Це рівняння використовується в інженерній практиці при розрахунку відкритих ємностей для зберігання різних рідин.
Якщо на вільну поверхню рідини діє тиск p0, то сила абсолютного гідростатичного тиску рідини на занурену плоску похилу поверхню визначиться за співвідношенням
P = (p0 + pC) F (3.4)
Центр тиску
Для повної уяви про дію сили тиску на елементи гідротехнічних споруд, крім величини і напрямку сил, необхідно також знати точку D (рис. 3.1) прикладання рівнодіючої усіх елементарних сил тиску. Ця точка називається центром сил тиску. Паралельні сили dP, що діють на елементарні площини dF, замінимо рівнодійною силою PР. Визначимо, на якій відстані yD від вільної поверхні рідини вздовж площини стінки, є точка D прикладання сил надлишкового тиску (вважаємо тиск на вільній поверхні рідини атмосферним).
З теоретичної механіки відомо, що момент рівнодіючої сили відносно довільної осі дорівнює сумі моментів складових сил відносно тієї ж осі. Вибравши за вісь моментів Ox отримаємо
У рівнянні (3.5) окремі члени дорівнюють:
PР = ρ g hC F = ρ g yC sinα F; dP = ρ g y sinα dF
Підставивши ці значення у рівняння (3.5) і поділивши обидві його частини на ρ g sinα отримаємо
Права частина рівняння (3.6) є моментом інерції IX плоскої поверхні відносно осі Ox. Застосуємо формулу переходу моменту інерції IX до осі xC, яка проходить через центр тяжіння
Підставивши (3.7) у (3.6) отримаємо
yD = yC + IC /(yC F) (3.8)
Рівняння (3.8) показує, що центр тиску не збігається з центром тяжіння поверхні, а лежить нижче від нього на величину IC /(yC F).
3.2 Сила тиску рідини на горизонтальну поверхню. Гідростатичний парадокс. Сила тиску рідини на плоску прямокутну стінку
Сила тиску рідини на горизонтальну поверхню
Усі точки горизонтальної площини знаходяться під однаковим тиском з боку рідини, бо знаходяться на однаковій глибині h. Внаслідок цього, сила тиску на горизонтальну площину (наприклад, дно посудини) дорівнює добутку площі поверхні F на гідростатичний тиск у довільній точці площини:
Pабс. = pабс. F = (p0 + ρ g h) F
Коли тиск на вільній поверхні дорівнює атмосферному (p0 = pат.), рівняння для визначення сили тиску набуває вигляду:
P = ρ g h F, (3.9)
Гідростатичний парадокс
Рівняння (3.9) показує, що сили тиску рідини на горизонтальну поверхню відповідає вазі стовпа рідини з основою F і висотою h до вільної поверхні. З цієї формули також видно, що у посудинах різної форми, але однаковою площею дна, заповнених рідиною на однакову висоту (рис. 3.2), сила тиску рідини на дно є однаковою. Це явище прийнято називати гідростатичним парадоксом.
Рис. 3.2
Зауважимо, що вага рідини в ємностях, зображених на рис. 3.2, і реакції опор, на які спираються посудини, будуть різними.
Сила тиску рідини на плоску прямокутну стінку
Розглянемо вертикально розташовану плоску прямокутну стінку розміром b * H, висота H якої знаходиться на рівні вільної поверхні рідини (рис. 3.3). Центр ваги стінки знаходиться у точці С з координатою hC = H/2, а її площа дорівнює F = b * H. Для визначення силу тиску рідини густиною ρ на цю стінку використаємо формулу (3.3):
P = pC F = ρ g (H/2) b H = 0,5 ρ g b H2
Рис. 3.3
За (3.8) знайдемо координату центру прикладання D цієї сили, враховуючи що yC = hC = H/2, а момент інерції прямокутної площини відносно осі xC, яка проходить через центр тяжіння становить IC = (b H3)/12:
yD = H/2 + (b H3) 2 /12 H b H = (2/3) H
3.3 Закон Архімеда
Розглянемо силу тиску рідини на занурене в неї тіло довільної форми об’ємом V (рис. 3.4). Уявімо, що в рідині виділений такий же об’єм V, який займає занурене тіло. Цей об’єм знаходиться у рівновазі тільки під дією двох сил – сили тяжіння рідини G = m g, яка направлена вниз та сили тиску рідини P на поверхню виділеного об’єму. Отже, сила P направлена у протилежну сторону і прикладена до центру тяжіння D об’єму рідини.
Рис. 3.4
Таким чином, на занурене у рідину тіло діє сила виштовхування, спрямована вертикально вгору і рівна вазі рідини в об’ємі тіла. Це положення називається законом Архімеда.
Вага рідини в об’ємі зануреної у неї частини тіла називається водотоннажністю, а центр тяжіння цього об’єму D – центром водотоннажності.
Коли вага тіла G > P, то тіло тоне; при G = P тіло знаходиться у стані спокою на тій глибині, на яку його занурено. Якщо G < P, то тіло випливає, і коли його частина почне підійматися над поверхнею рідини, об’єм виштовхнутої тілом рідини зменшиться від V до об’єму зануреної частини тіла Vзан.. При цьому зменшується сила виштовхування P, і випливання зупиниться, коли ця сила дорівнюватиме вазі тіла. Отже, G = ρрід. g Vзан – умова плавання тіла. З цієї умови розраховують поплавкові пристрої сантехнічного обладнання.
Контрольні запитання до лекції №2