Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ
з дисципліни “Теоретична механіка”
Частина І
Статика. Кінематика
для студентів напрямів підготовки “Гірництво”, “Переробка корисних копалин”, “Металургія” і “ Геодезія, картографія та землеустрій ”
денної та заочної форми навчання
м. Кривий Ріг
2011
Укладач: Б.О. Гузь, канд. техн. наук, доцент
Відповідальний за випуск: Ю.С. Рудь
Рецензент: М.В. Кіяновський
Конспект лекцій містить розділи теоретичної механіки “Статика” і “Кінематика”, які складають 18 аудиторних годин при загальному обсязі курсу 36 годин для кредитно-модульної системи навчання. Даються приклади застосування теоретичних положень та питання для самоконтролю. Наведено список рекомендованої літера тури.
РОЗГЛЯНУТО СХВАЛЕНО
механіки факультету
Протокол № 7 Протокол № 7
від 13.04.2011 р. від 16.05.2011 р.
Передмова
Теоретична механіка є основою загальноосвітніх і спеціаль них дисциплін, таких як опір матеріа лів, теорія механізмів і ма шин, деталі машин, дина міка машин та інші, що вивчаються у вищих навчальних закладах освіти технічного спрямування. Знання теоретичної механіки потрібні студентам для успішного вивчення профілю ючих предметів, а також для творчої інженер ної діяльності на виробництві після закінчення університету.
В сучасних умовах, коли частина студентів денної форми навчання поєднує заняття з трудовою діяльністю, і за тенденції скорочення аудиторних годин на ви вчення курсу з перенесенням навчання у сферу самостійної роботи, необхідні посібники, які б відповідали таким умовам засвоєння дисципліни. Конспект лекцій укладений з врахуванням сучасних вимог і містить в пов ному обсязі лекційну частину ку рсу, яка викладається аудиторно.
Зміст та обсяг лекцій відповідає робочим програмам для спеціа льностей за напрямами підготовки “Гірництво”, “Переробка корисних копалин” і “Ме талургія”. Лекції прону меровані у по слідовності, що відповідає їх аудиторному викла денню. Для напряму підготовки “Геодезія, картографія та землеустрій”, де обсяг курсу менший, теми, що підлягають вивченню, визначаються викладачем згідно робочій програмі.
Конспект лекцій містить достатню кількість прикладів застосування викладених теоретичних положень, що сприяє їх кращому засвоєнню, особливо при самостійному вивченні. Даються посилання на відповідні сторінки розділів базових підручників, що спрощує поглиблене вивчення курсу, а також наведено контрольні запитання до всіх лекцій, що дозволяє студентам перевірити якість їх засвоєння.
Використання конспекту лекцій дозволить студентам в основному засвоїти положення розділів “Статика” і “Кінематика” при самостійному вивченні, що важливо для заочної форми на вчання, а поєднання само стійної роботи з аудиторними занят тями при денній формі навчання забезпечить поглиб лення знань та якісне розуміння навчального матеріалу, що при несе користь при застосуванні положень теоретичної механіки в дисциплінах,
де вона є базовою.
СТАТИКА
ЛЕКЦІЯ 1
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА АКСІОМИ СТАТИКИ. РІВНОВАГА ЗБІЖНОЇ СИСТЕМИ СИЛ
Вступ. Основні поняття статики. Аксіоми статики. В’язі та їх реакції. Види в’язей. Збіжна система сил. Геомет ричні умови рівноваги.
Вступ
Теоретична механіка вивчає найбільш загальні закони меха нічного руху і механічної взаємодії матеріальних тіл та методи вирішення всіх питань, що відносяться до їх руху.
Коло про блем, які розглядаються в теоретичній механіці, є предметом ви вчення інших дисциплін, таких як опір матеріалів, прикладна механіка, спеціальні дисципліни, пов’язані з механі зацією гірни чих робіт та ін. Але у всіх цих дисциплінах викорис товуються ряд основних законів або принципів, які є предметом вивчення теоретичної механіки.
Теоретична механіка включає три основні розділи: ста тика, кінематика, динаміка. Вивчення дисципліни починаємо із статики.
Основні поняття статики
Статика вивчає рівновагу тіл при дії сил, а також зведення системи сил, що діють на тіло, до найпростішого вигляду.
При вивченні вказаних питань використовується ряд базових понять, які ми розглянемо.
Матеріальною точкою називають тіло, розмірами якого при вивченні його руху або рівноваги можна знехтувати. У матері альній точці зосереджена вся маса тіла. Матеріальна точка воло діє властивістю інертності і має здатність взаємодіяти з ін шими тілами.
Сукупність матеріальних точок, положення і рух яких взаємопов’язані, називають системою матеріальних точок.
Незмінюваною системою матеріальних точок називається система, в якій взаємне положення точок залишається незмінним.
Якщо незмінювана система матеріальних точок заповнює якусь частину простору, то така система називається абсолютно твердим тілом. Всі тверді тіла, які зустрічаються в природі, мо жуть змінювати форму (деформуватись) при дії зовнішніх впли вів, але в статиці деформації не розглядаються, тіла вважаються абсолютно твердими. Надалі для скорочення будемо вживати термін тіло, пам’ятаючи, що воно є абсолютно твердим.
Силою називають дію одного тіла на інше, що виражається у вигляді тиску, притягання або відштовхування. Сила є осно вною мірою механічної взаємодії тіл.
Розглянемо характеристики сили ( див. рис. 1.1).
Сила характеризується точкою прикладання А, лінією дії СD, на прямком дії (від А до D) і модулем (числовою величиною), тобто сила є вектором. Модулем сили є довжина вектора АВ, а сам вектор позначається прописною літерою латинського алфавіту (в наведе ному прикладі літерою ).
Одиницею виміру сили в між народній системі одиниць СІ є 1 ньютон (Н).
Сукупність сил, прикладених до тіла, називають системою сил.
Якщо під дією деякої системи сил тверде тіло залишається у спокої або в стані інерційного (рівномірного і прямоліній ного) руху, то таку систему сил називають врівноваженою, а стан цього тіла називають станом рівноваги.
Якщо одну систему сил, прикладених до даного тіла можна замінити іншою системою сил, не порушуючи стану рівноваги, то такі дві системи сил називають еквівалентними (рівноцін ними).
Якщо система сил еквівалентна одній силі , то ця сила називається рівнодійною системи сил, а сили – складовими рівнодійної сили .
Заміну системи сил на рівнодійну називають додаванням сил. Зворотну операцію називають розкладанням рівнодійної сили на складові.
Сила, яка дорівнює рівнодійній по модулю, прямо протиле жна їй за напрямком і діє вздовж тієї ж прямої, називається врі вноважуючою.
Аксіоми статики
У основі статики лежать аксіоми, що встановлюють основні властивості сил, прикладених до абсолютно твердого тіла. Аксі оми статики базуються на відомих з курсу фізики трьох зако нах Ньютона і є іншими формулюваннями вказаних законів або наслідками з них. В сучасному викладенні закони Ньютона формулюються так:
Перший закон (закон інерції): ізольована від зовнішніх впливів матеріальна точка зберігає свій стан спокою або рівно мірного прямолінійного руху до тих пір, коли прикладені сили не змусять її змінити цей стан.
Другий закон (основний закон динаміки): добуток маси матеріальної точки на прискорення, яке вона отримує при дії сили, дорівнює по модулю цій силі, а напрямок прискорення спів падає з напрямком сили. Аналітично цей закон визначається век торним рівнянням а у випадку одночасної дії кількох сил
Третій закон (закон рівності дії і протидії): дві матеріа льні точки діють одна на одну з силами, рівними по модулю і на правленими в протилежні боки вздовж прямої, яка з’єднує ці точки.
В статиці на базі наведених законів формулюється від 5 до 8 аксіом (основних та допоміжних). З метою скорочення обсягу навчального матеріалу ми не розглядатимемо всі аксіоми, звер таючись, при необхідності, до законів Ньютона.
Зупинимось лише на одній аксіомі, яка називається аксіо мою в’язей і дозволяє досліджувати рівновагу твердих тіл, що взаємодіють між собою.
В’язі та їх реакції
Закони Ньютона та відповідні аксіоми статики справедливі для вільного тіла. Вільним називається тіло, переміщенню якого не перешкоджають інші тіла. Наприклад, тіло, що падає під дією сили ваги, може розглядатися як вільне, якщо знехтувати опором повітря.
Якщо на рух тіла накладаються які-небудь обмеження, і воно може або рухатися тільки в певних напрямках, або залишатися нерухомим, то таке тіло називається невільним.
Все те, що обмежує вільний рух тіла, називається в'яззю.
Більшість тіл, які розглядаються в механіці, є невільними. З метою застосування законів Ньютона та аксіом статики до неві льних тіл вводиться поняття реакції в’язі.
На рис. 1.2, а зображено тіло, що лежить на горизонтальній поверхні, яка є в’яззю.
На в’язь діє сила ваги тіла (сила тиску на повер хню). Згідно третього закону Ньютона поверхня також діє на тіло з силою , яка за ве личиною дорівнює силі , але направлена протилежно ( = -). Сила , з якою в'язь діє на тіло, і називається реакцією в'язі. Напрямок реакції завжди протилежний напрямку, по якому в'язь перешкоджає руху тіла.
Після введення реакції в’язі можна відкинути горизонта льну поверхню, тоді матимемо вільне тіло в стані рівноваги, на яке діють сили і (див. рис. 1.2, б).
Наведений приклад дозволяє сформулювати аксіому в’язей: невільне тіло можна розглядати як вільне, якщо відкинути на кладені на нього в’язі, замінивши дію в’язей їх реакціями.
Реакція в’язі є пасивною силою і не може змінити стану тіла. Вона діє лише при наявності в’язі. Всі інші сили що діють на тіло, є активними, і можуть змінювати стан тіла. В наведе ному прикладі при відсутності в’язі тіло буде падати під дією сили ваги .
Види в’язей
У статиці в основному розглядають невільні тіла. Залежно від характеру закріплення тіла, або від виду опори, розрізняють наступні види в'язей:
1. Гладенька площина або опора. При відсутності те ртя тіла по поверхні в’язь не дає тілу переміщуватись тільки за напрямком нормалі до поверхонь в точці дотику. Тому реакція гладенької площини або опори направлена по загальній нормалі до поверхонь тіл в точці дотику і прикладена в цій точці (рис. 1.3, а). Якщо одна з поверхонь є точкою, то реакція направлена по нормалі до іншої поверхні (рис. 1.3, б).
2. Нерозтяжна нитка (гнучка в’язь). Гнучкою в’яззю називають кріплення типу нитки, ланцюга, троса, дроту, ременя, мотузки та ін. В’язь не дає тілу М віддалятись від точки підвісу А за напрямком АМ (рис. 1.4). Тому реакція натягнутої нитки направлена вздовж нитки до точки підвісу. Гнучка в'язь сприймає тільки зусилля на розтяг, тобто є односторонньою.
3. Циліндричний шарнір та підшипник. Циліндричний ша рнір здійснює таке з’єднання двох тіл, при якому одне з них може обертатися відносно іншого навколо спільної осі. Схема шарніра показана на рис. 1.5, а.
Між центральним стержнем шарніра та обоймою є зазор, який за безпечує можливість обе ртання. Якщо роз гля дати центральний стер жень як тіло, а обойму як в’язь, то таке з’єднання відповіда тиме гладенькій площині, і реакція буде направ лена по нормалі до пове рхонь в точці до тику. Оскі льки положення точки дотику зале жить від напрямків дії актив них сил і наперед невідоме, то при розв’язуванні задач реакція циліндричного шарніра А зобра жається двома складо вими і по взаємно перпендикуляр ним осям (рис. 1.5, б). Тоді результуюча реакція:.
4. Нерухома та рухома шарнірні опори. Нерухома ша рнірна опора містить циліндричний шар нір, обойма якого закріплена на неру хомій підставці. Ре акція нерухомої опо- ри А зобража ється аналогічно циліндри- чному ша рніру (рис. 1.6, а).
Якщо встанови- ти підставку нерухо- мої опори на катки, то опора стане рухомою (рис. 1.6, б). Така в’язь не дає тілу переміщуватись по напрямку нормалі до поверхні, на яку спираються катки опори. Відповідно, реакція рухомої шарнірної опори В направлена по нормалі до поверхні, по якій можуть рухатися катки.
5. Невагомий стержень. Невагомим називається стержень, вага якого набагато менша, ніж навантаження, що діє на нього. На кінцях стержня містяться шарніри, через які він з’єднується з тілами (рис. 1.7). Рівновага матиме місце лише у випадку, коли активні сили на кінцях діють вздовж стержня. Отже, реакція невагомого шарнірно закріпленого стержня направлена вздовж осі стержня. Стержень може стискатися, або розтягуватися (відповідно реакції і , рис. 1.7), тобто стержень є двосторонньою в’яззю.
6. Сферичний шарнір та підп’ятник. Сферичний ша рнір здійснює таке з’єднання двох тіл, при якому вони можуть як завгодно обертатися одне відносно іншого навколо центра шарніра. Схема сферичного шарніра показана на рис. 1.8, а.
Кульова п’ята шарніра розміщена в обоймі, а між кулею і обоймою є зазор, який забезпечує взаємне обертання тіл. Як і у випадку циліндричного шарніра, положення точки дотику кулі до обойми наперед невідоме, а тому при розв’язуванні задач реакція сферичного шарніра А зобра жається трьома складо вими, і по взаємно перпендикуляр ним осям. Тоді результуюча реакція:.
