Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО освіти і науки, молоді та спорту УКРАЇНИ
Дніпропетровський національний університет
залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна
Кафедра «Теоретична механіка»
теоретична механіка
РОЗДІЛИ «ДИНАМІКА системи », «Елементи аналітич-
ної механіки»
Методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів
до тестового контролю
Укладачі: Л. Г. Маслєєва
В.А.Татарінова
О.Л. Янгулова
для студентів І-ІІ курсів денної форми навчання
Дніпропетровськ 2013
УДК 531
Укладач:
доц. Маслєєва Людмила Григорівна
доц. Татарінова Валентина Анатоліївна
доц. Янгулова Ольга Леонідівна
Рецензенти:
канд. техн. наук, доц. В. Д. Бондаренко (ПДАБА)
канд. техн. наук, доц. С. А. Костриця (ДІІТ)
Теоретична механіка. Розділи «Динаміка системи » , «Елементи аналітичної механіки» [Текст]: методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів до тестового контролю / уклад.: Л. Г. Маслєєва, Татарінова В.А, Янгулова О.Л.; Дніпропетр. нац. ун-т залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна – Д.: Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, 2012. – 22 с.
Наведені приклади розв’язання типових тестових завдань з розділів « Динаміка системи», «Елементи аналітичної механіки». Подається також набір тестових завдань для самостійної підготовки студентів до комп’ютерного тестування із застосуванням системи «Прометей».
Для студентів денної форми навчання, що вивчають повний курс теоретичної механіки.
Іл. 36. Бібліогр.: 2 назви.
|
|
Маслєєва Л. Г., Татарінова В.А., Янгулова О.Л. укладання, 2013 |
|
|
Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, |
ВСТУП
Тестові завдання та методичні вказівки до їх розв’язання розроблені для студентів денної форми навчання, які вивчають повний курс теоретичної механіки.
У методичних вказівках наведено перелік основних теоретичних питань з розділів «Динаміка системи» та «Елементи аналітичної механіки», знаннями з яких повинен обов’язково володіти студент для успішного тестування, а також приклади розв’язання типових тестових завдань з таких тем: теорема про зміну кінетичного моменту системи, теорема про зміну кінетичної енергії системи, принцип можливих переміщень, загальне рівняння динаміки системи, рівняння Лагранжа другого роду (для систем з одним ступенем вільності).
З метою самопідготовки студентів до тестування та самоконтролю в методичних вказівках наведено також набір тестових завдань, правильні відповіді до яких подаються в розділі «Відповіді до тестових завдань».
1. Теоретичні питання
ДИНАМІКА СИСТЕМИ
1. Теорема про зміну кінетичного моменту системи.
1.1. За якою формулою обчислюється момент інерції точки відносно осі z?
1.2. За якою формулою обчислюється момент інерції тіла відносно осі z? Що харак-
теризує момент інерції тіла?
1.3. За якою формулою обчислюється момент інерції суцільного однорідного диска
відносно центральної осі, що перпендикулярна до його площини?
1.4. За якою формулою обчислюється момент інерції суцільного однорідного диска
відносно нецентральної осі , що проходить через точку обода диска перпендикулярно до площини диска?
1.5. За якою формулою обчислюється момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі, що перпендикулярна до його площини?
1.6. За якою формулою обчислюється момент інерції тіла відносно осі, що паралельна центральній?
1.7. Який вигляд має рівняння динаміки обертального руху тіла навколо осі z?
За якою формулою при цьому визначається кутове прискорення тіла?
1.8. За якою формулою обчислюється кінетичний момент точки відносно осі z?
1.9. За якою формулою обчислюється кінетичний момент тіла, яке обертається навколо нерухомої осі z?
1.10.Чому дорівнює похідна за часом від кінетичного моменту системи відносно осі z? 1.11.Чому дорівнює зміна за часом кінетичного моменту системи відносно осі z?
1.12.В якому випадку виконується закон збереження кінетичного моменту системи відносно осі z?
2. Теорема про зміну кінетичної енергії системи.
2.1. За якою формулою обчислюється кінетична енергія точки?
2.2. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в поступальному русі?
2.3. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в обертальному русі?
2.4. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в плоскопаралельному
русі?
2.5. За яким правилом обчислюється робота сталої сили?
2.6. За якою формулою обчислюється робота змінної сили у випадку задання руху точки природним способом ?
2.7. За якою формулою обчислюється робота сталого моменту сили?
2.8. За якою формулою обчислюється робота змінного моменту сили?
2.9. У яких випадках робота сили дорівнює нулю? більше нуля? менше нуля?
2.10. Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними в’язями? Який вигляд має математичний вираз теореми?
ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ МЕХАНІКИ
3. Принцип можливих переміщень.
3.1 Які переміщення називають можливими переміщеннями системи? Чим можливі переміщення відрізняються від дійсних переміщень?
3.2. За якою формулою обчислюється можлива робота сили?
3.3 Які в’язі називаються ідеальними?
3.4. Як формулюється принцип можливих переміщень? Який вигляд має його математичний вираз у загальному випадку і у випадку наявності в механічній системі
ідеальних в’язей?
3.5. Які в’язі називаються геометричними? Який вигляд має рівняння такої в’язі
у загальному випадку? На які параметри руху точок системи накладають обмеження такі в’язі?
3.6. Які в’язі називаються кінематичними? Який вигляд має рівняння такої в’язі
у загальному випадку? На які параметри руху точок системи накладають обмежен-ня такі в’язі?
3.7. Які в’язі називаються голономними?
3.8. Які в’язі називаються утримуючими (двосторонніми)? Який математичний вираз описує таку в’язь (приклад)?
3.9. Які в’язі називаються стаціонарними? нестаціонарними? Навести приклади та-
ких в’язей.
4. Загальне рівняння динаміки системи.
4.1. Як формулюється загальне рівняння динаміки системи? Який вигляд має його
математичний вираз для випадку наявності в механічній системі неідеальних в’я-
зей? для випадку ідеальних в’язей?
4.2. За якою векторною формулою визначається сила інерції для точки? Як спрямова-
на ця сила?
4.3. Якими силовими елементами заміняється система сил інерції, прикладених до
точок тіла, яке рухається поступально, у разі зведення цих сил до центра мас тіла:
силою, яка дорівнює головному вектору сил інерції ? парою, момент якої дорі-
внює головному моменту сил інерції ? силою і парою з моментом
?
4.4. Якими силовими елементами заміняється система сил інерції, прикладених до
точок тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, у разі зведення цих сил до цент-
ра мас тіла: силою, яка дорівнює головному вектору сил інерції ? парою, мо-
мент якої дорівнює головному моменту сил інерції? силою і парою з
моментом ?
4.5. Якими силовими елементами заміняється система сил інерції, прикладених до
точок тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, у разі зведення цих сил до цент-
ра мас тіла: силою, яка дорівнює головному вектору сил інерції? парою, мо-
мент якої дорівнює головному моменту сил інерції ? силою і па рою
з моментом?
4.6. За якою формулою обчислюється головний вектор сил інерції ? Як цей
вектор спрямований?
