ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра физики

ЕН.Ф.03 ФИЗИКА

ЕН.Ф.03 ФИЗИКА И БИОФИЗИКА

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Уфа  2006

УДК 531

ББК 22.21

Л 12

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета электрификации и автоматизации с/х (протокол №   3    от   30     ноября    200  6   года)

Составитель:  доцент Амирханов Н.М.

Рецензент:  доцент кафедры ТОЭ Желтоухов А.И.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой физики Юмагужин Р.Ю.

Практикум предназначен для всех направлений и специальностей подготовки дипломированных специалистов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Введение	4
1	Лабораторная работа №1 Изучение законов сохранения импульса и энергии. Определение скорости пули методом баллистического маятника	5
2	Лабораторная работа №2 Изучение вращательного движения и определение моментов инерции тел	12
3	Лабораторная работа №3 Определение коэффициента трения	22
4	Лабораторная работа №4 Изучение гармонических колебаний математического маятника и определение ускорения свободного падения тел	28
5	Лабораторная работа №5 Изучение свободных колебаний пружинного маятника	34
6	Лабораторная работа №6 Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника и моментов инерции маятника	42
	Библиографический список	51
	Приложение А. Таблица коэффициентов Стьюдента tp,n	51

Введение

Практикум содержит описания 6 лабораторных работ по механике – науке о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними.

Перед занятием студент обязан:

 – ознакомиться предварительно с общими сведениями (раздел 1 лабораторной работы) и составить конспект по теоретическому материалу, указанному в начале раздела 3. При этом следует ориентироваться на контрольные вопросы (раздел 4);

 – включить в конспект описание и схему установки, краткий вывод расчетной формулы (раздел 2);

 – из раздела 3 «Порядок выполнения …» следует перечертить таблицы для результатов измерений, выписать необходимые формулы для расчета как физических величин, так и их погрешностей (при этом не следует переписывать пошаговые инструкции);

 – подготовиться к допуску к лабораторной работе по конспекту.

Практикум соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и предназначен для студентов всех направлений, изучающих курс физики.

При выполнении лабораторной работы ряд рисунков и обозначений, приведенных в практикуме, может не совпадать с используемым оборудованием  в связи с его модернизацией.

Сборник составлен на основе методических указаний, разработанных преподавателями кафедры физики БГАУ Белобородовой Н.Н., Дусыевым В.М., Лотником С.В., Посняком В.К., Фахретдиновой Э.Ш., Юмагужиным Р.Ю.

Лабораторная работа № 1

Изучение законов сохранения импульса и энергии.  Определение скорости пули методом баллистического маятника

Цель и задачи работы: Изучение законов сохранения импульса, энергии. Экспериментальное определение скорости полета пули.

1 Общие сведения

Пусть тело с массой  m движется со скоростью  . Тогда это движение можно охарактеризовать двумя физическими величинами:   импульсом p = m и  кинетической энергией Wкин = . Кроме того тело, поднятое на высоту h над землей (нулевым уровнем), приобретает потенциальную энергию, равную Wпот = mgh . Сумма кинетической и потенциальной энергий есть полная механическая энергия тела W = Wкин + Wпот .

Система  n  тел называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы, при этом тела, входящие в систему, могут взаимодействовать между собой, т.е. на тела могут действовать внутренние силы.

Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса: сумма импульсов тел замкнутой системы во времени не изменяется

P = m1 + m2 + … + mn = const.

Для системы  n  тел (не обязательно замкнутой) выполняется закон сохранения механической энергии, если на нее действуют только консервативные (внешние и внутренние) силы (например, силы тяжести, упругости):

W = W1 + W2 + … + Wn = const.

Такие системы называются консервативными.

При наличии внешних неконсервативных сил (например, силы трения) полная механическая энергия системы будет изменяться на величину работы этих сил: Wнезамк = Aнеконс.

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

В комплект лабораторной установки входят баллистический маятник, пневматическое ружье, пуля, весы, мерная линейка.

Баллистический маятник (рисунок 1) представляет собой тело 2 с массой  M, свободно подвешенное на нерастяжимой нити.

Рисунок 1 Схема лабораторной установки

Вылетевшая из воздушного ружья пуля 1, имея скорость , ударяет в центр маятника 2 (центральный удар). Предполагается, что пуля 1 и тело 2 составляют замкнутую систему. Если в результате удара пуля застревает в теле 2 (абсолютно неупругий удар), система начинает двигаться как единое целое с массой M + m со скоростью 2. Для абсолютно неупругого удара справедлив закон сохранения импульса:

m + M1 = (M + m)2,                              ()

или в скалярной форме

m + M1 = (M + m)2,

где       m + M1  – импульс системы до удара;

(M + m)2 – импульс системы после удара;

Маятника до удара покоился: 1 =0, тогда m=(M + m)2,а так как M>>m, то m = M2 ,

отсюда   

.                                         ()

Таким образом, в результате удара система «M + m»  приобретает кинетическую энергию, с учетом (2):

 Wкин = = .                                  ()

Обладая кинетической энергией (3), маятник (система «M + m») максимально отклоняется от вертикали на угол , при котором центр масс системы из положения  С1 поднимается на высоту h  до остановки (положение С2), так что вся кинетическая энергия (3) системы переходит в потенциальную энергию, равную

Wпот = (M + m)  g h.

Из закона сохранения энергии для замкнутой системы следует  Wкин = Wпот  или .

Упрощая уравнение, получаем.

Отсюда скорость пули:

 .                                    ()

Величины m и M определяются взвешиванием, неопределенным в (4) остается параметр  h.   Из рисунка 1 следует

h = DC1 = OC1 – OD = OC1 – OC2cos   = l (1 – cos ),

где  OC1 = OC2 = l  – длина нити. Заменяя 1 – cos = 2sin2 /2, получаем h = l  2sin2 /2 .

На данной установке отклонение маятника мало (угол  меньше 45), следовательно  sin /2  /2  и     

h = 2l  ( /2 )2.                                       ()

При выполнении опыта измерение угла    невозможно, поэтому выразим его через отклонение b. Как следует из рисунка 1   или . Тогда из (5) следует  .

Подставляя последнее выражение в (4), окончательно получаем зависимость для скорости пули

 .                                                                ()

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

3.1 Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей:  /1/ С.30-34, 53-62;

- для инженерных специальностей: /2/ С.19-21, 27-34; /3/ С.74-75, 95-97, 98-105.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.2 Измерить массу пулиm взвешиванием, погрешность   m = mинс, где mинс – инструментальная погрешность. Масса маятника M  и её погрешность M указаны на лабораторной установке.

Поскольку средние значения и погрешности величин масс m, m, M, M  входят в расчетные формулы (6) и (7) в отношениях друг к другу, то все они, при занесении в таблицу 1, должны быть указаны в одинаковых единицах измерения – либо в кг, либо допускается в г.

3.3 Измерить длину подвеса l. Абсолютную погрешность l взять равной погрешности попадания пули в центр маятника при выстреле из ружья: l = 0,005 м.

Занести в таблицу 1 значение g  g. Здесь g – абсолютная погрешность табличной величины g составляет половину от точности ее представления C: g = C / 2.

Например, если в работе берется значение g = 9,8 м/с2, то точность ее представления C = 0,1 м/с2, тогда g = 0,05 м/с2. Или, если берется g = 9,81 м/с2, то C = 0,01 м/с2, тогда g = 0,005 м/с2.

3.4 Вначале эксперимента отметить по шкале 3 положение стрелки 4 при неподвижном состоянии тела 2.

3.5 Произвести выстрел из воздушного ружья строго в центр маятника 2, отметить отклонение b маятника по шкале 3. Занести значение b в таблицу 2.

Опыт повторить не менее 5 раз.

Таблица 1 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
M  M, г	m  m, г	g  g, м/с2	l  l, м
		9,81  0,005

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
№ п/п	bi	bi	(bi)2		
1
2
3
4
5
средние значения				—	—

3.6 Вычислить среднее значение отклонения , где n = 5 – количество опытов; абсолютные погрешности каждого измерения bi = |b – bi |; квадраты этих погрешностей (bi)2. Найти сумму квадратов .

3.7 На основании известных уже величин M,m,b, g,l, вычислить среднее значение скорости пули  по формуле (6).

3.8 Рассчитать среднеквадратическое отклонение:

.