Схема підп’ятника показана на рис. 1.8, б. Таке з’єднання можна розглядати як підшипник з торцевою кришкою. Напрямок реакції в такій конструкції також попередньо невідомий, а тому, як і у випадку сферичного шарніра, при розв'язуванні задач реакція підп’ятника В зобра жається трьома складо вими, і по взаємно перпендикуляр ним осям.
7. Шорсткі в’язі. При спробі зсунути одне тіло по поверхні іншого тіла в площині дотику тіл виникає сила опору відносному ковзанню, яка називається силою тертя ковзання. Ця сила обумовлена шорсткістю поверхонь та наявністю зчеплення у притиснутих одне до одного тіл.
Якщо прикласти до тіла силу Q (рис. 1.9), збільшуючи її від нуля, то рівновага зберігатиметься до величини сили Q = Fгр, де Fгр - гранична сила тертя. Величина граничної сили тертя дорівнює добутку статичного коефіцієнта тертя f0 на нормальну реакцію:
Fгр = f0 N.
Геометрична сума нормальної реакції і сили і буде реакцією шорсткої в’язі (див. рис. 1.9).
При розгляді граничної рівноваги тіл реакцію шорсткої в’язі зображають двома складовими і .
Окремі види реакцій в’язей будуть розглянуті в наступних лекціях.
Збіжна система сил
Систему сил, лінії, дії яких перетинаються в одній точці, називають збіжною.
Збіжна система сил може бути просторовою (лінії дії сил не лежать в одній площині) або плоскою (лінії дії розміщені в одній площині).
Розглянемо систему з трьох сил, лінії дії яких перетинаються в точці О (рис. 1.10, а).
Для спрощення такої системи перенесемо всі сили в точку О вздовж ліній їх дії (рис. 1.10, б). При цьому стан тіла не зміниться, що випливає з другого закону Ньютона. Далі додамо сили, використавши відоме правило паралелограма. В результаті система з трьох сил заміниться на одну силу (рис. 1.10, б і в), яка буде рівнодійною системи сил (). Аналогічний результат можна одержати для будь-якої кількості сил.
Таким чином, збіжна система сил зводиться до однієї сили (рівнодійної), яка дорівнює геометричній сумі сил і прикладена в точці перетину ліній їх дії.
Геометричні умови рівноваги
Знаходження рівнодійної системи збіжних сил, наведе- ної на рис. 1.10, а, при дода- ванні за правилом трикутника зведеться до побудови силового многокутника (рис. 1.11, а).
З першого закону Нью- тона випливає, що тіло буде знаходитись у стані спокою, якщо на нього не діють сили, тоді у випадку збіжної системи сил рівнодійна при рівновазі повинна дорівнювати нулю, або силовий трикутник (многокутник), побудований на силах, має бути замкнутим (рис. 1.11, б). Наведений висновок і визначає геометричні умови рівноваги системи збіжних сил.
Позначивши кути між силами і через α, β і γ (рис. 1.11, б), запишемо вираз для теореми синусів
.
З наведеної подвійної рівності можна знайти дві невідомі величини. Зокрема, знаючи одну силу і два кути, можна визначити дві невідомі сили.
Розглянемо приклад знаходження реакцій в’язей описаним методом.
Стержні АС і ВС з’єднані між собою і з вертикальною стіною за допомогою шарнірів (рис. 1.12, а). На шарнірний болт С діє вертикальна сила Р = 1000 Н. Визначити реакції стержнів.
Розглянемо рі вновагу точки С, в якій сходяться лі нії дії сили ваги та ре акції і , направле ні вздовж стержнів АВ і ВС. Виріза ємо точку С і при кладаємо до неї діючі сили (рис. 1.12, б). При вста новленні на прям ків реакцій врахуємо, що стер жень АС розтягу ється, а стер жень ВС стискається, відповід но реакції стерж нів будуть направ лені протилежно розтягу або стисненню.
Будуємо силовий трикутник, відклавши спочатку відому силу , а потім реакції в’язей і (рис. 1.12, в). Згідно те ореми синусів
З лівої частини подвійної рівності знаходимо
Н.
З правої частини рівності маємо
Н.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: вступ – с. 5-8; основні поняття статики – с. 9-11; аксіоми статики – с. 11-15; в’язі та їх реакції, види в’язей – с. 15-17; шорсткі в’язі – с. 64-67; збіжна система сил, геометричні умови рівноваги – с. 19, 23.
Питання для самоконтролю
ЛЕКЦІЯ 2
УМОВИ РІВНОВАГИ ДОВІЛЬНОЇ ПЛОСКОЇ СИСТЕМИ СИЛ
Аналітичний спосіб задавання та додавання сил. Аналітичні умови рівноваги збіжної системи сил. Алгебраїчний момент сили та пари сил. Реакція жорсткого защемлення. Зведення плоскої системи сил до центру. Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил.
Аналітичний спосіб задавання та додавання сил
Для визначення умов рівноваги систем сил, складніших за збіжну, потрібен інший спосіб задавання сил. Цей спосіб називається аналітичним і базується на понятті проекції сили на вісь.
Знайдемо проекцію сили на вісь x, опустивши на вісь перпендикуляри з початку А і кінця В вектора сили (рис. 2.1, а).
Відрізок аb і буде проекцією силина вісь x. Як видно з рис. 2.1, а, величина проекції: Fx = F cos α, де α - кут між додатним напрямком осі x і вектором сили . Проекція сили на вісь є алгебраїчною величиною, знак якої визначається кутом α: Fx > 0 при 0 ≤ α < 900 і Fx < 0 при 900 < α ≤ 1800. Для кута α = 900 проекція Fx = 0.
Для спрощення знаходження проекції сили на вісь користуються правилом: спочатку знаходиться абсолютна величина проекції як добуток модуля сили на косинус гострого кута між силою і віссю, потім з рисунка визначається знак проекції.
Для рис. 2.1, б: Fx = - F cos β, оскільки α > 900, або ж напрямок сили протилежний додатному напрямку осі.
Розглянемо також знаходження проекцій сили на дві взаємно перпендикулярні осі (рис. 2.2).
Проекція сили на вісь х: Fx = F cos α, а на вісь у – Fу = F cos β = F cos(900 - α) = F sin α, тобто для знаходження проекцій на дві осі при використанні наведеного правила достатньо знати один гострий кут між силою та однією з осей.
При задаванні сили аналітичним способом використовується система координатних осей Оxyz, відносно якої визначається напрямок сили у просторі. Застосовується права система корди- нат, тобто така система, в якій сумі- щення осі Ох з віссю Оу по найкоротшому шляху відбувається проти ходу стрілки годинника, коли дивитися з додатного напрямку осі Оz.
Якщо проекції сили Fx, Fу і Fz на координатні осі є відомими, то можна визначити модуль сили і кути, які вона утворює з координатними осями (див. рис. 2.3)
cos α = Fx/F; cos β = Fy/F; cos γ = Fz/F.
Точка прикладання сили задається окремо її координатами x, y, z.
Для додавання сил використову ється теорема геометрії: проекція век тора суми на якусь вісь дорівнює алгеб раїчній сумі проекцій векторів, що до даються, на ту ж вісь.
Згідно цій теоремі, якщо сила є сумою сил , тобто , то
Знаючи проекції Rx, Ry і Rz, знаходимо модуль вектора суми сил та направляючі косинуси
cos α = Rx/R; cos β = Ry/R; cos γ = Rz/R.
Якщо сили задані їх модулями і кутами з осями, то для застосування аналітичного методу додавання слід попередньо обчислити проекції сил на координатні осі.
З наведених виразів можна одержати умови рівноваги збіжної системи сил.
Аналітичні умови рівноваги збіжної системи сил
Оскільки при рівновазі рівнодійна (див. лекцію 1), то, відповідно, її модуль R = 0, або Rх = 0, Rу = 0 і Rz = 0, звідки матимемо наступні умови рівноваги.
Просторова система сил:
Плоска система сил:
З одержаних рівнянь можна знайти три невідомі величини для просторової і дві - для плоскої системи сил, але загальна кількість сил не обмежується, що визначає перевагу аналітичних умов рівноваги порівняно з геометричними.
Розв’яжемо аналітичним способом задачу, розглянуту в лекції 1 (рис. 1.12).
Відзначимо, що при розв’язуванні задач аналітичним способом реакції стержнів показуються на розтяг. Тоді рівновага точки С (див. рис. 1.12, б) відповідатиме системі сил, показаній на рис. 2.4.
Направимо координатні осі Сх і Су за напрямками невідомих сил і , що забезпечить найбільш простий вигляд рівнянь рівноваги.
Для плоскої системи збіжних сил складаємо два рівняння рівноваги:
ТВС + Р sin 300 = 0;
ТВС = - Р sin 300 = - 1000·0,5 = - 500 H.
ТAС - Р cos 300 = 0;
ТAС = Р cos 300 = 1000·0,866 = 866 H.
Знак “мінус” у першому розв’язку показує, що стержень ВС стискається.
Алгебраїчний момент сили та пари сил
При дослідженні рівноваги тіл використовуються такі важливі поняття, як момент сили та момент пари сил.
Спочатку розглянемо поняття моменту сили. Нехай на тіло, діє сила , прикладена в точці А. Направимо координатні осі х і у так, щоб лінія дії сили знаходилась в площині О1ху (рис. 2.5).
Виберемо в координатній площині довільну точку О і припустимо, що через вказану точку перпендикулярно площині проходить вісь обертання. Очевидно, що сила буде обертати тіло навколо вказаної осі. Якщо зафіксувати вісь, то обертання не буде, але сила все одно намагатиметься повернути тіло відносно точки О, тобто матиме місце поворотний ефект дії сили.
З курсу фізики відомо, що поворотний ефект, який намагається створити сила, або момент сили, визначається добутком модуля сили на плече. Плечем сили відносно точки О називається довжина перпендикуляра h, опу- щеного з точки О на лінію дії сили (див. рис. 2.5).
Характеристикою моменту сили є також напрямок повороту (по ходу або проти ходу стрілки годинника), який можна врахувати, задавши знак моменту.
Отже, алгебраїчним моментом сили відносно точки (центру) О називається скалярна величина, яка дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на її плече
Момент має знак “плюс”, якщо сила намагається повернути тіло навколо точки О проти ходу стрілки годинника, і знак “мінус” – якщо по ходу стрілки. Так, для рис. 2.5 момент є додатним.
В міжнародній системі одиниць СІ одиницею виміру моменту сили є 1 Н·м.
Безпосередньо з наведеного виразу для моменту сили випливають такі властивості:
момент сили не зміниться при перенесенні точки при прикладання сили вздовж лінії її дії, оскільки при цьому не змінюються ні модуль сили, ні довжина плеча;
момент сили дорівнює нулю, якщо модуль сили дорівнює нулю, або якщо лінія дії сили проходить через точку, оскільки при цьому довжина плеча дорівнює нулю.
Далі розглянемо поняття моменту пари сил.
Парою сил називають систему з двох рівних по модулю, паралельних і протилежно направлених сил, які не лежать на одній прямій.
Нехай на тіло діє пара сил , яка лежить в координатній площині Оху (рис. 2.6, а).
Очевидно, що пара сил намагатиметься повернути тіло, тобто її дія зводиться до поворотного ефекту, який і називають моментом пари сил.
Поворотний ефект пари відносно точок прикладання А і В сил і визна читься відповідними алгеб раїчними моментами сил
де d – плече пари ( див. рис. 2.6, а).
Аналогічний результат можна одержати для будь-якої точки тіла.
Отже, алгебраїчним моментом пари сил є скалярна величина, яка дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля однієї з сил пари на її плече.
Знак моменту пари сил визначається аналогічно моменту сили (рис. 2.6, б).
Відзначимо найважливіші властивості пари сил, які можна довести відповідними теоремами:
пару сил, не змінюючи стану тіла, можна переносити в будь-яку іншу точку в площині її дії;
система пар сил, які лежать в одній площині, еквівалентна одній рівнодійній парі, момент якої дорівнює сумі алгебраїчних моментів всіх пар:
Далі розглянемо один вид реакції в’язі, в якому використовується поняття моменту пари сил.
Реакція жорсткого защемлення
Розглянемо в’язь, яка здійснюється у формі закладання од ного тіла в інше (напр. балка, замурована одним кінцем в стіну, рис. 2.7, а). При дії на ба лку сили під будь-яким ку том ма тиме місце про тидія, тоді реакцію жор сткого за щем лення балки можна за дати двома складовими по взаємно пер пен дикуляр ним осям. Протидія матиме місце і при дії на балку пари сил, відповідно тре тьою скла довою реакції буде мо мент пари сил (реактивний момент), який протидіє скручуванню ба лки.
Отже, реакція жорсткого защемлення А зобра жається двома складо вими реакцій і по взаємно перпендикуляр ним осям та моментом пари сил mA.
Невідомий момент пари сил при розв’язуванні задач завжди задається додатним, а реакції направляються за напрямками координатних осей, вибраними для всієї задачі незалежно від положення кріплення (рис. 2.7, б).
Зведення плоскої системи сил до центру
Система сил, в якій сили як завгодно розміщені в одній площині, називається плоскою. Для задавання довільної плоскої системи сил аналітичним способом достатньо мати дві координати. На тіло крім сил в координатній площині Оху можуть діяти і пари сил з моментами mi (рис. 2.8).
Для визначення умов рівноваги плоскої системи сил зведемо її до найпростішого вигляду. З цією метою розглянемо теорему про паралельне перенесення сили: силу, не змінюючи стану тіла, можна переносити в будь-яку іншу точку, додаючи при цьому пару сил з моментом, який дорівнює моменту сили, що переноситься, відносно точки перенесення.
