Существует два вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными. 

e=1,610-19 Кл. q=eN 

Электрон (me=9,1110-31 кг) и протон (mр= 1,6710-27 кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

Закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.

Электрический заряд - величина релятивистски инвариантная, т.е. не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится.

В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники. Проводники – тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему. Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) – тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Полупроводники (например, германий, кремний) занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Единица электрического заряда– кулон (Кл) – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q1 и Q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноименных зарядов.

Эта сила называется кулоновской силой.

В СИ коэффициент пропорциональности равен k=1/(40).

Величина 0 называется электрической постоянной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна 0=8,85 10–12 Ф/м, где фарад (Ф) – единица электрической емкости.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля: Е = F/ Q0.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме  E=q/(40r2). 

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду.

Единица напряженности в системе СИ имеет название вольт на метр (В/м), при такой напряженности на заряд в 1 Кл действует сила в 1 Н.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линии напряженности (Силовые линии) – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е.

Силовые линии нигде не пересекаются. Они имеют начало и конец, т.е. они разомкнуты.

Принцип суперпозиции – принцип независимости действия электрических полей. Напряженность поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности. Т.е. E(в)=E1(в)+E2(в)+…+En(в).

Направление линий напряженности совпадает с направлением вектора напряженности. линии напряженности никогда не пересекаются. число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е.

Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол  с вектором Е, равно ЕdSсоs=EndS, где Еn– проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS.

Величина. dФЕ=ЕпdS=ЕdS называется потоком вектора напряженности через площадку dS.

Единица потока вектора напряженности электростатического поля – 1 В м.

Для произвольной замкнутой поверхности поток вектора Е сквозь эту поверхность, .

Th.

Поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов этой поверхности / .

A) Поле в бесконечно заряженной плоскости. При таком выборе пов.S нормальная составляющая S через торцы этого цилиндра. En=E. Через боковую повехность цилиндра En=0. Теорема Гаусса: замкнутый ∫ E(в) dS(в)=Σqi/ε0. Замкнутый ∫E(в)dS=замкнутый ∫ [по S]En dS=dSE+dSE=2dSE=1/ε0 ∫ [по S’]δdS=δ dS/ε0, где S’ – поверхность, вырезанная цилиндром из бесконечной плоскости. (δ = dq/dS – заряд, приходящийся на единицу поверхности).2dSE=δ dS/ε0; E=δ/2ε0;

B) поле бесконечно длинного равномерно

заряженого цилиндра (τ – линейная плотность заряда).

τ = dq/dE. Если поверхность интегрирования S выбрать в

виде цилиндра  (параллельного), то En=E=const. Для

боковой поверхности цилиндра и En=0. Для верхней и

нижней торцовых повехностей этого цилиндра: замкнутый

∫ [по S] E(в) dS(в)=E2πr l = 1/ε0 ∫[по l] τdl= τ l / ε0; E= τ/2πε0r – справедливо для нити.

C) Выберем повехность интегрирования S в теореме гаусса в виде сферы, центр которой совпадает с центром оболочки. Замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)=E замкнутый ∫ [по S] dS=E4πr (c.2)=1*0/ε0  E=0 при r<R. При r>=R, замкнутый ∫ [по S] E(в) dS(в)=4π r (c.2) E=q/ε0  E=q/4πε0 r (c.2).

1) Два вида электричества. Электрический заряд. Свойства электрического заряда

2) Закон взаимодействия двух точечных зарядов (Кулона)

3) Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Принцип суперпозиции. Силовые линии поля

4) Поток вектора через поверхность.Теорема Гаусса в электростатике.

5) Применение т. Гаусса для выч-я полей: a. Равномерно заряженной плоскости;b. Бесконечно круглого цилиндра; c. Сферической поверхности, заряж-й равн-но зарядом q.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд Q0, то сила приложенная к заряду, совершает работу.

Работа силы F на элементарном перемещении равна

(линейный инт-л)

Работа силы F на элементарном перемещении равна dA=Fdl=Fdlcos=QQ0/(40r2)dlcos, а dlcos=dr, зн. dA=Q0Q/(40r2)dr.

>>> Работа при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

если заряд q0 перемещается по замкнутой траектории, то работа A=0. Замкнутый ∫ dA=0; F=qE(в); A=Fdl(в). dA=qE(в)dl(в); Замкнутый ∫dA= замкнутый ∫ q E(в) dl(в)=0  замкнутый ∫E(в)dl(в)=0; Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Поля, обладающие такими свойствами называются потенциальными.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, в частности, в электростатическом поле, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Поэтому работу кулоновских сил можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд  в начальной и конечной точках поля заряда :   (1) Таким образом, потенциальная энергия заряда  в поле заряда  равна

где С – постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий. При  потенциальная энергия  и . Следовательно, потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда  на расстоянии r от него, равна:
(2) Если поле создается системой из n точечных зарядов  то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия  заряда , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
     (3) Из формул (2) и (3) можно выделить отношение , которое называется потенциалом и является энергетической характеристикой электростатического поля: (4) Таким образом, потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая скалярная величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x1–x2=dx, равна Exdx. Та же работа равна 1–2= –d. Приравняв оба выражения, можем записать E= – (85.1), дифференцирование производится только по х. По аналогии для осейу и z, вектор , где i. j, k – единичные векторы координатных осей х, у, z.

Е= -grad, или Е= – (85.2) т.е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями – поверхностями, во всех точках которых потенциал  имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал =Q/(40r). Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае – концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда – радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

6) Теорема Гаусса в дифференциальной форме.

7) Работа сил электростатического поля.

8) Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

9) Потенциал. Потенциал поля точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов.

10) Связь между потенциалом и вектором напряженности электростатического поля .Эквипотенциальные поверхности

Четвертый случай: поле объемно

заряженной сферы (шара). ρ=const=dq/dV.

Замкнутый ∫ [по S] E dS=4π r (c.2) E=

1/ε0 замкнутый ∫ [по V] ρdV=ρ/ε0 ∫ [по

V] dV=ρ 4 π r (c.3)/ ε0 3; 4πr (c.2) E=

=4πr (c.3)ρ/3ε0; E=ρr/3ε0; ρ=q/V0=q/(4/3)*πR(c.3);

E=qr/4πε0R(c.3) когда r<R. Если же r>=R: замкнутый ∫ [по S] E(в) dS=4πr (c.2) E=q/ε0; E=q/4πε0r (c.2);

Из формулы (4) с учетом (2) следует, что потенциал точки поля точечного заряда
(5) где r – расстояние от заряда до заданной точки. Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда  из точки 1 в точку 2  может быть представлена как   (6)  т.е. работа кулоновских сил численно равна произведению величины перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках поля. Из формулы (6) следует, что разность потенциалов двух точек электростатического поля – это физическая скалярная величина, определяемая работой, совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Если перемещать заряд  из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то согласно (6) работа сил электростатического поля откуда (7)

Таким образом, потенциал – это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.
Единица потенциала – вольт (В): 1 В – это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж:

Из формул (3) и (4) вытекает, что если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал точки поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:  

Электрический диполь – это система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояний до рассматриваемых точек поля.
Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя .  Вектор

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению величины заряда на плечо, называется электрическим моментом диполя  или дипольным моментом.