4.7. За якою формулою обчислюється головний момент сил інерції ? Як
цей момент спрямований?
5. Рівняння Лагранжа другого роду.
5.1. Які координати називаються узагальненими?
5.2. Як визначається число ступенів вільності механічної системи?
5.3. Скільки ступенів вільності має вільна точка на площині? вільна плоска фігура на
площині? вільне тіло у просторі?
5.4. Скільки ступенів вільності має система у просторі, яка складається із n точок, і
на яку накладено S голономних в’язей?
5.5. Що таке узагальнена швидкість? Яким математичним виразом вона зв’язана з
узагальненою координатою?
5.6. Які параметри називаються Лагранжевими координатами?
5.7. Що таке узагальнена сила? Як визначається узагальнена сила, що відповідає
певній узагальненій координаті?
5.8. Який вигляд мають рівняння рівноваги механічної системи з голономними ут-
римуючими стаціонарними і ідеальними в’язями в узагальнених координатах?
5.9. Який вигляд мають рівняння Лагранжа другого роду для системи з голоно-
мними утримуючими стаціонарними в’язями?
5.10. Який математичний смисл мають рівняння Лагранжа другого роду?
5.11. Як обчислюється потенціальна енергія системи в її довільному положенні?
5.12. Як обчислюється узагальнена потенціальна сила по певній узагальне-
ній координаті ?
5.13. Як називається механічна система, на яку діють тільки потенціальні сили?
5.14. Який вигляд мають рівняння Лагранжа другого роду для консервативних си-
стем?
5.15. Що називається механічною енергією системи?
5.16. Як формулюється теорема про зміну механічної енергії системи? Коли вико-
конується закон її збереження?
2. Приклади РОЗВ’ЯЗАННЯ тестових завдань
Динаміка твердого тіла та системи тіл
Приклад 1. Вказати правильну відповідь.
Якщо на диск (рис.1) масою m = 10 кг і радіусом
м діє момент сил опору Н·м, то обер-
тальний рух диска відбувається з таким кутовим при-
скоренням:
1) рад/с2; 2) рад/с2;
3) рад/с2; 4) рад/с2.
Розв’язання. Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися основним рівнянням динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі: . Тут – момент інерції тіла відносно осі обертання z, що спрямована в даному випадку перпендикулярно до площини малюнка і проходить через центр мас диска – точку С (центральна вісь); – кутове прискорення тіла, – сума моментів усіх сил, що діють на тіло, відносно осі обертання. Тоді кутове прискорення тіла визначається за формулою: .
До суми моментів усіх сил відносно осі обертання надходить лише момент сил опору, оскільки інші сили, що діють на тіло в процесі руху (сила ваги, сили , – складові реакції нерухомого шарніра C), моменти відносно осі обертання не створюють, бо вони перетинають цю вісь (проходять через вісь); оскільки тіло обертається проти годинникової стрілки, то цей напрямок повороту будемо вважати додатним; тоді, враховуючи, що момент сил опору діє проти руху і за годинниковою стрілкою, отримаємо: .
Формула для обчислення – моменту інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі, має вигляд: , де m – маса диска, R – його радіус.
Підставимо дані в наведені формули і получимо чисельний результат:
Н·м; кг·м2;
рад/с2.
Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).
Приклад 2. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система ( рис. 2 ) скла-дається із вантажів А масою mА = 10 кг та D масою mD = 4 кг і ступінчастого диску В з радіусом інерції м ( RВ = 0,5 м ; rВ = 0,2м ) і масою mВ = 5 кг, а швидкість тіла А становить VA = 2 м /c, то кінетичний момент системи відносно осі z, що проходить перпен-дикулярно до площини диска через його центр мас С, дорівнює:
1) Н·c·м ; 2) Н·c·м ;
3) Н·c·м ; 4) Н·c·м .
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається з трьох тіл А, В і D, які зв’язані між собою тросами ( в процесі переміщення системи троси не розтягуються). Треба визначити кінетичний момент цієї системи відносно осі z в тому її положенні, коли швидкість тіла А набуває значення VA = 2 м /c.
Кінетичний момент системи відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі кінетичних моментів відносно осі усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить
,
де , , − кінетичні моменти відповідно тіл А, В і D системи.
Тому при визначенні треба обчислювати кінетичний момент кожного тіла системи. Крім того, оскільки кінетичний момент залежить від швидкості, то швидкості усіх тіл системи необхідно виразити через задану швидкість VA.
П р и м і т к а. Слід зауважити, що кінетичний момент точки (тіла) відносно осі, як і силовий момент відносно осі, характеризується числом і знаком. Оскільки правило знаків це умовне правило, то за додатний візьмемо тут напрямок дії моменту за годинниковою стрілкою, що відповідає напрямку обертання диска В (рис.2), а за від’ємний – проти годинникової стрілки
Тіло А рухається поступально в процесі переміщення системи, тому його можна розглядати як точку, кінетичний момент якої відносно осі обчислюється як момент відносно осі вектора кількості руху точки . Тобто кінетичний момент тіла А відносно осі обертання диска може бути представлений (рис. 3) формулою:
,
де hА - плече вектора кількості руху відносно осі обертання z, яке у даному випадку дорівнює hА = rВ = 0,2 м. Причому, спрямований цей момент вектора за годинниковою стрілкою (в додатному напрямку); тому після підстановки чисельних даних кінетичний момент тіла А набуває додатного значення і дорівнює: Н·c·м .
Тіло В (ступінчастий диск ) виконує обертальний рух відносно вказаної осі z. Тому кінетичний момент цього тіла відносно осі дорівнює сумі моментів відносно осі векторів кількостей руху усіх точок тіла і може бути обчислений за формулою , де − момент інерції диска В відносно осі z, − його кутова швидкість.
Момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі відповідає формулі: , де − маса диска В, а − його радіус інерції відносно центральної осі. Після підстановки чисельних даних момент інерції диска набуває значення: кг·м2.
Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість VA:
рад /c.
Оскільки моменти векторів кількостей руху точок тіла діють за напрямком обертання диска − за годинниковою стрілкою (в додатному напрямку), то кінетичний момент тіла В буде мати додатне значення і становить:
Н·c·м.
Тіло D системи, як і тіло А, рухається поступально, тому його кінетичний момент, як точки, обчислюється за аналогічною формулою , де hD - плече вектора відносно осі обертання z, яке у даному випадку дорівнює hD = RВ = 0,5 м .
Швидкість VD тіла D треба виразити через задану швидкість VA із спів-відношення .
Тоді м/с і кінетичний момент тіла D, що направлений за годинниковою стрілкою, буде мати додатне значення, яке становить: Н·c·м .
В результаті кінетичний момент системи буде дорівнювати:
Н·c·м.
Із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).
Приклад 3. Вказати правильну відповідь.
Якщо точка А масою mА = 2 кг (рис. 3) рухається за законом м вздовж хорди ( м) однорідного диска В масою mВ = 10 кг і ра-діусом R = 0,6 м, який обертається навколо централь-ної осі z зі сталою кутовою швидкістю рад/c, то кінетичний момент системи відносно осі обертання у момент часу t1 = 1 c дорівнює:
1) Н·c·м ; 2) Н·c·м ;
3) Н·c·м ; 4) Н·c·м .
