Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Логические функции в MS Excel
Над высказываниями как над числами можно проводить алгебраические операции. Такая алгебра называется алгеброй логики (Лабораторная работа № 4). Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.
Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.
Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (A, B, X, Y, …). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).
Логическая функция (составное высказывание) содержит несколько простых высказываний, соединенных между собой с помощью логических операций – F(A, B, …).
Логические операции – логическое действие.
Если логическую функцию выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно: действия в скобках; инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквивалентность. В привычных символах – (…), НЕ( ), И( ), ИЛИ( ), ЕСЛИ, =.
Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.
Для составления таблицы истинности необходимо определить:
Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
Заполнить таблицу истинности по столбцам.
Пример 1
Построим таблицу истинности для выражения .
Количество строк = 22 (2-е переменных) + 1(заголовок столбцов) = 5.
Количество столбцов = 2-е переменные (A, B) + 5 логических операций
Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3
Построим таблицу:
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Пример 2
Построим таблицу истинности для логического выражения
.
Количество строк = 23 + 1 = 9.
Количество столбцов = 3-и логические переменные + 3-и логические операции = 6.
Порядок действий: 3 2 1
.
Нарисуем и заполним таблицу.
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Законы логики.
Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Перечислим наиболее важные из них:
1). – закон тождества.
2). ложь – закон противоречия.
3). истина – закон исключения третьего.
4). – закон двойного отрицания.
5). a a a; a a a – законы идемпотентности.
6). a b b a; a b b a – законы коммутативности (переместительности).
7). (a b) c a (b c); (a b) c a (b c) – законы ассоциативности (сочетательности).
8). a (b c) (a b) (a c); a (b c) (a b) (a c) – законы дистрибутивности (распределительности).
9). – законы де Моргана.
Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается (считается) неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание применяется.
Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием. Утверждать, что какое-либо высказывание истинно вместе с его отрицанием, значит утверждать заведомую ложь. Если мы знаем, что в предложениях «Эта функция – периодическая» и «Эта функция – непериодическая» речь идет об одной и той же функции и первое предложение истинно, то, согласно закону противоречия, второе предложение ложно.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание истинно или ложно; третьего не дано.
Согласно закону двойного отрицания, от рицать отрицание какого-нибудь высказывания — то же, что утверждать это высказывание. Например, высказы вание «Неверно, что 2*2 <>4» означает то же, что и «2*2=4».
Законы коммутативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции аналогичны од ноименным законам умножения и сложения чисел. Иног да дизъюнкцию так и называют логическим сложением, а конъюнкцию — логическим умножением. В отличие от сложения и умножения чисел логические сложение и умножение равноправны по от ношению к дистрибутивности: не только конъюнкция ди стрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.
В силу законов идемпотентности в ал гебре логики нет «показателей степеней» и «коэффици ентов»: конъюнкция одинаковых «сомножителей» равно сильна одному из них; дизъюнкция одинаковых «слагае мых» равносильна одному из них.
Смысл законов де Моргана можно выразить в кратких словесных формулировках: отрицание конъ юнкции равносильно дизъюнкции отрицаний; отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний.
Упражнение. Докажем равносильность двух логических функций. Построим таблицы истинности логических выражений А (В С)
и (А В) (А С), предварительно записав их в виде формул:
Формула 1: =ИЛИ(А;(И(В;С)), Формула 2: =И(ИЛИ(А;В);ИЛИ(А;С)).
Эти формулы записываем в ячейки таблицы D2 и Е2 учитывая адреса ячеек в которых расположены логические переменные.
Колонки с формулами имеют одинаковые значения, следовательно, обе формулы равносильны.
Логические формулы и функции
Функции ИСТИНА( ), ЛОЖЬ( ).
Пример 3. Введем в ячейку А1 формулу =7>5 (знак > – оператор сравнения «больше») Она вернет значение ИСТИНА. Скопируем содержимое A1 в А2 и исправим в А2 формулу: = 3>5. Эта формула вернет значение ЛОЖЬ. Правые части обеих формул представляют собой высказывания, т.е. утверждения, относительно которых можно заключить, верны они или нет. Арифметические формулы высказываниями не являются: они предписывают, как по исходным данным вычислить значение, и вопрос об их истинности или ложности не имеет смысла.
Функция НЕ(логическое_значение).
Пример 4. Введем в ячейку А1 формулу =НЕ(25<=60) (знак <= – оператор сравнения «меньше или равно») Она вернет значение ИСТИНА.
Функция И(логическое_значение1;логическое_значение2;…).
Во многих ситуациях необходимо выполнить определенное действие тогда и только тогда, когда выполняются одновременно два или более условий.
Пример 5. В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, при надлежит ли оно отрезку [2, 5].
Решение. Присвоим ячейке А6 имя z. Введем в А6 число 3. Сначала сконструируем логическое выражение, решающее задачу. Для того чтобы z принадлежал отрезку [2, 5], нужно, чтобы одновременно были истинны два условия: x >= 2 и z <= 5. В ячейке В6 разместим формулу =И(z>=2;z<=5). В В6 получим значение ИСТИНА.
Функция ИЛИ(логическое_значение1;логическое_значение2;…).
Аналогично функции И( ) в некоторых ситуациях действие должно быть выполнено, если реализовано хотя бы одно из условий.
Пример 6. В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, принадлежит ли оно одному из лучей на числовой оси: (-, 2) или (5, ).