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти tp,n для n=5 и выбранной доверительной вероятности, например       p = 0,95.

Определить доверительный интервал для b:

3.9 Сравнить найденный доверительный интервал b с инструментальной погрешностью bинс измерительной линейки и бо/льшую из них использовать для дальнейших расчетов, например, в формуле (7).   (bинс = c / 2 , где c – цена деления линейки).

3.10 Вывести формулу относительной погрешности по следующей методике:

а) вначале логарифмируем исходную формулу (6)

ln  = ln M – ln m + ln b + ½(ln g – ln l),

б) далее производим дифференцирование:

,

в) в полученном выражении заменяем знаки дифференциалов d на знаки конечных приращений Δ: d  Δ ; заменяем (–)  (+), и по правилам статистики берем сумму квадратов слагаемых. Окончательный вид формулы относительной погрешности:

.        ()

3.11 Определить абсолютную погрешность

 =   

и оставить в ней одну значащую цифру, используя правила округления (например, число 0,5861 следует записать как 0,6).

3.12 Провести округление величины  в соответствии с погрешностью    (например, если  представлено с точностью до десятых:  = 0,6, то и  = 32,4835 надо округлить  до  десятых:  = 32,5).

Окончательный результат скорости пули представить в виде:

 = (  ) м/с,

например,  = (32,5  0,6) м/с. (Примечание: здесь в качестве примера взяты произвольные числа, поэтому их не следует переписывать.)

4 Контрольные вопросы

1.  Что является мерой инертности тела при поступательном движении ? Единицы измерения?
2.  Что называется импульсом? Это скалярная или векторная величина? В чём выражается суть закона изменения импульса? Что представляет собой импульс силы?
3.  Привести примеры из практики на закон изменения импульса.
4.  Что такое система тел? Какая система называется замкнутой (изолированной) и незамкнутой (неизолированной)?
5.  Как формулируется и выражается математически закон сохранения импульса (в скалярной и векторной форме)? Привести примеры на закон сохранения импульса.
6.  Какие виды энергии вы знаете (назвать и выразить формулой)? Сформулировать закон сохранения энергии.
7.  Выполняется ли закон сохранения импульса в тех физических явлениях, где имеет место закон изменения энергии?

Лабораторная работа № 2

Изучение вращательного движения

и определение моментов инерции тел

Цель и задачи работы: Изучить основные характеристики вращательного движения. Экспериментально проверить второй закон Ньютона для вращательного движения – зависимость углового ускорения вращающегося тела от момента силы и его момента инерции. Определить момент инерции маятника Обербека при различных моментах силы.  Исследовать зависимость момента инерции маятника в зависимости от положения грузиков.

1 Общие сведения

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Его вращение характеризуется углом поворота , угловой скоростью ,  угловым ускорением .

Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции  J (его аналог при поступательном движении – масса m). Момент инерции материальной точки на расстоянии r от оси вращения, вычисляется по формуле J = mr2. Для расчета величины J твердого тела его надо рассмотреть как систему n материальных точек (разбить на n материальных точек) и вычислить момент инерции каждой из них      Ji = miri2 и далее сложить: J = in=l miri2 .

Воздействие на вращающееся тело некоторой силы F, не проходящей через ось вращения, вызывает изменение кинематических характеристик движения тела , , . При этом, как и в случае поступательного движения, угловое ускорение   также пропорционально величине этого воздействия:  ~ F.

Однако в отличие от случая поступательного движения здесь внешнее воздействие зависит не только от величины F, но и расстояния  l  от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила (это расстояние называется плечо силы). При вращательном движении мерой воздействия является  момент силы: M = F  l.

Также выполняется второй закон Ньютона для вращательного движения  (сравните  – второй закон Ньютона для поступательного движения).

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

В работе используются маятник Обербека, укрепленный на стене (рисунок 1), линейка, штангенциркуль, секундомер.

Особенности вращения твердого тела вокруг неподвижной оси удобно изучать на примере маятника Обербека – устройства, состоящего из крестовины, жестко закрепленной на двойном шкиве с разными радиусами (рисунок 1). На стержнях крестовины симметрично оси вращения закрепляются четыре одинаковых грузика 5. Расстояния от грузиков до оси вращения можно изменять.

Рисунок 1 Схема маятника Обербека:

1, 2  двойной шкив с радиусами r1 и r2; 3  ось подшипника;

4  стержни с делениями; 5  грузики; 6  гиря; 7  мерная линейка

Поочередно на большой и малый шкивы можно наматывать нить, к концу которой привязана гиря 6 известной массы. Тем самым изменяется момент силы, вызывающий вращательное движение системы. Момент инерции вращающейся системы можно изменять, передвигая грузики 5 на стержнях. Главной измеряемой величиной в данной работе является промежуток времени  t, за который гиря 6 проходит определенный путь  h.

Выведем формулы для расчета момента силы и момента инерции. Выражения закона динамики образуют систему уравнений:

                                           ()

Первое уравнение относится к поступательному движению гири 6. Результирующая сила F равна разности сил, действующих на гирю:

F = mg – T,                                          ()

где       T – сила натяжения нити.

Из (2) и первого уравнения системы (1) T выразится как:

T = mg – F = m (g – а).                             ()

Второе уравнение системы (1) относится к вращательному движению маятника, где момент силы  М  определяется силой натяжения T и плечом этой силы r, равным радиусу того шкива, на который намотана нить:

M = T  r = m (g – а) r.                             ()

В выражении (4) не учитывается момент Mтр сил трения, действующих в системе. Если им нельзя пренебречь, то результирующий момент примет вид:

M = m (g – а) r – Mтр.                              ()

Чтобы оценить влияние сил трения, можно проделать эксперимент на основе закона сохранения энергии. Задать гире некоторую высоту h1 и предоставить систему самой себе. Маятник начнет вращаться, при этом гиря опустится, а затем поднимется до высоты h2. Если h1 > h2, то произошла потеря потенциальной энергии, затраченная на работу против сил трения. Оценить эту потерю по относительной разнице . Если   0,1 (10%), то моментом сил трения в работе можно пренебречь.

При отсутствии сил трения момент вращающей силы находят по формуле (4). Линейное a и угловое   ускорения – из кинематических уравнений:

   .                                ()

Первое задание выполняется при постоянном моменте инерции, но различных моментах силы М1 и М2 (используются различные шкивы – радиусов r1 и r2). Различны будут угловые ускорения 1 и 2.  Моменты инерции для двух случаев

 и  ,                                 ()

должны быть равны (в пределах допустимой погрешности), т.к. распределение массы относительно оси вращения не меняется, т.е.  J1 = J2 = J, тогда должны быть равны и отношения:

.                                           ()

В этом и состоит проверка второго закона Ньютона для вращательного движения в задании 1

Для вывода расчетной формулы задания 2 объединим соотношения, описывающие динамику вращательного движения маятника Обербека и поступательного движения гири:

;   M=m (g – a) r;   ;   .

Получим обобщенную формулу для расчета момента инерции:

,                                   ()

где      t – время движения гири; h – расстояние, пройденное гирей массой m; r – радиус шкива, на который наматывается нить; g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.

Поскольку а<<g,  то (9) можно представить в виде:

.                                       ()

В этой формуле постоянный коэффициент  можно вычислить один раз и применять для дальнейших расчетов:

J = kt2 .                                         (10а)

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей:  /1/ С.71-79;

- для инженерных специальностей: /2/ С.34-41; /3/ С.131-144, 151-161.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.1 Задание 1 Проверка основного закона динамики вращательного движения при постоянном моменте инерции маятника Обербека

3.1.1 Снять все 4 грузика со стержней.

3.1.2 Штангенциркулем измерить диаметры d1 и d2 обоих шкивов, затем найти их радиусы:

;   .

3.1.3 Задать h – определенный отрезок пути, проходимый гирей 6 под действием силы тяжести (h = 11,5 м) и сохранять его при повторных опытах. Значения h,  h  занести в таблицу 1.

3.1.4 Намотать нить на шкив меньшего радиуса и точным секундомером определить время t1 прохождения гирей пути h. Опыт повторить 3 раза. Все числовые значения записать в таблицу 2.

3.1.5 Рассчитать среднее арифметическое значение времени t1.

3.1.6 Намотать нить на шкив большего радиуса (r2). Проделать 3 опыта, как это указано в пунктах 3.1.4 – 3.1.5. Найти среднее значение времени t2. Все значения занести в таблицу 2.

