Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УТВЕРЖДАЮ зав.кафедрой ВМ и УМФ
д.ф.-м.н., профессор
Мартышко П.С.
ПРОГРАММА
курса «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
2013-2014 уч.г.
Лектор: Голикова Е.А.
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение, различные формы записи. Арифметические операции на множестве комплексных чисел, их свойства. Извлечение корней, решение уравнений. Разложение многочлегнов на множители.
2. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Декартова и полярная системы координат. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы в прямоугольной декартовой системе координат. Построение этих кривых, их характеристические параметры и геометрические особенности. Уравнения кривых второго порядка со смещенным центром и в полярной системе координат. Классификация поверхностей 2-го порядка (центральные, цилиндрические). Построение поверхностей методом сечений.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Определение и примеры линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства: о линейной зависимости системы с нулем, о выражении одного из векторов зависимой системы через остальные векторы и др. Критерий линейной зависимости векторов. Определение базиса линейного пространства, координаты вектора в базисе. Теорема о единственности разложения по базису.
4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определение матрицы, равенство матриц.
Нулевая и единичная матрицы. Операции алгебры матриц: сложение, умножение на скаляр, произведение матриц, транспонирование матриц. Алгебраические свойства матричных операций. Линейное пространство матриц.
Индуктивное определение определителя (детерминанта) матрицы (формула разложения по первой строке), минор, алгебраическое дополнение. Свойства определителя. Теорема о разложении определителя по первому столбцу. Теорема о разложении по любой строке. Теорема аннулирования. Формулы Крамера для систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и методом Гаусса. Применение обратной матрицы к решению некоторых матричных уравнений.
Ранг матрицы. Определение минорного, строчного, столбцового ранга матрицы. Лемма л базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Нахождение ранга методом окаймляющих миноров и методом Гаусса.
5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Понятие вектора, равенство векторов. Алгебра векторов: сумма, произведение на скаляр. Линейное простраенство векторов (доказать свойства операций). Линейная зависимость и независимость геометрических векторов. Базисы пространств направленных отрезков. Определение проекции вектора на ось, декартовы координаты, как проекции. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства. Геометрические применения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Проекция вектора на ось, связь со скалярным произведением. Свойства проекции. Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведения векторов через координаты в декартовой системе. Коллинеарность и компланарность векторов. Критерии коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.
6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и расстояние от точки до плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Определение, общие понятия: совместность, несовместность, однородность, неоднородность, решение СЛУ, общее решение СЛУ, эквивалентность СЛУ. Обоснование метода Гаусса .Теорема Кронекера-Капелли. Однородные СЛУ (ОСЛУ): теорема о линейных комбинациях решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ (ФСР), теорема об общем решении ОСЛУ. Теорема об общем решении неоднородной СЛУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры М.:Наука, 1984.-320 с.
2. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др.
Линейная алгебра и основы математического анализа.Ч.1./ 2-е изд.М.:Наука.- 1986.-С.462.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии М.:Наука.- 1980.- С.240.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре М.:Наука.- 1970.- С.384.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия
М.:Наука.- 1988.- С.223.
6. Письменный Д.
Аналитическая геометрия