Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Векторная алгебра и анализ
2.2. Векторная алгебра, аналитическая геометрия
Автор Л.Ю. Трояновская.
Лекция 8. Плоскость и прямая в пространстве.
Содержание:
Определение 1. Уравнением данной поверхности в декартовой системе координат называется такое уравнение , что ему удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на этой поверхности.
С помощью уравнения поверхности можно исследовать ее форму и ориентацию в пространстве не геометрически, а аналитически. Уравнение поверхности отражает некоторое, общее для всех точек данной поверхности, свойство.
Самая простая поверхность – это плоскость.
Чтобы составить уравнение плоскости, отражающее некоторое общее свойство точек данной плоскости, нужно это свойство сформулировать.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .
Решение.
Возьмем произвольную точку и потребуем, чтобы она тоже лежала на данной плоскости. Для этого построим три вектора, исходящие из одной точки:
,
.
Тогда, чтобы все три вектора (а, значит, и все четыре точки) лежали в одной плоскости, должно выполняться условие компланарности трех векторов:
.
Т.о., все точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, лежат на той же плоскости, что и точки . Следовательно,
− уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Пример.
Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точки .
Решение.
,
.
Уравнение запишется так:
− разложим определитель по первой строке:
− умножим обе части уравнения на (-1), получим
Ответ: Р: .
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Задача 2. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение.
Возьмем точку М с произвольными координатами (х, у, z) и потребуем, чтобы эта точка лежала на той же плоскости, что и точка . Для этого построим вектор. Т.к. вектор перпендикулярен плоскости, то он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости.
Запишем условие ортогональности двух векторов:
− это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Раскроем скобки и приведем подобные:
− общее уравнение плоскости.
Здесь А, В, С – координаты вектора, перпендикулярного плоскости.
Определение 2. Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором (или ее вектором нормали). Обозначение: .
Все векторы нормали к одной плоскости коллинеарны.
Пример.
Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если К( 0, 2, 1), Н( 2, 3, 7).
Решение.
Воспользуемся уравнением . Здесь А, В, С – координаты вектора , а − координаты точки М. Получим
. Приводя подобные, получим
.
Ответ: .
Нормальное уравнение плоскости.
Задача 3. Составить уравнение плоскости Р, проходящей на расстоянии ρ от начала координат в направлении перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость и имеющего с координатными осями углы α, β, γ соответственно.
Решение.
Единичный вектор перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость Р − это вектор . Его координаты – направляющие косинусы этого перпендикуляра, т.е., . Выберем на плоскости произвольную точку . Вектор, соединяющий начало координат с этой точкой называется ее радиус-вектором и имеет те же координаты . Не зависимо от положения точки М на плоскости, проекция ее радиус-вектора на вектор всегда равна ρ. Имеем: , но , следовательно, . Окончательно:
− нормальное уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному виду, умножив обе части равенства на нормирующий множитель . Здесь − это функция, значение которой равно -1, если D ‹ 0, и равно 1, если D › 0. Другими словами, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена общего уравнения.
Пример.
Записать уравнение плоскости 2x + y −z+5=0 в нормальном виде.
Решение.
Нормирующий множитель равен
− это ответ.
Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на координатных осях.
Задача 4. Изобразить на чертеже плоскость, отсекающую на осях координат отрезки а, b и с соответственно.
Решение.
Плоскость − объект бесконечный и изобразить ее всю невозможно, но можно построить линии пересечения с координатными плоскостями, т.к. известны точки пересечении данной плоскости с координатными осями − это и . Подставим координаты этих точек в уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Получим
.
Вычислив определитель, получим . Перенесем в правую часть и разделим на обе части равенства, получим − уравнение плоскости в отрезках.
Пример.
Изобразить на чертеже плоскость .
Решение.
Перейдем к уравнению в отрезках:
разделим обе части на 6
, следовательно, плоскость пересекает координатные оси в точках .
Ответ:
Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве характеризуется взаимным расположением их нормальных векторов. Пусть заданы две плоскости и . Их векторы нормали, соответственно, и .
Тогда:
Пример.
Найти угол между плоскостями и .
Решение.
, следовательно,
.
.
Ответ: .
Определение 3. Линией в пространстве называется линия пересечения двух поверхностей, а уравнением линии называется такая система уравнений
,
что ей удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на этой линии (т.е., координаты точек, одновременно принадлежащих обеим поверхностям).
При пересечении двух плоскостей в пространстве получается прямая линия.
Пря мая линия бесконечна, поэтому для анализа ее положения в пространстве вводится понятие направляющего вектора.
Определение 4. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой или параллельный ей. Обозначение: .
Общие уравнения прямой.
Задача 1. Найти линию пересечения двух плоскостей.
Решение.
Если линия образована пересечением двух плоскостей и , то система − это общие уравнения прямой.
За направляющий вектор этой прямой можно принять векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей .
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей данной прямой, одну из координат задаем произвольно, например, z=0, а остальные находим из общих уравнений.
Пример.
Найти направляющий вектор и произвольную точку прямой .
Решение.
Пусть z =0. Потребуем, чтобы точка . Подставим координаты точки в общие уравнения. Получим
Ответ: .
Канонические уравнения прямой.
Задача 2. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку параллельно вектору .
Решение.
На прямой выберем произвольную точку и построим вектор . Запишем условие коллинеарности векторов − это канонические уравнения прямой.
Пример.
Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
Решение.
.
Параметрические уравнения прямой.
Задача 3. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
Решение.
Запишем канонические уравнения этой прямой:
т.к. все дроби равны, их можно обозначить одной буквой: . Тогда получим:
− параметрические уравнения прямой.
Уравнение линии, проходящей через две заданные точки.
Задача 4. Найти прямую, проходящую через две заданные точки и .
Решение.
Воспользуемся каноническими уравнениями. За направляющий вектор можно принять вектор, лежащий на прямой – вектор , аза точку принять, например, точку . Получим:
− уравнение линии, проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве характеризуется взаимным расположением их направляющих векторов. Пусть заданы две линии: и . Тогда:
Взаимное расположение прямой линии и плоскости в пространстве определяется взаимным расположением их направляющего и нормального векторов.
c
b
a
Z
z
y
Y
Х
О
О
М
γ
β
α
Р
z
у
х
М
Р
Р
L
-2
6
z
y
О
3
х