Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Векторы. Действия над векторами.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) >0, то АВ, <0, то АВ. в)>1, то А<В, )<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
4. Действия над векторами.
а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k
*a=(х1i+y1j+z1k)= (х1)i+ (y1)j+(z1)k
ab=(x1x2)i+(y1y2)j+(z1z2)k
ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+ z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2
ii=1; ij=0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a2=|a|2
ab=|a|*|b|*cos
а)ав=0,<=>ав, x1x2+y1y2+z1z2=0
б)а||в - коллинеарны, если , x1/x2=y1/y2=z1/z2
5. Скалярное произведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cos, =/2, cos/2=0, ab=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).
6. Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая
Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3. тройка а,в,с-правая.
7. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где
a={ax,ay,az}
b={bx,by,bz}
c={cx,cy,cz}
Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:
a*b*c=-b*c*a
2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:
a*b*c=c*a*b=b*c*a
3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0
б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах
если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая
если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая
8. Уравнение линии и поверхности.
1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.
O(a,b,c)
|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы. x2+y2+z2=r2- ур-е сферы с центром точке(0,0).
F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.
2. Уравнение окружности
|OM|=r, OM={x-a,y-b)
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- ур-е окружности
а=b=0, то x2+y2=r2
F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.
9. Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
N-вектор нормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Для того, чтобы точка MP, необходимо и достаточно чтобы вектора NM0M(т.е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку вектору.
10. Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0, то By+Сz+D=0
Если B=0, то Ax +Сz+D=0
Если C=0, то Ax+By+D=0
Если A=B=0, то Сz+D=0
Если A=C=0, то By+D=0
Если A=D=0, то By+Сz=0
Если B=D=0, то Ay+Сz=0
11. Взаимное расположение плоскостей.
N1,N2-нормальные векторы плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
PQ{A1,B1,C1}
QN2{A2,B2,C2}
1)Пусть PQ<=>N1N2
A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности PQ.
2) Пусть PQ<=> N1N2
A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей.
12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Чтобы точка Мпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S
13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.
l m n
S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}
14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
Общее ур-е прямой в пространстве.
Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:
1. Найдем начальную точку:
Z=0
M0(x0,y0,0), т.к. Z=0
2. Найдем направляющий вектор S-?
PN1{A1,B1,C1}
QN1{A2,B2,C2}
S=N1*N2
16. Взаимное расположение прямой на плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0N1{A1,B1}
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0N2{A2,B2}
а)
то
б)
pq<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2
в)
p||q<=> N1N2, то A1A2+B1B2=0
17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку заданному вектору.
M0(x0,y0)
M0M{x-x0,y-y0}
n*M0M=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.
18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.
y-y1=k1(x-x1)
y=k1x-k1x1+y1
y1-k1x1=b
y=k1x+b
ур-е прямой с угловым коэффициентом k.
Пусть даны 2 точки M1(x1,y1), M2(x2,y2) и x1x2, y1y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. М2лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k:
Теперь вид искомой прямой имеет вид:
или:
- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2
20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и.
а)
S1{l1,m1} S2{l2,m2},
или
p:y=k1x+b1, k1=tg1
q:y=k2x+b2, k2=tg2 =>tg=tg(2-1)=
=(tg2-tg1)/(1+ tg1tg2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б) p||q, tg=0, k1=k2
в)pq,то
22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)
2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0
23. Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-е эллипса
- Каноническое ур-е эллипса
Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1
в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
24. Парабола и ее свойства.
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид
y2=2px-симметрично отн. оси ОХ
х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ
Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст. собой точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.
25.Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=
ур.-е
наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2
Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а.
Отношение =с/а наз. его эксцентриситетом (0<=<=1)
Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
26. Гипербола и ее св-ва.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0
б) Если >0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) - фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.
б) если =0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/ау/b=0
в) если <0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.
27. Понятие о поверхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+y+F=0, где A,B,C,D,,F - действительные числа
Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.
28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.
Функция - это зависимость одной величины от другой.
Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).
Определение способа задания:
-аналитически (y=kx+b)
-графический (график)
-таблично
|
x |
1 |
2 |
3 |
|
y |
4 |
5 |
8 |
-алгоритмически (с помощью ЭВМ)
Классификация функций:
Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:
1. y=xn - степенная
2. y=ax - показательная
3. y=logax - логарифмическая
4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]
Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.