Согласно принципу суперпозиции напряженность поля диполя в произвольной точке где напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами диполя. В качестве примера рассчитаем напряженность поля на продолжении оси диполя. В данном случае вектор напряженности результирующего поля в точке А направлен по оси диполя и по модулю равен

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r, на основании формулы для вакуума можно записать:

Согласно определению диполя  , поэтому  

p

-e

+e

Электрический момент

(Электрический момент )

p

-e

+e

Приращение вектора напр-ти на отрезке   

Если поле однородно , не меняется F=0

Сила действует только в неоднородном поле

11) Электрический диполь.

12) Потенциал поля диполя

13) Поле диполя

14) Диполь во внешнем электрическом поле

15) моменты сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле

-(пот энергия)

Диэлектрики – вещества, которые при обычных условиях не проводят электрический ток, в диэлектриках нет свободных электрических зарядов. Молекулы диэлектриков электрически нейтральны. Диэлектрики делятся на 3 типа: неполярные, полярные, ионные.

У неполярных диэлектриков дипольные моменты молекул в отсутствии внешнего электрического поля равны нулю – H2, N2. У полярных диэлектриков молекулы обладают постоянным дипольным моментом и без внешнего электрического поля – H20. Ионные диэлектрики – это вещества, молекулы которых имеют ионное строение. В кристаллах этих веществ нельзя выделить отдельные молекулы, их можно рассматривать как систему 2х вставленных друг в друга ионных решеток – одна заряжена положительно, другая отрицательно – NaCl, KCl.

При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле, он поляризуется. На поверхности диэлектрика появляются связанные заряды. В соответствии с 3мя типами диэлектриков различают поляризацию неполяризованных, полярных и ионных диэлектриков.

В результате действия кулоновских сил электронная оболочка молекул деформируется и появляется наведенных дипольный момент.

В полярном диэлектрике поляризация обусловлена в основном ориентацией молекулярных диполей по полю. Видно, что и в этом случае на поверхности диэлектрика появляются связанные заряды.

Ионная поляризация: Во внешнем электрическом поле под действием кулоновских сил происходит смещение подрешеток относительно друг друга и появляется наведенный дипольный момент, что также приволит к появлению связанных зарядов на поверхности диэлектрика.

Этой характеристикой является вектор электрического момента системы, который обозначается p и определяется как сумма всех элементарных зарядов ei, входящих в систему, умноженных на соответствующие радиус-векторы Ri , проведенные из некоторой произвольной точки O:

,

Вектор электрического момента нейтральной системы зарядов будет характеризовать распределение зарядов и не будет зависеть то центра О.

Переместив начало отсчета из т.O в т.О' на некоторый отрезок a мы получим новый радиус-вектор заряда ei , который можно записать как разность R'i =Ri – a. Следовательно, вектор p запишется в виде:

Но т.к. , то .

Потенциал поля возбуждаемый системой зарядов на расстояниях гораздо больших чем размер системы совпадает с потенциалом поля диполя.

r-расстояние до системы.

Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной  - поляризованностью , определяемой как дипольный момент единицы объёма диэлектрика. P=PV/V=∑pi/V, где Pi  - дипольный момент одной молекулы, PV – дипольный момент диэлектрика. для большого числа диэлектриков поляризованность Р зависит от напряженности поля Е. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велика, то Р=æεоЕ, где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика, этот величина  безразмерная и всегда больше 0. Внесем в одноодное внешнее электрическое поле Ео пластину из однородного диэлектрика, расположив её, как показано . Под действием поля диэлектрик поляризуется ( смещение зарядов), в результате на правой грани диэлектрика, обращенной к отрицательной плоскости будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью “+б”, на левой – отрицательного заряда с поверхностной плотностью “-б”. Эти нескомпенсированные заряды называются связанными. т.к. .б' ν, то не все поле Е компенсируется полем зарядов диэлектрика. Часть линий напряженности пройдёт сквозь диэлектрик, другая – обрывается на связных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшения в нем поля, по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика Е=Ео, Таким образом, появление связных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля Е', направленно против внешнего поля и ослабевает его. Результирующая сила внутри диэлектрика: Е=Ео-Е'. Безразмерная величина ε=1+æ – диэлектрическая проницаемость среды. Она показывает во сколько раз поле ослабевается диэлектриком и характеризует количественные свойства диэлектрика поляризоваться в электрическом поле. РИС >>>>

Для начала рассмотрим потенциал системы зарядов в произвольной точке поля:

По определению потенциал системы зарядов в произвольной точке поля P равен:

где R'i – расстояние между точкой P и зарядом ei.

Возьмем внутри области расположения зарядов ei произвольную точку O – условный центр системы и тогда R0 и Ri – расстояния соответственно до заряда и до точки P.

R'i = R0 - Ri

(R'i)2 = (R0)2 –2R0Ri+ (Ri)2

Если Ri << R0 то, ограничившись в разложении лишь первыми двумя членами ряда, получим:

Но т.к. (система электрически нейтральна) ,получаем, что , что совпадает с потенциалом поля диполя.

Потенциал электростатического поля j при наличии в нем диэлектриков равен сумме потенциала, возбуждаемого связанными j¢, и свободными зарядами j0.

Потенциал свободных зарядов определяется интегрированием по объему и по поверхности соответственно отношений объемной и поверхностной плотностей свободных зарядов тела к расстоянию до точки, в которой измеряется потенциал: Потенциал же поля связанных зарядов определяется вектором поляризации диэлектрика. Если рассмотреть нейтральный dV диэлектрика, то его dj¢ согласно предыдущим рассуждениям будет равен потенциалу поля диполя, т.е.

16) Энергия диполя в электрическом поле

17) Диэлектрики. Диэлектрики в однородном поле.

18) Вектор электрического момента нейтральной системы зарядов.

19) Поляризация диэлектрика. Свободные и связанные заряды.

20) Потенциал электростатического поля при наличии в нем диэлектриков.

Таким образом результирующий потенциал диэлектрика в электростатическом поле запишется в виде:

Преобразуем эти выражения по формулам векторного анализа:

Ñ(ab)= aÑb+bÑa- теорема Гаусса Ñq =gradq = - grada = , где q значит, что при дифференцировании радиус-вектора R он рассматривается как функция положения его начальной точки, в данном случае эта точка совпадает с dV.

по теореме Гаусса

где второй интеграл берется по двум поверхностям : S и S1¢  где соответственно это поверхность данного объема  V и поверхности выделенные как поверхности разрыва вектора P.

Т.о. вычисляя этот интеграл получим, что интеграл по поверхности  S обратится в нуль, а интеграл по поверхности S1! сведется к интегралу по поверхности S1 :

где P1n и P2n – проэкции на соответствующие нормали вектора поляризации.

