Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 74. Энергия магнитного поля тока. Индуктивность и энергия электромагнита.
Индуктивность кабеля
Энергия магнитного поля может быть подсчитана, если известны напряжённость поля в любой точке и магнитная проницаемость. Ана логично энергии электрического поля энергия магнитного поля вы ражается формулой (§ 58)
(10)
Смысл этой формулы состоит в том, что весь объём, в котором имеется магнитное поле, делят на бесконечно малые элементы объёма и в согласии с только что написанной формулой считают, что в каждом таком элементе находится количество магнитной энергии, пропорциональное квадрату напряжённости поля в данном элементе объёма. Энергия всего магнитного поля получится, если проинтегри ровать её значение для всех элементов объёма того пространства, в котором имеется поле.
Но что представляет собой магнитное поле и за счёт чего со здаётся его энергия?
Магнитное поле является одним из неотъемлемых проявлений электрического тока. Вместе с возникновением тока возникает маг нитное поле, и оно неизбежно уничтожается при прекращении тока.
Процесс трансформации энергии электрического тока в энергию магнитного поля глубоко отличен от процессов преобразования элек трической энергии в другие виды энергии. Действительно, мы можем по желанию увеличить или уменьшить, замедлить или ускорить пе реход энергии электрического тока в теплоту или химическую энер гию, изменяя сопротивление проводников выбором произвольно малого или большого поперечного сечения, варьируя их длину, включая в цепь электролиты и т. д. Мы можем избежать преобразования электрической энергии в механическую, закрепив неподвижно все проводники, образующие электрическую цепь; но мы не в состоянии предотвратить трансформацию энергии тока в период его возникно вения в энергию магнитного поля. Магнитное поле является нераз лучным спутником электрического тока.
Стационарному (постоянному) току соответствует статическое состояние магнитного поля. Изменение величины тока неизбежно влечёт за собой изменение напряжённости магнитного поля, и обратно: любое нарушение статического состояния магнитного поля, связанное, например, с перемещением магнитов, с движением посторонних провод ников, окружённых собственным магнитным полем, или с изменением величины тока в этих проводниках, немедленно отражается на вели чине тока в основной цепи. В этой сопряжённости магнитного поля и тока друг с другом и заключается физическая сущность явле ния электромагнитной индукции и, в частности, самоиндукции.
Стальные, или постоянные, магниты, сохраняющие свои поля как бы независимо от движения электричества, в действительности, как уже говорилось, представляют собой лишь более сложный случай, подтверждающий эту неразрывную связь магнитного поля и движения электричества: их магнитные поля обусловлены вращением электро нов внутри атомов железа. Эти движения, разумеется, существуют и в железе ненамагниченном, но лишь в случае намагничения дают согласованный эффект — дают заметное поле.
Факт неразрывного существования магнитного поля и движения электричества побуждает думать, что энергия магнитного поля представляет собой не что иное, как энергию движения элек тричества, или так называемую электрокинетическую энергию.
Когда мы включаем ток в проводе или в системе проводов, то в момент включения создаётся магнитное поле; оно нарастает на протяжении короткого, однако вполне измеримого промежутка вре мени. В течение того же промежутка времени и скорость урегули рованного (преобладающего) движения электронов в направлении тока возрастает от нуля до той скорости, которая соответствует току установившейся величины I, т. е. стационарному току, напря жение которого мы определяем, основываясь на законе Ома
U = IR.
Когда в цепь включается какой-нибудь проводник с сопротивле нием R, то под действием разности потенциалов заряды (например, электроны), находящиеся внутри провода, приобретают преобладаю щее движение в направлении действующих на них электрических сил. При этом создаётся магнитное поле, являющееся наглядным выражением приобретённой этими зарядами электрокинетической энергии урегулированного движения. Положим, что через t секунд (или долей секунды) ток достиг такой величины, когда оказываемое проводником сопротивление движению электронов становится равным действующей на них силе, находящейся в зависимости от разности потенциалов U на концах проводника. Теперь электроны приобрели запас электрокинетической энергии, который в среднем уже не будет изменяться, так как ток останется постоянным. Вся работа, совер шаемая током, теперь нацело будет превращаться в тепло, коли чество которого, выделяемое ежесекундно, пропорционально мощ ности тока UI.
До наступления этого момента, пока магнитное поле и движение зарядов ещё не достигли своего стационарного состояния, работа тока расходовалась: 1) на тепло и 2) на увеличение электрокинети ческой энергии потока электронов в проводе, т. е. на создание маг нитного поля тока.
Работа тока, расходуемая на создание магнитного поля, напра влена на преодоление электродвижущей силы самоиндукции ξ. Если величина тока в данный момент есть I, то мощность тока, расхо дуемая на преодоление электродвижущей силы самоиндукции, будет ξ I, а работа тока, превращающаяся за дифференциально малый промежуток времени dt в энергию магнитного поля dW, будет равна §Idt. Воспользовавшись формулой (7), определяющей величину электро движущей силы самоиндукции (умножив обе части этой формулы на 1dt), находим, что
Sldt=LIdI,
следовательно,
dW=LIdI.
Запас энергии W магнитного поля тока равен работе, израсходо ванной током на преодоление электродвижущей силы самоиндукции за весь тот промежуток времени, пока ток возрастает от нуля до некоторого стационарного значения. Значит,
W= ∫LIdl,
откуда W =LI2/2. (11)
Здесь, если I выражено в амперах, a L в генри, то энергия по лучается выраженной в джоулях; если же / выражено в едини цах CGSM, a L в сантиметрах, то энергия получается выраженной в эргах.
Эта формула является одной из важнейших формул электродина мики. Она равносильна формуле (10) [когда формула (10) приме няется к вычислению энергии поля уединённого тока], но в сравне нии с формулой (10) формула (11) имеет преимущество простоты.