29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Предел последовательности:
y=f(Un), где U1,U2,...Un, а Un=n/(n2+1)
Предел: число а называется пределом переменной xn, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |xn-a|<
limxn=a
n
-<Xn-a<
a-<Xn<a+
б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|0, |x-a|<
Число А называется пределом ф-ции f(x) при ха, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<, то |f(x)-A|<
Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.
2. limC=C, где С- постоянная величина
3. Если -б.м.в., то lim=0
4. предела б.б.в. не существует
5. если limy=a, то y=a+, где -б.м.в.
30. Основные теоремы о пределах.
1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+, y=b+, где и - б.м.в. x+y=(a+)+(b+)=(a+b)+(+), где +=- б.м.в.
xy=(ab)+, то lim(xy)=ab=limx+limy.
2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.
limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва
x=a+
y=b+, где и - б.м.в.
x*y=(a+)*(b+)=a*b+(b+a+), то
сумма б.м.в. = (дельта)
xy=ab+
xyab,
limxy=ab=limx*limy
3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.
limCx=limC*limx=C*limx
4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0
limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b
x=a+, y=b+
x/y=(a+)/(b+)
31. 1й, 2й замечательный пределы.
1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x0
j
lim((Sin)/)=1
x0
SOAC<SсектораOAC<SOCB
SOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то
SOAC=1/2*OC*OA*Sin=1/2*Sin
SсектораOAC=1/2*OA*OC*=1/2*(т.к. OA=OC)
SOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg=1/2*tg
1/2*Sin<1/2*<1/2tg //*2
sin<<tg//:sin
1</sin<1/cos, =>cos<sin/<1,
limCos<lim((Sin)/)<lim1, по признаку
0 0 существования
предела ф-ции
lim((Sin)/)=1
0
2ой: lim(1+1/n)n=e2.7183
n
Зная, что 1/n= - б.м.в., то n=1/ и
x 0
lim(1+1/n)1/=e
0
32. Основные приемы нахождения пределов.
1. Подстановка: при хх0 и х0области определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0
limf(x)=f(x0)
xx0
2. Сокращение: при х и хх0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.
3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).
4.деление на наивысшую степень х: при х и хх0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.
5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1
x
lim(1+1/n)x=e
x
33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.
x=x0+x, x=x-x0
y=f(x0+x)-f(x0)
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки, а limy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).
limy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то
limf(x)=limf(x0)
xx0
Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0
Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.
34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.
а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции (x) и g(x), которые имеют 1 предел при ха, то и limf(x)=A
(x)<=f(x)<=g(x), где lim(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. ха
б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.
Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (xn+1>xn)
Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что xn<=M.
35. Бесконечно малые величины и их св-ва:
величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(=m/V, если V, то 0)
Св-ва б.м.в.:
-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. ( и -б.м.в., то =б.м.в.)
-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то *U=б.м.в.)
-произведение б.м.величин=б.м.в.
-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в
36. Бесконечно большие величины и их св-ва.
б.б.в - величина для которой |Xn| (при xn=1/n, n0, то xn)
Св-ва:
-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/=0; 1/0=)
-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.
-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.
-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность
38. Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:
1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.
2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.
3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).
в точке:
1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х0, то их сумма, произведение, частное (при (х0)0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х0
2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х0, и f(x0)>0, то существует окрестность х0, в которой f(x)>0
3. если y=f(U) непрерывна в U0, а U=(x) непрерывна в U0=(x0), то сложная ф-ция y=f[(x)] непрерывна в х0.
39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.
1. cp.=S/t, =lim(S/t), где t0
2. pcp.=m/l, pT=lim(m/l), где l0
y=f(x+x)-f(x), y=f(x)
lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)
x0 x0
Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.
y=f(x+x)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:
lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx
x0 x0
Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0
1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1.
2) если y=x2, y=(x+x)2-x2=x2+2xx+x2-x2=x(2x-x),
(x2)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x
x0 x0
Геометрический смысл производной.
KN=y, MK=x
MNK/tg2=y/x
вычислим предел левой и правой части:
limtg=lim(y/x) x0
tg0=y`
0
При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg0=y`, 0)
Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0.
40. Основные правила дифференцирования.
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:
Теорема о произв. сложной функции:
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема о произв. обратной функции.
Таблица производных:
41. Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
42. Дифференцирование обратной ф-ции.
y=f(x), то x=(y) - обратная ф-ция.
Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy`=1/yx`.
y/x=1/(y/x) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:
lim(y/x)=1/(lim(y/x), т.е. yx`=1/xy или f`(x)=1/`(x)
Например:
43. Производные степенных и тригонометрических функций.
Основные формулы:
44. Производные обратных тригонометрических функций.
Основные формулы:
Для сложных функций:
45. Производные показательных и логарифмических функций.
Основные формулы:
Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.
y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная.
y=[f(x)](x) - показательно-степенная ф-ция.
lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)
Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.
Степенная ф-ция:
1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1
2.y=eU, где U=sinx
U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.
47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+x)-f`(x))/x)
x0
y```=(y``)`= lim((f``(x+x)-f``(x))/x)
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`
48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.
Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.
y=f(x), y=x2-1 - явные
F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции.
1)a2=x2+y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.
y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная
y*y`=-x, y`=-x/y
2) x3-3xy+y3=0
3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3
x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0
y`y2-xy`=y-x2
y`=(y-x2)/(y2-x)
49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
limy=A, y=A+
limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x
x0
y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.
dy=y`x
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.
Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x
Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx
Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x
Св-ва:
1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
50.Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
51. Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.
т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=10.
52. Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:
1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]
2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)
3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)g(a) (неравны по теореме Ролля).
1). F(x) – непрерывна на [a,b]
2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)
3). F(a)=0 ; F(b)=0
по теореме Ролля сущ. с(a,b); F’(с)=0
53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:
Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно возрастает
Если x2>x1, f(x2)<f(x1), то ф-ция монотонно убывает
Монотонность - постоянство
Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)
2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)
3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)
Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.
3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.
x1<a<x2, x2-x1>0, x2>x1
1. если f`(a)>0, то f(x2)>f(x1)
2. если f`(a)<0, то f(x2)<f(x1)
3. если f`(a)=0, то f(x2)=f(x1)
54. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.
Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.
1- локальный max
2- локальный min
3- глобальный max
4- глобальный min
если tg>0, то f`(x)>0
если tg<0, то f`(x)<0
Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.
(В них можно построить касательных).
Достаточный признак: точка х0 является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:
- если с “+” на “-”, то х0- т. max
- если с “-” на “+”, то х0- т. min
55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.
Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.
Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.
Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0
Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая
Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.
56. Асимптота графика ф-ции.
Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.
1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при хх0 |f(x)|+ (вида x=b)
2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты
lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+(б.м.в.) по св-ву x пределов.
разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х
f(x)/x=k+b/x+/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(/x)
x
, то
k=lim(f(x)/x)
b=lim[f(x)-kx]
Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y
3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.
57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.
Величина U наз-ся ф-цией переменных (x1,x2...xn), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.
Пусть f(M)=M0(x10, x20,... xn0), M(x1, x2,... xn)
Ф-ция f(M)=f(x1, x2,... xn) имеет предел А при М0М, если каждому значению как угодно малого числа (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число >0, если |M0M|=, то |f(M)-A|<
Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М0, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.
limf(x10, x20,... xn0)=limf(x1, x2,... xn)
x10 x1
x20 x2
xn0 xn
58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.
а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных
x=f(x,y), точка A(x0,y0)
z=f(x0+x, y0+y)-f(x0,y0) - полное приращение.
Частное приращение по х (по у):
xZ=f(x0+x, y)-f(x0, y0)
yZ=f(y0+y, x)-f(x0, y0)
Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Zx`*x=Z/x*dx; dxZ=Zy`*y=Z/y*dy
Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy
dZ=Z/x*dx+=Z/y*dy
Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.
59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.
Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:
Z``XX=(Z`x)`x ; Z``yy=(Z`y)`y
Z``Xy=(Z`x)`y=(Z`y)`x
60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.
Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y)
Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:
Если Z=f(x1,x2,...xn), то Z/xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие.
Достаточный признак:
где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0), B= Z``yx (x0,y0),
1) если >0, то М0 - точка экстремума;
если А<0 или С<0, то М0 - точка max;
если А>0 или С>0, то М0 - точка min.
2) если <0, то экстремума нет
3) если =0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.
61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
Найти:
-обл. определения ф-ции
-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной
-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты
-т. пересечения графика с осями координат
-симметрия графика (чет./нечет):
f(-x)=x симметрична относительно осей
f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)
-периодичность
-интервалы монотонности
-точки экстремума
-наибольшее и наименьшее значение
-выпуклость, вогнутость
-точки перегиба
-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты
-нанесение на график.