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної систе-ми, що складається із двох елементів: однорідного диска В та точки А. Щоб знайти кінетичний момент системи відносно осі обертання z, необхід-но спочатку визначити положення точки A на хорді в цей момент часу. Воно характеризується координатою , яка у вказаний момент t1 = 1 c буде такою: м.
Відомо, що кінетичний момент системи відносно заданої осі дорівнює ал-гебраїчній сумі кінетичних моментів усіх тіл і точок системи відносно цієї ж осі; тоді в даному випадку він становить: , де і від- повідно кінетичні моменти точки A і тіла B системи.
Знайдемо чисельні значення вказаних кінетичних моментів у заданий мо-мент часу t1 = 1 c.
Кінетичний момент точки A системи відносно осі z визначається як мо-мент відносно цієї осі вектора кількості руху точки . Оскільки рух точки A відносно Землі складний – він складається із відносного (відносно диска) і переносного (за рахунок обертання диска) рухів, то її абсолютна швид-кість відносно Землі дорівнює векторній сумі відносної і переносної швид-кості: . Тоді кінетичний момент точки A відносно осі (за теоремою Варіньона) може бути представлений як алгебраїчна сума моментів відносно осі векторів кількостей руху точки у її відносному і переносному русі: .
Відносну швидкість визначимо як першу похідну за часом від закону відносного руху точки м/с; переносну ж швидкість виразимо через кутову швидкість диска , де CA − радіус кругової траєкторії переносного руху точки A. Напрямки вказаних швидкостей тут будуть такими: вектор спрямований по дотичній до траєкторії від-носного руху точки, тобто вздовж хорди, у бік збільшення координати S; вектор спрямований по дотичній до кругової траєкторії переносного руху точки, тобто перпендикулярно до радіуса CA () убік напрямку кутової швидкості .
Оскільки маса точки є скалярним множником у виразі вектора її кіль-кості руху, то вектори і спрямовані так само, як і вектори відповід-них швидкостей (рис. 4).
П р и м і т к а. Треба зауважити, що в тестових завданнях під час визна- чення знаків моментів векторів відносно осі z треба користуватися тради-ційним правилом знаків: якщо з додатного напрямку осі видно, що поворот вектора навколо осі відбувається проти годинникової стрілки, то знак мо-менту буде “плюс”, якщо ж за – то “мінус”.
У даному випадку вектор створює момент відносно осі обертання з плечем м і знаком “плюс”, а вектор − зі знаком “плюс” і плечем CA, яке знаходиться із прямокутного трикутника OCA (див. рис.4) за формулою:
м.
Тоді м і кінетичний момент точки A набуває значення:
Н·с·м.
Оскільки тіло B – диск – здійснює обертальний рух навколо центральної осі z , тому його кінетичний момент відносно цієї осі відповідає виразу , де − момент інерції диска B відносно осі обертання.
Момент інерції вказаного диска відносно центральної осі визначається за формулою і після підстановки в неї чисельних даних набуває такого значення: кг·м2.
Тоді кінетичний момент диска становить Н·с·м.
В результаті кінетичний момент системи буде дорівнювати:
Н·с·м.
Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).
Приклад 4. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система ( рис. 6 ) складається із
вантажів А масою mА = 10 кг та D масою mD = 4 кг
і ступінчастого диску В з радіусом інерції ρВ = 0,4 м
(RВ = 0,5 м ; rВ = 0,2 м ) і масою mВ = 5 кг , а швидкість
тіла А має значення VA = 2 м /c, то кінетична енергія
системи дорівнює:
1) Дж; 2) Дж;
3) Дж; 4) Дж.
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і D), які зв’язані між собою тросами ( в процесі переміщення системи троси не розтягуються). Треба визначити кінетичну енергію цієї системи в тому її положенні, коли швидкість тіла А набуває значення VA = 2 м /c.
Кінетична енергія системи дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить
,
де , , − кінетичні енергії відповідно тіл А, В і D системи.
Кінетична енергія тіла залежить не тільки від його швидкості і маси, але й від виду руху. Тому під час визначенні треба враховувати вид руху кожного тіла системи і, крім того, швидкості всіх тіл системи в даному прикладі слід виражати через задану швидкість VA.
Тіло А рухається поступально в процесі переміщення системи, тому його
кінетична енергія обчислюється за формулою й у разі підстановки чисельних даних набуває значення Дж.
Тіло В (ступінчастий диск ) здійснює обертальний рух навколо осі , що проходить перпендикулярно до площини малюнка через центр мас диска – точку С (центральна вісь); тому кінетична енергія диска обчислюється за формулою , де − момент інерції диска В відносно центральної осі, − його кутова швидкість.
Момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі обчислюється за формулою , де − маса диска В, а − його радіус інерції відносно центральної осі. У разі підстановки чисельних даних момент інерції диска набуває значення кг·м2.
Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість VA:
рад/с.
Тоді кінетична енергія тіла В становить:
Дж.
Тіло D системи, як і тіло А, рухається поступально, тому його кінетична енергія обчислюється за аналогічною формулою .
Швидкість VD тіла D треба виразити через задану швидкість VA із спів-відношення .
Тоді м·с-1 і кінетична енергія тіла D набуває значення: Дж.
У результаті кінетична енергія системи буде такою:
Дж.
Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).
Приклад 5. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система (рис. 6) складається із двох однорідних дисків А і В масою і радіусами м, то у випадку, коли швидкість центра мас тіла А дорівнює м/с, кінетична енергія системи набуває значення:
1) Дж; 2) Дж; 3) Дж; 4) Дж.
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи , що складається із двох тіл – однорідних дисків A і B, які зв’язані між собою тросом (в процесі переміщення системи трос не розтягується). Треба визначити кінетичну енергію системи в тому її положенні, коли швидкість центра мас диска A дорівнює м/с.
П р и м і т к а. У прикладі, як випливає із рисунка, даск A котиться по нерухомій поверхні без проковзування в точці дотику до неї. Такий рух диска буде складним – плоскопаралельним – з миттєвим центром швидкостей в точці його дотику до нерухо-мої поверхні (рис. 7). Диск B при цьому здійснює обертальний рух навколо осі , що проходить через центр мас диска – точку O – перпендикулярно до його площини.
Кінетична енергія системи дорівнює арифметичній сумі кінетичних енер-гій усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить , де і − відповідно кінетичні енергії тіл А і В системи.
Як і в попередньому прикладі, під час визначення слід враховувати вид руху кожного її тіла і, крім того, швидкості усіх тіл (точок) системи слід виразити тут через задану швидкість .
Вище вже відмічалося, що в процесі переміщення системи диск A здій-снює плоскопаралельний рух який є складним; він складається із поступаль-ного руху разом з центром мас диска (точкою С) і обертального навколо осі, що проходить через його центр мас (точку С). Тому кінетична енергія диска A дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху диска зі швидкістю центра мас і обертального руху диска з кутовою швидкістю навколо осі , що проходить через його центр мас перпендикулярно до площини диска. Тоді ця кінетична енергія буде обчислюватись за формулою:
.
