Доказательство теоремы о дифференцируемости интеграла зависящего от параметра в случае постоянных пр
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Вопросы по курсу “Векторный и тензорный анализ”
факультет Т, третий семестр
- Доказательства теорем о непрерывности и интегрируемости интеграла, зависящего от параметра, в случае постоянных пределов интегрирования.
- Доказательство теоремы о дифференцируемости интеграла, зависящего от параметра, в случае постоянных пределов интегрирования. Формулировки теорем об интеграле, зависящем от параметра, в случае переменных пределов интегрирования.
- Определение криволинейного интеграла первого типа. Формулировка теоремы существования. Случаи существования. Доказательство формулы вычисления.
- Приложение криволинейного интеграла первого типа в механике. Свойства криволинейного интеграла первого типа (девять свойств).
- Определение криволинейного интеграла второго типа и вывод формулы его вычисления. Связь криволинейных интегралов двух типов. Формулировка свойств криволинейного интеграла второго типа.
- Ограниченные, связные, замкнутые, квадрируемые области на плоскости. Разбиение такой области, диаметр разбиения. Определение двойного интеграла. Формулировка теорем об ограниченности интегрируемой функции двух переменных, критерий существования двойного интеграла, случаев интегрируемости, свойств двойного интеграла.
- Доказательство формулы вычисления двойного интеграла для прямоугольной области.
- Определение стандартной области относительно оси координат и доказательство теоремы о вычислении двойного интеграла по стандартной области.
- Вычисление объема цилиндрического бруса и площади поверхности заданной в явном виде и параметрически.
- Вычисление статических моментов, координат центра масс, момента инерции, неоднородной плоской пластины.
- Криволинейные интегралы на плоскости. Вывод формулы замены переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- Вывод формулы Грина. Доказательство теоремы о равенстве нулю криволинейного интеграла второго типа по замкнутому контуру. Пример существенности требования односвязной области.
- Доказательства теорем о независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования и о полном дифференциале функции двух переменных.
- Понятие двусторонней и односторонней поверхности. Определение поверхностного интеграла первого типа. Формулировка критерия существования этого интеграла. Вывод формулы вычисления поверхностного интеграла в случае явного задания поверхности. Формула вычисления в случае параметрически заданной поверхности.
- Формулировка свойств поверхностного интеграла первого типа. Вычисление массы, статических моментов относительно координатных плоскостей, координаты центра масс, момента инерции относительно точки изогнутой пластины. Ньютоновский потенциал простого слоя. Вычисление потенциала однородного сферического слоя.
- Определение поверхностного интеграла второго типа. Свойства этого интеграла. Поток векторного поля. Связь поверхностных интегралов двух типов. Формула вычисления для параметрически заданной поверхности.
- Вывод формулы Стокса. Циркуляция и ротор векторного поля.
- Определение поверхностно односвязной области в пространстве. Формулировка теорем о равенстве нулю криволинейного интеграла второго типа по пространственной замкнутой линии, о независимости интеграла от пути в пространстве и о полном дифференциале функции трех переменных.
- Определение тройного интеграла. Формулировка критерия интегрируемости функции трех переменных. Случаи интегрируемости. Свойства тройного интеграла.
- Формула вычисления тройного интеграла по цилиндрическому брусу и формула замены переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
- Вывод формулы Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля. Вычисление интеграла Гаусса.
- Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Оператор “набла” и выражение с его помощью ротора и дивергенции. Оператор Лапласа.
- Интеграл, зависящий от параметра на полупрямой. Пример разрывности его. Определение равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Доказательство теоремы о непрерывности несобственного интеграла на полупрямой.
- Доказательство теорем об интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- Доказательство критерия Коши равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра.
- Доказательства теорем “о мажорации” ( Вейерштрассе) и сравнения. Примеры.
- Применения теории несобственных интегралы, зависящих от параметра, к вычислению конкретных несобственных интегралов.
- Числовые ряды, примеры сходимости и различных видов расходимости. Доказательства простейших свойств сходящихся рядов.
- Доказательство необходимого условия сходимости числового ряда и критерия Коши его сходимости.
- Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Пример его использования.
- Доказательство теорем сравнения для рядов с положительными членами. Гармонический ряд.
- Доказательство признаков Даламбера и Коши ("с радикалами") (в "непредельной" и "предельной" формах).
- Сравнение признаков Даламбера и Коши ("с радикалами"). Доказательство "интегрального" признака Коши.
- Доказательство "лакунарного" признака Коши. Примеры его применения.
- Абсолютная сходимость числового ряда. Критерий Коши абсолютной сходимости. Связь абсолютной и простой сходимости. Условная сходимость.
- Ряды Лейбница. Оценка разности между суммой и частичной суммой ряда Лейбница. Формулировка признаков Абеля для рядов с членами, являющимися произведениями двух сомножителей.
- Функциональные ряды, определение сходимости. Пример зависимости приближения суммы частичными суммами от точки.
- Доказательства критерия Коши сходимости функционального ряда и простейших свойств сходящихся функциональных рядов. Ряды с неотрицательными членами.
- Определение равномерной сходимости функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Доказательство теоремы о непрерывности суммы ряда из непрерывных членов.
- Доказательства теорем о почленной интегрируемости и дифференцируемости функционального ряда.
- Степенные ряды. Доказательство теоремы Абеля о степенных рядах
- Определение радиуса сходимости степенного ряда и его вычисление.
- Примеры поведения степенных рядов в концах интервала сходимости.
- Ряд Тейлора. Доказательство теоремы Тейлора о коэффициентах этого ряда. Ряды Тейлора для простейших функций. Их радиусы сходимости.
- Применение степенных рядов в решении дифференциальных уравнений. Функции Бесселя.
- Доказательство Бернштейна теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическими многочленами.
- Доказательство ортогональности тригонометрической системы.
- Критерий Эйлера-Фурье периодических функций. Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье периодической с периодом Т функции.
- Понятие об ортонормальных системах функций и о рядах Фурье по таким системам. Ряды по синусам и по косинусам.
- Сходимость в среднем. Доказательство минимальности приближения частичными суммами ряда Фурье. Неравенство Бесселя.
- Равенство Парсеваля. Теорема о полноте тригонометрической системы. Доказательство теоремы об абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье функции, имеющей ограниченную производную.
- Доказательство теоремы Вейерштрасса о замкнутости тригонометрической системы и теоремы о полноте тригонометрической системы.
- Ядро Дирихле и вывод формулы для частичной суммы ряда Фурье.
- Доказательство леммы Римана.
- Доказательство теоремы Линшица о сходимости тригонометрического ряда в точке. Формулировка теоремы Жордана.
- Преобразование Фурье. Косинус и синус - преобразования Фурье. Некоторые простейшие свойства. Равенство Планшереля.