Нехай в точці А тіла прикладена сила (рис. 2.9).
Для доведення теореми прикладемо в довільно вибраній точці В врівноважену систему сил (), прийнявши, що . Прикладання врівноваженої системи сил не змінить стану тіла, що є наслідком із другого закону Ньютона. Оскільки сили і утворюють пару сил, то їх можна відкинути, приклавши до тіла замість вказаної пари момент пари сил: m = mB().
Використаємо доведену теорему для спрощення плоскої системи сил. Нехай на тіло діє система сил (рис. 2.10, а).
Перенесемо всі сили в довільно вибрану точку (центр) О, додаючи відповідні моменти пар сил m1, m2, ... , mn. Далі додамо збіжні сили і моменти пар сил .
Тоді одержимо одну силу
,
і один момент пари сил
які, відповідно, називаються головним вектором і головним моментом системи сил (див. рис. 2.10, б).
В результаті доведена теорема про зведення плоскої системи сил до центру: плоска система сил при зведенні до довільного центру О замінюється однією силою , яка дорівнює головному вектору системи сил і прикладена в центрі зведення О, і однією парою сил з моментом МО, який дорівнює головному моменту системи сил відносно центру О.
Відзначимо також, що при величина головного моменту МО не залежить від вибору центру О, інакше одна й та ж система сил могла б замінюватись нееквівалентними парами сил, що неможливо.
Далі розглянемо рівновагу тіла при дії плоскої системи сил.
Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил
Стан тіла при дії плоскої системи сил буде визначатися величиною головного вектора і головного моменту МО, до яких вона зводиться. Очевидно, що при рівновазі вказані величини повинні одночасно дорівнювати нулю, інакше тіло буде або рухатися, якщо , або обертатися, якщо . Такий висновок є наслідком з першого та другого законів Ньютона.
Отже, для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб її головний вектор і головний момент відносно будь-якого центра дорівнювали нулю, тобто, щоб виконувались умови
Оскільки для плоскої системи сил модуль головного вектора то при рівновазі Rx = 0 і Rу = 0. Врахувавши, що і та вираз для головного моменту МО, одержимо основну форму умов рівноваги
Якщо на тіло крім сил діють моменти пар сил (див. рис. 2.8), то остання з наведених рівностей (рівняння моментів) матиме вигляд
тобто моменти пар сил додаються до рівняння з відповідними знаками.
З трьох рівнянь рівноваги можна знайти три невідомі величини.
Відзначимо також, що рівняння моментів справедливе відносно будь-якої точки, яка може належати тілу або знаходитись за його межами.
Рівняння рівноваги складаються для зосереджених сил, тобто для сил, прикладених до окремих точок тіла. Розглянемо, як привести до зосереджених сил розподілені сили.
На рис. 2. 11, а показана плоска система сил, рівномірно розподілених вздовж відрізка прямої довжиною l (рівномірне на вантаження). Така система сил задається інтенсивністю q, тобто величи ною сили, яка припа дає на одиницю довжини навантаженої ді лянки. Оди ницею виміру інтенсивності є 1 Н/м.
Рівномірне навантаження замінюється зосередженою силою (рівнодійною) , модуль якої Q = ql, а прикладається сила на середині ділянки.
Рівнозмінне наванта ження (рис. 2.11, б) харак теризується інтенсивні стю q, яка рівномірно зростає від нуля до мак симальної вели чини qmax. Рівнозмінне нава нтажен ня замінюється зосеред женою силою , мо дуль якої Q = 0,5qmaxl, а прикладається сила на віддалі l/3 від кінця діля нки з інтенсивністю .
Розглянемо приклад розв’язання задачі на рівновагу тіла при дії плоскої системи сил.
Визначити реакції опор А і В балки, на яку діє сила F = 2 кН і момент пари сил m = 6 кН·м (рис. 2.12, а).
Будуємо розрахункову схему задачі, відкинувши в’язі та замінюючи їх дію реакціями (рис. 2.12, б).
Реакцію нерухомої шарнірної опори А задаємо двома складовими і (див. лекцію 1, рис. 1.6, а). Напрямки реакцій одночасно задають і додатні напрямки координатних осей х і у. Реакцію рухомої шарнірної опори В направляємо перпендикулярно до поверхні, по якій рухаються катки (див. лекцію 1, рис. 1.6, б).
З метою спрощення розв’язання задачі силу розкладаємо на складові і по координатним осям х і у. Модулі складових сили : F' = F cos 450; F″ = F sin 450.
Спочатку складемо рівняння моментів відносно точки А, в якій сходяться невідомі реакції і :
-2F″ + 3RB - m = 0;
RB =1/3(2F sin 450 + m) = 1/3(2·2·0,707 + 6) = 2,9 кН.
Далі складаємо рівняння для проекцій сил:
XA - F′ = 0; XA = F cos 450 = 2·0,707 = 1,4 кН.
YA + RB - F″ = 0;
YA = - RB + F sin 450 = -2,9 + 2·0,707 = - 1,5 кН.
Знак “мінус” показує, що напрямок реакції протилежний заданому.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: аналітичний спосіб задавання та додавання сил – с. 20-23; аналітичні умови рівноваги збіжної системи сил – с. 23-24; алгебраїчний момент сили та пари сил – с. 41-42; реакція жорсткого защемлення – с. 49; зведення плоскої системи сил до центру – с. 37-40, 44-45; аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил – с. 46-48; розподілене навантаження – с. 58-59.
Питання для самоконтролю
ЛЕКЦІЯ 3
РІВНОВАГА СИСТЕМ ТІЛ. ВЕКТОРИ МОМЕНТУ СИЛИ ТА ПАРИ СИЛ
Статично визначені та статично невизначені конструкції. Рівновага систем тіл. Вектори моменту сили та пари сил. Момент сили відносно осі.
Статично визначені та статично невизначені конструкції
Тіла (конструкції), для яких число невідомих реакцій в’язей більше числа рівнянь рівноваги, називаються статично невизначеними, а конструкції, для яких число невідомих реакцій в’язей дорівнює числу рівнянь рівноваги – статично визначеними.
Приклад статично невизначеної конструкції наведено на рис. 3.1.
Ламана балка в точках А і В закріплена нерухомими шарнірними опорами. Задамо реакції опор , , , . Для даної конструкції число реакцій в’язей дорівнює чотирьом, тоді як для плоскої системи сил можна скласти три рівняння рівноваги. З трьох рівнянь визначити чотири невідомі величини неможливо.
Задачі на статично невизначені конструкції в теоретичній механіці не розв’язуються. Розрахунки таких конструкцій можливі при врахуванні їх деформацій, що розглядається в курсі опору матеріалів.
Рівновага систем тіл
Систему тіл утворюють тіла, з’єднані між собою в’язями. В’язі, які з’єднують тіла, називаються внутрішніми на відміну від зовнішніх в’язей, що кріплять конструкцію, наприклад опор.
Обмежимось розглядом рівноваги системи з двох тіл. На рис. 3.2, а показана збірна балка, частини якої АС і ВС з’єднані в точці С циліндричним шарніром. Кінці А і В балки кріпляться нерухомими шарнірними опорами.
Очевидно, що сума сил в шарнірі С дорівнює нулю (), що випливає з третього закону Ньютона. Невідомими величинами є реакції , , , опор А і В. З рис. 3.2, а знайти вказані величини неможливо, оскільки число рівнянь рівноваги дорівнює трьом.
Розділимо збірну балку на частини по шарніру С і розглянемо рівновагу частин балки окремо (рис. 3.2, б). Для збереження рівноваги лівої і правої частин балки необхідно в точці С прикласти сили, які діють відповідно на центральний стержень і обойму шарніра, тобто реакції, та , (XC = X′C і YC = Y′C).
Для двох схем (рис. 3.2, б) число невідомих реакцій в’язей дорівнює шести, тоді, склавши шість рівнянь рівноваги для плоскої системи сил, можна знайти всі шість невідомих.
Вектори моменту сили та пари сил
Введене у попередній лекції поняття алгебраїчного моменту сили характеризує поворотний ефект дії сил, які лежать в одній площині. Якщо сили довільно зорієнтовані у просторі, то крім модуля та знаку моменту поворотний ефект буде визначатися також положенням у просторі площин повороту.
Положення площини повороту можна задати напрямком перпендикуляра (нормалі) n до площини (рис. 3.3). Тоді момент сили відносно центру О визначатиметься не лише числовою величиною, а й напрямком, тобто буде вектором, направленим по нормалі n. При цьому знак моменту можна задати напрямком вектора відносно нормалі.
Моментом сили відносно центра О називається прикладений в центрі О вектор , рівний за модулем добутку модуля сили F на її плече h, і направлений перпендикулярно площині ОАВ, яка проходить через лінію дії сили і центр О, в той бік, звідки видно, що сила прагне повернути тіло проти ходу стрілки годинника (див. рис. 3.3).
Знайдемо вираз для вектора . З цією метою розглянемо векторний добуток векторів і . За визначенням модуль векторного добутку
2 пл. ∆ ОАВ = Fh = .
Згідно правилу векторного добутку вектор направлений так само, як і вектор . Тоді
= ,
де - радіус-вектор точки А, проведений з центра О.
Отже, момент сили відносно центра О дорівнює векторному добутку радіуса-вектора , проведеного з центра О в точку А прикладання сили, на саму силу.
Якщо на тіло діють довільно зорієнтовані у просторі пари сил, то складовою їх поворотного ефекту також буде положення площин повороту.
Положення площини повороту задасться нормаллю до площини дії пари, тоді момент пари сил буде вектором, направленим по нормалі, а його напрямок визначиться так само, як і у випадку моменту сили відносно центру (рис. 3.4).
Якщо точку А прийняти за центр, то, як і у випадку моменту сили відносно центру, момент пари сил:
а його модуль:
m = Fd.
Відповідними теоремами можна довести такі властивості моменту пари сил:
момент пари сил є вільним вектором, і може бути прикладеним у будь-якій точці тіла;
якщо на тіло діють кілька пар сил з моментами , , …, , то сукупність цих пар еквівалентна одній парі з моментом .
Момент сили відносно осі
Нехай на тіло діє сила , момент якої відносно центра О складає . Проведемо через центр О вісь z і спроектуємо вектор на вісь (рис. 3.5).
Проекція вектора на вісь z, яка проходить через центр О, називається моментом сили відносно осі z:
де γ – кут між вектором і віссю z.
Очевидно, що проекція вектора моменту сили на вісь, як і будь-якого вектора, є алгебраїчною величиною.
Знайдемо інший вираз для , який дозволить визначити величину моменту та з’ясувати його фізичний зміст. З цією метою проведемо через довільну точку О1 осі z площину xy, перпендикулярну до осі, та спроектуємо ∆ ОАВ на цю площину (рис. 3.5).
Оскільки пл. ∆ ОАВ, а z пл. ∆ О1А1В1, то кут γ буде кутом між площинами вказаних трикутників.
Тоді: 2 пл. ∆ О1А1В1 = 2 пл. ∆ ОАВ cosγ = =
З іншого боку, 2 пл. ∆ О1А1В1 = Fxyh, де Fxy - модуль проекції сили на площину xy (див. рис. 3.5). Одночасно добуток Fxyh є модулем алгебраїчного моменту сили відносно точки О1. З врахуванням знаків одержимо
Отже, момент сили відносно осі дорівнює алгебраїчному моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до осі, взятому відносно точки перетину осі з площиною.
Одержаний результат пояснює фізичний зміст величини . Якщо розкласти силуна складові і (рис. 3.6), то поворот навколо осі z буде здійснювати тільки складова , а складова може лише зсунути тіло вздовж осі z.
Таким чином, момент сили характеризує поворот ний ефект дії сили відносно осі z.
На основі викладеного розглянемо графоаналітичний метод знаходження моменту сили відносно осі.
В загальному випадку для знаходження моменту сили відносно осі z необхідно (рис. 3.7, а):
спроектувати силу на площину Оху, або будь-яку іншу площину, паралельну вказаній площині, та знайти модуль проекції сили (Fxy = F cos α) ;
опустити з точки перетину осі z з площиною Oxy перпендикуляр на лінію дії проекції сили і знайти його довжину h, тобто плече сили відносно точки O, та обчислити добуток Fh cos α;
визначити знак моменту сили відносно точки O та записати алгебраїчну величину моменту:= ± Fh cos α.
Знаходження моменту сили відносно осі спрощується, якщо сила паралельна площині Oxy (рис. 3.7, б). В цьому випадку Fxy = F і, відповідно, = ± Fh.
В двох випадках момент сили відносно осі дорівнює нулю:
сила паралельна осі z, тоді проекція сили на площину Oxy дорівнює нулю;
лінія дії сили перетинає вісь z, тоді плече h сили відносно точки О дорівнює нулю.
Моменти сили відносно осей х і у знаходяться аналогічно.
Розглянемо простий приклад знаходження моменту сили відносно осі.
Визначити момент сили відносно осі Oz, якщо її величина дорівнює 5 Н, а ребро куба a = 0,2 м (рис. 3.8).
Момент сили знайдеться простіше, якщо силу розкласти на складові і по координатних осях: Fx = F cos 450; Fz = F sin 450. Очевидно, що момент сили дорівнює сумі моментів складових і .
