Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
[Лекция 16]
5.3. Свойства условной плотности вероятностей одномерных стохастических процессов
Переходная функция для марковского стохастического процесса обладает рядом определяющих свойств, которые объединим в следующую группу свойств.
Свойства А. Для переходной функции плотности вероятностей выполнены свойства (5.1)-(5.3), (5.5), (5.11)-(5.13), где величины равномерно стремятся к нулю при на множестве , а функция ограничена на при любом фиксированном , то есть . Функция достаточно гладкая функция своих аргументов. ■
Докажем две леммы, которые характеризуют некоторые свойства переходной функции марковского процесса.
Лемма 5.1. Пусть:
полнены свойства А;
раниченности:
, . (5.24)
Тогда
, (5.25)
где величина равномерно стремится к нулю при на множестве .
Доказательство. Преобразуем , используя свойство (5.3):
, (5.26)
где
, (5.27)
- произвольная положительная постоянная.
Оценим интеграл , используя ограниченность функции и формулу (5.11):
.
Таким образом, показано, что
. (5.28)
В дальнейшем все вводимые величины вида равномерно стремятся к нулю при на множестве .
Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности точки , используя остаточный член в форме Коши [6, с. 124]:
,
.
Подставляя в (5.27), представим интеграл в виде: , где
,
. (5.29)
Воспользуемся формулами (5.12), (5.13), тогда
.
Так как функции , ограничены, то .
. (5.30)
Оценим интеграл (5.29), используя ограниченность функций , и формулу (5.13):
. (5.31)
Далее оценим следующее выражение, основываясь на формулах (5.26), (5.28), (5.30), (5.31):
Так как величины равномерно стремятся к нулю при , то для , такое, что если , то .
Таким образом, по найдено такое, что если , то , где постоянные , не зависят от . Что доказывает формулу (5.25). ■
Следствие 5.1. Переходя к пределу при в равенстве (5.25), получим
. ■ (5.32)
Лемма 5.2. Пусть:
полнены свойства А;
ных и :
, (5.33)
где не зависит от и ;
3) пусть ;
; (5.34)
(5.35)
на любом интервале . Тогда
. (5.36)
Доказательство. Рассмотрим произвольную финитную функцию . Функция - финитная, если существует интервал , вне которого функция тождественно равна нулю. Очевидно, что для такой функции выполнены условия ограниченности (5.24). В связи с этим выполнены все исходные условия леммы 5.1. Откуда следует соотношение (5.25):
, (5.37)
где величина равномерно стремится к нулю при на множестве . Это означает, что для , ( не зависит от ), что при
. (5.38)
Умножим (5.37) на функцию и проинтегрируем по , тогда
,
где .
Используя (5.34) , (5.38), оценим величину
Таким образом, для найдено , что если , то .
Это означает, что при , то есть
(5.39)
Заметим, что интеграл равномерно сходится на множестве . Действительно, используя признак Вейерштрасса, [6, с. 529], и неравенства (5.24), (5.33), (5.34), оценим интеграл
.
Равномерная сходимость позволяет поменять порядок интегрирования [6, с. 535] в левой части равенства (5.39). Получим
. (5.40)
В силу равномерной сходимости в (5.35) перейдем к пределу в равенстве (5.40) под знаком интеграла [6, с. 521]. Тогда
.
Интегрируя справа по частям, получим равенство
.
Функция непрерывная, так как в (5.35) сходимость равномерная. В силу произвольности функции и непрерывности подынтегральных выражений получим требуемое тождество (5.36), опустив интегралы в предыдущем равенстве. ■
5.4. Свойства условной плотности
вероятностей двухмерных стохастических процессов
Приведем две леммы, которые характеризуют некоторые предельные соотношения для двухмерной переходной функции плотности вероятностей, обобщающие формулы (5.25), (5.35), (5.36) для одномерного стохастического процесса.
Лемма 5.3. Пусть:
1) для плотности вероятностей выполнены условия (5.18), (5.20), где величины равномерно стремятся к нулю при на множестве а функции , ограничены на , то есть ;
2) для произвольной функции выполнены условия ограниченности для всех производных до третьего порядка включительно:
, , … , , . (5.41)
Тогда имеет место соотношение
, (5.42)
где
, (5.43)
величина равномерно стремится к нулю при на множестве .
Доказательство.
Преобразуем интеграл , используя свойство (5.18):
, (5.44)
где
, ,
– круг произвольного радиуса .
Оценим интеграл , используя ограниченность функции и первую формулу (5.20):
.
Таким образом показано, что
. (5.45)
В дальнейшем все вводимые величины вида равномерно стремятся к нулю при на множестве .
Разложим функцию по формуле Тейлора в окрестности точки , используя остаточный член в форме Лагранжа [6, стр. 175]:
, (5.46)
где
,
, , , .
Используя (5.46), представим интеграл в виде , где
,
. (5.47)
Воспользуемся формулами (5.20), тогда
.
Так как производные от функции ограничены (см. (5.41), то
.
Таким образом,
. (5.48)
Оценим интеграл (5.47), используя ограниченность третьих производных (5.41) функции и формулы (5.20). Так как , , то
,
где , .
Учитывая ограниченность функций , , получим оценку
. (5.49)
Далее оценим следующее выражение, основываясь на формулах (5.45), (5.48), (5.49):
.
Так как величины равномерно стремятся к нулю при , то для , такое, что если , то.
Для найдено такое, что если , то
,
где постоянные , не зависят от и , что доказывает формулу (5.42). ■
Следствие 5.2. Переходя к пределу при в равенстве (5.42), получим
. ■ (5.50)
Лемма 5.4. Пусть:
1) для плотности вероятностей выполнены условия (5.18), (5.20), где величины равномерно стремятся к нулю при на множестве , функция непрерывна и ограничена при фиксированных и :
,
где не зависит от ;
2) функции , , где функции ограничены на множестве ;
3) для функции существует равномерный предел
(5.51)
на любом прямоугольнике .
Тогда
, (5.52)
где – дифференциальный оператор, сопряженный к дифференциальному оператору (5.43). ■
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 5.2.
154