Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 19 Гистограмма
Гистограмма (от греч. histos, здесь - столб и ...грамма) - это инструмент, позволяющий зрительно оценить распределение статистических данных, сгруппированных по частоте попадания данных в определенный (заранее заданный) интервал.
Гистограмма - это столбиковая диаграмма, служащая для графического представления имеющейся количественной информации, собранная за длительный период времени (неделя, месяц, год и т.д.), которая дает важную информацию для оценки проблемы и нахождения способов ее решения. Гистограмма применяется главным образом для анализа значений измеряемых параметров.
|
Рис. 1. Генеральная совокупность, выборка и данные |
Вся совокупность рассматриваемых объектов называется генеральной совокупностью. Генеральной совокупностью может служить как партия продукции, так и сам процесс. Один или несколько элементов, взятых из генеральной совокупности для получения информации о ней, называется выборкой. Измеряя характеристики выборки, можно сделать выводы относительно генеральной совокупности, а затем произвести некоторые корректирующие действия. |
|
Процесс необходимо рассматривать как бесконечную генеральную совокупность. Данные, полученные из выборки, служат основой для решения генеральной совокупности. Чем больше объем выборки, тем больше информации об этой совокупности мы получим, но рост объема выборки одновременно означает и рост количества данных, и это затрудняет понимание совокупности по этим данным. |
Общий порядок построения гистограмм следующий:
1. Собираются данные контролируемого параметра (Xj ) за определенный период (месяц, квартал, год и т.д.). Число данных должно быть не менее 30-50, оптимальное число порядка 100.
2. Определяются наибольшее Xmax и наименьшее Xmin значения из всех полученных данных и вычисляется размах R:
R =Xmax - Xmin
Размах характеризует разброс контролируемой величины, он определяет ширину гистограммы.
3. Полученный диапазон (размах) делится на несколько интервалов. Число интервалов k зависит от общего числа собранных данных n и некоторых других факторов.
|
Число интервалов должно быть достаточным для того, чтобы на графике проявилась изменчивость данных, но не настолько большим, чтобы на гра фике появились пустоты (провалы) или соседние интервалы слишком раз личались. |
Рекомендуется использовать формулу Стерджесса:
k = 1 +3,322∙lg n
Также можно использовать формулу:
4. Далее определяют ширину интервала:
Все полученные данные распределяют по интервалам. Если какое-то значение попадает на границу, его следует относить к левому по отношению к ней интервалу. Подсчитывается число значений, попавших в каждый интервал mj, где j-номер интервала.
5. Для каждого интервала подсчитывается относительная частота попадания в него данных:
6. По полученным данным строится гистограмма - столбчатая диаграмма, высота столбиков которой соответствует частоте или относительной частоте попадания данных в каждый из интервалов.
Рассмотрим пример построения гистограммы.
В результате наблюдений получено 90 значений показателя качества (табл.1).
Таблица 1
|
77,2 |
86,4 |
86,0 |
76,3 |
68,4 |
63,9 |
|
77,5 |
93,4 |
75,8 |
91,1 |
74,9 |
61,8 |
|
91,5 |
74,1 |
86,9 |
78,0 |
72,2 |
84,2 |
|
83,5 |
88,5 |
78,6 |
82,4 |
76,6 |
86,3 |
|
61,9 |
71,8 |
69,8 |
77,1 |
82,4 |
76,7 |
|
58,7 |
68,3 |
73,0 |
82,4 |
78,7 |
69,8 |
|
87,9 |
62,4 |
67,7 |
63,8 |
74,8 |
71,3 |
|
80,2 |
77,3 |
76,0 |
91,5 |
51,2 |
74,8 |
|
77,4 |
80,9 |
67,0 |
72,5 |
85,9 |
66,6 |
|
77,8 |
84,1 |
79,2 |
88,4 |
72,3 |
69,4 |
|
91,7 |
79,0 |
101,0 |
74,7 |
71,5 |
97,7 |
|
87,0 |
70,6 |
89,3 |
87,5 |
95,6 |
85,9 |
|
54,5 |
75,6 |
70,9 |
83,7 |
72,9 |
92,6 |
|
93,9 |
77,1 |
76,3 |
94,9 |
78,5 |
82,9 |
|
73,8 |
79,1 |
90,8 |
92,7 |
61,6 |
80,6 |
1. Находим наибольшее и наименьшее значения:
Хmах= 101,0; Xmin=51,2.
2. Размах равен:
R= 101,0 -51,2 = 49,8.
