Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 16. Квадратурные формулы интерполяционного типа
(6)
Полученные таким образом формулы и называются квадратурные формулы интерполяционного типа. Распишем подробнее.
Выберем на отрезке упорядоченную систему точек (узлов): . В качестве интерполирующей функции возьмем полином в форме Лагранжа:
или (7)
где .
Тогда, приближенно полагая , имеем:
(8)
Мы получили квадратурную формулу вида (1), коэффициенты которой – интегралы от лагранжевых коэффициентов:
(9)
Из (9) видно, что коэффициенты не зависят от функции , т.к. вычисляются только с учетом узлов интерполяции.
Если имеет непрерывную производную , то остаточный член формулы (8) представляется в виде:
, (10)
Отсюда вытекает оценка
(11)
здесь - такая положительная величина, что , .
Очевидно, что если - полином степени , то формула точна (т.е. ), поскольку .
§ 17. Формулы Ньютона-Котеса
Остановимся на формулах закрытого типа. По-прежнему на отрезке построена система узлов интерполяции: , . Шаг интегрирования постоянен: . В этом случае можно воспользоваться формулой Лагранжа для равноотстоящих узлов, которая с учетом подстановки имеет вид:
(12)
Для того, чтобы использовать функцию (12) вместо в (6), нужно изменить пределы интегрирования (значению соответствует , а - значение ), а также учесть, что . Тогда из (9) получаем выражения для коэффициентов () квадратурной формулы (8):
или, т.к. , то
(13)
где
(14)
Постоянные (14) называются коэффициентами Котеса. Квадратурные формулы (8) принимают вид:
(15)
Формулы (15) – квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Они дают на одном отрезке интегрирования различные формулы для различного числа .
Поскольку что при больших в (14) будут встречаться коэффициенты, превосходящие по абсолютной величине сколь угодно большое число, то ошибки в вычислениях могут дать значительную. Поэтому формулы Ньютона-Котеса малопригодны для вычислений с большим количеством узлов. Но и точность формул при малых оказывается неудовлетворительной. Поэтому для уменьшения погрешности отрезок разбивают на достаточно большое число отрезков и к каждому применяют простейшую квадратурную формулу. Так получаются составные квадратурные формулы (например, трапеций или парабол). Вот мы и рассмотрим некоторые наиболее практически значимые частные случаи формул Ньютона-Котеса:
Тогда из (15) получаем известную локальную формулу трапеций:
(16)
ошибка (остаточный член) которой оценивается как
,
Из оценки видно, что при (16) дает значение интеграла с избытком, при - с недостатком..
При распространении рассмотренной идеи на весь отрезок интегрирования , получаем глобальную (составную) формулу трапеций (рис.3)
(17)
и оценку глобальной погрешности интегрирования:
(18)
где . Т.е. формула трапеций имеет второй порядок точности ().
Тогда из (15) следует локальная формула Симпсона (парабол):
(19)
имеющая ошибку […Демидович…]:
,
Геометрически (19) получается в результате замены кривой параболой, проходящей через точки , ,
Распространяя эту идею на весь отрезке интегрирования , т.е. на отрезков длиной , получаем составную (глобальную) формулу Симпсона:
(20)
Чтобы оценить погрешность формулы (20), необходимо раз просуммировать локальную погрешность и учесть, что :
(21)
где .
Зная оценку погрешности, можно оценить величину шага , необходимую для получения заданной точности . Так, если хотим получить , следует выбирать величину шага из условия
(22)
Рассмотренные метод трапеций и парабол есть частные случаи формул Ньютона-Котеса закрытого типа. Один из наиболее употребительных методов открытого типа – метод прямоугольников.