3.1.7 По формулам (6) рассчитать линейные ускорения а1 и а2 и угловые ускорения 1 и 2. Для расчетов использовать только средние значения времени: t1 и t2.

Таблица 1 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
g  g, м/с2	h  h, м
9,81  0,005

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
№ п/п		r, м	t,с	t,с	a, м/с2	,рад/с2	M,Нм	J0,кгм2	J0,кгм2
1	Малый
2	шкив
3		r1=
1	Большой
2	шкив
3		r2=
средние значения	–	–	–	–	–	–	–			–	–

3.1.8 Рассчитать момент инерции маятника Обербека по двум моментам силы:

 и  .

3.1.9 Вычислить среднее значение момента инерции:

.

3.1.10 Оценить среднюю абсолютную погрешность (экспериментальную) J0экс: .

3.1.11 Вычислить инструментальную погрешность J0инс. Для этого учесть погрешности штангенциркуля, секундомера, линейки, весов согласно п.3.2.10 из задания 2.

3.1.12 Окончательный результат представить в виде

J0 =J0  J0,

где      J0 – одна из двух погрешностей: экспериментальная J0экс или инструментальная J0инс – выбрать ту, которая больше.

3.1.13 Найти отношения  и .

3.1.14 Сделать выводы.

3.2 Задание 2 Изучение зависимости момента инерции маятника Обербека от положения грузиков на стержнях при постоянном моменте силы

3.2.1 Во втором задании будет применяться  J0 – величина момента инерции маятника Обербека без грузиков - из Задания 1. Наматывать нить только на один шкив – большего радиуса  (r2).

Рисунок 2 Маятник Обербека:

1 – малый шкив; 2 - большой шкив; 3 - внешний несущий диск; 4 – стержни с делениями; 5 – грузики; 6 – гиря;

x – расстояние от грузика до диска 3; R – расстояние от оси вращения до центра грузика 5

Таблица 3 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
h  h, м	r2  r2, м	l  l, м	r3  r3,м	mГ  mГ, кг
1,50  0,005				0,265  0,0005

Таблица 4 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
t, с	x, м	R, м	J, кгм2	Jэксп,кгм2	Jтеор,кгм2
	0
	0,04
	0,08
	0,12
	0,16

3.2.2 Надеть грузики на стержни и закрепить их вплотную к несущему диску 3, при этом расстояние на стержне x = 0.

3.2.3 Штангенциркулем провести измерения согласно рисунка 2, где l – высота цилиндрического грузика 5, м; r3 – радиус внешнего несущего диска 3, в который вкручены стержни,  м.

Значения величин занести в таблицу 3.

3.2.4 Провести измерение времени прохождения гирей 6 расстояния h=1,5 м.

Штангенциркулем измерить x – длину открытой части стержня 4 в м; (цена деления на стержне равна 2 см = 0,02 м). Общее расстояние R от центра масс каждого из грузиков 5 до оси вращения находить как сумму:

.                                       ()

Записать все полученные значения в таблицу 4.

3.2.5 Последовательно отодвигая все 4 грузика на одинаковое расстояние (4 см = 0,04 м) от несущего диска 3, определять время, затрачиваемое гирей 6 на такой же путь h=1,5 м. Проделать с различными x не менее 5 опытов. Рассчитать R по формуле (11) в каждом опыте.

3.2.6 Рассчитать для всех опытов моменты инерции J по формуле (10) или (10а). Масса гири m такая же, как и в задании 1.

3.2.7 Экспериментальные значения момента инерции четырех грузиков найти как разность момента инерции маятника Обербека с грузиками J и момента инерции маятника Обербека без грузиков (крестовины)  J0  (из первого задания):

Jэксп = J – J0.                                      ()

3.2.8 Найти теоретические значения моментов инерции четырех грузиков, считая их материальными точками:

Jтеор = 4 mГR2.                                    ()

3.2.9 Построить 2 графика на одних и тех же осях Jтеор = f (R) и Jэксп = f (R) (по оси x – расстояние R, по оси y – моменты инерции Jтеор и Jэксп).

3.2.10 Рассчитать инструментальную относительную погрешность определения момента инерции маятника Обербека без грузиков  J0,  учитывая инструментальные погрешности m, g, h, r, t соответствующих приборов по формуле:

.         ()

Найти абсолютную погрешность (инструментальную):

J0инс = J o J0.                                   ()

3.2.11 Окончательный результат записать в числовой форме:

J0 =J0  J0,

где    J0 – одна из двух погрешностей: экспериментальная J0экс (п.3.1.10 из задания 1) или инструментальная J0инс (п.3.2.10) – выбрать ту, которая больше.

3.2.12 Сделать выводы.

4 Контрольные вопросы

1.  Что называется вращательным движением?
2.  Приведите формулы связи характеристик поступательного и вращательного движений.
3.  Что такое момент инерции тела? Какова его роль во вращательном движении?
4.  Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?
5.  Сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
6.  Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, нет ли в них аналогии?
7.  Выведите выражение момента силы в данной работе.
8.  Влияют ли силы трения на движение маятника Обербека, как это проверить?

Лабораторная работа № 3

Определение коэффициента трения

Цель и задачи работы: Ознакомление с основными законами динамики. Изучение природы сил трения скольжения. Определение коэффициента трения покоя и коэффициента трения скольжения.

1 Общие сведения

Рассмотрим тело массой  m, находящееся на наклонной плоскости с углом наклона    (рисунок 3). Силу тяжести можно разложить на 2 составляющие: параллельную наклонной плоскости и перпендикулярную к ней. Первая составляющая   Fт = mgsin  способствует движению тела вниз по плоскости, вторая N ´ вызывает силу реакции опоры  N. Сила трения пропорциональна силе N: Fтр = kN. Согласно третьему закону Ньютона  N ´ = – N, в таком случае  N = N ´ = mgcos   и

Fтр = kmgcos .                                      ()

Рисунок 1 Силы, действующие на тело, находящееся

на наклонной плоскости

Тогда уравнение движения данного тела по оси x (второй закон Ньютона, проекция на ось  x):

ma = mgsin – kmgcos .                           ()

При равновесии тела по плоскости   Fтр  k0N   и из уравнения (2) можно найти коэффициент трения покоя

k0 = tg 0 ,                                       ()

определяющий предельный угол равновесия 0 тела на наклонной плоскости.

При скольжении тела можно считать, что коэффициент трения k слабо зависит от скорости, а движение тела – равноускоренное без начальной скорости. Тогда ускорение выражается через длину пройденного пути  l  и время его прохождения  t:

.                                             ()

Исходя из уравнения (2), можно найти коэффициент трения:

.                                  ()

2 Описание установки

Эксперименты проводятся на универсальном комплексе (КУЛ) (рисунок 2), в котором использованы цифровые приборы для измерения временных интервалов при движении исследуемого тела (шайбы) бесконтактным оптическим способом. При этом запуск и остановка датчика времени движения на известной базе длиной  l  осуществляется автоматически путем прерывания инфракрасного луча, направленного от излучателя к фотодатчику (фотодиоду), скользящей шайбой.

Рисунок 2 Схема КУЛ для измерения коэффициента трения

Наклонная направляющая выполнена из пластика и содержит комплект из восьми пар излучателей и фотодатчиков, позволяющих измерить временные интервалы на семи отрезках пути. При этом предусмотрена возможность изменения угла наклона    направляющей к горизонту.

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей:  /1/ С.28-30, 37-39;

- для инженерных специальностей: /2/ С.14-19; /3/ С.49-63, 66-70.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.1 Задание 1 Определение коэффициента трения покоя

3.1.1 Установить КУЛ на столе.

3.1.2 Установить шайбу вплотную к левому упору направляющей.

3.1.3 Медленно увеличивать угол наклона направляющей до тех пор, пока тело не придет в движение.

3.1.4 Зафиксировать это положение и определить предельный угол 0.

3.1.5 Измерения повторить 5 раз и результаты занести в таблицу 1.

3.1.6 По среднему значению 0 из выражения (3) определить коэффициент трения покоя k0.

3.1.7 Используя выражение

,                                  ()

где       0 – абсолютная погрешность предельного угла равновесия в радианах, определить абсолютную k0, а потом и относительную  погрешности коэффициента трения покоя. Результаты записать в таблицу 1.

