Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
84 Производная функции, заданной параметрически
Рассмотрим способ задания линий на плоскости, при котором обе координаты точки кривой выражаются через третью переменную называемую ПААМЕТРОМ. Такое задание линий имеет механический смысл.
Представим себе некоторую точку плоскости А(x,y) движущиеся в этой плоскости так, чтобы закон движения этой точки в каждый момент времени t можно указать значение координат этой точки , то есть координаты точки А являются функциями времени t
(1)
Если движение происходит в течение времени tϵ[a,b], то эти функции заданы на отрезке АВ. Задание функции 1 на отрезке АВ однозначно определяют движение точки и тем самым ее траекторию, то есть линию, по которой движется точка. Поэтому уравнение 1 можно рассматривать как уравнение некоторой линии. Такие уравнения называются ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ ПРЯМОЙ. Чтобы построить линию по заданным уравнениям необходимо придать параметру t несколько произвольных значений из отрезка АВ, по ним найти с помощью уравнения 1 значения X и Y и построить в плоскости XOY точки с координатами X,Y. Соединив их плавной линией мы получим искомую кривую. Для удобства можно составить таблицу.
|
T1 |
T2 |
T3 |
T4 |
T5 |
… |
tn |
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
… |
xn |
|
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
… |
yn |
ТЕОРЕМА о дифференцирование параметрически заданной функции.
Пусть функция задана параметрическими уравнениями 1 на отрезке АВ и пусть выполняются 2 условия:
Ее производная так же непрерывна и не равно 0
Тогда функция y=f(x) имеет производную по переменной х, которая вычисляется по формуле
85 Производная неявно заданной функции
Пусть дана функция F(x,y)=0 (1) зависящая от X и Y. Функция y=f(x) называется НЕЯВНО заданной, если подстановка ее в равенство 1 вместо у обратной его в верное равенство .
Пример неявно заданной функции
Правило нахождения производной
Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать обе части данного равенства по переменной Х считая У функцией от их. И пользуясь правилом дифференцирования сложной функции.
NB! Производная неявной функции является функцией неявной.
86. Производная показательно-степенной функции . Логарифмическое дифференцирование.
При дифференцирование некоторых видов функций используется метод логарифмического дифференцирования, который заключается в предварительном логарифмирование обеих частей данной функции и приводящий ее к неявной функции.
К этим видам функции относятся функции:
1
Находим производную от обеих частей по правилу дифференцирования неявной функции
2
3
Далее дифференцируем обе части равенства.
87 Производные высших порядков
Пусть дана функция y=f(x) . Если она имеет производную, то она равна пределу ,
Производная данной функции является функцией переменной Х.
Зададим Х приращение ΔХ, тогда У’ получит приращение ΔУ’, которое равно
.Если при этом существует
Аналогично определяется производные третьего, четвертого, пятого и т.д. порядка.