Если ввести обозначения : -divP=rсвязн и –(P2n-P1n)= sсвязн , можно окончательно записать выражение потенциала j:

Таким образом становится очевидным, что поле при наличии в нем диэлектрика складывается из поля свободных зарядов и связанных зарядов диэлектрика.

Независимо от того, какой тип диэлектрика во внешнем электрическом поле, происходит его поляризация. Из приведенных рисунков видно, что поле связанных зарядов противоположно внешнему электрическому полю, вследствии этого внешнее электрическое поле диэлектриком всегда ослабляется.

При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент pV=pi где pi – дипольный момент одной молекулы.

основные дифференциальные уравнения электростатического поля в произвольной среде.

–ур-е Пуассона

Для получения полн. Системы уравнений необх. ввести ур-е взаимосвязи м/д  .

Как показывает опыт при наличии Э/поля в изотропных диэлектриках

Коэф.  характеризует св-ва диэлектрической среды и наз-ся поляризуемостью диэлектрика.

Вектор электрической индукции

Обозначим - вектор электрического смещения. Тогда осн уравнение электростатики (2) запишется в виде

– диэлектрическая проницаемость среды.

Граничные условия для векторов напряженности электростатического поля и вектора электрического смещения.

Пусть в окрестности произвольной точки поверхности раздела двух сред выделена малая площадка и выбрано положительное направление нормали . Среда, расположенная в "положительном" пространстве относительно поверхности , описывается величинами с индексом 2, а среда в "отрицательном" пространстве относительно поверхности , описывается величинами с индексом 1. Из каждой точки контура, ограничивающего площадку , восстановим перпендикуляр к поверхности и отложим в среде 2 и среде 1 на этом перпендикуляре отрезок . Поверхность площадок и вместе с боковой поверхностью образуют замкнутую поверхность, охватывающую объем с различающимися локальными характеристиками. К рассматриваемому объему применима теорема Гаусса для векторного поля в интегральной форме:

где -вектор внешней нормали к элементу площади боковой поверхности, - суммарная величина свободных зарядов внутри рассматриваемого объема:

При эти интегралы стремятся к нулю, площадка , площадка , и в итоге получается условие:

Замечая, что , приходим к соотношению:

В результате поляризации на гранях диэлектрика появляются заряды, не компенсированные соседними диполями. Это приводит к тому, что на одной его поверхности возникают положительные заряды, а на другой – отрицательные. Эти электрические заряды называют связанными.
Внесем в однородное внешнее электростатическое поле , создаваемое двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями, пластинку из однородного диэлектрика. Под влиянием поля диэлектрик поляризуется, т.е. происходит смещение зарядов – положительные смещаются вдоль поля, отрицательные – против поля. В результате на правой грани диэлектрика будет избыток  положительного заряда с поверхностной плотностью , на левой грани – избыток отрицательного заряда с поверхностной плотностью . Так как поверхностная плотность связанных зарядов  меньше плотности  свободных зарядов плоскостей, то не все поле  компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть обрывается на связанных зарядах. Таким образом, поляризация диэлектрика вызывает ослабление в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика поле Следовательно, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного поля напряженностью  (поля, создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля  (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его.

Если поместить проводник в Э/поле , то на все свободные заряды проводника будет действовать поле. В результате чего свободные заряды сместятся против поля.

Перемещение зарядов будет происходить до тех пор , пока не установится определённое расположение зарядов, прикотором поле внутри проводника обращается в 0.

1.  

-

-

+

+

E=0

2. согласно т Гаусса поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность .

3.  - всюду  внутри проводника.

4. Весь провоник представляет собой эквипотенциальную область. Избыточные заряды появляются лишь в очень тонком поверхностном слое проводника. С разной поверхностной плотностью в разн точках поверхности.

5. Из тоо что пов-ть проводника явл-ся эквипотенциальной , то напр-ть Э/поля  направлена перпендикулярно к этой поверхности.

Заряд сосредоточенный на проводнике .

– не зависит от величины заряда, ёмкость зависит от формы, размеров и диэл-й проницаемости окр. среды.

За единицу ёмкости принимают ёмкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении заряда в 1Кл [Фарад].

21) Основные уравнения электростатического поля в произвольной среде. Поляризуемость диэлектрика. Вектор электрического смещения(электрической индукции).

22) Граничные условия для векторов напряженности электростатического поля и вектора электрического смещения

23) Поле внутри плоской диэлектрической пластины

24) проводник в электростатическом поле

25) Электроемкость уединенного проводника.

Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияние окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: а) две плоские пластины; б) два соосных цилиндра; в) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от геометрии обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности поля начинаются на одной обкладке и кончаются на другой. Поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами.

1. Плоский конд-р

+q

-q

X

d-расстояние м/д обкладками

– в вакууме

- с диэлектриком

>>>

1

2

3

4

i

энергия взаимодействия n-го и  m-го зарядов.

Полная энергия взаимодействия:

Предположим что заряды распределены непрерывно

Разложим непрерывную систему зарядов на совокупность элементарных зарядов.

ср плотность зарядов

Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией.
Пусть имеется уединенный проводник, заряд емкость и потенциал которого соответственно равны ,  и . Увеличим заряд этого проводника на . Это связано с совершением работы по преодолению кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами. Совершаемая работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника. Следовательно, элементарная работа , совершаемая внешними силами при переносе малого заряда  из бесконечности на уединенный проводник, равна
где  потенциал проводника, начало отсчета которого выбрано в бесконечно удаленной точке.
Работа, совершаемая при увеличении потенциала проводника от 0 до , т.е. при сообщении проводнику заряда , равна
      (1) Энергия заряженного уединенного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник, т.е.
    (2) Определим энергию заряженного конденсатора. Если заряд конденсатора, а разность потенциалов между его обкладками, то для переноса малого заряда  с одной обкладки на другую внешние силы должны совершить работу
Следовательно, работа по увеличению заряда конденсатора от 0 до  равна:

Соответственно, энергия заряженного конденсатора
 (3)

Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц или заряженных макроскопических тел. Различают два вида электрических токов – токи проводимости и конвекционные токи.

Током проводимости называют упорядоченное движение в веществе или вакууме свободных заряженных частиц – электронов проводимости (в металлах), положительных и отрицательных ионов (в электролитах), электронов и положительных ионов (в газах), электронов проводимости и дырок (в полупроводниках), пучков электронов (в вакууме). Этот ток обусловлен тем, что в проводнике под действием приложенного электрического поля напряженностью  происходит перемещение свободных электрических зарядов (а).
Конвекционным электрическим током называют ток, обусловленный перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела (б).
Для возникновения и поддержания электрического тока проводимости необходимы следующие условия:
1) наличие свободных носителей тока (свободных зарядов);
2) наличие электрического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов;
3) на свободные заряды, помимо кулоновских сил, должны действовать сторонние силы неэлектрической природы; эти силы создаются различными источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими генераторами и др.);
4) цепь электрического тока должна быть замкнутой.
За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов, образующих этот ток.
Количественной мерой электрического тока является сила тока I - скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение S проводника в единицу времени:

Закон Ома в дифференциальной форме

где Удельная проводимостьДля однородного участка цепи, т.е. для участка, на котором не действуют сторонние силы, закон Ома записывается в форме (2.8). Рассмотрим теперь неоднородный участок цепи 1-2 (рис. 2.8), где действует ЭДС источника  и на концах которого приложена разность потенциалов .