Для осі Оz : , оскільки ׀׀Оz, тоді = F cos 450·a = = 5∙0,707·0,2 = 0,707 Н.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: статично визначені та статично невизначені конструкції – с. 56-57; рівновага систем тіл – с. 53-54; вектори моменту сили та пари сил – с. 31-36; момент сили відносно осі – с. 72-74.
Питання для самоконтролю
ЛЕКЦІЯ 4
РІВНОВАГА просторової СИСТЕМИ СИЛ. ЦЕНТР ВАГИ ТВЕРДОГО ТІЛА
Зведення довільної просторової системи сил до центру. Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил. Центр паралельних сил та його координати. Центр ваги твердого тіла. Координати центрів ваги однорідних тіл. Способи визначення координат центрів ваги тіл.
Зведення довільної просторової системи сил до центру
Довільною просторовою системою сил є система, в якій сили як завгодно зорієнтовані у просторі. Для задавання просторової системи сил аналітичним способом необхідно мати три координатні осі. На тіло крім сил можуть діяти і пари сил з моментами (рис. 4.1).
Для спрощення просторової системи сил використовуються теореми про паралельне перенесення сили та про зведення системи сил до центру, розглянуті в лекції 2 для плоскої системи сил. У випадку просторової системи сил при паралельному перенесенні сили додається не алгебраїчний, а векторний момент (див. лекцію 2, рис. 2.9), а при зведенні системи сил до центру О моменти пар сил замінюються на вектор (див. лекцію 2, рис. 2.10).
Отже, просторова система сил при зведенні до довільного центру О замінюється однією силою (головним вектором)
,
який прикладений в центрі зведення О, і однією парою сил (головним моментом)
Як і у випадку плоскої системи сил, при величина головного моменту не залежить від вибору центру О, інакше одна й та ж система сил могла б замінюватись нееквівалентними парами сил, що неможливо.
Далі розглянемо рівновагу тіла при дії довільної просторової системи сил.
Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил
При рівновазі тіла головний вектор і головний момент повинні одночасно дорівнювати нулю, інакше тіло буде або рухатися, якщо , або обертатися, якщо . Такий результат можна отримати з першого та другого законів Ньютона.
Отже, для рівноваги просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб її головний вектор і головний момент відносно будь-якого центра дорівнювали нулю, тобто, щоб виконувались умови
Для просторової системи сил модуль головного вектора тоді при рівновазі Rx = 0, Rу = 0, Rz = 0.
Модуль головного моменту системи сил також можна задати через його проекції на координатні осі:
відповідно при рівновазі:
Мх = 0, Му = 0, Мz = 0.
Врахувавши, що , а одержимо умови рівноваги довільної просторової системи сил:
Якщо на тіло крім сил діють моменти пар сил (див. рис. 4.1), то до трьох останніх рівностей (рівнянь моментів) необхідно додати відповідні проекції векторів моментів на координатні осі, напр. для осі х
З шести рівнянь рівноваги можна знайти шість невідомих величин.
Рівняння моментів справедливі відносно будь-якого центру, тому, при необхідності, для знаходження проекцій сил і моментів відносно осей можна використовувати різні системи координат.
Розглянемо задачу на застосування рівнянь рівноваги.
Сила F = 40 H, прикладена до шківа, врівноважується силою (рис. 4.2). Знайти реакції опор, якщо радіус шківа R = 0,4 м, r = 0,25 м, a = 0,6 м, в = 0,4 м і сила ׀׀׀׀ Oy.
Прикладаємо до вала реак ції, , підп’ятника А (див. лекцію 1, рис. 1.8, б) та реакції , підшипника В (див. лекцію 1, рис. 1.5) і складаємо шість рівнянь рівно ваги:
XA + XВ = 0; (1)
YA + YB - Q - F = 0; (2) ZA = 0; (3)
Q∙a + F∙a - YB(a + b) = 0; (4) XB(a + b) = 0; (5) Q∙r - F∙R = 0. (6)
Розв’язуємо систему рівнянь та виконуємо обчислення.
З рівняння (6) знаходимо: Q = = F·R/r = 64 Н.
Із (5) маємо: ХB = 0 .
Із (4) з врахуванням (6): YB = = a (Q + F) /(a + b) = 62,4 H.
Із (2) з врахуванням (4) і (6): YA = - YB + Q + F = 41,6 H.
Із (1) з врахуванням (5): XA = 0.
Центр паралельних сил та його координати
Поняття про центр паралельних сил використовується для визначення положень центрів ваги тіл.
Розглянемо дві пара лельні сили і , при кладені до тіла в точках А і В (рис. 4.3).
Очевидно, що така плоска система сил має рівнодійну
,
лінія дії якої паралельна силам , і проходить через якусь точку С, що лежить на прямій АВ.
Знайдемо векторний добуток радіуса-вектора , проведеного з довіль ного центра О, на на ведену рівність: , або згідно визна ченню моменту сили відносно центра
.
Спроектувавши обидві частини векторної рівності на вісь z, матимемо
.
Одержані рівності є аналітичними виразами теореми про момент рівнодійної відносно центру та осі (теорема Варіньйона).
За допомогою вказаної теореми визначимо положення точки С прикладання рівнодійної
або 0 = F1h1 - F2h2 ;
F1·AC·cos α - F2·BC·cos α = 0.
З останнього виразу маємо
F1·AC = F2·BC.
Одержана рівність і визначатиме положення точки С прикладання рівнодійної.
Очевидно, що при повороті сил і на один і той же кут і в одному і тому ж напрямку ця рівність збережеться і рівнодійна також буде прикладена в точці С (див. рис. 4.3).
Аналогічний результат буде і у випадку системи паралельних і однаково направлених сил , , …, . В цьому можна переконатися, послідовно знаходячи точку С прикладання рівнодійної для двох сил, для рівнодійної і третьої сили і т. д.
Точка С, через яку проходить лінія дії рівнодійної системи паралельних сил при будь-яких поворотах цих сил навколо точок їх прикладання в один і той же бік і на один і той же кут, називається центром паралельних сил.
В наведеному визначенні мова йде про лінію дії рівнодійної, а не про точку її прикладання оскільки при перенесенні рівно-
дійної вздовж лінії дії стан тіла не змінюється.
Знайдемо координати центру паралельних сил.
На рис. 4.4 показана система з двох паралельних сил і , прикладених до тіла в точках А і В з координатами x1, y1, z1 та x2, y2, z2 і направлених паралельно осі Oz. Для знаходження координат xС, yС, zС точки С прикладання рівнодійної використаємо теорему Варіньйона для осі.
Спочатку запишемо вираз теореми для осі Оy:
або RxC = F1x1 + F2x2, звідки
.
Координату yС знайдемо, взявши моменти відносно осі Ох - RyC = - F1y1 - F2y2, звідки
.
Для визначення zС повернемо сили, зробивши їх паралельними осі Оу (див. рис. 4.4), та знову застосуємо теорему Варіньйона для осі Ох: RzC = F1z1 + F2z2, звідки
.
Очевидно, що при збільшенні кількості сил до виразів в дужках будуть додаватися добутки модулів сил на відповідні координати, тобто для системи сил , , …,
; ; .
Центр ваги твердого тіла
На кожну частинку тіла, яке знаходиться поблизу земної поверхні, діє сила ваги, яка є силою гравітаційного походження. Її дія визначається відомим з фізики законом всесвітнього тяжіння Ньютона. Більш детально питання про силу ваги буде розглянуто в розділі “Динаміка”.
Лінії дії сил ваги для всіх частинок тіла направлені до центра Землі, але оскільки розміри тіл дуже малі порівняно з радіусом земної кулі, то вказані сили можна вважати паралельними одна одній. Отже, сили ваги частинок тіла утворюють систему паралельних сил , , …, , яка має рівнодійну , прикладену в точці С (рис. 4.5).
Модуль рівнодійної називається вагою тіла і визначається рівністю
.
Точка С, яка є центром паралельних сил, називається центром ваги тіла.
Координати центру ваги тіла визначаються аналогічно координатам центра паралельних сил
; ; .
Відзначимо, що центр ваги є геометричною точкою, яка може знаходитись і поза межами тіла (напр. для диска з центральним отвором).
Координати центрів ваги однорідних тіл
Однорідними є тіла, у яких вага одиниці об’єму γ є постійною величиною. Тоді вага pk будь-якої частини тіла буде пропорційною об’єму vk цієї частини: pk = γvk, а вага Р всього тіла пропорційна його об’єму V : Р = γV.
Підставивши вирази для pk і Р в формули для координат центру ваги та скоротивши на γ, одержимо:
; ;.
Як видно з одержаних виразів, координати центру ваги С однорідного тіла визначаються лише його формою, а тому точку С називають центром ваги об’єму V.
Якщо тіло є тонкою однорідною пластиною, то для неї шляхом аналогічних міркувань знаходимо:
; ,
де S – площа всієї пластини, а sk – площі її частин.
Точка С, координати якої визначаються наведеними формулами, називається центром ваги площі S.
Аналогічно виводяться формули для координат центру ваги лінії, за якими можна, наприклад, знаходити центри ваги конструкцій із тонкого дроту постійного перерізу:
; ;,
де L – довжина всієї лінії, а lk – довжини її частин.
Способи визначення центрів ваги тіл
Розглянемо три способи визначення координат центрів ваги тіл, які базуються на одержаних загальних формулах.
1. Симетрія. Якщо однорідне тіло має центр, вісь або площину симетрії, то його центр ваги лежить відповідно в центрі, на осі або в площині симетрії.
Для тіла з центром симетрії, напр. циліндра, всі координати центру ваги С є відомими (рис. 4.6, а).
При наявності осі симетрії відомими є дві координати (x і y, рис. 4.6, б), а для тіла з площиною симетрії – одна координата центру ваги С (z, рис. 4.6, в).
2. Розбиття. Згідно цьому способу тіло розбивається на конечне число частин, центри ваги яких є відомими, а потім центр ваги всього тіла обчислюється за загальними формулами.
Розглянемо застосування вказаного способу на прикладі.
Визначити координати центру ваги однорідної пластини, показаної на рис. 4.7 (розміри в см).
Розбиваємо пластину на два прямокутники з відомими координатами центрів ваги С1 (1,25; 1) і С2 (3,5; 2,5).
Площі прямокутників:
s1 = 2·2,5 = 5 см2;
s2 = 2·5 = 10 см2.
Площа всієї пластини:
S = s1 + s2 = 5 +10 = 15 см2.
Знаходимо координати центру ваги площі S:
=
= 1/15(5·1,25 + 10·3,5) = 2,75 см;
= 1/15(5·1 + 10·2,5) = 2 см.
Знайдене положення центру ваги С показане на рис. 4.7.
3. Доповнення. Цей спосіб є частковим випадком способу розбиття і застосовується до тіл з вирізами, якщо центри ваги тіла без вирізу і вирізаної частини є відомими.
При застосуванні способу обчислення координат виконуються за загальними формулами, при цьому площа або об’єм вирізу враховується зі знаком “мінус”. Розглянемо застосування способу на прикладі.
Визначити положення центру ваги круглої пластини радіусом R з вирізом радіусом r, якщо віддаль С1С2 = a (рис. 4.8).
Координата xC центру ваги пластини визначається способом симетрії. Оскільки вісь у є віссю симетрії, то xC = 0 (див. рис. 4.8).
Знайдемо координату уС. Площа пластини без вирізу s1 = πR2, площа вирізу (зі знаком “мінус”) s2 = - πr2, повна площа S = s1 + s2 = = π(R2 - r2). Координата у центрів ваги С1 і С2: у1 = 0, у2 = a. Застосовуємо формулу для координати центру ваги площі S:
.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: зведення довільної просторової системи сил до центру – с. 38-40; аналітичні умови рівноваги просторової системи сил – с. 79-81; центр паралельних сил та його координати – с. 86-88; центр ваги твердого тіла – с. 88-89; координати центрів ваги однорідних тіл – с. 89-90; способи визначення координат центрів ваги тіл – с. 90-93.
Питання для самоконтролю
КІНЕМАТИКА
Лекція 5
КІНЕМАТИКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
Вступ. Способи задавання руху матеріальної точки. Вектори швидкості та прискорення точки. Швидкість та прискорення точки при координатному способі задавання руху. Швидкість та прискорення точки при натуральному способі задавання руху. Знаходження дотичного та нормального прискорень при координатному способі задавання руху.
Вступ
Кінематика вивчає геометричні властивості руху матеріальних тіл без врахування їх інертності (маси) і сил, що діють на них.
Кінематичні поняття та залежності необхідні для подальшого вивчення руху тіл при дії сил. Крім того, методи кінематики використовуються самостійно при вивченні механічного руху, наприклад в передаточних механізмах.
Для визначення положення тіла, що рухається, відносно іншого тіла з останнім зв’язують систему координат, яка разом з тілом утворює систему відліку. Надалі будемо зображати систему відліку у вигляді трьох координатних осей, не показуючи тіла, з яким ця система зв’язана.
Простір, в якому відбувається рух, розглядається як тривимірний евклідовий. Час в кінематиці є незалежною скалярною величиною (аргументом), а всі інші змінні величини розглядаються як функції часу. Відлік часу ведеться від початкового моменту (t = 0), тобто аргумент t завжди є додатною величиною.
Вивчення кінематики почнемо з вивчення руху найпростішого об’єкта – матеріальної точки.
Лінія, яку матеріальна точка описує при русі відносно системи відліку, називається траєкторією точки. Якщо траєкторією руху є пряма лінія, то рух точки називається прямолінійним, а якщо крива – криволінійним.
