Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
21. Квадратные матрицы.
Квадратной матрицей называется
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов.
Главная диагональ называется совокупность (а11, а22, аnn). Другая диагональ называется побочной или второстепенной. Квадратная матрицы называется треугольной, если ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны 0.
Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы симметричны относительно главной диагонали.
Квадратная матрица называется единичной, если все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны 0, а на главной диагонали 1.
Е - единичная матрица.
Еn – если нужно подчеркнуть размерность.
22. Определитель квадратной матрицы.
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое называется определителем.
Определителем 2 порядка, который соответствует квадратной матрице 2 порядка
А= а11 а12
а21 а22 называется число ∆=
a11 a12
a21 a22 =a11*a22-a21*a12=det A
Пример:
∆= 1 2
3 4 =1*4-2*3=-2
Замечание: неквадратная матрица определителям не соответствует.
Определителем 3 порядка, который соответствует кв. матрице 3 порядка,
а11 а12 а13
А= а21 а22 а23
а31 а32 а33 называется число
а11 а12 а13
∆= а21 а22 а23
а31 а32 а33 = а11*а22*а33+а12*а23*а31+а21*а32*а13-а13*а22*а31-а32*а23*а11-а21*а13*а33.
При вычислении определителя 3 порядка удобно пользоваться «правилом треугольников».
Минором элемента аiJ называется определитель порядка n-1, получаемый из ∆, вычеркиванием i-строки и j-столбца. Алгебраическим дополнением Аij к элементу аij называется число (-1)i+j.
Теорема: определитель n-порядка равен сумме произведений любой его строки или столбца на их алгебраическое дополнение.
∆=
23. Свойства определителей.
1. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы:
∆= 1 2
3 4 =1*4-2*3=-2
∆|= 1 3
2 4 =1*4-2*3=-2
2.Определитель, содержащий нулевую строку или столбец, равен 0.
3.Если 2 строки (столбца) определителя поменять местами, он изменит знак на противоположный.
4. Определитель, содержащий 2 одинаковые строки (столбца), равен 0.
5. Если все элементы строки (столбца) определителя умножить на некоторое число k, то и значение определителя изменится в k раз.
6. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы, равен 0.
7. Определитель не меняется, если к элементам одной его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умножить на одно и то же число. (тоже верно и для столбцов).
24. Система линейных ур-ний. Правило Крамера.
Общий вид системы из m уравнений с n неизвестными следующий:
a11x1+a12x2+..a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+..a2nxn=b2,
am1x1+am2x2+..amnxn=bm
где аij i=1,m j=1,n коэффициенты; b1,b2…,bm – свободные члены; x1,x2,..,xn – переменные(неизвестн)
а11 а12 а1n
Матрица А= a21 a22 a2n
am1 am2 amn
называется основной матрицей системы.
Матрица
а11 а12 а1n b1
С= a21 a22 a2n b2
am1 am2 amn bm (1)
расширенная матрица системы.
Набор чисел (α1, α2, αn) называется решением системы (1), если при подстановке чисел α1, α2, αn в систему (1) каждое из ур-ний системы обращается в верное равенство. Система(1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместная система решения не имеет.
Система(1) называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет несколько решений.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными(n=n).
a11x1+a12x2+..a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+..a2nxn=b2,
an1x1+an2x2+..annxn=bn
Рассмотрим матрицу
a11 а12 a1n
А= a21 a22 a2n
an1 an2 ann и матрицы А1, А2, .., Аn, где матрица Аj j=1,n получается из матрицы Аij замены j столбца на строку без свободных членов.
b1 a12 a1n
А1= b2 a22 a2n
bn an2 ann
a11 b1 a1n
А2= a21 b2 a2n
an1 bn ann
Пусть определитель матрицы А не равен 0, тогда системы уравнений совместно и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1=, x2=, xn=
Замечание: если det A=0, то возможны два случая:
25. Равносильные системы.
Две системы ур-ний наз. Равносильными, если они имеют одни и те же решения, т.е. каждое решение одной системы являются решением другой и наоборот.
Элементарными преобразованиями системы называются следующие 3 операции:
Теорема: Элементарные преобразования ур-ний системы приводит к эквивалентным ей системам.
На эквивалентных преобразованиях системы основан метод Гаусса. Его идея состоит в том, чтобы с помощью эквивалентных преобразований привести систему к такому виду, из которого ее решение легко усматривается.