Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Метод Эйлера модифицированный.
Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
с начальным условием:
Выберем шаг:
и введём обозначения: и , где …,
-узлы сетки,
-значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.
Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки:
А(,), С(, и В. Через точку А проведём прямую под углом , где:
.
На этой прямой найдём точку: С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где
,.
Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.
Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .
После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :
.
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
с начальным условием:
.
Выберем шаг:
=0,1
и введём обозначения:
и , где =0,1,2…,
-узлы сетки,
-значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:
, где
,
А числа на каждом шаге вычисляются по формулам:
Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.
Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.
Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.
Метод Эйлера
1. Строим оси координат;
2. Отмечаем A(1; 1) – первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
α= arctg(f(x0; y0))=arctg(f(1; 1))=arctg(2)=70,4º
4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;
5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования
x1 = 1+ 1 · 0,1 = 1,1
6. Проводим прямую x = x1 = 0,1 до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);
7. Ищем y точки B:
Из прямоугольного треугольника ABC ,
Δy = y1 – y0,
Δx = x1 – x0 = h,
f(x0; y0) = (y1 – y0)/h =>
y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = 1 + 0,1 · f(1; 1) = 1,2
Следовательно, точка B имеет координаты (1.1; 1.2).
Метод Рунге-Кутта 4 порядка
1. Строим оси координат;
2. Отмечаем А(1,2; 1) – первую точку интегральной кривой;
3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:
4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;
5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih
x1 = 1,2 + 1 · 0,1 = 1,3;
k1=0,1·f(1,2; 1)=0,1*(-0.55)=-0,055
k2=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,055)/2)=-0,05403
k3=0,1· f(1,2+0,1/2; 1+(-0,054)/2)=-0,05406
k4=0,1· f(1,2+0,1; 1+(-0,05406))=-0,05346
∆y1=((-0,055)+2*(-0,05403)+2*(-0,05406)+(-0,05346))/6=-0,03619
∆y2=1+(-0,03619)=0,964
Следовательно, следующая точка графика решения имеет координаты (1,3; 0,964)