Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§5. Матрицы
1.Основные определения.
Пусть К – коммутативное кольцо с единицей.
Определение 1: Матрицей размеров над кольцом К называется прямоугольная таблица из элементов кольца К и имеющая строк и столбцов:
где – номер строки, – номер столбца. – элементы матрицы, и - порядки матрицы. Говорят, матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком.
Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:
или .
Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы , , либо с разъяснением: .
Множество всех матриц обозначается .
Частные случаи матриц.
Определение 2: Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3: Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : . Обозначение: .
Пример: Сумма матриц – алгебраическая операция.
.
Свойства (сложения матриц):
1˚. .
2˚. .
3˚. .
4˚. . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается .
Доказательство – самостоятельно.
Теорема 1: Множество относительно сложения образует абелеву группу.
Доказательство: Следует из свойств 1-4.
Определение 4: Произведением элемента называется матрица Обозначение .
Операция сопоставляющая и и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на элемент кольца): .
1˚. .
2˚. .
3˚. .
4˚. .
Доказательство – самостоятельно.
Замечание: Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством .
Определение 5: Произведение матриц размеров и размеров называется матрица размеров , такая что каждый элемент . Обозначение . Операция произведения на называется перемножением этих матриц.
Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий на -ой строке и -ом столбце равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы .
Пример: ,
.
Таким образом, две матрицы можно перемножать, когда число столбцов равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже выполняется, то .
Свойства (умножения матриц):
1˚. имеем .
Доказательство: Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.
2˚. , .
, .
Доказательство: следует из определения суммы и произведения.
3˚. .
Доказательство: Пусть, и . Тогда , здесь – символ Кронекера.
.
4˚. .
5˚. .
Доказательство: аналогично свойству 3˚.
6˚. .
Теорема 2: Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.
Доказательство: Из Теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2˚ и 1˚. Свойство 3˚ демонстрирует наличие единицы.
Замечание: В общем случае произведение не коммутативно. Но: из 4˚ и 5˚ умножение квадратной матрицы на и – коммутируют. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную .
3. Блочные матрицы.
Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное).
Здесь – номер блочной строки, – столбца. Например
, ,
, , .
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки.
Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число.
Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .
Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока .
Тогда .
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц .
Пусть
Пример: , ,
, ,
,
,
В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6: Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : . Обозначение .
Свойства (прямой суммы):
1˚. .
2˚. .
3˚. .
4˚. .
Доказательство – самостоятельно.
§6. Группа перестановок. Знак перестановки.
Напомним, что если – множество из -элементов, , то перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение . – множество всех перестановок степени : .
Лемма 1: Число различных перестановок равно
Лемма 2: Множество перестановок образует группу относительно умножения, так что , обратный элемент получается сменой строк (Не коммутативная группа).
Отметим, что если в перестановке поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.
Углубим проведенное ранее исследование:
Определение 1: Пусть – перестановка степени , пусть . Тогда пара называется инверсией для , если .
Перестановка называется четной, если число инверсий для – четное, и перестановка нечетная, если число инверсий нечетное.
Знак перестановки – это ,где – число инверсий.
Обозначается .
Итак, если – четная, то , и если – нечетная, то .
Пример: . Пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.
Теорема 1:
Доказательство: 1. В единичной перестановке инверсий нет .
2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .
Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие
.
– множество инверсий относительно ,
– множество инверсий относительно : .
Тогда надо доказать, что , т.е. – четное число – это надо доказать.
Пусть ,
,
,
.
Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:
Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .
Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄
Следствие: .
Обозначение: Пусть . -перестановкой будем называть перестановку, при которой
Определение 2: Перестановка вида называется транспозицией. Они имеют вид , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах.
Теорема 2: Транспозиция – нечетная перестановка.
Доказательство: Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где , пара , где , и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄
Замечание: Произведение вида означает, что в нижней строке надо поменять местами и .
? Что означает .
Пример .
Теорема 3: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.
Доказательство: Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами:
Пример:
т.е. .
Аналогично в общем случае.
Пусть на втором шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания .
Упражнение: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .
.
Теорема 4: При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.
Доказательство: Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно.
40