Для розв’язання задачі кінематики матеріальної точки необхідно спочатку необхідно задати її рух. Кінематично задати рух або закон руху точки означає задати положення точки відносно даної системи відліку в будь-який момент часу.
Способи задавання руху точки
Є три способи завдання руху точки: векторний, координатний і натуральний.
Векторний спосіб. Положення точки М можна задати радіусом-вектором , що виходить з початку координат О та направлений до точки М (рис. 5.1).
При русі точки М вектор буде змінюватись як по модулю так і за напрямком, тобто вектор буде змінною величиною (вектором-функцією), яка залежить від часу t:
Наведена рівність визначає закон руху точки та називається рівнянням руху точки у векторній формі.
Рівняння дозволяє знайти в будь-який момент часу положення точки.
Аналітично вектор можна задати через його проекції x, y, z на координатні осі та одиничні орти (див. рис. 5.1)
.
Координатний спосіб. З наведеного виразу для радіуса-вектора видно, що положення точки М можна задати і через її координати.
При цьому способі задають закон руху точки в координатній формі, тобто координати рухомої точки як функції часу:
.
Наведені вирази є рівняннями руху точки в прямокутних декартових координатах.
Якщо точка рухається в одній і тій же площині, то, прий нявши цю площину за площину Оху, одержимо два рівняння руху:
.
При прямолінійному русі точки (вісь Ох направлена вздовж прямої) її рух буде визначатися одним рівнянням
x = f (t).
За рівняннями руху можна знайти траєкторію точки. Рівняння руху можна розглядати як рівняння траєкторії в параметричній формі, де параметром є час t. Розв’язавши перше з рівнянь відносно параметра: t = φ(x), та підставивши в інші рівняння, одержимо рівняння траєкторії в явній формі.
Просторова траєкторія визначиться двома рівняннями
y = f2[φ(x)], z = f3[φ(x)],
а плоска – одним рівнянням
y = f2[φ(x)].
Розглянемо приклад знаходження траєкторії точки.
Нехай рух точки в площині Оху заданий рівняннями
x = -5t; y = -2t2 + 3, м (t - в секундах).
З цих рівнянь видно, що при t = 0 (початок руху) координати точки: х = 0; у = 3.
Знаходимо траєкторію точки, виключивши з рівнянь час t:
Траєкторією точки є парабола (рис. 5.2).
Зворотний перехід від рівняння траєкторії до рівнянь руху без додаткових умов неможливий.
Натуральний спосіб. Натуральним способом зручно користуватися в тих випадках, коли траєкторія точки є відомою. Положення точки на траєкторії можна задати криволінійною координатою s (рис. 5.3).
При русі точки криволінійна координата s (дуга ОМ) буде змінюватись, тобто
s = f (t).
Наведене рівняння і визначає закон руху точки М вздовж траєкторії.
Для однозначного визначення положення точки на траєкторії задають початок відліку величини s та додатний і від’ємний напрямки відліку (див. рис. 5.3).
Вектори швидкості та прискорення точки
Основними кінематичними характеристиками руху точки є векторні величини, які називаються швидкістю та прискоренням точки.
Вектор швидкості точки. Покажемо два положення точки М і М1, задані радіусами-векторами і (рис. 5.4).
Переміщення точки з положення М в положення М1 відбувається за інтервал часу Δt. Введемо вектор переміщення точки:. Відношення вектора переміщення точки до проміжку часу, за який це переміщення відбувається, називається вектором середньої швидкості:
.
Вектор середньої швидкості направлений так само, як і вектор (див. рис. 5.4), оскільки інтервал часу Δt є скалярною величиною. Границя, до якої наближається вектор середньої швидкості, коли проміжок часу прямує до нуля, називається швидкістю в даний момент часу: , тобто, вектор швидкості в даний момент часу дорівнює першій похідній по часу від радіуса-вектора точки по часу.
Оскільки граничним напрямком вектора переміщення є дотична, то вектор швидкості точки в даний момент часу спрямований по дотичній до траєкторії в напрямку руху.
Вектор прискорення точки. Покажемо на траєкторії два положення точки М і М1, які мають швидкості і (рис. 5.5). Введемо вектор зміни швидкості точки та відкладемо його в точці М, перенісши в цю точку вектор швидкості (див. рис. 5.5). Відношення ве ктора зміни швидкості до того проміжку часу Δt, за який ця зміна відбувається, називається вектором середнього при скорення
.
Вектор направ лений так само, як і вектор , тобто в бік ввігнутості траєкторії (див. рис. 5.5). Границя, до якої наближається вектор середнього прискорення, коли проміжок часу Δt прямує до нуля, називається при скоренням в даний момент часу:
.
Отже, вектор прискорення точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від радіуса-вектора точки по часу.
Вектор прискорення , як і вектор середнього прискорення, направлений в бік ввігнутості траєкторії. Якщо траєкторією точки є плоска крива, то вектор прискорення лежить в площині кривої. Якщо траєкторія – пряма лінія, то вектор направлений вздовж прямої.
В загальному випадку (просторова траєкторія) вектор прискорення лежить у стичній площині. Стичною площиною є площина, в якій відбувається нескінченно малий поворот дотичної до траєкторії при елементарному переміщенні точки.
Швидкість та прискорення точки при координатному способі задавання руху
Для знаходження швидкості точки візьмемо похідну по часу від уже розглянутого виразу, який задає радіус-вектор через координати точки і одиничні орти:
.
З іншого боку, вектор швидкості точки також можна виразити через його проекції на осі та одиничні орти
.
З двох наведених виразів маємо , , . Тоді модуль повної швидкості знайдеться за відомим правилом геометричного складання ,а напрямок вектора визначиться направляючими косинусами
cos α = vx/v, cos β = vy/v, cos γ = vz/v,
де α, β і γ – кути між вектором швидкості і додатними напрямками координатних осей.
Вирази для прискорення точки виводяться аналогічно. Проекції вектора прискорення на координатні осі
, , .
Модуль прискорення і направляючі косинуси
; cos α1 = ax/a, cos β1 = ay/a, cos γ1 = az/a,
де α1, β1 і γ1 – кути між вектором прискорення і додатними напрямками координатних осей.
Швидкість та прискорення точки при натуральному способі задавання руху
Для знаходження швидкості та прискорення при натуральному способі задавання руху використовується додаткова система координат Мτnb (система координат в осях натурального тригранника), яка рухається разом з точкою (рис. 5.6).
Вісь Мτ направлена по дотичній до траєкторії в бік додатного відліку криволінійної координати s. Вісь Мn (головна нормаль) направлена в бік ввігнутості траєкторії перпендикулярно до осі Мτ і лежить у стичній площині. Вісь Мb (бінормаль) перпендикулярна до осей Мτ і Мn та утворює з ними правосторонню систему координат.
Оскільки вектор швидкості точки направлений по дотичній до траєкторії, то він лежить на осі Мτ, а його проекція на дану вісь vτ = v або vτ = -v, якщо точка рухається в бік від’ємного відліку координати s. Проекція vτ називається алгебраїчною величиною швидкості (надалі індекс τ будемо опускати).
Знайдемо вираз для швидкості v. Нехай за проміжок часу Δt точка здійснить вздовж дуги траєкторії переміщення Δs, яке одночасно буде прирощенням криволінійної координати s. Тоді середня швидкість точки за вказаний проміжок часу vсер = Δs/Δt , звідки, переходячи до границі, одержимо
.
Отже, числова величина швидкості в даний момент часу дорівнює першій похідній по часу від криволінійної координати s.
Далі перейдемо до знаходження прискорення точки. Як було встановлено, вектор прискорення точки лежить у стичній площині, як і вісь Мn, тобто вектор розміщений в площині Мτn (див. рис. 5.6) і його проекція на бінормаль ab = 0. Спроектувавши вираз для вектора прискорення точки на осі Мτ і Мn, матимемо
, .
Вектор є вектором елементарної зміни швидкості точки і дорівнює різниці швидкостей в двох сусідніх точках М і М′, тобто . Відкладемо вектори і із точки М аналогічно рис. 5.5 та спроектуємо вектор на осі Мτ і Мn (рис. 5.7).
Чотирикутник ABCD при нескінченно малому куті dφ можна розглядати як прямокутник (див. рис. 5.7), тоді проекція = АD = = МA - МC = v′ - v = dv, звідки матимемо
,
де dv - елементарний приріст числової величини швидкості.
Через малість кута dφ проекція = CD = vdφ, тоді
.
Врахувавши, що v = ds/dt, перетворимо одержаний вираз:
.
Відношення dφ/ds визначає кривизну траєкторії в точці М, а зворотна величина ρ = ds/dφ буде радіусом кривизни траєкторії в даній точці.
Радіус кривизни характеризує ступінь ввігнутості кривої. Для кола радіус кривизни дорівнює його радіусу, а довільна крива має змінний радіус кривизни. В кожній точці для такої кривої можна підібрати коло, радіус якого дорівнює радіусу кривизни кривої в даній точці. Прямую лінію можна розглядати як коло з нескінченно великим радіусом ().
В результаті одержуємо
, , ab = 0.
Величини aτ і an називаються дотичним і нормальним прискоренням. Повне прискорення буде геометричною сумою складових і (див. рис. 5.6), тоді його модуль
Положення вектора прискорення відносно осей натурального тригранника визначиться кутом µ між вектором і віссю Мn
Якщо напрямок вектора співпадає з напрямком швидкості (проекції v і aτ мають однакові знаки), то рух точки буде прискореним (числова величина швидкості зростатиме), а в протилежному випадку - сповільненим (швидкість зменшуватиметься).
Для встановлення фізичного змісту дотичного і нормального прискорень розглянемо два часткових випадки руху точки.
Прямолінійний рух. При прямолінійному русі точки нормальне прискорення an = 0, оскільки радіус кривизни . Тоді повне прискорення a = aτ = dv/dt, тобто при русі буде змінюватись лише числова величина швидкості.
Криволінійний рівномірний рух. При рівномірному русі числова величина швидкості v = const, і, відповідно, aτ = 0. Повне прискорення точки буде дорівнювати нормальному прискоренню a = an = v2/ρ, яке проявляється лише через зміну напрямку вектора швидкості .
Отже, дотичне прискорення характеризує зміну швидкості точки за величиною, а нормальне – за напрямком.
Знаходження дотичного і нормального прискорень при координатному способі задавання руху
При розв’язуванні задач кінематики точки часто виникає необхідність знаходження дотичного і нормального прискорень у випадку, коли рух точки заданий координатним способом.
Для знаходження прискорення aτ візьмемо похідну по часу від виразу для швидкості точки, заданого координатним способом, врахувавши, що похідні від проекцій вектора швидкості на осі дорівнюють відповідним проекціям вектора прискорення:
.
Проекції швидкості і прискорення на координатні осі та модуль вектора швидкості, які входять в одержаний вираз, знаходяться координатним способом.
Нормальне прискорення an знайдеться з використанням виразу для повного прискорення a, знайденого координатним способом
При відомому нормальному прискоренні можна також знайти радіус кривизни траєкторії
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: вступ – с. 95-96; способи задавання руху матеріальної точки – с. 96-99; вектори швидкості та прискорення точки – с. 99-102; швидкість та прискорення точки при координатному способі задавання руху – с. 102-103; швидкість та прискорення точки при натуральному способі задавання руху – с. 107-112; знаходження дотичного та нормального прискорень при координатному способі задавання руху – с. 114.
Питання для самоконтролю
Лекція 6
КІНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА
Вступ. Поступальний рух твердого тіла. Обертальний рух твердого тіла. Кутова швидкість і кутове прискорення тіла. Часткові випадки обертального руху. Швидкості та прискорення точок тіла. Вектор швидкості точки.
Вступ
В кінематиці , як і в статиці, розглядають абсолютно тверді тіла. Тверде тіло є системою матеріальних точок, віддаль між якими не змінюється, що обумовлює розгляд двох задач його руху:
1. Задавання руху та знаходження кінематичних характеристик руху тіла в цілому.
2. Знаходження кінематичних характеристик руху окремих точок тіла.
Розрізняють такі види руху тіла: поступальний, обертальний, плоскопаралельний рухи, рух тіла з однією нерухомою точкою та загальний випадок руху тіла.
Поступальний рух твердого тіла
Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається при переміщенні паралельною своєму попередньому напрямку.
Найпростішим прикладом поступального руху є рух автомобіля по прямолінійній ділянці шляху (рис. 6.1).
При переміщенні автомобіля про ведена в кузові пряма АВ׀׀А'В'.
Більш складним випадком поступа льного руху є рух паровозного спарника (рис. 6.2).
Спарник АВ при обертанні кривошипів О1А і О2А рухається поступально, тоді як всі його точки описують кола.
Теорема поступального руху: при поступальному русі твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії та мають в кожний момент часу однакові за величиною і напрямком швидкості та прискорення.
Доведення теореми можна одержати безпосередньо з визначення поступального руху.
В прикладі рис. 6.2 всі точки спарника мають однакові швидкість та дотичне і нормальне прискорення і , які утворюють поле швидкостей і поле прискорень.
Поступальний рух є єдиним видом руху, в якому характеристики руху тіла в цілому (швидкість і прискорення) і характеристики руху окремих точок співпадають. Тому швидкість та прискорення якоїсь точки одночасно буде і швидкістю та прискоренням твердого тіла.
Обертальний рух твердого тіла
Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий рух, при якому якісь дві точки, що належать тілу, залишаються під час руху нерухомими.
Пряма, яка проходить через нерухомі точки А і В тіла, називається віссю обертання (рис. 6.3). При обертанні всі точки тіла описують кола з центром на осі обертання.