 На рассматриваемом участке работа  всех приложенных сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, согласно (2.6) равна:

В этой формуле ЭДС  берется либо с положительным, либо с отрицательным знаком. Если ЭДС способствует движению положительных зарядов в направлении обхода (в направлении 1-2), т.е. внутри источника обход совпадает с перемещением зарядов от катода к аноду, то  (а). Если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в направлении обхода, то  (б).

26) Конденсаторы . Электроемкость конденсатора

27) Энергия взаимодействия зарядов

28) Энергия уединенного проводника. Энергия электростатического поля.

29) Постоянный электрический ток. Плотность тока

30) Закон Ома для однородного участка цепи в интегральной и дифференциальной формах

Модуль напряженности результирующего поля внутри диэлектрика

Напряженность поля, создаваемого двумя протяженными заряженными плоскостями, определяется по формуле ,поэтому    (1) Определим поверхностную плотность связанных зарядов . С одной стороны, полный дипольный момент пластинки диэлектрика   где площадь пластинки, ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани   на расстояние   между ними, т.е.   Таким образом, или
(2) т.е. поверхностная плотность связанных зарядов   равна поляризованности. Подставив в (1) выражение (2), получим: откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна
(3)

где безразмерная величина
(4)

называется диэлектрической проницаемостью среды. Из (3) следует, что   показывает, во сколько раз электрическое поле ослабляется диэлектриком, количественно характеризуя свойство диэлектрика поляризоваться во внешнем поле.

Поскольку соотношение  должно выполняться для произвольной площадки , то из интегрального условия  следует локальное:

Сформулируем полученный результат: нормальные компоненты векторного поля на границе раздела двух сред испытывают скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов.

Соотношение  теряет силу для точек поверхности , в которых расположены точечные заряды, и для линий, лежащих на поверхности и заряженных погонной плотностью свободных зарядов.

Теоремы Гаусса для векторных полей и по форме не отличаются от теоремы Гаусса для поля , поэтому, в частности, справедливо условие - поверхностная плотность связанных зарядов, расположенных на поверхности раздела двух сред. Векторное поле напряженности электростатического поля и в диэлектрической среде остается потенциальным:

Действительно, единственным ограничением при выводе условия было требование неподвижности электрических зарядов, формирующих это поле. В условиях электростатики и свободные, и связанные заряды неподвижны, следовательно, условие имеет место.

Получим локальное условие для компонент вектора напряженности электростатического поля на границе раздела двух диэлектриков. В окрестности произвольной точки поверхности раздела двух сред после выбора положительного направления нормали рассмотрим замкнутый контур

В этом соотношении 4 последних интеграла в левой части пропорциональны величине и при их величины также стремятся к нулю.В итоге, когда отрезок контура "ложится" на отрезок , отрезок контура "ложится" на отрезок , их направления противоположны, получаем интегральное условие

откуда в силу произвольности отрезка контура получаем условие:Сформулируем полученный результат: тангенциальные (касательные) компоненты векторного поля непрерывны при переходе через границу раздела двух сред.

Касательные компоненты векторного поля однозначно формируют касательные компоненты векторных полей и , если среды изотропны. Поэтому условия достаточно для получения соотношений связи касательных компонент векторных полей и на границе раздела двух сред.

По закону сохранения и превращения энергии работа  равна теплоте, выделяющейся на участке 1-2 за время t (эта теплота определяется согласно закону Джоуля-Ленца):
 

Приравнивая получим:
   

или

где R – суммарное сопротивление, включающее в себя внутреннее сопротивление r источника тока и сопротивление внешней цепи.
Выражение есть закон Ома в интегральной (обобщенной) форме для цепи постоянного тока.

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным  (а). Для постоянного тока

Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным. Примером такого тока является синусоидальный электрический ток, применяемый в электротехнике и электроэнергетике  (б).
Единица силы тока – ампер (А). В СИ определение единицы силы тока формулируется следующим образом: 1 А – это сила такого постоянного тока, который при протекании по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими проводниками силу, равную на каждый метр длины.
Для характеристики направления электрического тока проводимости в разных точках поверхности проводника и распределения силы тока по этой поверхности вводится плотность тока.
Плотностью тока  называют векторную физическую величину, совпадающую с направлением тока в рассматриваемой точке и численно равную отношению силы тока dI, проходящего через элементарную поверхность, перпендикулярной направлению тока, к площади этой поверхности:  
 

Единица плотности тока – ампер на квадратный метр (А/м2).
Плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению однородного проводника. Поэтому для постоянного тока в однородном проводнике с площадью поперечного сечения S сила тока равна  

Учитывая, что конденсатор – это система из двух проводников 1 и 2, заряды которых  и , формулу () можно переписать в следующем виде:
Отсюда вытекает, что энергия системы из n неподвижных заряженных проводников
(4) где заряд i - проводника;  потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме i – го. Используя выражение (3), можно определить механическую силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между обкладками меняется на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу  за счет уменьшения потенциальной энергии системы откуда где Тогда искомая механическая (пондеромоторная) сила будет равнагде знак «минус» указывает, что сила F является силой притяжения. Преобразуем выражение (3), подставив в него  и . Тогда получим формулу, связывающую энергию электростатического поля плоского конденсатора с напряженностью:
где объем конденсатора. Объемная плотность энергии (энергия единицы объема) электростатического поля определяется как

- емкость цилиндрического конденсатора
Где R и r – радиусы коаксиальных цилиндров, L – длина образующей цилиндров;
- емкость сферического конденсатора
где R и r – радиусы сфер.

Бла…. Бла бла…>>>

Для возникновения и поддержания электрического тока проводимости необходимы следующие условия:
     1) наличие свободных носителей тока (свободных зарядов);
     2) наличие электрического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов;
     3) на свободные заряды, помимо кулоновских сил, должны действовать сторонние силы неэлектрической природы; эти силы создаются различными источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими генераторами и др.);
     4) цепь электрического тока должна быть замкнутой.
     За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов, образующих этот ток.

  Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение зарядов от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению тока. Поэтому для поддержания постоянного электрического тока в цепи необходимо наличие устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы некоторых сторонних сил. Такие устройства называют источниками тока.
    