Тут − момент інерції однорідного диска A відносно його центральної осі, що відповідає виразу і після підстановки чисельних даних набуває такого значення: кг·м2 .
Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість (рис. 7):
рад/с.
Тоді кінетична енергія тіла A становить:
Дж .
Кінетична енергія диска B у разі його обертального руху обчислюється за формулою , де – момент інерції диска B відносно цент-ральної осі , – його кутова швидкість.
Момент інерції однорідного диска B відносно центральної осі обчислю-ється за формулою і після підстановки чисельних даних набуває значення: кг·м2 .
Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість . Для цього зв’яжемо спочатку зі швидкістю точки D, що розташована на ободі диска B (рис. 7): . Далі врахуємо, що швидкість цієї точки дорівнює швидкості точки K на ободі диска A, оскільки ці диски з’єднані тросом, що не розтягується: . Тепер зв’яжемо швидкості точок К і С диска A через його миттєвий центр швидкостей – точку (рис. 7):
; звідси .
Тоді кутова швидкість диска B набуває значення
рад/с і кінетична енергія цього диска буде
такою: Дж .
В результаті кінетична енергія системи становить:
Дж .
Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відпо-відь 2).
Приклад 6. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10 м/с2).
Якщо маси тіл системи (рис. 8) та радіуси диска мають відповідно значення кг, кг, кг; м, м, а коефіцієнт тертя тіла становить , то сумарна робота зовнішніх сил, що діють на систему на переміщенні м, буде такою:
1) Н·м; 2) Н·м;
3) Н·м; 4) Н·м.
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла A, B і D), які зв’язані між собою тросами; в процесі переміщення системи троси не розтягуються. Треба визначити сумарну роботу зовнішніх сил, що діють на систему на заданому переміщенні м.
Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися загальною формулою для обчислення роботи сили, яка має вигляд
.
Тут F − модуль ( величина ) сили, S − переміщення точки прикладення сили, − кут між напрямком сили і напрямком переміщення. Із формули випливає, що знак роботи дає множник . Якщо кут гострий ( ),
то значення косинуса додатне і робота сили додатна ( + ); якщо кут тупий (), то значення косинуса від’ємне і робота сили від’ємна ( – ); якщо кут прямий (; сила перпендикулярна до переміщення ), то значення косинуса дорівнює нулю і робота сили дорівнює нулю.
До зовнішніх сил, що діють на систему в процесі руху, належать усі сили, що зображені на рис. 8: активні сили − сили ваги тіл , , ; реакції зовнішніх в’язей − складові реакції площини , ; складові реакції нерухомого шар-ніра , .
Однак треба зауважити, що не всі зовнішні сили виконують роботу. Так сили , , прикладені до точки , яка не переміщується в процесі руху системи, тому їх робота дорівнює нулю: , оскільки . Сила спрямована перпендикулярно до напрямку переміщення тіла , тому робота її теж дорівнює нулю:, оскільки .
Із наведених сил тільки три сили будуть виконувати роботу: сили ваги тіл , і сила тертя, що прикладена до тіла − . Ці сили сталі за величиною і сталі за напрямком по відношенню до переміщень точок їх прикладення, а робота таких сил обчислюється за спрощеним правилом: робота сталої сили дорівнює добутку модуля сили на переміщення точки прикладення сили і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення.
Таким чином, у даному прикладі сума робіт зовнішніх сил буде склада-тися із трьох доданків: .
Сила прикладена до центра ваги тіла А і виконує роботу на заданому переміщенні . Кут між напрямком сили і напрямком переміщення ста-новить 60º, оскільки сила ваги діє донизу по вертикалі, а переміщення точки прикладення сили відбувається вниз по площині, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис. 8. Тому робота сили обчислюється за форму-лою .
Оскільки в умові прикладу задаються маси тіл системи, то величину сили ваги треба виразити через масу тіла A і прискорення вільного падіння g, яке за умовою прикладу слід вважати рівним 10 м/с2 (). Тоді робо-та сили становить:
Н·м.
Сила тертя теж прикладена до тіла і виконує роботу на заданому пере-міщенні . Ця сила завжди діє у бік, протилежний до переміщення, тобто створює з напрямком переміщення кут . Тому робота сили тертя об-числюється за формулою
.
Значення сили тертя відповідає виразу , де величину нормальної складової реакції площини треба визначити за формулою
H.
Тоді сила тертя буде дорівнювати H і її робота набуває значення Н·м.
Сила прикладена до центра ваги тіла і виконує роботу на пере-міщенні центра ваги цього тіла. Кут між напрямком сили і напрямком переміщення становить 180º, тому що сила ваги діє по вертикалі униз, а пере-міщення тіла відбувається по вертикалі вверх, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис. 8. Тому робота сили обчислюється за форму-
лою .
Переміщення треба виразити через переміщення , встановивши між ними кінематичний зв'язок, аналогічний зв’язку між швидкостями:
і .
Із останнього співвідношення випливає, що м і робота сили становить Н·м.
Тоді сума робіт зовнішніх сил набуває значення:
Н·м.
Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).
ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ МЕХАНІКИ
Приклад 1. Вказати правильну відповідь.
Якщо механізм (рис. 9), розміри ланок якого становлять , , знаходи-ться в рівновазі під дією заданої сили і пари сил з моментом M, то величина цього мо-менту буде дорівнювати:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Розв’язання. У даному прикладі, враховуючи умову рівноваги механізму в заданому його положенні, треба визначити величину моменту пари М, виразивши її через величину сили P.
Якщо розв’язувати цей приклад методом геометричної статики, то механізм як систему тіл треба роз’єднати (по шарнірах А і В) на три окремих тіла, скласти для кожного з них по три рівняння рівноваги і знайти із отриманих 9-ти рівнянь невідомий момент М.
Значно простіше розв’язання прикладу можна провести за допомогою метода аналітичної статики – принципу можливих переміщень, який дозволяє описати рівновагу вказаної механічної системи (як системи з одним ступенем вільності)? лише одним рівнянням рівноваги і знайти із цього рівняння неві-домий момент М.
Суть принципу можливих переміщень така: для рівноваги механічної сис-
теми з ідеальними стаціонарними утримуючими? в’язями необхідно і до-статньо, щоб сума елементарних робіт активних сил на будь-якому мо-жливому (із положення рівноваги) переміщенні системи дорівнювалась ну- лю: .
П р и м і т к а. Можливе переміщення системи – це сукупність нескінченно малих уявних переміщень точок і тіл системи, які дозволяються в даний момент часу в’я-зями, накладеним на систему, без їх порушення.
Слід зауважити, що напрямки можливих переміщень точок і тіл системи не залежать від сил, які на них діють, а визначаються лише в’язями, що накладені на систему.
Тут можлива робота сили на можливому переміщенні визна-чається за формулою , де – кут між напрямком сили і напрямком можливого переміщення точки прикладення сили. Причому вектор можливого переміщення точки завжди спрямований по дотичній до траєкторії можливого руху цієї точки.
Можлива ж робота моменту сили або моменту пари сил обчислюєть-ся за формулою , де – можливе кутове переміщення ті-ла, до якого прикладений момент.