Для задавання обертального руху вріжемо в тіло пластину (рухому півплощину I) і розглянемо рух півплощини I відносно нерухомої півплощини II, задавши кут повороту φ між півплощинами (див. рис. 6.3).
Кут φ буде і кутом повороту тіла навколо нерухомої осі АВ. Для однозначного задавання повороту тіла будемо вважати що кут φ > 0, якщо він відкладений від нерухомої площини проти ходу стрілки годинника, коли дивитися з додатного напрямку осі Аz. Вимірюється кут φ в радіанах.
В техніці кут повороту вимірюють також числом обертів N. При цьому кут повороту φ (рад) пов'язаний з числом обертів N (об) співвідношенням
φ = 2πN.
При обертанні тіла кожному моменту часу відповідатиме певна величина кута повороту φ, тобто кут повороту є функцією часу:
Наведене рівняння визначає закон обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі.
Кутова швидкість і кутове прискорення тіла
Основними кінематичними характеристиками обертального руху тіла є кутова швидкість ω і кутове прискорення ε.
Нехай за якийсь проміжок часу Δt тіло здійснило поворот на кут Δφ. Відношення зміни кута повороту до проміжку часу, за який ця зміна відбувається, називається середньою кутовою швидкістю:
.
Границя, до якої наближається середня кутова швидкість, коли проміжок часу прямує до нуля, називається числовою величиною кутової швидкості в даний момент часу:
,
тобто, числова величина кутової швидкості тіла в даний момент часу дорівнює першій похідній від кута повороту по часу.
Знак величини ω визначає напрямок обертання тіла. Якщо обертання відбувається проти ходу стрілки годинника, то ω > 0, а якщо по ходу стрілки, то ω < 0.
Характеристикою зміни кутової швидкості ω є кутове прискорення ε.
Нехай за якийсь проміжок часу Δt кутова швидкість змінилася на величину Δω. Відношення зміни кутової швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбувається, називається середнім кутовим прискоренням:
.
Границя, до якої наближається середнє кутове прискорення, коли проміжок часупрямує до нуля, називається числовою величиною кутового прискорення в даний момент часу:
,
тобто, числова величина кутового прискорення тіла в даний момент часу дорівнює першій похідній від кутової швидкості по часу або другій похідній від кута повороту по часу.
Якщо модуль кутової швидкості з часом зростає, то обертання називається прискореним, а якщо зменшується – сповільненим. Обертання буде прискореним, якщо величини ω і ε мають однакові знаки, і сповільненим, якщо різні.
Кутова швидкість вимірюється в рад/с, а кутове прискорення – в рад/с2.
Кутову швидкість в техніці часто вимірюють числом обертів п за одиницю часу. При цьому величина ω (рад /с) пов'язана з величиною п (об/хв) співвідношенням
.
Вектори кутової швидкості і кутового прискорення. Кутову швидкість тіла можна задати вектором , модуль якого дорівнює ׀ω׀, і який направлений вздовж осі обертання в той бік, звідки видно, що обертання відбувається проти ходу стрілки годинника (рис. 6.4). Такий вектор одночасно визначає і модуль кутової швидкості, і вісь обертання, і напрямок обертання навколо осі.
Аналогічно кутове прискорення тіла можна також задати у вигляді вектора , направленого вздовж осі обертання (рис. 6.4).
Обертання буде прискореним, якщо вектори і за напрямком співпадають, і сповільненим при протилежному напрямку векторів.
Часткові випадки обертального руху
Рівномірне обертання. Обертання називається рівномірним, якщо кутова швидкість тіла під час руху залишається незмінною (ω = const).
Знайдемо закон рівномірного обертання. З одержаного виразу для кутової швидкості маємо dφ = ωdt. Нехай в початковий момент часу t = 0 кут повороту φ = φ0. Тоді
, або після інтегрування .
Якщо тіло починає обертатися із стану спокою (φ0 = 0), то φ = ωt.
Рівнозмінне обертання. Обертання називається рівнозмінним, якщо кутове прискорення тіла під час руху залишається незмінним (ε = const).
Знайдемо закон рівнозмінного обертання. З одержаного виразу для кутового прискорення маємо dω = εdt. Нехай в початковий момент часу t = 0 кут повороту φ = φ0, а кутова швидкість тіла ω = ω0. Тоді
, або після інтегрування: ω = ω0 + εt.
Записавши одержаний вираз у вигляді: dφ = ω0 dt + εtdt, матимемо після інтегрування
.
Якщо тіло починає обертатися із стану спокою, то .
Швидкості та прискорення точок тіла
Після встановлення характеристик руху тіла в цілому, пере йдемо до вивчення руху окремих його точок.
Швидкості точок тіла. Розглянемо якусь точку М, що на лежить тілу, яка знаходиться на віддалі h від осі обертання (див. рис. 6.3). При обертанні точка М буде описувати коло радіусом h із центром С на осі АВ. Якщо за елементарний інтервал часу dt тіло повернулось на кут dφ, то точка М здійснить вздовж кола елементарне переміщення ds = hdφ. Тоді числова величина швидкості визначиться як при натуральному способі задавання руху (див. лекцію 5)
,
або v = hω.
Отже, числова величина швидкості точки дорівнює добутку кутової швидкості на віддаль від точки до осі обертання.
Оскільки величина ω в даний момент часу однакова для всіх точок тіла, то швидкості точок тіла будуть пропорційними їх віддалям до осі обертання. Поле швидкостей точок при обертальному русі показано на рис. 6.5.
Прискорення точок тіла. Для знаходження прискорення точки М використаємо вирази для дотичного і нормального прискорень точки при натуральному способі задавання руху (див. лекцію 5): aτ = dv/dt, an = v2/ρ.
В нашому випадку радіусом кривизни траєкторії точки є радіус кола (ρ = h). Підставивши в наведені формули одержаний вираз для швидкості точки, матимемо; , або
aτ = hε; an = hω2.
Далі знаходимо повне прискорення точки:
.
Відхилення вектора повного прискорення від радіуса кола, яке описує точка М, визначиться кутом μ, який знаходиться за формулою (див. лекцію 5) tg μ = aτ/an, або після підстановки
tg μ = ε/ω2.
Дотична складова прискорення направлена по дотичній до кола в бік руху при прискореному обертанні (див. рис. 6.6) і в зворотний бік при сповільненому, а нормальна складова завжди направлена по радіусу до осі обертання.
Оскільки ω і ε в кожен момент часу мають однакову ве личину для всіх то чок тіла, то приско рення точок пропор ційні їх віддалям до осі обертання. Поле прискорень точок тіла при оберталь ному русі показано на рис. 6.7.
Вектор швидкості точки
Знайдемо вираз для вектора швидкості . Проведемо з довільної точки О осі АВ радіус-вектор точки М (рис. 6.8).
Тоді h = r sin α і, відповідно
.
Одержаний вираз є модулем векторного добутку векторів і , тобто
.
Згідно правилу векторного добутку вектор направлений перпендикулярно до площини трикутника ОМС в той бік, звідки видно, що рух по найкоротшому шляху від вектора до вектора відбувається проти ходу стрілки годинника. Тоді напрямок вектора співпадає з напрямком вектора швидкості , звідки маємо
,
тобто вектор швидкості точки дорівнює векторному добутку кутової швидкості тіла на радіус-вектор цієї точки, проведений з осі обертання.
Одержану формулу називають формулою Ейлера.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: вступ – с. 117; поступальний рух твердого тіла – с. 117-119; обертальний рух твердого тіла – с. 119-120; кутова швидкість і кутове прискорення тіла – с. 120-121; часткові випадки обертального руху – с. 121-122; швидкості та прискорення точок тіла – с. 122-124; вектор швидкості точки – с. 124-125 .
Питання для самоконтролю
Лекція 7
ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА
Вступ. Задавання плоскопаралельного руху. Характеристики руху точок плоскої фігури. Знаходження швидкостей точок плоскої фігури з використанням полюса. Теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури. Знаходження швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центра швидкостей. Часткові випадки знаходження миттєвого центра швидкостей. Знаходження прискорень точок плоскої фігури.
Вступ
Плоскопаралельним рухом твердого тіла називають такий рух, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, паралельних якійсь нерухомій площині.
Простим прикладом плоскопаралельного руху є кочення колеса по прямолінійній ділянці шляху (рис. 7.1).
Плоскопаралельний рух здійснюють частини механізмів і машин, наприклад шатун в кривошипно-шатунному механізмі
(рис. 7.2).
Шатун АВ з’єднаний шарнірно з кривошипом ОА і поршнем. Кривошип обертається навколо нерухомої осі О, при цьому поршень рухається зворотно-поступально, а шатун АВ здійснює плоскопаралельний рух.
Задавання плоскопаралельного руху
Розглянемо тіло, яке рухається паралельно нерухомій площині П (рис. 7.3). Всі точки тіла, які лежать на прямій ММ', перпендикулярній до площини П, будуть рухатись однаково. Тому для дослідження руху тіла достатньо розглянути рух якогось перерізу S тіла, паралельного нерухомій площині П.
Зобразимо окремо плоску фігуру (переріз тіла S) і дослідимо його рух (рис. 7.4).
Для визначення положення плоскої фігури достатньо знати положення якогось відрізка АВ (див. рис. 7.4).
Положення відрізка АВ визначиться координатами хА і уА точки А та кутом φ. При русі плоскої фігури величини хА, уА і кут φ будуть змінюватись:
хА = f1(t); yA = f2(t); φ = f3(t).
Наведені рівняння є рівняннями руху плоскої фігури та рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла.
Точка А, вибрана для задавання руху плоскої фігури, називається полюсом. Якщо прийняти, що хА = yA = const, то фігура буде обертатися навколо полюса А. Якщо ж φ = const, то фігура буде рухатись поступально.
Таким чином, рух плоскої фігури є поєднанням поступального і обертального рухів і може розглядатися як поступальний рух разом з полюсом А і обертання навколо полюса А.
При дослідженні плоскопаралельного руху в якості полюса можна вибирати будь-яку точку плоскої фігури, оскільки обертальна частина руху від вибору полюса не залежить.
Основними кінематичними характеристиками руху тіла в цілому є швидкість полюса , його прискорення та кутова швидкість ω і кутове прискорення ε при обертанні фігури навколо полюса А.
Характеристики руху точок плоскої фігури
Швидкість та прискорення будь-якої точки плоскої фігури при плоскопаралельному русі можна знайти трьома методами:
1) аналітичним (за рівняннями руху точки);
2) графічним (шляхом геометричних побудов);
3) графоаналітичним (поєднання геометричних побудов з аналітичними обчисленнями).
Розглянемо лише графоаналітичні методи знаходження характеристик руху плоскої фігури.
Знаходження швидкостей точок з використанням полюса
Метод базується на задаванні руху плоскої фігури як поєднання поступального і обертального рухів.
Розглянемо плоску фігуру з полюсом А і визначимо положення довільної точки М (рис. 7.5).
Положення точки М по відношенню до осей Оху визначиться радіусом-вектором , де – радіус-вектор полюса А, а – вектор, що визначає положення точки М відносно осей Ах'у', які переміщуються разом з полюсом А. Рух фігури відносно вказаних осей буде обертанням навколо полюса А. Візьмемо похідну по часу від радіуса-вектора
.
В одержаній рівності першим членом суми є швидкість полюса А, а другим членом – швидкість при обертанні фігури навколо полюса А. Тоді
,
при цьому
vMA = ω·MA (),
де – кутова швидкість плоскої фігури.
Таким чином, швидкість будь-якої точки М плоскої фігури є геометричною сумою швидкості полюса А і швидкості, яку точка отримує при обертанні навколо полюса А.
Припустимо, що швидкістьполюса А і кутова швидкістьплоскої фігури відомі (рис. 7.6). Переносимо векторв точку М та відкладаємо з цієї точки вектор в напрямку обертання. Модуль і напрямок швидкості знайдеться побудовою відповідного паралелограма (див. рис. 7.6).
Теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури
Інший метод знаходження швидкостей точок плоскої фігури базується на теоремі: проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на пряму, яка з’єднує ці точки, рівні між собою.
Розглянемо якісь дві точки А і В плоскої фігури, прийнявши точку А за полюс (рис. 7.7). Тоді швидкість точки В
.
Спроектувавши векторне рівняння на пряму, яка з’єднує точки, та врахувавши, що, матимемо
vB cos β = vA cos α.
Доведена теорема дозволяє знаходити швидкість точки, якщо відомі кути α і β та величина швидкості однієї з точок плоскої фігури.
Знаходження швидкостей точок за допомогою миттєвого центра швидкостей
Даний метод базується на понятті про миттєвий центр швидкостей.
Миттєвим центром швидкостей плоскої фігури називається точка, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.
Проведемо з точок А і В перпендикуляри до швидкостей і (рис. 7.8) і доведемо, що швидкість точки Р, в якій вони перетинаються, дорівнює нулю.
Згідно розглянутої теореми про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури векторшвидкості точки Р має бути перпендикулярним до прямої ВР, оскільки . Вектор не може бути одночасно перпендикулярним до двох непаралельних прямих, а це означає, що швидкість.
Якщо тепер для даного моменту часу взяти точку Р за полюс то швидкість точки А
.
Аналогічний результат можна одержати і для будь-якої іншої точки. Оскільки при обертальному русі швидкість точки на осі обертання дорівнює нулю, то в даний момент часу рух плоскої фігури можна розглядати як обертання навколо миттєвого центра швидкостей.