Используем выражение   U12 + (φ1 – φ2)

подставим его в закон Ома в интегральной форме:

I=U12/R=[ε12 + (φ1 – φ2)]/R. В этой формуле ε12 может браться как со знаком “+” (ЭДС способствует движению положительных зарядов), так и со знаком “-”. Если на данном участке цепи ЭДС отсутствует, то в обычной форме. Если цепь замкнута, то φ1=φ2 и I=ε/R. Здесь под R понимаются все сопротивления, включенные в эту цепь. I=ε/(R+r); R – сопротивление внешней части цепи, r – внутреннее сопротивление источника ЭДС

Закон Ома для однородного участка цепи
     

     Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока в любой точке проводника с напряженностью электрического поля в той же точке:
     

Участок цепи, содержащий источник тока, называется неоднородным. Закон Ома для неоднородного участка цепи (закон Ома в интегральной форме)
     

Источник тока отсутствует:

Закон Ома для неоднородного участка цепи

 ->

Рассмотрим однородный проводник, по концам которого приложено напряжение . За время dt через поперечное сечение проводника переносится заряд . Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, работа тока есть      

    (2.14)     Используя закон Ома для однородного участка цепи, формулу (2.14) можно представить в виде

    (2.15)      Мощность электрического тока – это быстрота совершения работы, т.е.

    (2.16)      Единица мощности – ватт: 1 Вт – мощность, выделяемая в проводнике за 1 с при протекании тока силой 1 А.      Если ток протекает по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока затрачивается на его нагревание и по закону сохранения энергии      Таким образом, с учетом (2.14) и (2.15) получим:         (2.17)      Количество теплоты, выделяющееся за конечный промежуток времени от 0 до t при прохождении постоянного тока силой I найдем, интегрируя выражение (2.17):

   (2.18)

Таким образом, количество теплоты, которое выделяется в проводнике с током, пропорционально квадрату силы тока, времени его протекания и сопротивлению проводника. Выражение (2.18) есть закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока. Он был установлен экспериментально Д. Джоулем (1841) и независимо от него Э.Х. Ленцем (1842).

Закон Ома в интегральной форме позволяет рассчитывать практически любую электрическую цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих замкнутые контуры, достаточно сложен. Эта задача упрощается при использовании правил Кирхгофа

     Любая точка разветвленной электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников тока, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным (рис. 2.9).
     Первое правило Кирхгофа сформулировано для узла электрической цепи: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, т.е.

      где n - число проводников, сходящихся в узле.
     Таким образом, при указанных на рис. 2.9   направлениях токов в проводниках первое правило Кирхгофа запишется в виде    

      Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.
     Второе правило Кирхгофа вытекает из закона Ома в интегральной форме для разветвленных цепей. Выделим в сложной электрической цепи замкнутый контур, состоящий из трех участков (рис. 2.10). Условимся обходить контур по часовой стрелке. Все токи, совпадающие по направлению с выбранным направлением обхода контура, считаются положительными. ЭДС источников считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к отдельным участкам контура закон Ома, запишем:

В  пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током. Оно действует только на движущиеся в поле электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. При исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке или направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующие на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой M=[pmB] (1), где pm – вектор магнитного момента рамки с током (В – вектор магнитной индукции). Для плоского контура с током  pm=ISn (2), где S - площадь поверхности контура (рамки), n - единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление pm совпадает с направлением положительной нормали. В=Мmax/pm -магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Линии магн. индукции – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В.

31) Условия существования электрического тока. Сторонние силы, ЭДС.

32) Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной и дифференциальной формах

33) Закон Джоуля – Ленца для однородного и неоднородного участков цепи в интегральной и дифференциальной формах

34) Правило Кирхгофа

35) Магнитное поле в вакууме

Любой проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. В свою очередь ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Отсюда следует, что каждый движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле.

В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий магнитное поле индукцией  точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью :  (3.11)      где  - радиус-вектор, проведенный от заряда q к данной точке поля. Вектор  направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы  и , а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к  (рис. 3.6).    Модуль вектора магнитной индукции  определяется выражением       3.12)      Сравнивая (3.11) с выражением (3.5), можно сделать вывод, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам соответствует элементу тока:      

     или       Приведенные закономерности справедливы лишь при относительно малых скоростях движущихся зарядов. т.е. когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим. Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем электрический заряд, называется силой Лоренца:

Магн поле , создаваемое несколькими движ-ся зарядами или токами = векторной сумме полей создаваемых токами или зарядами в отдельности.

магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки поля относительно проводника.
     Био и Савар попытались получить закон, который позволял бы рассчитывать индукцию в каждой точке магнитного поля, создаваемого током в проводнике любой формы. Однако формализовать данную задачу они не смогли. По их просьбе этой задачей занялся французский физик и математик Лаплас. Он учел векторный характер магнитной индукции и высказал гипотезу, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей:

(3.4)     где индукция магнитного поля малого элемента  проводника с током, а интегрирование проводится по всей длине проводника.

  Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого  создает в некоторой точке А индукцию поля записывается в виде:        (3.5)      где вектор, по модулю равный длине  проводника и совпадающий по направлению с током; радиус-вектор, проведенный от элемента  проводника в точку А поля; модуль радиуса-вектора. Направление  перпендикулярно  и , т.е. перпендикулярно плоскости, проведенной через эти векторы и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление находится по правилу буравчика.      Коэффициент пропорциональности  зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная       где магнитная постоянная. Таким образом, в СИ закон Био-Савара-Лапласа имеет вид:      

         (3.5)

Потоком вектора магнитной индукции или магнитным потоком сквозь малую поверхность площадью dS называется скалярная физическая величина, равная (3.20)     где   - проекция вектора   на направление нормали к площадке dS (рис. 3.11);   - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали   к площадке.  

     Магнитный поток сквозь произвольную поверхность площадью S равен    

        (3.21)

      Если магнитное поле однородно, а поверхность плоская, то как частный случай         3.22)

       Если плоская поверхность расположена перпендикулярно вектору , то угол   и         Отсюда определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб – это магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл, т.е. 1 Вб = 1 Тл·м2.

Теорема Гаусса для магнитного поля формулируется следующим образом: поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:        

        (3.23)

        Эта теорема отражает тот факт, что в природе не существует магнитных масс (магнитных зарядов) – источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции. Вследствие этого силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

>>>>

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля   в магнитном поле вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции   по заданному замкнутому контуру:

     где - вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; - составляющая вектора    в направлении к касательной к контуру с учетом выбранного обхода контура; - угол между векторами   и .
     Теорема о циркуляции вектора   или закон полного тока для магнитного поля в вакууме формулируется следующим образом: циркуляция вектора   по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром, т.е.              (3.19)      где n – число проводников с токами, охватываемых контуром l произвольной формы.

     Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, охваченных контуром l на рис. 3.9, закон полного тока запишется следующим образом:

Выражение (3.19) справедливо только для магнитного поля в вакууме, так как для поля в веществе необходимо дополнительно учитывать молекулярные токи (микротоки).

36) Магнитное поле равномерно движущегося заряда

37) Принцип суперпозиции для магнитного поля

38) Закон Био – Савара – Лапласа

39) Основные законы магнитного поля. Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля B

40) Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля В

     Складывая почленно эти уравнения, получим:
     

      Таким образом, второе правило Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.