Таблица 1 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
№ п/п	0	k0	k0
1		—	—
2
3
4
5
средние значения

3.2 Задание 2 Определение коэффициента трения скольжения

3.2.1 Подключить разъемы блока питания и направляющей к индикатору времени.

3.2.2 Включить блок питания индикатора в сеть 220 В. При этом загорится первый индикатор.

3.2.3 Установить по транспортиру требуемый для скольжения тела угол наклона направляющей   0 и занести в таблицу 2.

3.2.4 Установить шайбу вплотную к левому упору направляющей и осуществить ее скольжение.

3.2.5 Выбрать по указанию преподавателя пять расстояний  между фотодатчиками и занести соответствующие значения li и показания времен ti в таблицу 3.

3.2.6 Используя выражение (4), рассчитать ускорения  аi на соответствующих участках пути. Убедиться в равноускоренном характере движения шайбы.

3.2.7 По формуле (5) вычислить ki. Найти среднее значение k = ,  где n = 5 – количество опытов; абсолютные погрешности каждого измерения ki = |k – ki |; квадраты этих погрешностей (ki)2. Вычислить сумму квадратов . Результаты записать в таблицу 3.

Таблица 2 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
g  g, м/с2	  , град
9,81  0,005

Таблица 3 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
№ п/п	ti, с	li, м	ai, м/с2	ki	ki	(ki)2
1
2
3
4
5
средние значения	—	—	—

3.2.8 Рассчитать среднеквадратическое отклонение:

.

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти tp,n для n = 5 и выбранной доверительной вероятности, например p=0,95.

Найти доверительный интервал

3.2.9 Окончательные результаты представить в виде:

1) k0 = k0  k0 ; 2)  k = k  k.

3.2.10 Сделать выводы. Сравнить результаты заданий 1 и 2.

4 Контрольные вопросы

1.  Какие виды трения Вам известны?
2.  Объясните механизм возникновения трения скольжения.
3.  От каких факторов зависит сила трения скольжения?
4.  Как зависит коэффициент трения скольжения от скорости движения?
5.  Какими факторами может быть объяснено различие ускорений на разных участках движения тела?
6.  Какова роль трения в природе и технике?

Лабораторная работа № 4

Изучение гармонических колебаний математического

маятника и определение ускорения свободного падения тел

Цель и задачи работы: Изучение закономерностей колебательного процесса на примере математического маятника. Применение метода математической статистики для обработки результатов опытов.

1 Общие сведения

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через ее центр масс. Маятник называется математическим, если колеблющееся тело можно представить в виде материальной точки, висящей на невесомой нерастяжимой нити, т.е. в случае, когда размер тела намного меньше длины нити, а массой нити можно пренебречь.

Если амплитуда угловых колебаний 0 мала (в пределах 45), то период колебаний математического маятника выражается формулой

.                                           ()

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

Для выполнения работы используются математический маятник с двумя точками подвеса, штатив, секундомер, линейка.

Расчет ускорения свободного падения g можно произвести по формуле (1) для периода колебаний математического маятника, если удастся измерить с нужной точностью расстояние от оси качания до центра масс шарика. Линейкой это выполнить не всегда возможно, особенно если колеблющееся тело неправильной геометрической формы. Для повышения точности опыта можно взять один и тот же маятник при двух длинах нитей l1 и l2, тогда расстояние до центра масс в первом случае l1/ = l1 + l0,  а во втором l2/ = l2 + l0 (рисунок 1) (l0 – расстояние от места прикрепления нити до центра масс тела).

а                          б

Рисунок 1 Математический маятник: а – длинный маятник;

б – короткий маятник

По двум периодам колебаний для длин маятника:

,  

можно рассчитать g:

.                                    (),

В формуле (2) отсутствует трудно определяемое расстояние  l0, в то время как расстояние    l = l1 – l2 = AB   (рисунок 1) можно легко измерить линейкой. Итак, рабочая формула данной лабораторной работы имеет вид:

.                                       ()

Так как опыты проводятся несколько раз, то за периоды колебаний следует брать средние арифметические, т.е. T1 и T2.

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

3.1 Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей:  /1/ С.88-91, 96-99;

- для инженерных специальностей: /2/ С.255-261; /3/ С.181-185, 190-197.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.2 Определить t1 – время z = 10 колебаний для длинного маятника с длиной подвеса l1 (колебания малой амплитуды   45).

Рассчитать период колебаний  . Записать результаты в таблицу 2.

3.3 Повторить этот опыт  n = 7  раз.

Таблица 1 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
  	l  l, м
3,14  0,005

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
№	Длинный маятник	Короткий маятник	g	g
п/п	t1	T1i	T1i	(T1i)2	t2	T2i	T2i	(T2i)2
1
2
3
. . .								. . .
7
средние значения	–				–				–	–

3.4 Определить время t2 z = 10 для короткого маятника с длиной подвеса l2. Переход к меньшей длине осуществляется переносом петли на нити на верхний штырек штатива.

Рассчитать период колебаний . Опыт повторить также n = 7 раз и записать результаты в таблицу 2.

3.5 Рассчитать средние значения периодов:

;  .

3.6 Найти ускорение свободного падения по формуле:

,                                          ()

где      l = AB  (рисунок 1) измеряется один раз линейкой. Результат записать в таблицу 1.

3.7 Рассчитать все величины, указанные в таблице:

абсолютные погрешности периодов для всех n = 7 опытов:

T1i = |T1 – T1i |;         T2i = |T2 – T2i |.

Найти квадраты этих погрешностей (T1i)2 и (T2i)2;

Найти суммы квадратов:  и ;

3.8 Рассчитать среднеквадратические отклонения:

; .                      ()

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти tp,n для n=7 и выбранной доверительной вероятности, например  р=0,95.

Определить доверительные интервалы для двух периодов:

; .                          ()

3.9 Сравнить найденные доверительные интервалы (окончательные абсолютные погрешности) T1 и T2 с инструментальной погрешностью Tинс, связанной с погрешностью секундомера, и ту из них, которая больше, взять для расчета погрешности Δg по формуле (7).

Имея в виду, что , относительная погрешность будет . А так как Δz=0, то

Tинс = .

(для секундомера tинс = c / 2 , c – цена деления).

3.10 Вывести формулу относительной погрешности по следующей методике:

а) вначале логарифмируем исходную формулу (4)

ln g = ln 4 + 2ln  + ln l – ln(T1–T2) – ln (T1+T2),

б) далее производим дифференцирование:

,

в) в полученном выражении заменяем знаки дифференциалов d на знаки конечных приращений Δ: d  Δ; заменяем (–)  (+), и по правилам статистики берем сумму квадратов слагаемых. Окончательный вид формулы относительной погрешности:

.      ()

В этом выражении l – погрешность, равная инструментальной погрешности линейки,  – половина единицы последнего разряда числа    (если  =3,14, то =0,005).

3.11 Рассчитать абсолютную погрешность (доверительный интервал)

g =g  g 

и округлить по правилам округления до первой значащей цифры, а g округлить в соответствии с Δg и окончательно записать в выводах в виде:

g = (g  g)  м/с2.

4 Контрольные вопросы

1.  Что называется математическим маятником?
2.  Зависит ли амплитуда колебаний от массы и длины маятника?
3.  Зависит ли период математического маятника от массы и длины маятника?
4.  Записать выражение для потенциальной и кинетической энергии математического маятника.
5.  Чем отличается математический маятник от физического?
6.  Сколько нужно сделать опытов, чтобы доверительный интервал стал равным инструментальной погрешности секундомера?
7.  Будет ли частота колебаний математического маятника зависеть от местонахождения его на поверхности Земли (на полюсе или на экваторе)?
8.  Что лучше предпринять, чтобы повысить в 2 раза точность определения g:
      а) увеличить длину нити в 2 раза при количестве колебаний z=10;
      б) при той же длине нити увеличить количество колебаний в 2 раза, т.е. z=20 ?

Лабораторная работа № 5

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Цель и задачи работы: Ознакомление с видами механических колебаний. Получение представления о параметрах, характеризующих колебательное движение. Изучение зависимости периода колебаний пружинного маятника от массы грузика. Определение коэффициента жесткости пружины, коэффициента сопротивления воздуха.

1 Общие сведения

Рассмотрим пружинный маятник - систему, состоящую из грузика массы m, подвешенного на невесомой упругой пружине (рисунок 1).