Тоді, швидкість якоїсь точки М плоскої фігури (див. рис. 7.8)
vM = ω·MР (),
де .
Оскільки при обертальному русі швидкості точок тіла пропорційні віддалям до осі обертання (в даному випадку точка Р), то швидкість точки М можна також знайти з виразу
.
Отже, для визначення швидкості будь-якої точки плоскої фігури необхідно знати модуль і напрямок якоїсь точки А фігури і напрямок швидкості іншої точки В.
Часткові випадки знаходження миттєвого центра швидкостей
В загальному випадку миттєвий центр швидкостей Р знаходиться в точці перетину перпендикулярів, проведених до швидкостей двох точок плоскої фігури або до дотичних до траєкторій точок.
Розглянемо часткові випадки знаходження миттєвого центра швидкостей:
1. Відомі вектор швидкості однієї точки і кутова швидкість обертання плоскої фігури (рис. 7.9 а). Миттєвий центр швидкостей знаходиться на перпендикулярі до напрямку вектора швидкості, проведеному з точки А, на відстані
.
2. Відомі вектори швидкостей двох точок і, причому швидкості паралельні і направлені в один бік. Пряма, що з’єднує ці точки, перпендикулярна до напрямку швидкостей. Миттєвий центр швидкостей знаходиться на перетині прямої, проведеної через кінці векторів і , і продовженні прямої АВ, з боку точки, що має меншу швидкість (рис. 7.9 б).
3. Вектори і паралельні, але направлені в різні боки (рис. 7.9 в). Миттєвий центр лежить на відрізку АВ і ділить його на частини, пропорційні величинам швидкостей.
4. Швидкості двох точок і паралельні і направлені в один бік, а пряма, що з’єднує ці точки, не перпендикулярна до напрямку швидкостей (рис. 7.9 г). Тіло в даний момент часу виконує миттєво-поступальний рух. В цьому випадку миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності, а швидкості всіх точок плоскої фігури однакові ().
5. Плоска фігура (колесо) котиться без ковзання по нерухомій кривій (поверхні). Миттєвий центр швидкостей Р знаходиться в точці дотику фігури до кривої (рис. 7.9 д).
Знаходження прискорень точок плоскої фігури
Для визначення прискорення точки М плоскої фігури візьмемо похідну по часу від одержаного виразу для вектора швидкості точки при її знаходженні з використанням полюса.
.
Похідна по часу від швидкості є прискоренням полюса А, а похідна від швидкості – прискоренням точки М при обертанні навколо полюса А, тоді
.
Модуль прискорення aMA та положення вектора при обертальному русі (див. лекцію 6) визначаться виразами
; tg μ = ε/ω2,
де ω і ε – кутова швидкість і кутове прискорення фігури, а μ –
кут між вектором і відрізком МА (див. рис. 7.10).
Отже, прискорення будь-якої точки М плоскої фігури є геометричною сумою прискорення полюса А і прискорення, яке точка отримує при обертанні навколо полюса А.
Користуватись наведеним методом знаходження прискорення не дуже зручно через необхідність відкладання кута µ при геометричній побудові (див. рис. 7.10). Тому розкладемо вектор на дотичну і нормальну складові:
, де модулі векторів і обчислюються за формулами
.
Вираз для прискорення прийме вигляд
.
При цьому вектор буде направленим перпендикулярно МА в бік обертання, якщо воно прискорене, і проти обертання, якщо воно сповільнене. Вектор завжди направлений від точки М до полюса А (рис. 7.11).
Полюс А може рухатись криволінійно, тоді його прискорення можна розкласти на дотичну і нормальну складові
.
З врахуванням наведеного виразу
.
Якщо точка М рухається по відомій криволінійній траєкторії, то її прискорення також можна розкласти на дотичну і нормальну складові, тоді вираз для прискорення зведеться до вигляду
.
Знаходження модуля вектора прискорення та інших векторів, які входять в одержані векторні рівняння, здійснюється методом проекцій. Будь-яке векторне рівняння можна спроектувати на осі прямокутної системи координат. Наприклад для рис. 7.11, проектуючи праву і ліву частини рівняння на координатні осі х і у, одержимо:
З двох рівнянь в загальному випадку можна визначити дві невідомі величини.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: вступ – с. 127; за давання плоскопаралельного руху – с. 127-128; знаходження швидкостей точок плоскої фігури з використанням полюса – с. 130; теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фі гури – с. 131-132; знаходження швидкостей точок плоскої фі гури за допомогою миттєвого центра швидкостей – с. 132-133; часткові випадки знаходження миттєвого центра швидкостей – с. 134; знаходження прискорень точок плоскої фігури – с. 140-141.
Питання для самоконтролю
Лекція 8
СКЛАДНИЙ РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
Відносний, переносний та абсолютний рухи точки. Теорема про складання швидкостей. Теорема про складання прискорень. Знаходження коріолісового прискорення. Знаходження абсолютного прискорення точки у випадку, коли переносний рух є обертанням навколо нерухомої осі.
Відносний, переносний та абсолютний рухи точки
В ряді випадків при розв’язуванні задач механіки доцільно розглядати рух точки або тіла одночасно по відношенню до двох систем відліку, одна з яких є основною і умовно нерухомою, а інша рухається по відношенню до основної системи відліку. Рух, який при цьому здійснює точка, називають складним.
Наприклад, м’яч, який котиться по палубі корабля (рис. 8.1), здійснює відносно берега складний рух, що складається з кочення відносно палуби (рухома система відліку) і рух разом з палубою відносно берега (нерухома система відліку).
Розглянемо матеріальну точку М, що рухається по відношенню до рухомої системи відліку Охуz, яка в свою чергу рухається по відношенню до іншої нерухомої системи відліку О1х1у1z1 (рис. 8.2).
Введемо наступні визначення:
1. Рух точки по відношенню до рухомої системи відліку називається відносним, траєкторія точки відносно осей Охуz – відносною траєкторією, швидкість точки – відносною швидкістю (vвід), а прискорення – відносним прискоренням (aвід).
В прикладі на рис. 8.1 відносним рухом буде рух м’яча відносно палуби;
2. Рух рухомої системи відліку по відношенню до нерухомої системи О1х1у1z1 називається переносним. Швидкість незмінно зв’язаної з рухомими осями Охуz точки, з якою в даний момент часу співпадає рухома точка М, називається переносною швидкістю (vпер), а прискорення точки – переносним прискоренням (aпер).
В прикладі рис. 8.1 переносним рухом буде рух корабля відносно берега;
3. Рух точки по відношенню до нерухомої системи відліку О1х1у1z1 називається абсолютним, траєкторія точки – абсолютною траєкторією, швидкість точки – абсолютною швидкістю (vаб), а прискорення – абсолютним прискоренням (aаб).
Абсолютним рухом у наведеному прикладі буде рух м’яча відносно берега.
Теорема про складання швидкостей
Розглянемо складний рух точки М. Нехай точка здійснює за інтервал часу Δt вздовж траєкторії АВ відносне переміщення, яке визначається вектором (рис. 8.3 а).
Сама крива АВ за той же проміжок часу переміститься в переносному русі в нове положення А1В1. Одночасно точка m, з якою в початковий момент часу співпадає точка М, здійснить переносне переміщення . В результаті точка М переміститься в нове положення М1, здійснивши за інтервал часу Δt абсолютне переміщення . Як видно з рис. 8.3 а
.
Поділивши рівняння на Δt та перейшовши до границі, одержимо:
.
Оскільки вектор визначає абсолютне переміщення точки, а вектор – переносне переміщення, то, відповідно
.
Якщо , то крива А1В1 буде поєднуватися з кривою АВ, тоді
,
оскільки вектор є вектором відносного переміщення точки.
В результаті маємо
.
Таким чином, доведено теорему про складання швидкостей: при складному русі абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі переносної та відносної швидкостей.
Геометричне складання векторів vвід і vпер може проводитися за правилом паралелограма чи трикутника (рис. 8.3 б). Модуль абсолютної швидкості знаходиться по теоремі косинусів
,
або методом проекцій (див. лекцію 7).
Розглянемо приклад знаходження абсолютної швидкості точки.
Стержень обертається навколо нерухомої осі з ку товою швидкістю ω = = 3 рад/с. По стержню від О до М ковзає шайба з по стій ною швидкістю v = 3 м/с. Знайти абсолютну швидкість шайби в момент часу, коли ОМ = 1 м.
Рух шайби при обертанні разом із стержнем буде переносним ру хом, а ковзання по стержню – відносним рухом (v = vвід) . Швидкість шайби при обертанні: vпер = ω·ОМ = 3·1 = 3 м/с. Оскільки , то
4,2 м/с.
Теорема про складання прискорень
Для знаходження залежності між відносним, переносним та абсолютним прискоренням точки візьмемо похідну по часу від одержаного виразу для абсолютної швидкості
.
З’ясуємо, чим визначаються зміни векторів при абсолют ному русі. З цією метою розглянемо пластину, яка обертається навколо нерухомої осі, а вздовж пластини рухається точка М (рис. 8.5). Нехай швидкість точки у відносному русі складає vвід. При повороті пластини в переносному русі на якийсь кут вектор швидкості змінить напрямок (рис. 8.5 а), а зміна напрямку век тора швидкості при зведе до появи нормальної складової прискорення (див. лекцію 5).
Переносна швидкість точки при тому ж по вороті змі ниться за величиною, оскільки точка переміститься у відносному русі з положення m в по ложення m1 (рис. 8.5 б).
Отже, вектор відносної швидкості отримує зміну у перенос ному русі, а вектор переносної швидкості – у відносному русі.
Позначимо зміни векторіві у відносному русі індексом “1”, а в переносному русі – індексом “2”. Тоді вираз для абсолютного прискорення точки перепишеться у вигляді
.
Оскільки за визначенням відносне прискорення характеризує зміну відносної швидкості лише при відносному русі, а переносне прискорення – зміну переносної швидкості лише в переносному русі, то
.
Введемо позначення складових, які залишилися у виразі для
.
Величина , яка характеризує зміну відносної швидкості точки при переносному русі і переносної швидкості при її відносному русі, називається поворотним, або коріолісовим, прискоренням.
В результаті маємо
.
Одержаний вираз визначає теорему про складання прискорень (теорема Коріоліса): при складному русі прискорення точки дорівнює геометричній сумі переносного, відносного і коріолісового прискорень.
Знаходження коріолісового прискорення
Знайдемо вираз для коріолісового прискорення, використа вши приклад на рис. 8.5. Розрахункова схема показана на рис. 8.6 а. Пластина обертається навколо нерухомої осі О з постійною кутовою швидкістю ω (переносна кутова швидкість).
Приймемо, що ве личина швидкості точки у відносному русі не змі нюється. Через ін тер вал часу Δt точка пе реміс титься на від даль Δr в положення М1, а плас тина при цьому повер неться на кут Δφ.
Для знаходження прискорення при зміні напрямку відносної швидкості покажемо вектори і в то чці М та введемо век тор зміни від носної швидкості (див. рис. 8.6 б). Очевидно, що вели чина зміни швидкості Δvвід = Δφ·vвід, а середнє приско рення: . Перейшовши до прискорення в даний мо мент часу, матимемо:
.
Одержаний вираз запишемо у вигляді: a1 = ω vвід sin 900. Даний вираз визначає модуль векторного добутку: . При наближенні точки М1 до точки М вектор буде направлений перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори і , в бік (див. рис. 8.6 б). Так само направлений і векторний добуток , тобто .
Далі знайдемо прискорення при зміні величини переносної швидкості. Очевидно, що при обертальному русі
Δvпер = ω(r + Δr) – ωr = ω∙Δr,
а середнє прискорення . Перейшовши до прискорення в даний момент часу при і врахувавши, що, одержимо аналогічно попередньому випадку:
.
Тоді , а оскільки напрямок вектора співпадає з напрямком векторного добутку, то . В результаті одержуємо
.
Наведений вираз, одержаний для часткового випадку, коли , можна узагальнити для будь-якого кута між векторами і , тобто aкор = 2ω·vвід sin(^) = 2ω·vвід sin α, де α – кут між векторами і .
Отже, коріолісове прискорення дорівнює подвоєному векторному добутку переносної кутової швидкості на відносну швидкість точки.
Знаходження напрямку век тора коріолісового при скорення. Напрямок вектора прискорення зна ходять за пра вилом векторного добутку або за правилом Жуковського: для знаходження на прямку прискорення необхідно спроектувати відносну швид кість точки на площину П, перпендикулярну до осі переносного обертального руху, і повернути цю проекцію на 900 в бік пере носного обертання (рис. 8.7).
Якщо кут між векторами і α = 900, то знаходження напрямку спрощується: необхідно лише по вер нути вектор на 900 в напря мку пере носного обертання.
Випадки, коли коріолісове прискорення дорівнює нулю:
1. Переносна кутова швидкість ω = 0. В цьому випадку переносний рух є поступальним, або переносна ку това швидкість в даний момент часу перетворюється в нуль (зміна напрямку обертання).
Таким чином, при поступальному переносному русі коріолісове прискорення відсутнє;
2. Відносна швидкість точки vвід = 0. При цьому відносний рух відсутній (точка нерухома), або в даний момент часу відбу вається зміна напрямку швидкості на протилежний;
3. Кут між векторами і α = 0, або α = 1800. Відносний рух точки відбувається в напрямку осі переносного обертання, або в даний момент часу вектор паралельний вказаній осі.
Знаходження абсолютного прискорення точки у випадку, коли переносний рух є обертанням навколо нерухомої осі
При переносному обертальному русі переносне прискорення можна розкласти на дотичну та нормальну складові
.