      где n – количество источников тока в контуре; m – число участков в контуре.
     При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа следует придерживаться следующих рекомендаций:
     1. Произвольно выбирают направления токов в ветвях цепи. Действительные направления токов в схеме определяются после завершения расчетов: если искомый ток получился положительным, то его направление было выбрано правильно, если отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.
     2. Выбирают направления обхода замкнутых контуров цепи (по часовой или против часовой стрелке). Произведение  положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с направлением обхода; ЭДС, действующие по направлению обхода, считаются положительными, против направления обхода – отрицательными.
     3. Составляют столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей в схеме. По первому правилу Кирхгофа составляют n-1 уравнений, где n – число узлов в схеме. Остальные уравнения составляют по второму правилу Кирхгофа.
     4. Для проверки расчетов составляют баланс мощности в цепи: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях схемы, т.е.
     

     где n- число источников тока в цепи; m – количество ветвей в схеме.

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем  (ось цилиндра совпадает с направлением тока). Сопротивление этого элементарного объема  Тогда по закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделится теплота:  
     

      Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью электрического тока:
     

     Используя дифференциальную форму закона Ома (2.11) и соотношение , получим:
     

       (2.19)

     Формула (2.19) является обобщенным выражением закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.  

Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника электрической энергии против сил электростатического поля (против кулоновских сил, вызывающих соединение разноименных зарядов, а следовательно, выравнивание потенциалов и исчезновение тока), так что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи протекает постоянный электрический ток.
     Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника:
                  (2.3)
     Единица ЭДС – вольт (В).
     Сторонняя сила, действующая на заряд , может быть выражена через напряженность  поля сторонних сил
     

     Тогда работа сторонних сил по перемещению заряда  на замкнутом участке цепи будет равна:
     

      (2.4)

Убедимся в справедливости теоремы о циркуляции вектора   на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного «к нам» (рис. 3.10).
     Представим себе замкнутый контур l в виде окружности радиуса r. В каждой точке этой окружности вектор   одинаков по модулю и направлен по касательной к ней. Следовательно, в данном случае циркуляция вектора    будет равна

     Согласно выражению (3.19) получим:

     или

     что полностью согласуется с выражением для индукции магнитного поля прямого тока, выведенным на основе закона Био-Савара-Лапласа.
     Сравнивая выражения   и для циркуляции векторов   и , видно, что между ними существует принципиальное различие: циркуляция вектора напряженности электростатического поля всегда равна нулю, т.е. такое поле является потенциальным; циркуляция вектора   отлична от нуля, поэтому магнитное поле является вихревым.
     Теорема о циркуляции вектора   позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

Итак, потоки векторов   и   сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях имеют различные выражения:  
     

     Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потокосцеплением   этого контура. Например, потокосцепление катушки, состоящей из N витков, магнитные потоки через которые одинаковы и равны Ф, определяется как  
     

      Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущим в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.
     В качестве примера найдем потокосцепление самоиндукции соленоида:
    

     где - магнитный поток через один виток соленоида площадью S.

Так как модуль векторного произведения  равен , то модуль вектора  определяется выражением       (3.6)      Из выражений (3.4) и (3.5) следует, что магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме током I, идущим по проводнику конечной длины и любой формы, равна  

       (3.7)      Закон Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитывать магнитные поля, создаваемые любыми проводниками с током.

1. Магнитное поле прямого тока.  

В данном случае поле создается током, протекающим по тонкому прямому проводнику бесконечной длины (рис. 3.4). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы  от всех элементов тока dl имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа. Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол , выразив через него все остальные величины. Из рис. 3.4 следует:
      откуда
     c другой стороны,  откуда

     Так как угол  для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то согласно (3.7) и (3.8) получим:
     

       (3.9)  

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии индукции магнитного поля, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора , то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд (рис. 3.7). На отрицательный заряд сила со стороны магнитного поля действует в противоположном направлении.
     Модуль силы Лоренца определяется по формуле где   - угол между векторами   и . Эта формула еще раз показывает, что магнитное поле не действует на покоящиеся электрические заряды.
     Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору   движения заряженной частицы, поэтому она не изменяет модуля ее скорости. Это означает, что постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.
     Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией   действует и электрическое поле напряженностью , то результирующая сила , приложенная к заряду, равна векторной сумме двух составляющих – электрической и магнитной (формула Лоренца):
     

      Разделение силы Лоренца на электрическую и магнитную составляющие относительно, так как они зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Это объясняется тем, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой изменяются не только скорость заряда, но и силовые характеристики   и   полей. Соответственно разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное поля тоже относительно.

Применение закона Био-Савара-Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока

Независимо от положения на проводнике все направлены в одну сторону - от нас. Значит, - без векторов

Для бесконечного проводника α1 = 0, α2 = π, Сos α1 - Сos α2 = 2   

.

>>>>>

1. Магнитное поле прямого тока.  

В данном случае поле создается током, протекающим по тонкому прямому проводнику бесконечной длины (рис. 3.4). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы  от всех элементов тока dl имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа. Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол , выразив через него все остальные величины. Из рис. 3.4 следует:
      откуда
     c другой стороны,  откуда

     Так как угол  для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то согласно (3.7) и (3.8) получим:
     

       (3.9)  

Обобщая результаты действия магнитного поля на различные проводники с током, А. Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент   проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длины   проводника на магнитную индукцию :

        (3.14).

     Направление силы   определяется правилом левой руки. Модуль силы Ампера находится по формуле

          (3.15)

      где   - угол между векторами   и .
     Из формулы (3.15) следует, что сила   максимальна, если элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции: Из последнего выражения можно получить формулу для численного определения магнитной индукции: т.е. магнитная индукция численно равна отношению силы, действующей со стороны магнитного поля на малый элемент проводника с током, к  произведению силы тока на длину этого элемента, если он так расположен в поле, что указанное отношение наибольшее.      Единица магнитной индукции – тесла (Тл): 1 Тл – это индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику протекает ток в 1 А:     1 Тл = 1 Н /(А·м).

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия токов. Рассмотрим два протяженных параллельных проводника с токами   и   (направления токов в проводниках «к нам»), расстояние между которыми R (рис. 3.8). Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Определим силу, с которой действует магнитное поле тока   на элемент   второго проводника с током .

Рассмотрим замкнутый плоский проводник с током (контур с током). Выберем вектор n, перпендикулярный плоскости контура и согласованный с направлением тока по правилу правого винта. Пусть сила тока в контуре I и площадь, охваченная контуром S. Введем  вектор  ,

Который определяет взаимодействие контура с магнитным полем. Этот вектор называется магнитным дипольным моментом контура с током и в СИ имеет размерность Ам2 .