Для складання рівняння рівноваги заданої механічної системи треба спо-чатку надати їй одне з можливих переміщень, які дозволяються в’язями.
На систему накладені такі в’язі: зовнішні – це нерухомі шарніри в точках О і О1; внутрішні – це шарніри в точках А і В, що з’єднують тіла системи між собою. Ці в’язі дозволяють стержню ОА здійснювати поворот у площині малюнка навколо точки О, стержню О1В – аналогічний поворот навколо точки О1, а стержню АВ – плоскопаралельний рух у вказаній площині. Силові ж елементи утримують систему в рівновазі. Із вказаного положення рівноваги система має два можливих переміщення; оберемо одне з них, наприклад, таке: стержень ОА може уявно повернутися навколо точки О на нескінченно малий кут “проти” годинникової стрілки (рис. 10); тоді точка А стержня отримує лінійне можливе переміщення , яке спрямовано по дотичній до траєкторії її можливого руху – кола з радіусом ОА, тобто спрямовано перпендикулярно до стержня ОА () у бік повороту на кут . При цьому точка B системи отримує відповідне можливе перемі-щення , що спрямоване перпендикулярно до стержня О1B () вліво, а стержень О1B отримує можливе переміщення “проти” годинникової стрілки відповідно напрямку (рис. 10).
Далі відповідно принципу можливих переміщень складемо рівняння рів-новаги механічної системи.
Оскільки в’язі, що накладені на точки та тіла системи, ідеальні (шарніри без тертя, стержні не деформуються), утримуючі та стаціонарні ? , то рів-няння рівноваги складаємо у вигляді: .
У прикладі активне навантаження, що діє на систему (механізм) скла-дається із сили та пари сил з моментом . Тоді їх робота на обраному можливому переміщенні системи обчислюється таким чином:
; .
Тут кут – це кут між напрямком сили і напрямком переміщення (рис. 10); робота моменту пари від’ємна, оскільки цей момент спрямо-ваний проти напрямку можливого кутового переміщення .
Тоді рівняння рівноваги набуває такого вигляду:
.
Для того, щоб в останньому виразі не фігурували нескінченно малі мож-ливі переміщення і , їх необхідно зв’язати і виразити одне через друге, наприклад, через . При цьому треба мати на увазі, що зв’я-зок між можливими переміщеннями тіл та точок системи аналогічний кінема-
тичному зв’язку між відповідними швидкостями.
Спочатку зв’яжемо переміщення і співвідношенням враховуючи, що можливий рух стержня О1В обертальний.
Оскільки точки A і B належать стержню AB, можливий рух якого плоско-паралельний, то їх можливі переміщення зв’яжемо за допомогою виразу, який аналогічний теоремі про проекції швидкостей двох точок тіла (під час його плоскопаралельного руху) на пряму, що з’єднує ці точки. Тобто спро-ектуємо можливі переміщення вказаних точок на пряму АВ і прирівняємо ці проекції (рис. 10) .
Оскільки , то і .
Тоді після підстановки вказаних співвідношень рівняння рівноваги має вигляд або , звідки .
Довжину стержня O1B знайдемо із прямокутного трикутника OAK:
. Тоді .
Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).
Приклад 2. Вказати правильну відповідь
Якщо механізм знаходиться в рівновазі в положенні ,
вказаному на рисунку , то силадорівнює:
1) =2Н
2) =Н
3) = Н
4) = -Н
Розв’язання. В даному прикладі розглядається механізм у якому до кривошипа ОА у точки А прикладена вертикальна сила Р та треба знайти з умов рівноваги горизонтальну силу , яка прикладена до повзуна В (Рис.10) . Розглянемо рівновагу всього механізму і застосуємо принцип можливих переміщень. Надамо механізму можливого переміщення. Для точки А можливе переміщення направлено по дотичної до траєкторії , тобто перпендикулярно кривошипу ОА, який обертається навколо точки О, а можливе переміщення направлено вздовж руху повзуна В.
За допомогою принципу можливих переміщень маємо:
=
Звідси
Тепер знайдемо залежність між можливими переміщеннями і . Як у попереднім прикладі спроектуємо можливі переміщення на пряму яка їх з’єднає і запишемо
Звідси
Тоді підставив одержану залежність між можливими переміщеннями отримуємо
Із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).
Приклад 3. Вказати правильну відповідь.
Якщо балка АD (рис. 14) зна-ходиться в рівновазі під дією двох сил Р1 = 20 кН, Р2 = 12 кН і пари
сил з моментом М = 24 кН·м, а значення параметра a = 2 м, то ре-
акція опори С дорівнює: 1) кН; 2) кН; 3) кН; 4) кН.
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рівновага балки АD, яка представляє собою систему двох сполучених тіл − АВ і ВD, що з’єднані між собою шарніром В. Відомо навантаження, що діє на балку; треба визначити реакцію шарнірно-рухомої опори в точці С. Величину реакції зручно знайти із умови рівноваги цієї конструкції, що складається за принципом можливих переміщень: .
Попередньо систему треба уявно звільнити від в’язі в точці С і її дію замінити силою − реакцією в’язі . Реакція шарнірно-рухомої опори спря-мована перпендикулярно до площини котіння котків і в даному випадку діє по вертикалі вгору (рис. 15). Цю реакцію треба включити до групи активних сил, що діють на систему, і скласти умову рівноваги системи у вигляді суми можливих робіт активних сил. Таким чином, вказана група активних сил тут буде складатися із сил і пари сил з моментом М.
Далі треба надати системі можливе переміщення, враховуючи типи в’язей, що нак-ладені на неї (рис. 15). Шарнірно-нерухома опора в точці А дозволяє балці АВ можливе ку-тове переміщення в площині малюнка навколо точки А за годинниковою стрілкою і проти. Оберемо можливий напря-
мок повороту балки АВ за годинникоковою стрілкою; тоді точки K і В балки отримують можливі переміщення і , що спрямовані перпендикулярно до радіусів обертання АК і АВ у бік обраного напрямку повороту. Шарнірно-рухома опора в точці D дозволяє балці ВD можливе кутове переміщення навколо точки D, і відповідно напрямку можливого переміщення вона отримує можливе кутове переміщення , що спрямоване проти годинникової стрілки (рис.15). При цьому точки С і Е отримують можливі переміщення і , що перпендикулярні їх радіусам обертання і спрямовані у бік можливого кутового переміщення . Можливе положення заданої конструкції показано на рис. 15 пунктирною лінією; тут же схематично показані і напрямки можливіх переміщень її точок і тіл.
Складемо для даного випадку рівняння рівноваги конструкції − балки AD – за принципом можливих переміщень:
;
.
Щоб визначити невідому силу треба останнє рівняння перетвори-ти, виключивши із нього нескінченно малі множники ; для цього тре-ба виразити в рівнянні усі можливі переміщення через якесь одне − наприк-
лад, зручно через можливе переміщенняточки В, яка є спільною точкою для двох частин АВ і ВD конструкції. Вказане перетворення можна зроби-ти, встановивши зв'язок між можливими переміщеннями, що фігурують в рі-внянні. Цей зв'язок буде аналогічним кінематичному зв’язку між швидкос-тями точок механічної системи. Оскільки можливий рух тіл АВ і ВD − обе-ртальний, то співвідношення між можливими переміщеннями будуть наступ-ними:
; ; ; .