Якщо точка у відносному русі рухається по криволінійній траєкторії, то її прискорення також задасться сумою
.
Тоді формула для знаходження абсолютного прискорення матиме вигляд
.
Якщо задано величини переносної кутової швидкості ω і переносного кутового прискорення ε, то дотична і нормальна складові переносного прискорення знайдуться з виразів
; ,
де R – віддаль від точки М до осі переносного обертання (див. рис. 8.8).
Знаходження складових відносного прискорення включає два випадки:
а) точка рухається по відомій криволінійній траєкторії (рис. 8.8, крива АВ).
При задаванні руху точки М через криволінійну координату s = f(t) (див. лекцію 5) нормальне та дотичне прискорення знайдуться з виразів
; (); , де ρ – радіус кривизни траєкторії АВ);
б) точка виконує відносний обертальний рух (рис. 8.8, точка М').
В цьому випадку дотичне та нормальне прискорення знайдуться з виразів
; ,
де ωвід і εвід – кутова швидкість і кутове прискорення точки при відносному обертанні, а r – віддаль від точки М' до осі відносного обертання (див. рис. 8.8).
Розглянемо приклад знаходження абсолютного прискорення точки.
В конструкції, показаній на рис. 8.4, стержень обертається з кутовою швидкістю ω = 3t рад/с, а шайба М рухається по закону ОМ = s = = 2t2 м. Знайти абсолютне прискорення точки для моменту часу t1 = 1 с.
Для заданого моменту часу віддаль ОМ = 2·12 = 2 м, переносна кутова швидкість ω = = 3·1 = 3 рад/с, а переносне кутове прискорення ε = dω/dt = 3 рад/с2.
Знаходимо дотичне та нормальне прискорення то чки в переносному русі
= ε·ОМ = 3·2 = 6 м/с2; = ω2·ОМ = 32·2 = = 18 м/с2.
Знаходимо характеристики відносного руху точки:
vвід = ds/dt = 4t = 4·1 = 4 м/с; = dvвід/dt = 4 м/с2; = 0 (ρ = ∞).
Визначаємо величину коріолісового прискорення, врахувавши, що вектори і перпендикулярні (див. рис. 8.9)
aкор = 2ω·vвід sin 900 = 2·3·4·1 = 24 м/с2.
Напрямок вектора коріолісового прискорення визначаємо за правилом Жуковського, повернувши вектор на 900 в напрямку переносного обертання. Відкладаємо всі вектори в точці М та, задавши координатні осі х і у (див. рис. 8.9), додаємо методом проекцій
aаб х = - = 4 – 18 = -14 м/с2; aаб у = + aкор = 6 + 24 = = 30 м/с2;
aаб = = = 33,1 м/с2.
З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1]: відносний, переносний та абсолютний рухи точки – с. 155-156; теорема про складання швидкостей – с. 156-158; теорема про складання прискорень – с. 160-161; знаходження коріолісового прискорення – с. 161-164; знаходження абсолютного прискорення точки у випадку, коли переносний рух є обертанням навколо нерухомої осі – с. 164-165.
Питання для самоконтролю
ЛІТЕРАТУРА
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 1986.
2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Часть I. - М.: Высшая школа, 1984.
3. Практикум з теоретичної механіки. Статика. Кінематика. Рудь Ю.С., Радченко І.С., Білоножко В.Ю. та ін./ За ред. Ю.С. Рудь .- Кривий Ріг: Мінерал, 2006.
4. Бутенин Л.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. - Т. 1. - М.: Наука, 1971.
5. Попов М.В. Теоретическая механика. Краткий курс. - М.: Наука, 1986.
|
ЗМІСТ Передмова..................................................................................... СТАТИКА Лекція 1 Основні поняття та аксіоми статики. Рівновага збіжної системи сил……………………………………………………… Вступ…………………………………………………………........ Основні поняття статики……………………………………........ Аксіоми статики……………………………………….................. В’язі та їх реакції…………………………………………………. Види в’язей……………………………………………………….. Збіжна система сил………………………………………………. Геомет ричні умови рівноваги…………………………................ Питання для самоконтролю……………………………………... Лекція 2 Умови рівноваги довільної плоскої системи сил………........ Аналітичний спосіб задавання та додавання сил……............ Аналітичні умови рівноваги збіжної системи сил………….. Алгебраїчний момент сили та пари сил……………………... Реакція жорсткого защемлення……………………………… Зведення плоскої системи сил до центру……………………. Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил……………... Питання для самоконтролю……………………………………... Лекція 3 Рівновага систем тіл. Вектори моменту сили та пари сил... Статично визначені та статично невизначені конструкції…. Рівновага систем тіл…………………………………………........ Вектори моменту сили та пари сил……………………………... Момент сили відносно осі……………………………………….. Питання для самоконтролю…………………………………….. Лекція 4 Рівновага просторової системи сил. Центр ваги твердого тіла………………………………………………………………... Зведення довільної просторової системи сил до центру………. Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил………... Центр паралельних сил та його координати……….................... Центр ваги твердого тіла………………………………………… Координати центрів ваги однорідних тіл………………………. Способи визначення координат центрів ваги тіл……............ Питання для самоконтролю……………………………………... КІНЕМАТИКА Лекція 5 Кінематика матеріальної точки……………………………… Вступ…………………………………………………………........ Способи задавання руху точки………………………………….. Вектори швидкості та прискорення точки……………………... Швидкість та прискорення точки при координатному способі задавання руху……………………………………………………. Швидкість та прискорення точки при натуральному способі задавання руху……………………………………………………. Знаходження дотичного і нормального прискорень при координатному способі задавання руху………………………........... Питання для самоконтролю…………………………………….. Лекція 6 Кінематика твердого тіла……………………………………… Вступ……………………………………………………………… Поступальний рух твердого тіла………………………………... Обертальний рух твердого тіла…………………………………. Кутова швидкість і кутове прискорення тіла…………….. Часткові випадки обертального руху…………………………… Швидкості та прискорення точок тіла………………………….. Вектор швидкості точки……………………………..................... Питання для самоконтролю…………………………………….. Лекція 7 Плоскопаралельний рух твердого тіла……………………… Вступ……………………………………………………………… Задавання плоскопаралельного руху…………………………… Характеристики руху точок плоскої фігури…………………… Знаходження швидкостей точок з використанням полюса…… Теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури.. Знаходження швидкостей точок за допомогою миттєвого центра швидкостей………………………..................................... Часткові випадки знаходження миттєвого центра швидкостей……………………………………………………………….. Знаходження прискорень точок плоскої фігури………………. Питання для самоконтролю……………………………………... Лекція 8 Складний рух матеріальної точки…………………………... Відносний, переносний та абсолютний рухи точки…………… Теорема про складання швидкостей………………………… Теорема про складання прискорень…………………….............. Знаходження коріолісового прискорення………………………. Знаходження абсолютного прискорення точки у випадку, коли переносний рух є обертанням навколо нерухомої осі……… Питання для самоконтролю…………………………………….. Література..................................................................................... 3 4 4 4 6 7 8 11 12 14 15 15 17 18 20 21 22 25 26 26 27 28 30 33 33 33 34 36 39 39 40 42 43 43 44 46 48 49 52 53 54 54 54 55 56 58 59 60 61 62 62 63 64 65 66 66 67 69 71 72 72 73 75 77 79 82 83 |
Конспект лекцій
з дисципліни “Теоретична механіка”
Частина І
Статика. Кінематика
для студентів напрямів підготовки “Гірництво”, “Переробка корисних копалин”, “Металургія” і “ Геодезія, картографія та землеустрій ”
денної та заочної форми навчання
Укладач: Гузь Борис Олександрович
Реєстрац. №____________
Підписано до друку _________________ 2011 р.
Формат ________ А5______
Обсяг _________96______ стор.
Тираж _________________ прим.
Видавничий центр КТУ,
вул. ХХІІ партз’їзду, 11,
м. Кривий Ріг
А
В
С
D
EMBED Equation.3
Рис. 1.1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
а)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
б)
Рис. 1.2
EMBED Equation.3
а)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
б)
Рис. 1.3
EMBED Equation.3
А
М
Рис. 1.4
а)
EMBED Equation.3
б)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
y
A
y
Рис. 1.5
EMBED Equation.3
а)
б)
Рис. 1.6
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
y
A
EMBED Equation.3
B
Рис. 1.7
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 1.8
EMBED Equation.3
x
EMBED Equation.3
y
A
EMBED Equation.3
z
EMBED Equation.3
A
а)
y
x
z
B
B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
б)
Q
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 1.9
EMBED Equation.3
O
O
O
a)
б)
в)
Рис. 1.10
a)
б)
Рис. 1.11
α
β
γ
А
С
В
600
300
С
300
600
а)
б)
в)
Рис. 1.12
А
В
b
a
Fx
x
α
B
A
b
a
Fx
x
α
β
a)
б)
Рис. 2.1
Fx
у
α
Fу
x
β
Рис. 2.2
С
В
q = 1,75 кН/м
6 кН
600
Рис. 3.5
Рис. 3.4
450
D
С
Е
4 м
4 м
4 м
4 м
4 м
5 кН
А
4 м
y
x
D
С
В
q = 1,75 кН/м
6 кН
600
Рис. 3.5
Рис. 3.4
450
D
С
Е
в)
б)
450
D
В
А
D
С
а)
5 м
5 м
2 м
8 м
y
x
D
С
В
А
q = 2 кН/м
4 кН
Рис. 1.5
х
у
z
Fx
Fy
Fz
α
β
γ
O
Рис. 2.3
С
300
у
х
Рис. 2.4
А
В
О1
h
x
y
О
Рис. 2.5
А
В
О
d
x
y
Рис. 2.6
а)
−
+
m
m′
б)
А
а)
mB
В
mC
C
x
y
б)
mВ
Рис. 2.7
А1
О
x
y
Рис. 2.8
mi
А2
Аn
А
О
x
y
Рис. 2.9
m
В
MO
А1
x
y
Рис. 2.10
m1
O
А2
Аn
m2
mn
O
x
y
a)
б)
а)
Рис. 2.11
l
l/2
l
б)
l/3
А
В
m
450
2 м
1 м
а)
Рис. 2.12
А
у
б)
В
450
m
х
1 м
2 м
А
В
Рис. 3.1
Рис. 3.2
А
В
С
А
С
С
В
а)
б)
Рис. 3.3
n
O
h
B
A
B
A
Рис. 3.4
d
А
В
z
O
O1
В1
A1
(xy)
h
γ
Рис. 3.5
О
z
Рис. 3.6
Рис. 3.7
А
В
z
O
y
h
α
x
А
В
z
O
y
h
x
а)
б)
О
x
y
z
MO
MO
MO
a
Рис. 3.8
450
a
y
М
О
В
А
Рис. 8.9
x
М'
εвід
ωвід
ω
R
r
R
В
М
ε
А
Рис. 8.8
Рис. 8.7
М
П
900
α
б)
а)
М
Δφ
Δφ
Δr
r
М1
m1
m
М
ω
Рис. 8.6
О
m1
m
М1
М
б)
М1
М
а)
Рис. 8.5
ω
М
О
В
А
Рис. 8.4
б)
а)
В1
В
А1
А
M'
M1
m1
m
α
М
Рис. 8.3
O1
y1
z1
M
x1
Рис. 8.2
O1
y1
z1
z
х
у
О
М
x1
m
O1
y1
x1
х
у
О
М
Рис. 8.1
у
ε
Рис. 7.11
х
М
ε
ω
А
Рис. 7.10
µ
Рис. 4.2
r
R
b
a
x
y
z
В
А
А1
О
x
z
Рис. 4.1
А2
Аn
у
М
Рис. 4.6
C
в)
z
x
y
C
б)
z
x
y
а)
C
z
y
x
А
В
С
h1
h2
α
Рис. 4.3
А
В
С
Рис. 4.4
x
y
z
O
x1
xC
x2
y2
yC
y1
z1
z2
zC
x
y
z
O
C
Рис. 4.5
ε
ω
А
д)
г)
Р
А
В
в)
б)
В
Р
А
2
2,5
2
5
y
x
C1
C2
C
Рис. 4.7
x
y
r
R
C1
C2
C
a
Рис. 4.8
Р
В
А
ω
а)
А
Р
Рис. 7.9
М
ω
В
А
Р
Рис. 7.8
900
Рис. 7.7
α
β
A
B
900
Рис. 7.6
ω
М
А
х'
у'
Рис. 7.5
М
А
О
у
х
(S)
Рис. 7.3
М'
(S)
М
П
у
О
х
Рис. 7.4
φ
В
А
уА
хА
О
у
х
Рис. 7.1
В
А
О
Рис. 7.2
h
О
М
С
α
z
А
В
Рис. 6.8
М
ω
μ
Рис. 6.6
С
μ
Рис. 6.7
С
Рис. 6.5
С
z
А
В
Рис. 6.4
M
h
ds
dφ
I
II
φ
z
А
В
Рис. 6.3
С
А
О2
В
Рис. 6.2
О1
А'
В'
В
Рис. 6.1
А
D
C
B
A
dφ
τ
n
Рис. 5.7
М
Рис. 5.6
s
µ
-
+
О
M
τ
b
n
Рис. 5.5
М1
М
М1
Рис. 5.4
O
z
x
y
М
Рис. 5.3
O
M
s
-
+
О
z
у
х
Рис. 5.2
(0, 3)
О
у
х
Рис. 5.1
O
x
y
z
z
x
y
М