3. Выбираем количество интервалов равное 9 (к = 9).
4. Находим ширину интервала: R/k = 49,8 / 9 = 5,53. Для удобства построения выбираем ширину интервала - 5,6.
Границы интервалов устанавливаем следующими: левая граница первого интервала 51,0 (меньше Хmin), правая отстоит на ширину интервала (5,56) и составляет 56,6. Последующие границы: 62,2; 67,8; 73,8 и т.д. Правая граница последнего интервала 101,4, что больше наибольшего из имеющихся значений.
5. Определяем частоту каждого интервала. В первый интервал попало два значения, во второй - четыре и т.д. Результаты сводим в табл. 2.
Таблица 2
|
Номер интервала, i |
Границы интервала |
Частота, mj |
Относительная частота f*(x) |
Накопленная частота F*(x) |
|
1 |
51,0+56,6 |
2 |
0,022 |
0,02 |
|
2 |
56,6+62,2 |
4 |
0,044 |
0,07 |
|
3 |
62,2+67,8 |
6 |
0,067 |
0,13 |
|
4 |
67,8+73,4 |
15 |
0,167 |
0,30 |
|
5 |
73,4+79,0 |
25 |
0,278 |
0,58 |
|
6 |
79,0+84,6 |
13 |
0,144 |
0,72 |
|
7 |
84,64+90,2 |
12 |
0,133 |
0,86 |
|
8 |
90,2+95,8 |
11 |
0,122 |
0,98 |
|
9 |
95,84+101,4 |
2 |
0,022 |
1,00 |
|
(а) Всего |
90 |
1,000 |
6. Вычисляем относительную частоту попадания данных в каждый интервал:
для первого интервала: f*(x) = 2/90 = 0,022;
для второго: f*(x) = 4/90 = 0,044; ит. д.
7. Вычисляем накопленную относительную частоту, прибавляя каждое последующее
значение относительной частоты к сумме предыдущих значений.
Строим гистограмму распределения. Вид полученной гистограммы приведен на рис.2.
График накопленной относительной частоты, т. е. интегральную функцию распределения, представлен на рис. 3.
|
Рис. 2 Гистограмма распределения значений показателя качества |
Рис 3 Интегральная функция распределения |
Полезную информацию о возможном характере распределения можно получить из таблицы 3. Формы, представленные на этом рисунке, типичны, и ими можно воспользоваться как образцами при анализе процессов.
Таблица 3.
|
а) Обычный тип (симметричный). Гистограмма с таким распределением встречается чаще всего. Она указывает на стабильность процесса. |
|
|
б) Гребенка (мультимодальный тип). Здесь классы через один имеют более низкие частоты. Такая форма встречается, когда число единичных наблюдений, попадающих в класс, колеблется от класса к классу или, когда действует определенное правило округления данных. |
|
|
в) Положительно (отрицательно) скошенное распределение. Среднее значение гистограммы локализуется слева (справа) от центра размаха. Частоты довольно резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Такая (асимметричная) форма встречается, когда невозможно получить значения ниже определенного, например для диаметра деталей и т.д. |
|
|
г) Распределение с обрывом слева (справа). Это одна из тех форм, которые часто встречаются при 100%-ном контроле изделий из-за плохой воспроизводимости процесса, а также когда, например, отобраны и исключены из партии все изделия с параметрами ниже контрольного нормативы (или выше, или и те и другие). |
|
|
д) Плато (равномерное и прямоугольное распределение). Такая гистограмма получается в случаях, когда объединяются несколько распределений, в которых средние значения имеют небольшую разницу между собой. Анализ такой гистограммы целесообразно проводить, используя метод расслоения. |
|
|
е) Двухпиковый тип (бимодальный тип). Такая форма встречается, когда смешиваются два распределения с далеко отстоящими средними значениями, например, в случае наличия разницы между двумя видами материалов, двумя операторами и т.д. В этом случае можно провести расслоение по двум видам фактора, исследовать причины различия и принять соответствующие меры для его устранения. |
|
|
ж) Распределение с изолированным пиком. Рядом с распределением обычного типа появляется маленький изолированный пик. Это форма появляется при наличии малых включений данных из другого распределения, появления ошибки измерения или просто включения данных из другого процесса. |
По результатам анализа гистограммы дают заключение о необходимости настройки измерительного прибора или срочного осуществления контроля процесса, однако на основании гистограммы оператор не дол жен регулировать процесс, иначе изменчивость процесса будет увеличиваться.