Тоді ; ; ; .
Після підстановки останніх виразів в рівняння рівноваги отримуємо:
або ,
звідкіля набуває такого значення:
кН.
Отже, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).
Приклад 4. Вказати правильну відповідь
Якщо механічна система ( рис. 16) складається із однорідного диска А та вантажу С відповідно масою mА = 10 кг та mС = 4 кг ( маса диска В mВ = 0 кг ), то при значенні прискорення тіла С aC = 2 м ·c-2 сума робіт усіх сил інерції на можливому переміщенні дорівнює:
1) = - 72,4 Н·м
2) = − 33,6 Н·м
3) = - 48,8 Н·м
4) = − 15,5Н·м
Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і C), які зв’язані між собою тросом. Система має одну ступень вільності. В’язі , яки накладені на систему – ідеальні. Треба знайти роботу сил інерції на можливому переміщенні Це запитання зв’язано з використанням в задачах загального рівняння динаміки:
де – сума елементарних робіт активних сил; - сума елементарних робіт сил інерції. Для знаходження елементарної роботи сил інерції зображаємо
сили інерції (рис.12) у протилежному напрямку можливому переміщенню
При цьому помічаємо, що тіло С здійснює поступальний рух і відповідно має тільки силу інерції - , тоді як тіло А здійснює плоский рух і має не тільки силу інерції -, а і момент інерції - . Момент сил інерції !!!
Величини сил інерції дорівнює: !!!
mС; !!!!
де момент інерції диска А відносно центральної осі zО , який дорівнює − його кутове прискорення; - відповідно прискорення тіл А і С. Тоді момент сил інерції запишемо як
Тепер запишемо роботу сил інерції на можливому переміщенні:
.
Потім підставимо значення сил інерції
mС
Виразімо всі можливі переміщення через відоме .
та підставимо їх в вираз можливої роботи сил інерції
mС
mС
Величини прискорень та виразимо через відоме . Зв'язок між прискореннями такий ж як між можливими переміщеннями
.
Підставимо одержані вирази в вираз можливої роботи сил інерції mС
=
Підставимо значення величин и получімо відповідь:
4+ 10)=15,5(Н·м ).
Із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 4).
Приклад 5.
Вказати вірну відповідь
Якщо механічна система ( рис. 18) складається із ступінчастого диску В з радіусом інерції ρв = 2R м
( RВ = Rм ; rВ = 0,5 R м ) масою mВ = 10 кг та двох вантажів А і С відповідно масою mА=mС = 4 кг , то при значенні прискорення тіла С aC = 2 м ·c-2 сума робіт усіх сил інерції на можливому переміщенні дорівнює:
1) = - 90Н·м
2) = − 33,6 Н·м
3) = - 48,8 Н·м
4) = − 15,5Н·м
Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і C), які зв’язані між собою тросом. Система має одну ступень вільності. В’язі , яки накладені на систему – ідеальні. Треба знайти роботу сил інерції на можливому переміщенні Як у попереднім прикладі запитання зв’язано з використанням в задачах загального рівняння динаміки:
де – сума елементарних робіт активних сил; - сума елементарних робіт сил інерції. Для знаходження елементарної роботи сил інерції зображаємо сили інерції (рис.14) у протилежному напрямку можливому переміщенню При цьому помічаємо, що тіла А і С здійснюють поступальний рух і відповідно має тільки сили інерції - , тіло В здійснює обертальний рух і має момент інерції - .
Величини сил інерції дорівнює:
де момент інерції ступінчаcтого диска В відносно центральної осі zО , який дорівнює − його кутове прискорення; - відповідно прискорення тіл А і С. Тоді момент сил інерції запишемо як .
Тепер запишемо роботу сил інерції на можливому переміщенні:
.
Потім підставимо значення сил інерції
mС
Виразімо всі можливі переміщення через відоме .
та підставимо їх в вираз можливої роботи сил інерції
mС
mС
Величини прискорень та виразимо через відоме . Зв'язок між прискореннями такий ж як між можливими переміщеннями
Підставимо одержані вирази в вираз можливої роботи сил інерції mС
+
Підставимо значення величин и получімо відповідь:
)=(Н·м ).
Із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь1).
2.2.3. Рівняння Лагранжа другого роду для системи з одним
ступенем вільності
Приклад 1. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10м/с2; обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр).
Якщо кінетична енергія системи (рис. 20)
як функція узагальненої швидкості становить
, а за узагальнену обрана коорди-
ната q = SA, то при значенні маси тіла А
mA=10 кг, радіуса диска rB = 0,2 м, коефіцієн-
та тертя μА = 0,1 і обертального моменту
Моб = 14 Н·м величина прискорення тіла А до-
рівнює:
1) aА = 2,34 м/с2 ; 2) aА = 7,25 м/с2;
3) aА = 1,11 м/с2 ; 4) aА = 0,84 м/с2.
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної систе-ми, що складається з двох тіл: тіла А, яке переміщується поступально по нахиленій площині, і тіла В − диска, який обертається навколо центральної осі, що спрямована перпендикулярно до площини диска. Треба по відомим параметрам тіл механічної системи і параметрам сил, що діють на систему, знайти прискорення тіла А, якщо задана кінетична енергія системи як функція узагальненої швидкості і задана узагальнена координата. Дані прикладу свідчать про те, що для його розв’язання треба використати рівняння Лагранжа другого роду.
Як відомо із теоретичного матеріалу, кількість рівнянь Лагранжа, що описують рух механічної системи, залежить не від числа тіл в системі, а від числа ступенів вільності системи.
Оскільки задана механічна система має один ступінь вільності, то її рух буде описувати одне рівняння Лагранжа, яке можна представити в тако-му вигляді:
.
Тут T − кінетична енергія системи, яка в цьому рівнянні в загальному випадку фігурує як функція узагальненої кординати і узагальненої шви-дкості − , а Q − узагальнена сила.
П р и м і т к а. Треба зауважити, що в математичному смислі наведене рівняння Лагранжа другого роду є диференціальним рівнянням руху механічної системи відносно узагальненої координати. В це рівняння Лагранжа узагальнена координата надходить під знаком другої похідної за часом − − і за фізичним смислом є узагальненим прискоренням.
Узагальнена сила Q може бути обчислена із виразу: , де − повна елементарна робота усіх сил, що діють на систему на її за-даному можливому переміщенні; − варіація узагальненої кординати, то-бто нескінченно мале прирощення узагальненої координати у фіксований момент часу, що відповідає можливому переміщенню системи завдяки такій зміні узагальненої координати.
Розв’язуючи даний приклад, треба спочатку скласти вираз лівої части-ни рівняння Лагранжа, взявши відповідні похідні від заданого виразу кіне-тичної енергії системи:
; .