Выражение 1/2LI2 является особенно наглядным, так как оно совпа дает по форме с выражениями 1/2mv2 для кинетической энергии по ступательного движения и 1/2I2 для кинетической энергии вращательного движения.
Величина тока является обобщённой скоростью движения элек тричества (§ 27); в самоиндукции проявляется инерция тока; мы вправе поэтому рассматривать формулу (11) как прямое указание на единство магнитной и электрокинетической энергии.
Когда проводник имеет форму компактной катушки, пронизы ваемой Ф линиями магнитной индукции, то каждая линия магнитной индукции столько раз охватывает контур проводника, каково число витков n в катушке. Это является равносильным тому, что контур проводника охватывается по одному разу nФ линиями магнитной индукции.
Сопоставляя формулу потока магнитной индукции (когда L изме рено в генри, а I в амперах)
nФ=LI•108 с формулой Гопкинсона (§ 62)
находим коэффициент самоиндукции (индуктивность) электро магнита:
(12)
Здесь l—длина магнитной цепи в железе, l0 — длина воздушного зазора, S и S0—поперечные сечения (эти величины должны быть выражены в сантиметрах); есть магнитная про ницаемость материала сердечника (при заданной величине тока), 0:1, n — число витков.
При пользовании этой формулой не сле дует забывать, что зависит от напряжён ности поля (§ 63), а поэтому для различных величин тока коэффициент самоиндукции тоже будет различный.
Для электромагнита, полюсы которого замк нуты железным якорем, точнее — для тороида (рис. 357), приведённая формула упрощается (l0=0):
Рис. 357. Тороид.
генри. (13)
Мы видим отсюда, что индуктивность действительно имеет раз мерность длины, умноженной на магнитную проницаемость.
Зная индуктивность электромагнита, мы легко можем вычислить его энергию по формуле (11):
W =LI2/2.
Заменив в этой формуле произведение LI через поток магнитной индукции Ф из (5) или из (6), получим:
W=nФI/2 эргов (если I выражено в единицах CGSM),
W=nФI/2•10-8 джоулей (если I выражено в амперах). (14)
Заметим, что обмотку катушки проводом можно осуществить и так, что индуктивность катушки, несмотря на большое число витков, будет близкой к нулю. Для этого провод складывают вдвое и осу ществляют обмотку, как показано на рис. 358.
Рис. 358. Безиндукционная двухнитная («бифилярная») обмотка.
Благодаря противо положному направлению тока в смежных витках создаваемые этими витками магнитные поля взаимно почти уничтожаются.
Вычисление индуктивности проводников в общем случае сопря жено со значительными математическими трудностями. При вычислении индуктивности электромагнита мы воспользо вались найденным ранее выражением для магнитного потока, что сразу и привело нас к решению задачи. В большинстве случаев при вычислении индуктив ности приходится исходить из уравнения (10) для маг нитной энергии тока и, проведя интегрирование, сопоставлять результат с выражением энергии тока через индуктивность, т. е. с формулой (11). Поясним этот метод расчёта на простейшем примере.
Вычислим индуктивность кабеля, состоящего из двух коаксиальных цилиндров (рис. 359), по кото рым ток равной величины идёт в противоположных направлениях.
Рис. 359. Кабель из двух коаксиальных цилиндров.
Заметим, что когда ток протекает по полому цилиндру (с равномерной по окружности цилиндра плотностью), то магнитное поле тока внутри цилиндра равно нулю, а вне цилиндра оно таково же, как поле тока той же величины, идущего по оси цилиндра. Это следует из соображений симметрии и из выражения для магнитодвижущей силы:
. Действительно, для любого замкну того контура, который не охватывает тока (например для окружности, проведённой во круг оси цилиндра в плоскости, перпендику лярной к оси и имеющей радиус r, мень ший, чем радиус R цилиндра), магнитодви жущая сила равна нулю; но
и, стало быть, поскольку = 0, то и Hвнутр=0. Из выражения магнитодвижущей силы для окружности, охватывающей цилиндр (когда r>R): =2r•Нвнешн=4I, находим, что Hвнешн=2I/r.
Таким образом, в интересующем нас случае всё магнитное поле равных и противоположных токов сосредоточивается в пространстве между коаксиальными цилиндрами и создаётся здесь током, идущим по внутреннему цилиндру (по сказанному выше поле обоих токов внутри меньшего цилиндра равно нулю, а вне большего цилиндра поля противоположно направленных токов взаимно уничтожаются). Следовательно, в рассматриваемом случае, разбив весь объём между цилиндрами на бесконечно тонкие слои dv=2rldr, для энергии токов мы получаем выражение, которое легко интегрируется:
Сопоставляя найденную величину энергии магнитного поля токов с выражением энергии тока через индуктивность: W=LI2/2, получаем
формулу для индуктивности кабеля длиной l, состоящего из двух коаксиальных цилиндров с радиусами R1 и R2:
(15)
Аналогичные вычисления для случая двух параллельных провод ников длиной l с радиусом сечения r, удалённых друг от друга на расстояние а (а>>r), дают для величины индуктивности двухпро водной линии:
L =4llna/r.
Для индуктивности круглой петли провода при радиусе петли R и радиусе сечения провода r получается:
L=4R[ln8R/r-2].
При n оборотах провода индуктивность кольцевой катушки в n2 раз превышает индуктивность круглой петли.
Индуктивность соленоида длиной l при n витках провода с радиусом витков R (и площадью сечения соленоида S=R2) равна:
Индуктивность уединённого провода длиной l, имеющего радиус сечения r, равна:
Приведённые формулы определяют индуктивность в сантиметрах, если в сантиметрах выражены l и R.