Если имеется допуск, то необходимо нанести на гистограмму границы допуска (Sl -нижняя граница допуска, SU - верхняя граница допуска), чтобы сравнить распределение с этими границами. Существует пять типичных случаев, показанных на Рис. 4. Используйте их для справок при оценивании популяций.
|
Гистограмма удовлетворяет допуску |
Гистограмма не удовлетворяет допуску |
|||
Рис. 4 Гистограммы и границы поля допуска (Sl - нижняя граница поля допуска, SU -верхняя граница поля допуска)
Если гистограмма удовлетворяет допуску, то в случаях:
а) поддержание существующего состояния - это все, что требуется, поскольку гистограмма вполне соответствует допускам;
б) допуски удовлетворяются, но нет никакого запаса, поэтому необходимо сократить разброс до меньшего значения.
Когда гистограмма не удовлетворяет допуску, то в случаях:
в) необходимо добиться смещения среднего ближе к центру поля допуска;
г) требуются действия, направленные на снижение вариации;
д) одновременно требуются меры, описанные в пунктах в) и г).
По крайней мере, три типа гистограмм доступны для аналитика: построенная с помощью конт рольного листа (check sheet), простая гистограмма (simple histogram) и ви сячая гистограмма (hanging histogram).
Пример гистограммы, построенной с помощью контрольного листа
Специалист по организации труда хочет исследовать распределение времени, требуемое механическому цеху для изготовления некоторой де тали. В связи с тем, что обычно известно, сколько времени требуется на это, бланк контрольного листа оформляется перед взятием выборки. По мере выполнения работы, замеры (крестики) проставляются в соответ ствующих интервалах, как показано на рис. 5, где по горизонтальной оси отложено время выполнения работы в секундах. Полученные замеры ап проксимированы непрерывной кривой распределения. Кривая имеет дву горбый вид (бимодальная кривая), потому что в механическом цехе рабо тали два фрезерных станка. Один из них - новый и работает быстрее, чем другой, более старый.
Рис 5 Контрольный лист времени фрезерования
Пример висячей гистограммы
Этот график аналогичен простой гистограмме с наложенной кривой распределения, но отличается тем, что на графике строится гипотетичес кая кривая распределения, а частоты событий откладываются вниз от этой кривой, как бы повисая на ней. Подобный график помогает аналитику про верить характер распределения данных процесса (рис. 6).
Такой тип гистограммы служит превосходным инструментом, позволя ющим быстро составить представление о совокупности данных, понять закон распределения, увидеть тенденцию центрирования, разброс и су дить о потенциальной возможности процесса. Она может применяться для того, чтобы облегчить иден тификацию потенциальных возможностей системы и в целях определения вероятных проблемных областей.
Рис. 6. Висячая гистограмма
Пример анализа простой гистограммы в целях управления качеством
Две линии работают для производства транзисторов. Процесс статис тически управляем. Гистограмма выходного напряжения транзисторов на рис. 7 показывает значительный разброс. Это свидетельствует о том, что процесс может не обладать потенциальной способностью, так как некото рые из изделий, превышают оба предела технических условий.
|
Рис. 7. Гистограмма для выходного напряжения транзисторов |
а) |
|
б) |
|
|
Рис. 8. Отдельные гистограммы выходного напряжения транзисторов, выпущенных на двух производственных линиях |
Данные разделены на два графика для каждой производственной линий (рис. 8). Отдельные кривые показывают, что работа каждой линии может характе ризоваться процессом, не отвечающим требованиям, но обладающим по тенциальной способностью; данные указывают на проблему смещения. Производственные линии должны быть подрегулированы так, чтобы цент ры распределения приблизились к заданным номинальным значениям.
Пример сравнения данных при помощи объемных гистограмм
|
Рис. 9 Сравнение данных при помощи объемных гистограмм |
Рис 10 Использование гистограмм при фотографировании |
Пример прикладного использования гистограмм
|
В цифровой фотографии гистограмма отражает распределение тонов в изображении. Каждый пиксель попадает в одну из 256 групп, где 0 - чёрный, 255 - белый, а все другие числа обозначают различные тона серого. На гистограмме горизонтальная ось обозначает группы пикселей каждой тональности - от 0 (чёрный) до 255 (белый). Вертикальная ось обозначает количество пикселей в каждой группе. На гистограмме вы видите плавный график - хотя на самом деле вы видите 256 вертикальных линий, но они стоят так близко друг к другу, что создаётся впечатление плавного графика. Но в чём же смысл всей этой информации? О чём говорит гистограмма? Как минимум, она может показать вам недо- или пере-экспозицию. Если с левого края гистограммы вы видите много линий - скорее всего, изображение недоэкспонировано. А если справа - то налицо пересвет. Типичное хорошо экспонированное изображение будет иметь гистограмму с основным распределением тонов по центру с уменьшением по краям, слева и справа - хотя и к этому правилу бывают исключения. |
Полигон
Иногда распределения различных эмпирических данных строятся в виде в виде полигона. Полигоны, как правило, применяют для отображения дискретных изме нений значений случайной величины, но они могут использоваться и при непрерывных (интервальных) изменениях.