Оскільки задана узагальнена координата q = SA характеризує положен-ня тіла А системи, то її похідна за часом буде узагальненою швидкістю, то-бто за фізичним смислом це буде швидкість тіла А: . Тоді друга похідна за часом від узагальненої координати − це буде узагальнене прискорення, тобто за фізичним смислом це буде прискорення тіла А, яке треба знайти: .
У даному прикладі кінетична енергія системи не залежить від узагальненої координати, тому відповідна похідна буде дорівнювати нулю:
.
Далі треба визначити узагальнену силу системи по заданій узагальненій координаті. Для цього треба зобразити на рисунку усі сили, що діють на тіла системи (рис. 21); надати системі можливе переміщення − таке, щоб задана узагальнена координата у фіксований момент часу получила нескінченно мале додатне прирощення; потім треба визначити сумарну роботу усіх сил на заданому можливому переміщенні системи і визначити узагальнену силу.
Сили, що діють на тіла системи (див. рис. 21), це сили ваги тіл системи , , складові реакції нерухомого шарніра , , складові реакції шорсткої площини , , пара сил з обертальним моментом .
Надамо системі можливе переміщення − таке, щоб узагальнена коорди-ната получила нескінченно мале додатне прирощення , тобто провар’їруємо узагальнену координату. Тоді тіло А отримує можливе перемі-щення , яке спрямоване у бік зростання координати , тобто уверх по площині. Диск В при цьому отримує можливе кутове переміщення , що спрямоване проти годинникової стрілки.
На вказаному можливому переміщенні системи підрахуємо суму мож-ливих робіт усіх сил. Сили , , можливу роботу не виконують, бо вони прикладені до нерухомої точки С, можливе переміщення якої дорівнює нулю (). Сила на можливому переміщенні роботу теж не виконує, оскільки спрямована перпендикулярно до цього переміщення.
Тоді . Тут можлива робота сили обчислюється за формулою:
.
Можлива робота сили тертя може бути представлена виразом:
.
Значення сили тертя можна розрахувати так:
Н.
Остаточно можлива робота сили тертя дорівнює:
.
Можлива робота обертального моменту Моб обчислюється за форму-лою: ; знак цієї роботи буде додатним, бо напрямок дії моменту співпадає з напрямком можливого кутового переміщення диска. Вказане кутове переміщення треба виразити через варіацію узагальненої ко-ординати : . Тоді можлива робота моменту становить:
.
Отже, сумарна можлива робота усіх сил буде такою:
.
П р и м і т к а. Із теоретичного матеріалу відомо, що узагальнена сила по певній узагальненій координаті дорівнює коефіцієнту при варіації цієї узагальненої координати у виразі повної можливої роботи діючих на систему сил.
Таким чином, узагальнена сила в даному випадку дорівнює коефіцієн-ту при варіації у виразі сумарної можливої роботи сил, тобто Н.
Слід зауважити, що тут узагальнена сила має розмірність сили, оскі-льки узагальнена координата − лінійна величина (вимірюється в метрах).
Тоді, остаточно, рівняння Лагранжа набуває такого вигляду:
.
Це диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати, яке описує рух заданої механічної системи. Знаходимо з нього шукане прискорення: м/с2.
Отже, із чотирьох наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).
Приклад 2. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.
Якщо механічна система ( рис. 22 ) складається із
трьох тіл , маси яких mА = 10 кг , mВ = 6 кг, mD = 4 кг
(RВ = 0,5 м; rВ = 0,2 м; ρВ = 0,4 м), то при обранні за уза-
гальнену координату кут повороту диска В
вираз кінетичної енергії системи як функції узагальне-
ної швидкості має вигляд:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Розв’язання. У даному прикладі розглядається рух механічної систе-ми, що складається з трьох тіл: тіла А та тіла D, які переміщуються поступа-льно, і тіла В − диска, який обертається навколо центральної осі, що спрямована перпендикулярно до площини диска. Система має один ступінь вільності і її положення в будь-який момент часу буде характеризуватися однією узагальненою координатою. Треба по відомим параметрам тіл системи скласти вираз кінетичної енергії системи і представити її як функцію узагальненої швидкості. Оскільки в умові прикладу узагальнена координата задана − це кут повороту диска В – , то узагальненою буде кутова швидкість цього диска .
Визначимо кінетичну енергію системи; при цьому швидкості усіх тіл виразимо через узагальнену − :
.
Обчислимо по відомим формулам кінетичну енергію кожного тіла окремо:
; ; ;
.
; кг·м2; ;
; ; ;
.
Тоді кінетична енергія системи дорівнює:
.
В позначеннях аналітичної механіки кінетичну енергію системи як фу-нкцію узагальненої швидкості слід представити в такому вигляді:
.
Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде від-повідь 2).
Приклад 3. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10м/с2; обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр).
Якщо в механізмі (рис. 23) два стер-
жні однакової довжини ОА = АВ = 0,5 м
з’єднані між собою шарніром А, до яко-
го прикріплено вантаж D масою mD =
8 кг , і на поршень В діє стала горизон-
тальна сила = 50 Н, то узагальнена си-
ла , що відповідає узагальненій коор-
динаті в момент часу, коли кут
дорівнює 25º, набуває значення:
1) 78 Н·м ; 2) 15 Н·м ;
3) 20 Н·м; 4) 44 Н·м.
Розв’язання. У даному прикладі розглядається механічна система, що складається з чотирьох тіл: стержнів ОА і АВ, поршня В та вантажа D. Сис-тема має один ступінь вільності і її положення в будь-який момент часу бу-де характеризуватися однією узагальненою координатою. Треба по відомим параметрам тіл системи і параметрам сил, які діють на систему, визначити узагальнену силу, що відповідає заданій узагальненій координаті . Як випливає із рис. 23, − це кутова координата, яка характеризує положення стержня ОА механізму по відношенню до горизонту і в заданому положенні системи . Оскільки в умові прикладу маси стержнів не задані, то їх
при розрахунках треба вважати невагомими. Під час розв’язання прикладу слід враховувати види можливих рухів тіл системи у площині малюнка: можливий рух стержня ОА − обертальний навколо точки О, стержня АВ − плоскопаралельний, поршня В і тіла D − поступальний.
Щоб визначити узагальнену силу системи, зобразимо на рисунку усі сили, які діють на неї (рис. 24). Далі треба надати системі можливе пере-міщення і визначити на ньому сумарну можливу роботу усіх сил.
Надамо системі таке можливе переміщення, при якому задана узагаль-нена координата у фіксований момент часу получає нескінченно мале додатне прирощення − у напрямку за годинниковою стрілкою (рис. 24). Тоді точка А системи получає можливе переміщення , яке спрямовано по дотичній до траєкторії можливого руху цієї точки, тобто по дотичній до кола з центром в точці О і радіусом ОА, а значить спрямоване перпендикулярно до стержня ОА у бік напрямку (див. рис. 24).
Можна вважати, що на переміщенні виконує роботу сила ваги , оскільки тіло D зв’язано з шарніром А тросом, що не розтягується. При цьому відповідно напрямку поршень В получає можливе переміщення , що спрямовано вздовж горизонталі вліво (рис. 5). На переміщенні треба розрахувати роботи сил і , що прикладені до поршня.