Будем характеризовать смещение грузика из положения равновесия координатой x, причем ось направим по вертикали вниз. Если подвесить на пружине (рисунок 1а) груз весом P = m × g, то нижний конец её сместится на величину xст, называемую статическим смещением (рисунок 1б). В этом положении статического равновесия сила тяжести будет уравновешиваться упругой силой по закону Гука  F0 = –k×xст. Здесь k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины.

Если сообщить грузику смещение A и предоставить систему самой себе, то под действием упругой силы грузик будет двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы убывает, одновременно скорость грузика, и, следовательно, кинетическая энергия системы увеличивается. Пройдя положение статического равновесия, движение грузика начинает замедляться. При этом потенциальная энергия системы увеличивается за счет кинетической энергии. Движение прекращается в тот момент времени, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т.е. когда смещение грузика станет равным –А. Если в системе отсутствует сопротивление среды, то полная энергия системы будет оставаться постоянной и грузик будет колебаться в пределах от x = А до x = –А  неограниченно долго. Уравнение второго закона Ньютона для этого случая записывается в виде:

,                                          ()

здесь ускорение .

Введем обозначение:  

,                                           ()

с учетом этого приведем  (1) к виду:

.                                    ()

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. Решение уравнения (3) имеет вид:

x = A  cos (0t + ).

Таким образом, под действием возвращающей силы вида   F = –kx  грузик совершает гармонические колебания.

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер, мерная линейка.

а                                     б                                    в

Рисунок 1 Положения пружинного маятника: а – без грузика; б – с грузиком в отсутствии колебаний; в – при смещении x грузика от положения равновесия в процессе колебаний

Зависимость периода колебаний T от параметров пружинного маятника: .

Отсюда жесткость пружины выразится как:

.                                         ()

В реальных колебательных системах всегда часть энергии расходуется на работу по преодолению сил трения (например, силы сопротивления воздуха, сил внутреннего трения и т.д.). При этом амплитуда колебаний A уменьшается со временем до нуля. Такие колебания называются затухающими.

При рассмотрении колебания в среде (в том числе и в воздухе), обладающей вязкостью, необходимо учесть силу сопротивления среды, значение которой прямо пропорционально скорости:

,                                     ()

где       r  называется коэффициентом сопротивления среды;

– скорость колеблющегося тела.

В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

.                                     ()

Перепишем (6), обозначив   r / m = 2   и   k / m = 02:

,                                   ()

где         называется коэффициентом затухания.

Формула (7) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. При его решении можно рассмотреть 2 случая.

1) Случай малых затуханий  << 0.

Потери энергии в системе малы. Решение имеет вид

x = A0exp (–  t)  cos(t + ),                           ()

где        . Тогда период колебаний

                                    ()

увеличивается по сравнению с периодом незатухающих колебаний. Из выражения (8) следует, что амплитуда колебаний определяется следующим образом:

A(t) = A0exp (–  t),                                   ()

т.е. со временем она убывает. Величина  = 1 /   называется временем релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e  2,72  раз.

Изменение амплитуды колебаний во времени при не очень больших затуханиях показано на рисунке 2а, где пунктирные линии изображают функцию (10).

а                                                             б

Рисунок 2 Зависимость смещения от времени:   а – случай

малых затуханий  << 0 ; б – апериодический режим  > 0

Из закона убывания амплитуд (10) следует, что отношение любых двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период, есть величина постоянная: A(t)/A(t+T) = const = .

Величину   называют декрементом затухания. Часто пользуются также понятием логарифмический декремент затухания  = ln , который, как можно показать подстановкой    в (10) равен   T.  Отсюда   = /T.

2) Случай  > 0.

Потери энергии в системе велики. В этом случае в уравнении (7) третий член перестает играть существенную роль, и решение описывает апериодический режим движения (рисунок 2б).

Сопротивление среды, при котором колебания прекращаются, называется критическим. Оно находится из условия , или   = 0: .

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей: /1/ С.88-91, 96-101;

- для инженерных специальностей: /2/ С.26, 255-261, 267-230;  /3/ С.181-185, 190-197.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.1 Задание 1 Определение жесткости пружины статическим методом

3.1.1 Подвесить на пружину груз известной массы и с помощью линейки определить статистическое смещение  xст  груза (xст = l – l0, где  l0 – длина нерастянутой пружины, l – длина нагруженной пружины).  Данные занести в таблицу 1.

3.1.2 То же самое проделать еще для двух грузов различной массы.

Таблица 1 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
m, кг	xст, м	ki, Н/м	ki, Н/м	(ki)2, (Н/м)2
средние значения	—

3.1.3 По удлинению  xст  под действием соответствующей нагрузки   P = mg  определить жесткость: .

3.2.5 Найти среднее значение kст = , где n = 3 – количество опытов; абсолютные погрешности каждого измерения ki = |k – ki |; квадраты этих погрешностей (ki)2. Вычислить сумму квадратов .  Результаты занести в таблицу.

3.2.6 Рассчитать среднеквадратическое отклонение:

.

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти  tp,n  для n=3 и выбранной доверительной вероятности, например p=0,95.

Найти доверительный интервал  kст =

3.2.7 Конечный результат представить в виде:  kст =kст  kст .

3.2 Задание 2 Определение жесткости пружины динамическим методом

3.2.1 Подвесить на пружине грузик известной массы и, слегка, на 35 см, приподняв его, отпустить. По секундомеру определить время двадцати колебаний (z = 20). Данные занести в таблицу 2. Измерения с данной массой повторить  n = 3   раза.

3.2.2 Первый пункт повторить еще два раза с грузами различной массы.

3.2.3 Усреднить значения  t  для каждой массы.  Используя полученные величины t, определить периоды колебаний пружины с соответствующим грузом T = t / z . Вычислить квадраты периодов T 2.

3.2.4 По значениям m  и T 2 найти  ki исходя из выражения (4).

3.2.5 Найти среднее значение kдин = ,  где n = 3 – количество опытов;  абсолютные погрешности каждого измерения  ki = |k – ki |; квадраты этих погрешностей (ki)2. Вычислить сумму квадратов   .  Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
m, кг	t, с	t, с	T, с	T 2, с2	ki, Н/м	ki, Н/м	(ki)2, (Н/м)2
средние значения	–	–	–	–

3.2.6 Рассчитать среднеквадратическое отклонение:

.

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти tp,n для n=3 и выбранной доверительной вероятности, например p=0,95.

Найти доверительный интервал kдин =

3.2.7 Используя данные таблицы 2, построить график функции T 2(m) и объяснить полученную зависимость. При построении графика следует включить и точку в начале координат.

3.2.8 Полученное значение kдин =kдин  kдин сравнить с жесткостью пружины, найденной статическим методом.

3.3 Задание 3 Определение логарифмического декремента затухания и коэффициента сопротивления

3.3.1 Вывести маятник с грузиком (масса указывается преподавателем) из положения равновесия примерно на А = 3 см и привести в колебательное движение.

3.3.2 Измерить время релаксации , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз, т.е. приблизительно в 3 раза. После пяти измерений найти среднее значение  .

3.3.3 Определить логарифмический декремент затухания по формуле  =T  / , подставив значения  из п.2 и T из таблицы 2 для грузика соответствующей массы.

Из формулы r = 2m /  найти коэффициент сопротивления.

3.3.4 Оценить абсолютную и относительную погрешности для  и r.

3.3.5 Вычислить критический коэффициент сопротивления   и, сравнив со значением  r  из п.3 сделать выводы.

4 Контрольные вопросы

1.  Какие колебания называются собственными (или по-другому свободными), вынужденными, затухающими, незатухающими, периодическими, гармоническими?
2.  Что называется амплитудой, частотой, периодом и фазой колебаний?
3.  Как вычислить скорость, ускорение гармонически колеблющейся точки?
4.  Как получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний?
5.  Какие факторы могут привести к различиям значений коэффициентов жесткости, полученных статическим и динамическим методами?
6.  От чего зависит жесткость пружины?
7.  Чему равен период колебаний пружинного мятника в отсутствии затухания?
8.  Почему график зависимости T 2(m) должен проходить через начало координат?
9.  Как вычислить кинетическую, потенциальную и полную энергии колеблющейся точки?
10.  Как влияет наличие затухания на период колебаний?
11.  Являются ли колебания, совершаемые по закону (8): 1) гармоническими, 2) периодическими? Почему?
12.  Как получается выражение   ?
13.  В каких единицах измеряются  коэффициент сопротивления  r  и  коэффициент затухания  ?