Поместим этот контур в однородное магнитное поле с индукцией В, тогда на каждый элемент контура dl будет действовать сила

. Суммируя  силы, приложенные к элементам контура, получим для результирующей силы

.В однородном поле результирующая сила, действующая на контур, равна нулю. Можно показать, что на контур в неоднородном магнитном поле действует сила

.Здесь pmx, pmy, pmz проекции вектора магнитного момента на координатные оси x, y, z. Векторное уравнение  в проекции на ось х означает, что

, где Bx, By, Bz – проекции магнитной индукции на координатные оси. В частном случае, если вектор магнитной индукции изменяется только в том же направлении, в котором направлен вектор B,  можно направить ось x по вектору B. Пусть кроме того величина вектора магнитной индукции возрастает в направлении оси x , т. е. . При этом знак проекции силы, действующей на контур, будет определяется знаком проекции pmx. Иными словами, если угол между магнитным моментом контура и осью x острый (pmx>0), то сила направлена в сторону оси, т.е. в сторону возрастания величины индукции.

Рассмотрим замкнутый плоский проводник с током (контур с током). Выберем вектор n, перпендикулярный плоскости контура и согласованный с направлением тока по правилу правого винта. Пусть сила тока в контуре I и площадь, охваченная контуром S. Введем  вектор     который определяет взаимодействие контура с магнитным полем. Этот вектор называется магнитным дипольным моментом контура с током и в СИ имеет размерность Ам2

Поместим этот контур в однородное магнитное поле с индукцией В, тогда на каждый элемент контура dl будет действовать сила  .

Суммируя  силы, приложенные к элементам контура, получим для результирующей силы

.   .

Найдем далее момент сил (вращательный момент), действующий на контур с током в однородном магнитном поле. Если результирующая сил равна нулю, то момент сил не зависит от выбора точки, относительно которой он вычисляется.

Рассмотрим прямоугольный контур ABCD, расположенный в однородном магнитном поле так, что вектор нормали n образует с вектором В угол  , и стороны AB и CD перпендикулярны вектору В

Обозначим силы Ампера, действующие на стороны контура F1,F2,F3,F4 . Найдем суммарный момент этих сил относительно точки О (центра контура). Линии действия сил F3,F4 проходят через точку О, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Две другие силы: F1 и F2 и радиус-векторы точек их приложения r1 и r2 лежат в плоскости, образованной векторами B и n .

41) Вычисление магнитного поля прямого тока с помощью:         а) теорема о циркуляции;

       б) закона Био – Савара – Лапласа.

42) Вычисление магнитного поля на оси кругового тока.

43) Закон Ампера.

44) Сила, действующая на контур с током в магнитном поле. Магнитный момент

45) Момент сил, действующих на контур с током в магнитном поле.

Элементарная работа А, совершаемая силой Ампера dFА при перемещении на dr в магнитном поле элемента проводника dl, равна

.

Векторное произведение перемещения и элемента проводника есть вектор площадки, прочерченной проводником при его перемещении

.   

Скалярное произведение вектора площадки и вектора магнитной индукции – это магнитный поток через площадку dS

,    

поэтому для работы получаем

.    

Если проводник, сила тока I в котором поддерживается постоянной, совершает конечное перемещение из положения 1 в положение 2, то работа амперовых сил при таком перемещении

,

где Фм – магнитный поток через поверхность, прочерченную проводником при рассматриваемом перемещении.

Если в постоянном магнитном поле перемещается замкнутый контур, то поток, прочерченный всеми элементами контура, равен изменению потока пронизывающего контур (так называемого потокосцепления ).

Соотношение для замкнутого контура можно записать так:

.

Важнейшую роль в учении о магнетизме сыграла гипотеза Ампера, согласно которой магнитные свойства вещества обусловлены элементарными замкнутыми токами, циркулирующими внутри небольших частиц вещества – атомов, молекул или их групп. Все вещества по отношению к воздействию на них магнитного поля принято называть магнетиками. При описании магнитного поля в веществе – магнетике можно, не вдаваясь в природу этих элементарных токов, для простоты считать их все одинаковыми. Пусть каждая молекула вещества характеризуется некоторым магнитным моментом

,где Iмол элементарный молекулярный ток, а Sмол – площадь, охваченная его контуром. Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина намагниченность J, равная отношению магнитного момента Pm макроскопически малого объёма V вещества к этому объему:

,где pmi – магнитный момент i- молекулы из общего числа N молекул, содержащихся в объеме V. Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах магнитное поле можно было считать однородным. В то же время в нем должно содержаться столь большое число молекул (N>>1), чтобы к ним можно было применять статистические методы.

Если магнетик не намагничен, молекулярные токи ориентированы хаотически и средняя намагниченность  равна нулю. Под действием магнитного поля В0, создаваемого внешними токами, происходят различные процессы намагничивания вещества при этом возникает дополнительное усредненное магнитное поле В1 молекулярных токов, так что суммарное поле В, действующее в магнетике, характеризуется магнитной индукцией

В = В0 + В1.

Измерения показывают, что для большинства веществ магнитная проницаемость  близка к единице и не зависит от величины магнитного поля. Все такие вещества могут быть разбиты на два класса:

1)    >1 – парамагнетики, в которых намагниченность вещества увеличивает суммарное магнитное поле; парамагнетики втягиваются в область сильного неоднородного магнитного поля

>>>

Для количественного описания намагниченного вещества введем векторную величину j (в) – намагниченность магнитных молекул единицы объема веществаl I (в)=Pm(в) / V=(1/V) *(ΣPm(в)). Вектор B характеризует результирующее поле, обусловленное как внешними макротоками, так и внутренними микротоками. B(в)=B0 (в) + В’ (в); B0 (в)=μ0 (в) μ (в); B’(в) – магнетик  обусловленный микротоками. Рассмотрим магнетик в виде цилиндра. Пусть этот магнетик помещен во внешнее магнитное поле, индукция которого направлена вдоль оси этого цилиндра

Из этого рисунка видно, что внутри магнетика в каждой его точке микротоки направлены в различных направлениях и слудовательно их поля компенсируют друг друга.  Нескомпенсированными остаются только те токи, которые

выходят на поверхность. Эти токи можно представить как макроток, текущий по поверхности магнетика.

B’ (микроток) = μ0 I’/ l ; Pm=IS; I’/ l – ток, приходящийся на единицу длинны магнетика.

I=I’ l / l; Pm=I’ l S / l; V=l S;

j = Pm(в)/V=I’/ l;

B’(в)=μ0 I (в).

В не очень сильных магнитных полях намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля J(в)=ХH(в); X – магнитная восприимчивость.

В(в)=B0 (в) + +B’(в)=μ0 H(в) + μ0 Х H(в)=μ0 (1 + X) H(в);

1+X=μ – магнитная проницаемость магнетика.

H(в)=B(в)/μ0(1+Х);

Для диамагнетика Х<0, μ<1;

Для парамагнетика Х>0, μ>1;

Для феромагнетика X>>0, μ>>1

Ферромагнетики. Вещества, способные обладать намагниченностью в отсутствие внешнего м. п. При внесении ферромагнетика в м. п. вектор намагниченности ведёт себя так: при Н=0, I=0, при увеличении Н растет и I, но при уменьшении Н кривая изменяет вид  и при Н=0 есть остаточная намагниченность I0≠0, при I=0 Нк≠0. Напряженность Нк при I=0 называется коэрцитивной силой.