В этом случае ординаты, пропорциональные частотам интервалов, восстанавливаются перпендикулярно оси абсцисс в точках соответствующих серединам данных интервалов. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Для замыкания кривой крайние ординаты соединяются с близлежащей серединой интервала, в которой частота равна 0 (Рис. 17).
|
Рис. 17 Полигон |
Рис. 18. Кумулятивная кривая |
По мере роста числа измерений одновременно уменьшается ширина класса, и полигон превращается в так называемую кривую плотности вероятностей, представляю щую собой кривую теоретического распределения
Обычно значения случайных величин не являются совершенно произвольными. Каждое значение может появиться с некоторой вероятностью. Зависимость, связывающая значения случайной величины с вероятностью их появления, называется законом распределения случайной величины. Зная закон распределения, можно заранее предсказать, что те или иные значения этой величины могут появиться с той или иной вероятностью. Законы распределения определяются физическим содержанием случайной величины и для многих случаев они могут быть найдены в результате теоретического анализа. Однако при таком анализе не могут быть учтены многочисленные факторы, неизбежно оказывающие влияние на эту величину. Поэтому реальные законы распределения всегда несколько отличаются от теоретических. Знание законов распределения бывает необходимо для принятия определенных решений по управлению процессами.
Использование кумулятивной кривой
Для выяснения того, соответствует ли данное распределение результа тов измерения нормальному распределению, иногда используют специаль ную вероятностную бумагу, называемую нормальной вероятностной бумагой.
Представление данных на такой бумаге осуществляется следующим способом.
1. На основе полученных в результате измерения параметров качества значений абсолютных частот mi, или соответствующих частостей подсчитывают накоп ленные частоты (частости). Накопленная частота (частость) каждого значения параметра качества получается суммированием всех частот (частостей), предшествующих значениям параметра.
2. График накопленных частот представляет собой кумулятивную кривую (кумуляту). Часто ее называют интегральной кривой. Кумулятивная кривая строит ся как для дискретного, так и для непрерывного изменения значений пара метра.
3. Накопленные частоты (частости) ин тервального ряда относятся не к серединам интервалов, а к верхним грани цам каждого из них. Высота последней ординаты соответствует объему на блюдений всего ряда, или 100 %.
Зависимость на рис. 18 представляет собой полигон, построенный на основе таблиц накопленных частот, и носит название накопленного полигона, а ломаная кривая (штриховая линия) представляет собой кумулятивную кривую. (Обратите внимание, как в дан ном случае соединены отрезки ломаной.)
Кумулятивная кривая имеет более плавный характер изменения, чем гистограмма или полигон частот, ибо накопление приводит к сглаживанию.
4. Значения накопленных частот, со ответствующих одно-, двух- и трехкратному стандартному отклонению значения параметра качества от среднего значения исследуемого статическо го ряда, наносят на нормальную вероятностную бумагу.
|
Рис. 19. Расположение экспериментальных точек на нормальной вероятностной бумаге |
В результате имеют на ней шесть точек: три точки, соответствующие боль шему значению параметра качества относительно его среднего значения, и три точки, соответствующие меньшему его значению (рис. 19). Если точки хорошо ложатся на прямую, то можно говорить о соответствии статистических данных нормальному распределению. В примере точки не легли точно на прямую, но оказались доволь но близко к ней. Поэтому можно сделать вывод о том, что результаты измере ния имеют распределение, близкое к нормальному. Хотя распределение дан ных и близко к нормальному, точки на рис. 19 в начале и в конце заметно отклоняются от прямой, что, в общем-то, бывает часто. |
Из рассмотренных графических изображений становится понятным пре имущество гистограммы при визуальной оценке закона распределения случай ной величины, она признана инструментом контроля качества.
Гистограмма
План
Используемая литература