Лабораторная работа № 6

Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника и моментов

инерции маятника

Цель и задачи работы: Изучить гармонические колебания; экспериментально определить с помощью физического маятника ускорение свободного падения и моменты инерции маятника.

1 Общие сведения

Под физическим маятником понимают твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести около горизонтальной оси, не проходящей через центр масс маятника (рисунок 1а). Если колеблющееся тело можно представить как материальную точку, висящую на невесомой нерастяжимой нити, то маятник называется математическим (рисунок 1б).

а                                        б

Рисунок 1 Маятники: а – физический; б – математический.

С – центр масс маятника; O – точкой подвеса; O1 – центр

качаний;  – угол отклонения маятника от вертикали

Если амплитуда угловых колебаний 0 мала (в пределах 45), то период колебаний физического маятника выражается формулой

,                            ()

где    J – момент инерции маятника относительно оси колебания, кгм2;

m – масса маятника,  кг;

l=OC – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, м;

– приведенная длина физического маятника, м.

Физический маятник обладает следующим свойством: для любой точки подвеса O (период колебаний  T)  найдется такая точка O1 (период  T1), что T = T1. Одна из точек, например, O называется точкой подвеса, другая точка O1 – центр качаний.

Условие T = T1, свидетельствует о том, что точка подвеса O и центр качаний O1 обратимы, поэтому эти точки O и O1 называются сопряженными. Физический маятник, имеющий сопряженные точки O и O1, называется оборотным.

Приведенная длина оборотного маятника Lпр для данной пары сопряженных точек O; O1 равна расстоянию между ними OO1 (рисунок 1а).

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

В комплект лабораторной установки входят маятник (рисунок 2), секундомер, мерная линейка.

Чечевицу 2 можно передвигать по стержню и фиксировать с помощью винта. Для определения ее положения на конце стержня нанесены миллиметровые деления 1. Опорные призмы 3 и 7 закреплены на стержне 5 жестко.

На рисунке 2 приведено одно из положений маятника. При этом маятник будет колебаться относительно призмы 3. Можно перевернуть маятник и установить призму 7 в канавку 4. Если передвигать чечевицу 2 по стержню, то изменится положение точки C – центра масс маятника, а, следовательно, и период колебаний.

Исходя из (1) период колебаний маятника на ребре призмы (оси) А выразится:

,                                           ()

а период колебаний на ребре призмы (оси)  B:

,                                      ()

где         JА –  момент инерции маятника относительно оси A ;

JB –  момент инерции маятника относительно оси B.

Рисунок 2 Схема подвешенного оборотного маятника:

1 – миллиметровая шкала; 2 – подвижная чечевица;

3, 7 – опорные призмы; 4 – опорная канавка; 5 – стержень;

6 – неподвижная чечевица

На рисунке приняты обозначения: С – центр масс маятника; l1 – расстояние между ребром А и точкой С; l2 – расстояние между ребром В и точкой С

Преобразуем (2) и (3), используя теорему Штейнера, которая для колебаний на ребре призмы A записывается как

JA = JC + mC l12,                                        ()

и гласит: момент инерции маятника относительно ребра призмы А равен сумме момента инерции маятника относительно центра масс C (JC) и произведения массы на квадрат расстояния от оси вращения до центра масс C (mC l12 ).

Теорема Штейнера для колебаний маятника относительно ребра призмы B записывается в виде

JB = JC + mC l22 ,                                       ()

где       l2  - расстояние между ребром B и центром масс C; JC  - момент инерции оборотного маятника относительно центра масс C.

Определение величины J тела сложной формы, такого как оборотный маятник, является трудной задачей. Поэтому преобразуем зависимости моментов инерции так, чтобы исключить величину  JC .

Перепишем формулы  (2) и (3)  с учетом выражений  (4) и (5)

,                                    ()

.                                    ()

Для решения нашей задачи найдем такое положение чечевицы 2, что будет выполняться условие

TА = TВ   = T0 .                                         ()

Подставим (6) и (7) в условие (8):.

Отсюда получаем

JC = ml1 l2 .                                          ()

Выражение (9) подставим, например, в формулу (6) (или в (7))

.

Учтем, что  mC = m,  тогда получаем

.

Отсюда ускорение свободного падения тел     ,

где, как видно из рисунка 2, l1 + l2 = Lпр (Lпр - приведенная длина оборотного маятника).

Таким образом, для вычисления ускорения свободного падения тел окончательно получаем

.                                          ()

Из (10) видно, что требуется найти экспериментально такие периоды колебаний маятника, чтобы выполнялось  условие (8). Заметим, что добиться точного совпадения значений TА и TВ практически невозможно. Приходится подбирать такое положение чечевицы 2, чтобы на призмах 3 и 7 оборотный маятник совершал колебания с приблизительно одинаковыми периодами  TА  TВ .

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

3.1 Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей:  /1/ С.39-41, 88-91, 96-99;

- для инженерных специальностей: /2/ С.46-51, 255-261; /3/     С. 168-172, 181-185, 190-197.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.2 Установить чечевицу 2 на нулевое деление шкалы 1 (x = 0).

3.3 Подвесить маятник в опорных канавках 4 на кронштейне, на ребре В призмы 7.

3.4 Отклонить маятник от вертикали на  45, одновременно отпустить маятник и включить секундомер. Измерить время z = 10 полных колебаний маятника и вычислить период колебаний относительно ребра B:   TВ = tВ / z.  Результат занести в таблицу 2.

3.5 Снять маятник и установить его на призму 3.

3.6 Отклонить маятник от вертикали на угол  45, одновременно отпустить маятник и включить секундомер.

Измерить время z = 10 полных колебаний маятника и вычислить период колебаний относительно ребра А по формуле  TА = tА / z.

3.7 Установить подвижную чечевицу 2 на положения x = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 см,  передвигая ее по стержню.

Для каждого значения x определить периоды колебания  TА  и  TВ.

3.8 На миллиметровой бумаге построить график зависимости  TА  от  x, на этой же координатной плоскости построить график зависимости  TВ  от x (рисунок 3). Графики пересекутся в некоторой точке с координатами  D (x0; T0).

Поскольку точка D является общей для обоих графиков, то при значении  x0  периоды колебаний в обоих случаях получаются примерно одинаковыми  TА  TВ = T0 .

3.9 Проверить равенство периодов экспериментально. Для этого установить подвижную чечевицу 2 в положение  x0  и еще раз определить значения времен  tА и tВ  при z=10 колебаниях. Сравнить периоды  TА = tА/z  и  TВ = tВ/z .

Рисунок 3 Графики зависимостей  TА  и  TВ  от расстояния  х

3.10 Если выполняется условие  TА  TВ , тогда по формуле (10) найти значение ускорения свободного падения тел g.

3.11 Вычислить относительную погрешность величины g по формуле

,                ()

Здесь в качестве T следует взять инструментальную погрешность Tинс секундомера. Для ее расчета учтем, что

,                                                ()

значит , а так как Δz=0, то Tинс = . Подставляя (12), получим

T = Tинс =

(для секундомера  tинс = c / 2 ,   c – цена деления).

3.12 Выразить абсолютную погрешность    g =g  g. Окончательный результат эксперимента записать в выводах как

g = (g  g)  м/с2.

Таблица 1 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
  	Lпр  Lпр, м	m  m, кг
3,14  0,005	0,725  0,001	10,0  0,05

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
Положение чечевицы 2, x, см	Число колебаний z	Относительно	оси А	Относительно	оси B
		Время колебаний tA	Период TA	Время колебаний tB	Период TВ
0
2
4
. . .					. . .
18

3.13 Определить положение центра масс С оборотного маятника. Для этого снять маятник с кронштейна, положить его на балансировочную призму и найти точку равновесия.

Линейкой измерить расстояния l1 и l2 от центра масс маятника C до ребер A и B на опорных призмах 3 и 7.

3.14 Вычислить моменты инерции  JА  и  JB  относительно ребер  А  и  В  по формулам

и ,                       ()

где       m – общая масса оборотного маятника указана в таблице 1;

значения  TА  и  TВ  известны для положения x0 подвижной чечевицы : TА  TВ = T0 .