Отже, обчислимо повну можливу роботу усіх діючих на систему сил:
.
;
;
.
В наведених виразах можливі переміщення і слід виразити че-
рез варіацію узагальненої координати δq, яка за фізичним смислом відпові-дає можливому переміщенню. Кінематичний зв'язок між вказаними можливими переміщеннями такий самий як і між відповідними швидкостями: ; по аналогії з теоремою про проекції швидкостей двох точок тіла (у випадку його плоскопаралельного руху) на пряму, що з’єднує ці точки, запишемо рівність проекцій можливих переміщень точок А і В стержня АВ на пряму АВ (рис.24) − ; звідси
.
Тоді ;
.
Остаточно повна можлива робота усіх діючих на систему сил становить:
.
У цьому виразі коефіцієнт при варіації δq і є узагальненою силою зада-ної системи: Н·м. Слід зауважити, що тут узагальнена сила має розмір-ність моменту, оскільки узагальнена координата вимірюється в радіанах (безрозмірна величина).
Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде від-повідь 2).
3. Тестові завдання для самопідготовки студентів
до комп’ютерного тестування
Завдання 1. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система ( рис. 25) складає-ться із вантажа А масою mА = 2 кг та однорідного диску В радіусом RВ = 0,5 м і масою mВ = 6 кг , а швидкість тіла А становить VA = 2 м /c, то кіне-тичний момент системи відносно осі z, що проходить перпендикулярно до площини диска через його центр мас С, дорівнює:
1) Н·c·м ; 2) Н·c·м ;
3) Н·c·м ; 4) Н·c·м .
Завдання 2. Вказати правильну відповідь.
Якщо точка А масою mА = 1 кг (рис. 26) рухається за законом м вздовж хорди ( м) однорідного диска В масою mВ = 10 кг і радіусом R = 0,6 м, який обертається навколо центральної осі z зі сталою кутовою швидкістю рад/c, то кінетичний момент системи відносно осі обертання у початковий момент часу t0 = 0 c дорівнює:
1) Н·c·м ; 2) Н·c·м ;
3) Н·c·м ; 4) Н·c·м .
Завдання 3. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система ( рис. 27) складається із двох дисків – ступінчастого диска В з радіусами RВ = 0,4 м, rВ = 0,2 м і масою mВ = 0 кг і однорідного диска А масою mА = 10 кг та вантажу D масою mD = 4 кг, а значення швидкості тіла D дорівнює м /с , то кінетична енергія системи становить:
вычислить !!!!
1) Дж; 2) Дж; 3) Дж; 4) Дж.
Завдання 4. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вва-жати рівним 10 м/с2).
Якщо механічна система (рис. 28) складається із ступінчастого диска В з радіу-сами RВ = 0,4 м, rВ = 0,2 м і масою mВ =10 кг, однорідного диска А масою mА = 10 кг та вантажу D масою mD = 4 кг , а коефіцієнт тертя тіла D має значення µD=0,4 і кут , то сумарна робота зовнішніх сил, що діють на систему на переміще-нні м, становить:
1) Н·м; 2) Н·м;
3) Н·м; 4) Н·м.
вычислить !!!!
Завдання 5. Вказати правильну відповідь.
Якщо механізм (рис. 28) знаходиться в рівновазі під дією сили та пари сил з моментом М в положенні, зображеному на рисунку, а ОА = 2a, то
вказаний момент дорівнює:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Завдання 6. Вказати правильну відповідь (обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр).
Якщо механізм (рис. 30) знаходиться в рівновазі під дією сил і в положенні, вказаному на рису-нку, а величина сили становить 2 кН, то сила
дорівнює:
1) кН; 2) кН;
3) кН; 4) кН.
Завдання 7. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система (рис. 31) складається із вантажу A і однорідного диска D
відповідно масою mА = 4 кг і mС = 1 кг та ступінчастого диска В з радіусами RВ = 0,4 м,
rВ = 0,2 м (маса mВ = 0 кг), а прискорення тіла A має значення aA = 2 м /с2 , то сума ро-
біт усіх сил інерції на можливому переміщенні становить:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Завдання 8. Вказати правильну відповідь.
Якщо механічна система (рис. 32) складається із вантажів А і С з масами mА = 1 кг і mС = 4 кг та ступінчастого диска В з радіусом інерції (RВ = 0,4 м; rВ = 0,2 м ) масою mВ = 10 кг, а прискорення тіла С становить aC = 2 м /c2, то сума робіт усіх сил інерції на можливому переміщенні дорівнює:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Завдання 9. Вказати правильну відповідь.
Якщо балка АD (рис. 33) зна-ходиться в рівновазі під дією двох сил Р1 = 20 кН, Р2 = 12 кН і пари
сил з моментом М = 24 кН·м, а значення параметра a = 2 м, то ре-
акція опори D дорівнює: 1) кН; 2) кН; 3) кН; 4) кН.
Завдання 10. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g вважати рівним 10 м/с2).
Якщо кінетична енергія системи (рис. 34)
як функція узагальненої швидкості дорівнює
, а за узагальнену обрана кутова
координата q = φВ, то при значенні мас тіл А і
D mA=12 кг, mD= 6 кг, радіуса диска rB = 0,5 м,
коефіцієнта тертя μD = 0,2 і кута нахилу пло-
щини до горизонту α = 45º кутове прискорен-
ня диска В становить:
1) εВ = 2,34 рад/с2; 2) εВ = 7,25 рад/с2;
3) εВ = 1,11рад/с2; 4) εВ = 0,84 рад/с2.
Завдання 11. Вказати правильну відповідь (обчислення проводити з точні-стю до трьох значущих цифр).
Якщо механічна система (рис.35) складає-
ться із трьох тіл , маси яких mА = 16 кг , mВ = 6 кг
(rВ = 0,4 м), mD = 8 кг, а за узагальнену обрана ліні-
йна координата q = SA , що характеризує положен-
ня тіла А, то вираз кінетичної енергії системи як
функції узагальненої швидкості має вигляд:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Завдання 12. Вказати правильну відповідь (обчислення проводити з точні-стю до трьох значущих цифр).
Якщо на механізм (рис. 36) в заданому його положенні діють пара сил з моментом М = 80 Н·м (ОА = 1 м) і горизонтальна сила F = 35 Н, а за узагальнену обрана лінійна координата , що характеризує положення поршня В, то узагальнена сила цієї механічної системи становить:
1) Н·м ; 2) Н·м ;
3) Н·м ; 4) Н·м .
4. Відповіді до тестових завдань
Завдання 1 – відповідь: 3). Завдання 7 – відповідь: 4).
Завдання 2 – відповідь: 3). Завдання 8 – відповідь: 4).
Завдання 3 – відповідь: 1). Завдання 9 – відповідь: ).
Завдання 4 – відповідь: 2). Завдання 10 – відповідь: ).
Завдання 5 – відповідь: 2). Завдання 11 – відповідь: ).
Завдання 6 – відповідь: 1). Завдання 12 – відповідь: ).
БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК
1. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики [Текст] / С. М. Тарг. – М.: Высш. шк., 1986. – 456 с.
ЗМІСТ