Решение. Для того чтобы z принадлежал хотя бы одному из лучей, нужно, чтобы был ис тинным хотя бы одно из условий: (z < 2) или (z > 5). В ячейке D6 разместим формулу =ИЛИ(z<2;z>5). А6 содержит число 3 поэтому формула возвращает ЛОЖЬ.
Функция ECЛИ(лог_выражение;значение_если_ИСТИНА;значение_если_ЛОЖЬ),
где лог_выражение – логическое выражение, которое должно принимать значение ИСТИНА или ЛОЖЬ;
значение_ если_ ИСТИНА – это выражение, которое будет выполняться в том случае, если лог_выражение оказалось истинным;
значение_ если_ ЛОЖЬ – это выражение, которое будет выполняться в том случае, если лог_выражение оказалось ложным.
Пример 7. Формула =ЕСЛИ(А>10;”Больше 10“;”10 или меньше “) возвращает строку “Больше 10”, если значение в ячейке А1 больше 10, и “10 или меньше”, если оно меньше или равно 10.
Для создания более сложных проверок в качестве аргументов значение_если_ИСТИНА и значение_если_ЛОЖЬ можно использовать до 64 вложенных функций ЕСЛИ.
Операторы и их приоритет
Операторами обозначаются операции, которые следует выполнить над операндами формулы. Существует стандартный порядок выполнения вычислений, однако его можно изменить с помощью скобок.
Типы операторов
В MS Excel включено четыре вида операторов: арифметические, текстовые, операторы сравнения и операторы ссылок.
Арифметические операторы служат для выполнения арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение. Результатом операций являются числа.
|
Оператор |
Значение |
Пример |
|
+ (знак плюс) |
Сложение |
3+3 |
|
– (знак минус) |
Вычитание Отрицание |
3–1 –1 |
|
*(звездочка) |
Умножение |
3*3 |
|
/ (косая черта) |
Деление |
3/3 |
|
% (знак процента) |
Процент |
20% |
|
^ (крышка) |
Возведение в степень |
3^2 |
Операторы сравнения используются для сравнения двух значений. Результатом сравнения является логическое значение: либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.
|
Оператор |
Значение |
Пример |
|
= (знак равенства) |
Равно |
А1=В1 |
|
>(знак больше) |
Больше |
A1>B1 |
|
<(знак меньше) |
Меньше |
A1<B1 |
|
>= (знак больше или равно) |
Больше или равно |
A1>=B1 |
|
<= (знак меньше или равно) |
Меньше или равно |
A1<=B1 |
|
<>( знак не равно) |
Не равно |
A1<>B1 |
Текстовый оператор – амперсанд (&) используется для объединения (конкатенации) нескольких текстовых строк в одну строку.
|
Оператор |
Значение |
Пример |
|
& (амперсанд) |
Соединение или объединение последовательностей знаков в одну последовательность. |
“Северный ”&”ветер” “Северный ветер” |
Операторы ссылок используются для описания ссылок на диапазоны ячеек.
|
Оператор |
Значение |
Пример |
|
: (двоеточие) |
Оператор диапазона, который образует одну ссылку на все ячейки, находящиеся между первой и последней ячейками диапазона, включая эти ячейки. |
B5:B15 |
|
; (точка с запятой) |
Оператор объединения. Объединяет несколько ссылок в одну ссылку. |
СУММ(B5:B15;D5:D15) |
|
(пробел) |
Оператор пересечения множеств, служит для образования ссылки на общие ячейки двух диапазонов. |
B7:D7 C6:C8 |
Порядок выполнения действий в формулах
В некоторых случаях порядок выполнения вычислений может оказывать влияние на результат вычисления формулы, поэтому важно понимать, как определяется порядок вычислений и как можно изменить стандартный порядок вычислений для получения требуемых результатов.
Формулы вычисляют значения в определенном порядке. Формула MS Excel всегда начинается со знака равенства (=). Знак равенства свидетельствует о том, что последующие знаки составляют формулу. Элементы, следующие за знаком равенства, являются операндами, разделяемыми операторами вычислений. Формула вычисляется слева направо, в соответствии с определенным порядком для каждого оператора в формуле.
Приоритет оператора
Если в одной формуле используются несколько операторов, MS Excel выполняет операции в порядке, показанном в таблице. Если формула содержит операторы с одинаковым приоритетом – например, операторы деления и умножения, – они выполняются слева направо.
|
Оператор |
Описание |
|
: (двоеточие) (один пробел) ; (точка с запятой) |
Операторы ссылок |
|
– |
Знак «минус» |
|
% |
Процент |
|
^ |
Возведение в степень |
|
*, и, / |
Умножение и деление |
|
+, и, – |
Сложение и вычитание |
|
& |
Объединение двух текстовых строк в одну |
|
=, <>, <=, >= |
Сравнение |
Использование круглых скобок
Для того чтобы изменить порядок выполнения действий, заключите в скобки ту часть формулы, которая должна выполняться первой. Например, результатом формулы =5+2*3, будет число 11, поскольку MS Excel выполняет умножение до сложения. В данной формуле число 2 умножается на 3, а затем к результату прибавляется число 5. Если же с помощью скобок изменить синтаксис формулы =(5+2)*3 сложит 5 и 2, а затем умножит результат на 3, результатом этих действий будет число 21.
PAGE 8