3.15 Определить относительные погрешности  JА и JB.Из (12) следует, что, например, для JА 

.

Упростим данную формулу, предположив, что относительные погрешности измерений длин равны:  . Сравнив это выражение с формулой (11), заменим последние три слагаемые под знаком квадрата

,

в результате получим ,  или:

.

3.16 Абсолютные погрешности рассчитать по формулам

JA =JA  J ,           JB =JB  J .

3.17 Окончательный результат определения моментов инерции представить в выводах в виде

JA =JA  JA     и     JB =JB  JB .

4 Контрольные вопросы

1.  Сформулировать и объяснить закон всемирного тяготения.
2.  Как электрически нейтральные тела с массами  m1  и  m2  взаимодействуют на расстоянии, без непосредственного контакта друг с другом?
3.  Можно ли ввести какие-либо характеристики физических свойств поля тяготения (гравитационного поля) аналогично как для электрического, магнитного полей?
4.  По какой причине тела падают на Землю с ускорением? Как это объяснить физически?
5.  Почему все тела при свободном падении на Землю имеют одинаковые ускорения независимо от их масс? Связано ли это явление как-нибудь со вторым законом Ньютона?
6.  Что называется физическим маятником, математическим маятником?
7.  Можно ли назвать колебания физического маятника гармоническими?
8.  Какая сила вызывает колебания физического маятника?
9.  Можно ли моделировать математически колебания физического маятника?
10.  Каким уравнением описывается закон изменения угла поворота физического маятника в зависимости от времени?
11.  Какова зависимость угловой частоты и периода колебаний физического маятника от его физических характеристик?
12.  Где применяются физические маятники в практике?

Библиографический список

1 Грабовский Р.И. Курс физики.–СПб.: Изд-во "Лань", 2002.-608 с.

2 Трофимова Т.И. Курс физики.–М.: Высшая школа, 2001.-542 с.

3 Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика.–М.: Наука, 2003.-432 с.

Приложение А

Таблица коэффициентов Стьюдента tp,n 

Количество измерений n	Доверительная вероятность   p
	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,997	0,999
1	6,3	12,7	31,8	63,7	127	350	636,6
2	2,9	4,3	7,0	9,9	14	22	31,6
3	2,4	3,2	4,5	5,8	7,4	9,3	12,9
4	2,1	2,8	3,7	4,6	5,6	6,8	8,6
5	2,0	2,6	3,4	4,0	4,7	5,8	6,9
6	1,9	2,4	3,1	3,7	4,3	5,0	6,0
7	1,9	2,4	3,0	3,5	4,0	4,6	5,4
8	1,9	2,3	2,9	3,4	3,8	4,3	5,0
9	1,8	2,3	2,8	3,3	3,7	4,2	4,8
10	1,8	2,2	2,7	3,2	3,6	3,6	4,6
15	1,7	2,1	2,5	2,9	3,3	3,4	4,1
20	1,7	2,0	2,5	2,8	3,2	3,3	3,8
30	1,7	2,0	2,5	2,7	3,0	3,2	3,6
40	1,7	2,0	2,4	2,7	3,0	3,2	3,5
60	1,6	2,0	2,4	2,7	2,9	3,2	3,4
100	1,6	1,98	2,4	2,62	2,85	3,1	3,37
	1,6	1,96	2,3	2,58	2,81	3,0	3,29

Лицензия РБ на издательскую деятельность № 0261 от 10 апреля 1998 г.

Подписано в печать_______________2006 г.

Формат 60х84. Бумага типографская. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л._________. Усл. изд. л.___________

Тираж__________ экз.  Заказ № _____________

Издательство Башкирского государственного аграрного университета

Типография Башкирского государственного аграрного университета

Адрес издательства и типографии: 450001, г.Уфа, ул.50 лет Октября,34

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ   УЧЕРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра физики

ЕН.Ф.03 ФИЗИКА

ЕН.Ф.03 ФИЗИКА И БИОФИЗИКА

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Лабораторная работа № 6

Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника и моментов

инерции маятника

Уфа  2006

УДК 531

ББК 22.21

Л 12

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета электрификации и автоматизации с/х (протокол №   3    от   30     ноября    200  6   года)

Составитель:  доцент Амирханов Н.М.

Рецензент:  доцент кафедры ТОЭ Желтоухов А.И.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой физики Юмагужин Р.Ю.

Практикум предназначен для всех направлений и специальностей подготовки дипломированных специалистов.

Лабораторная работа № 6

Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника и моментов

инерции маятника

Цель и задачи работы: Изучить гармонические колебания; экспериментально определить с помощью физического маятника ускорение свободного падения и моменты инерции маятника.

1 Общие сведения

Под физическим маятником понимают твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести около горизонтальной оси, не проходящей через центр масс маятника (рисунок 1а). Если колеблющееся тело можно представить как материальную точку, висящую на невесомой нерастяжимой нити, то маятник называется математическим (рисунок 1б).

а                                        б

Рисунок 1 Маятники: а – физический; б – математический.

С – центр масс маятника; O – точкой подвеса; O1 – центр

качаний;  – угол отклонения маятника от вертикали

Если амплитуда угловых колебаний 0 мала (в пределах 45), то период колебаний физического маятника выражается формулой

,                            ()

где    J – момент инерции маятника относительно оси колебания, кгм2;

m – масса маятника,  кг;

l=OC – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, м;

– приведенная длина физического маятника, м.

Физический маятник обладает следующим свойством: для любой точки подвеса O (период колебаний  T)  найдется такая точка O1 (период  T1), что T = T1. Одна из точек, например, O называется точкой подвеса, другая точка O1 – центр качаний.

Условие T = T1, свидетельствует о том, что точка подвеса O и центр качаний O1 обратимы, поэтому эти точки O и O1 называются сопряженными. Физический маятник, имеющий сопряженные точки O и O1, называется оборотным.

Приведенная длина оборотного маятника Lпр для данной пары сопряженных точек O; O1 равна расстоянию между ними OO1 (рисунок 1а).

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

В комплект лабораторной установки входят маятник (рисунок 2), секундомер, мерная линейка.

Чечевицу 2 можно передвигать по стержню и фиксировать с помощью винта. Для определения ее положения на конце стержня нанесены миллиметровые деления 1. Опорные призмы 3 и 7 закреплены на стержне 5 жестко.

На рисунке 2 приведено одно из положений маятника. При этом маятник будет колебаться относительно призмы 3. Можно перевернуть маятник и установить призму 7 в канавку 4. Если передвигать чечевицу 2 по стержню, то изменится положение точки C – центра масс маятника, а, следовательно, и период колебаний.

Исходя из (1) период колебаний маятника на ребре призмы (оси) А выразится:

,                                           ()

а период колебаний на ребре призмы (оси)  B:

,                                      ()

где         JА –  момент инерции маятника относительно оси A ;

JB –  момент инерции маятника относительно оси B.

Рисунок 2 Схема подвешенного оборотного маятника:

1 – миллиметровая шкала; 2 – подвижная чечевица;

3, 7 – опорные призмы; 4 – опорная канавка; 5 – стержень;

6 – неподвижная чечевица

На рисунке приняты обозначения: С – центр масс маятника; l1 – расстояние между ребром А и точкой С; l2 – расстояние между ребром В и точкой С

Преобразуем (2) и (3), используя теорему Штейнера, которая для колебаний на ребре призмы A записывается как

JA = JC + mC l12,                                        ()

и гласит: момент инерции маятника относительно ребра призмы А равен сумме момента инерции маятника относительно центра масс C (JC) и произведения массы на квадрат расстояния от оси вращения до центра масс C (mC l12 ).

Теорема Штейнера для колебаний маятника относительно ребра призмы B записывается в виде

JB = JC + mC l22 ,                                       ()

где       l2  - расстояние между ребром B и центром масс C; JC  - момент инерции оборотного маятника относительно центра масс C.

Определение величины J тела сложной формы, такого как оборотный маятник, является трудной задачей. Поэтому преобразуем зависимости моментов инерции так, чтобы исключить величину  JC .

Перепишем формулы  (2) и (3)  с учетом выражений  (4) и (5)

,                                    ()

.                                    ()

Для решения нашей задачи найдем такое положение чечевицы 2, что будет выполняться условие

TА = TВ   = T0 .                                         ()

Подставим (6) и (7) в условие (8):.

