У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

заменяется некоторой интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида например интерполяци

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 7.6.2025

§ 16. Квадратурные формулы интерполяционного типа

В них для построения приближенной формулы вида (1)  заменяется некоторой интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида, например, интерполяционным многочленом  сразу на всем отрезке , а затем приближенно полагают:

    (6)

Полученные таким образом формулы и называются квадратурные формулы интерполяционного типа. Распишем подробнее.

Выберем на отрезке  упорядоченную систему  точек (узлов): . В качестве интерполирующей функции  возьмем полином в форме Лагранжа:

или  (7)

где .

Тогда, приближенно полагая , имеем:

 (8)

Мы получили квадратурную формулу вида (1), коэффициенты которой – интегралы от лагранжевых коэффициентов:

  (9)

Из (9) видно, что коэффициенты  не зависят от функции , т.к. вычисляются только с учетом узлов интерполяции.

Если  имеет непрерывную производную , то остаточный член формулы (8) представляется в виде:

,   (10)

Отсюда вытекает оценка

   (11)

здесь  - такая положительная величина, что , .

Очевидно, что если  - полином степени , то формула  точна (т.е. ), поскольку .

§ 17. Формулы Ньютона-Котеса

Формулами Ньютона-Котеса называются квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке. Есть 2 типа формул Ньютона-Котеса:

  •  формулы открытого типа, в которых хотя бы одна из граничных точек отрезка интегрирования не входит в квадратурную формулу (т.е. хотя бы  или );
  •  формулы закрытого типа – точки  и  являются узлами интерполяции (, ).

Остановимся на формулах закрытого типа. По-прежнему на отрезке  построена система  узлов интерполяции: , . Шаг интегрирования постоянен: . В этом случае можно воспользоваться формулой Лагранжа для равноотстоящих узлов, которая с учетом подстановки  имеет вид:

(12)

Для того, чтобы использовать функцию (12) вместо  в (6), нужно изменить пределы интегрирования (значению  соответствует , а  - значение ), а также учесть, что . Тогда из (9) получаем выражения для коэффициентов  () квадратурной формулы (8):

или, т.к. , то

  (13)

где

   (14)

Постоянные (14) называются коэффициентами Котеса. Квадратурные формулы (8) принимают вид:

   (15)

Формулы (15) – квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Они дают на одном отрезке интегрирования различные формулы для различного числа .

Поскольку что при больших  в (14) будут встречаться коэффициенты, превосходящие по абсолютной величине сколь угодно большое число, то ошибки в вычислениях  могут дать значительную. Поэтому формулы Ньютона-Котеса малопригодны для вычислений с большим количеством узлов. Но и точность формул при малых  оказывается неудовлетворительной. Поэтому для уменьшения погрешности отрезок  разбивают на достаточно большое число отрезков и к каждому применяют простейшую квадратурную формулу. Так получаются составные квадратурные формулы (например, трапеций или парабол). Вот мы и рассмотрим некоторые наиболее практически значимые частные случаи формул Ньютона-Котеса:

  •   (интерполирование по 2 узлам - линейное):

Тогда из (15) получаем известную локальную формулу трапеций:

   (16)

ошибка (остаточный член) которой оценивается как

,

Из оценки видно, что при  (16) дает значение интеграла с избытком, при  - с недостатком..

При распространении рассмотренной идеи на весь отрезок интегрирования , получаем глобальную (составную) формулу трапеций (рис.3)

(17)

и оценку глобальной погрешности интегрирования:

   (18)

где . Т.е. формула трапеций имеет второй порядок точности ().

  •   (интерполирование по 3 узлам – квадратичное):

Тогда из (15) следует локальная формула Симпсона (парабол):

 (19)

имеющая ошибку […Демидович…]:

,

Геометрически (19) получается в результате замены кривой  параболой, проходящей через точки , ,  

Распространяя эту идею на весь отрезке интегрирования , т.е. на  отрезков длиной , получаем составную (глобальную) формулу Симпсона:

 (20)

Чтобы оценить погрешность формулы (20), необходимо  раз просуммировать локальную погрешность и учесть, что :

   (21)

где .

Зная оценку погрешности, можно оценить величину шага , необходимую для получения заданной точности . Так, если хотим получить , следует выбирать величину шага из условия

  (22)

Рассмотренные метод трапеций и парабол есть частные случаи формул Ньютона-Котеса закрытого типа. Один из наиболее употребительных методов открытого типа – метод прямоугольников.




1. Доказательство генетической роли нуклеиновых кислот
2. Сказка как социогенетический инвариант семейных отношений
3. это воспаление уха чаще всего острое
4. тематичного апарату створеного на базі теорії нечітких множин 14
5. вопиющее дело Дело это заключалось в том что она по своей сердечной доброте и простоте чисто из одного уча
6. 21 В последнее время все больше предприятий вкладывают денежные средства в операции на рынке ценных бум
7. 1997 издательствами Зеленоградская книга Амбер Лтд
8. Монтаж наладка и испытания РЭО ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Изделие
9. Тема- ldquo;Вимірювання опорів амперметром і вольтметром омметром мостом і мегаомметром
10. Реферат Проблемы регулирования денежной массы