Отсюда получаем

JC = ml1 l2 .                                          ()

Выражение (9) подставим, например, в формулу (6) (или в (7))

.

Учтем, что  mC = m,  тогда получаем

.

Отсюда ускорение свободного падения тел     ,

где, как видно из рисунка 2, l1 + l2 = Lпр (Lпр - приведенная длина оборотного маятника).

Таким образом, для вычисления ускорения свободного падения тел окончательно получаем

.                                          ()

Из (10) видно, что требуется найти экспериментально такие периоды колебаний маятника, чтобы выполнялось  условие (8). Заметим, что добиться точного совпадения значений TА и TВ практически невозможно. Приходится подбирать такое положение чечевицы 2, чтобы на призмах 3 и 7 оборотный маятник совершал колебания с приблизительно одинаковыми периодами  TА  TВ .

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

3.1 Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей:  /1/ С.39-41, 88-91, 96-99;

- для инженерных специальностей: /2/ С.46-51, 255-261; /3/     С. 168-172, 181-185, 190-197.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.2 Установить чечевицу 2 на нулевое деление шкалы 1 (x = 0).

3.3 Подвесить маятник в опорных канавках 4 на кронштейне, на ребре В призмы 7.

3.4 Отклонить маятник от вертикали на  45, одновременно отпустить маятник и включить секундомер. Измерить время z = 10 полных колебаний маятника и вычислить период колебаний относительно ребра B:   TВ = tВ / z.  Результат занести в таблицу 2.

3.5 Снять маятник и установить его на призму 3.

3.6 Отклонить маятник от вертикали на угол  45, одновременно отпустить маятник и включить секундомер.

Измерить время z = 10 полных колебаний маятника и вычислить период колебаний относительно ребра А по формуле  TА = tА / z.

3.7 Установить подвижную чечевицу 2 на положения x = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 см,  передвигая ее по стержню.

Для каждого значения x определить периоды колебания  TА  и  TВ.

3.8 На миллиметровой бумаге построить график зависимости  TА  от  x, на этой же координатной плоскости построить график зависимости  TВ  от x (рисунок 3). Графики пересекутся в некоторой точке с координатами  D (x0; T0).

Поскольку точка D является общей для обоих графиков, то при значении  x0  периоды колебаний в обоих случаях получаются примерно одинаковыми  TА  TВ = T0 .

3.9 Проверить равенство периодов экспериментально. Для этого установить подвижную чечевицу 2 в положение  x0  и еще раз определить значения времен  tА и tВ  при z=10 колебаниях. Сравнить периоды  TА = tА/z  и  TВ = tВ/z .

Рисунок 3 Графики зависимостей  TА  и  TВ  от расстояния  х

3.10 Если выполняется условие  TА  TВ , тогда по формуле (10) найти значение ускорения свободного падения тел g.

3.11 Вычислить относительную погрешность величины g по формуле

,                ()

Здесь в качестве T следует взять инструментальную погрешность Tинс секундомера. Для ее расчета учтем, что

,                                                ()

значит , а так как Δz=0, то Tинс = . Подставляя (12), получим

T = Tинс =

(для секундомера  tинс = c / 2 ,   c – цена деления).

3.12 Выразить абсолютную погрешность    g =g  g. Окончательный результат эксперимента записать в выводах как

g = (g  g)  м/с2.

Таблица 1 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
  	Lпр  Lпр, м	m  m, кг
3,14  0,005	0,725  0,001	10,0  0,05

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
Положение чечевицы 2, x, см	Число колебаний z	Относительно	оси А	Относительно	оси B
		Время колебаний tA	Период TA	Время колебаний tB	Период TВ
0
2
4
. . .					. . .
18

3.13 Определить положение центра масс С оборотного маятника. Для этого снять маятник с кронштейна, положить его на балансировочную призму и найти точку равновесия.

Линейкой измерить расстояния l1 и l2 от центра масс маятника C до ребер A и B на опорных призмах 3 и 7.

3.14 Вычислить моменты инерции  JА  и  JB  относительно ребер  А  и  В  по формулам

и ,                       ()

где       m – общая масса оборотного маятника указана в таблице 1;

значения  TА  и  TВ  известны для положения x0 подвижной чечевицы : TА  TВ = T0 .

3.15 Определить относительные погрешности  JА и JB.Из (12) следует, что, например, для JА 

.

Упростим данную формулу, предположив, что относительные погрешности измерений длин равны:  . Сравнив это выражение с формулой (11), заменим последние три слагаемые под знаком квадрата

,

в результате получим ,  или:

.

3.16 Абсолютные погрешности рассчитать по формулам

JA =JA  J ,           JB =JB  J .

3.17 Окончательный результат определения моментов инерции представить в выводах в виде

JA =JA  JA     и     JB =JB  JB .

4 Контрольные вопросы

1.  Сформулировать и объяснить закон всемирного тяготения.
2.  Как электрически нейтральные тела с массами  m1  и  m2  взаимодействуют на расстоянии, без непосредственного контакта друг с другом?
3.  Можно ли ввести какие-либо характеристики физических свойств поля тяготения (гравитационного поля) аналогично как для электрического, магнитного полей?
4.  По какой причине тела падают на Землю с ускорением? Как это объяснить физически?
5.  Почему все тела при свободном падении на Землю имеют одинаковые ускорения независимо от их масс? Связано ли это явление как-нибудь со вторым законом Ньютона?
6.  Что называется физическим маятником, математическим маятником?
7.  Можно ли назвать колебания физического маятника гармоническими?
8.  Какая сила вызывает колебания физического маятника?
9.  Можно ли моделировать математически колебания физического маятника?
10.  Каким уравнением описывается закон изменения угла поворота физического маятника в зависимости от времени?
11.  Какова зависимость угловой частоты и периода колебаний физического маятника от его физических характеристик?
12.  Где применяются физические маятники в практике?

Библиографический список

1 Грабовский Р.И. Курс физики.–СПб.: Изд-во "Лань", 2002.-608 с.

2 Трофимова Т.И. Курс физики.–М.: Высшая школа, 2001.-542 с.

3 Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика.–М.: Наука, 2003.-432 с.

Приложение А

Таблица коэффициентов Стьюдента tp,n 

Количество измерений n	Доверительная вероятность   p
	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,997	0,999
1	6,3	12,7	31,8	63,7	127	350	636,6
2	2,9	4,3	7,0	9,9	14	22	31,6
3	2,4	3,2	4,5	5,8	7,4	9,3	12,9
4	2,1	2,8	3,7	4,6	5,6	6,8	8,6
5	2,0	2,6	3,4	4,0	4,7	5,8	6,9
6	1,9	2,4	3,1	3,7	4,3	5,0	6,0
7	1,9	2,4	3,0	3,5	4,0	4,6	5,4
8	1,9	2,3	2,9	3,4	3,8	4,3	5,0
9	1,8	2,3	2,8	3,3	3,7	4,2	4,8
10	1,8	2,2	2,7	3,2	3,6	3,6	4,6
15	1,7	2,1	2,5	2,9	3,3	3,4	4,1
20	1,7	2,0	2,5	2,8	3,2	3,3	3,8
30	1,7	2,0	2,5	2,7	3,0	3,2	3,6
40	1,7	2,0	2,4	2,7	3,0	3,2	3,5
60	1,6	2,0	2,4	2,7	2,9	3,2	3,4
100	1,6	1,98	2,4	2,62	2,85	3,1	3,37
	1,6	1,96	2,3	2,58	2,81	3,0	3,29

Лицензия РБ на издательскую деятельность № 0261 от 10 апреля 1998 г.

Подписано в печать_______________2006 г.

Формат 60х84. Бумага типографская. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л._________. Усл. изд. л.___________

Тираж__________ экз.  Заказ № _____________

Издательство Башкирского государственного аграрного университета

Типография Башкирского государственного аграрного университета

Адрес издательства и типографии: 450001, г.Уфа, ул.50 лет Октября,34

0     2      4     6     8     10   12    14    16   18

TA,TB,  c

x, см

 x0

T0

D

1,70

1,68

1,66

1,64

1,62

1,60

1,58

1,56

1,54

1,52

1,50

0     2      4     6     8     10   12    14    16   18

TA,TB,  c

 x, см

 x0

T0

D

1,70

1,68

1,66

1,64

1,62

1,60

1,58

1,56

1,54

1,52

1,50