Петли гестеразиса: 0-1 – увеличение Н, 1-2 – уменьшение Нб 0-4- коэрцитивная сила, необходимая для снятия остаточного напряжения. Нк определяется по Max петле. Ферромагнетики делят на жесткие (если I0 велико) и мягкие (I0 число) жесткие - основа для изготовления постоянных магнитов, мягкие – для трансформаторов. Т.к. ф-ия I=f(H) нелинейная, то ферромагнетик имеет μ, непостоянную для данного вещества. Ферромагнетик состоит из доменов – областей стоптанного намагничивания, который обладает определенным магнитным моментом при Т≠0 магнитные моменты в сумме дают 0.

При внешнем вращении м. п. намагниченность увеличивается (0-1)- это область упругого смещения частиц доменов. Если выключит м. п. магнетик снова размагнитится. При дальнейшем увеличении внешнего м. п.  намагниченность растет быстрее (1-2) – область неупругого смещения границы доменов и увеличиваются размеры доменов с малым углом за счет других доменов (2-3) – область вращения магнитных моментов доменов и установление их вдоль внешнего м. п. 3-4 – область парапроцессов при очень сильных полях. т.е. домены, которые имеют противоположный вектор, выстраиваются вдоль внешнего м. п. Если увеличить температуру магнетика, то при высокой t магнетик теряет свои свойства. Антиферромагнетики – вещества, в которых собственные магнитные моменты электрических свойств самопроизвольно ориентированы пропорционально друг другу в результате антиферромагнетика обладает крайне малой магнитной восприимчивостью и ведут себя как очень слабые парамагнетики. Ферромагнетики – вещества, у которых магнитный момент хотя и параллельны друг другу, но не скомпенсированы.

Магнитный гистерезис — явление зависимости вектора намагничивания и вектора напряженности магнитного поля в веществе не только от приложенного внешнего поля, но и от предыстории данного образца. Магнитный гистерезис обычно проявляется в ферромагнетиках — Fe, Co, Ni и сплавах на их основе. Именно магнитным гистерезисом объясняется существование постоянных магнитов.

Явление магнитного гистерезиса наблюдается не только при изменении поля H по величине и знаку, но также и при его вращении (гистерезис магнитного вращения), что соответствует отставанию (задержке) в изменении направления M с изменением направления H. Гистерезис магнитного вращения возникает также при вращении образца относительно фиксированного направления H.

Теория явления гистерезиса учитывает конкретную магнитную доменную структуру образца и её изменения в ходе намагничивания и перемагничивания. Эти изменения обусловлены смещением доменных границ и ростом одних доменов за счёт других, а также вращением вектора намагниченности в доменах под действием внешнего магнитного поля. Всё, что задерживает эти процессы и способствует попаданию магнетиков в метастабильные состояния, может служить причиной магнитного гистерезиса.

46) Работа перемещения проводника с током в магнитном поле.

47) Магнитное поле в веществе. Намагниченность. Механизм намагничивания. Диа- и парамагнетики.

48) Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость.

49) Ферромагнетики. Кривая намагничивания ферромагнетика. Основная кривая намагничивания. Магнитная проницаемость ферромагнетиков.

50) Магнитный гистерезис.

Каждая из сил F1, F2 перпендикулярна вектору В, а радиус-векторы r1, r2 перпендикулярны вектору n. Поэтому силы F1, F2 образуют с радиус-векторами r1, r2 тот же угол , что и вектор B с нормалью n. Момент этих сил M равен

.

Слагаемые в этой сумме направлены в одну сторону (перпендикулярно плоскости рисунка от нас). Обе силы равны F1=F2=IaB, кроме того, r1=r2=b/2. Поэтому

,

а величина результирующего момента ,

где S = ab – площадь рамки. Воспользовавшись определением магнитного момента контура (4.3.1.), можно записать величину момента сил Ампера, действующих на этот контур:    .

Векторы pm, B, M составляют правую тройку векторов, поэтому в общем виде получаем

.

Можно доказать, что формула справедлива в однородном магнитном поле для контура произвольной формы.

Для момента амперовых сил, существует два положения  = 0 и   = , в которых этот момент обращается в нуль. В остальных случаях вращающий момент, действующий на контур с током,  стремится развернуть контур так, чтобы направление магнитного момента контура совпало с направлением магнитной индукции внешнего поля, т.е. к состоянию  = 0. Поэтому при  = 0 контур оказывается в устойчивом равновесии, а при  =  – в неустойчивом.

Если угол тупой (pmx<0), то сила направлена в противоположную сторону. Если магнитный момент направлен параллельно магнитной индукции (), результирующая сила F направлена в сторону возрастания модуля магнитной индукции. Если же магнитный момент направлен антипараллельно (), сила направлена в сторону убывания модуля B.

Ток   создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора   определяется правилом буравчика, а модуль находится по уже известной формуле

      Направление силы , с которой поле   действует на участок   второго проводника с током, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль этой силы с учетом того, что угол между элементом тока   и вектором   прямой, равен

     Подставляя сюда значение , получим:               (3.16)
     Рассуждая аналогично, можно определить силу , с которой магнитное поле тока   действует на элемент   первого проводника с током . Эта сила направлена в противоположную сторону и по модулю равна  

        (3.17)

      Сравнение (3.16) и (3.17) показывает, что , т.е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой   

       (3.18)

     Если токи в проводниках имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (3.18).

Применение теоремы о циркуляции для вычисления магнитного поля бесконечно длинного соленоида Соленоид - провод, навитый на цилиндрический каркас. На один метр длины - n витков.

Выберем такой контур, как на рисунке, т.к. из соображений симметрии вектор может быть направлен только вдоль оси соленоида.
Тогда

.

1) В интервалах от точки 2 до точки 3 и от точки 4 до точки 1 стороне контура, значит Вl = 0.
2) Тогда:

.

3) Можно показать, что вне бесконечного соленоида B=0, т.е.

.Значит: ,т.к. внутри соленоида B = Bl = const, то .По теореме о циркуляции  .Откуда магнитное поле бесконечного соленоида:

.

Направлено вдоль оси соленоида, в соответствии с правилом правого винта.

2)    <1 – диамагнетики, в которых намагниченность уменьшает суммарное поле;

диамагнетики выталкиваются из области сильного неоднородного поля.

У обоих типов магнетиков магнитная проницаемость слабо отличается от единицы. Кроме этих двух классов имеется класс веществ, в которых величина магнитной проницаемости (и магнитной восприимчивости) может быть очень большой и сильно зависит от величины магнитного поля, а также от температуры вещества. Это, так называемые, магнитоупорядоченные состояния – ферромагнетики, антиферромагнетики и ферримагнетики.

Упорядоченное расположение магнитных моментов является идеализированным, поскольку не учитывает тепловое движение атомов, которое неизбежно приводит к некоторым нарушениям упорядоченного расположения магнитных моментов. При сравнительно низких температурах они незначительны, при увеличении температуры, они играют все большую роль, и, наконец, при некоторой температуре, называемой температурой Кюри (), тепловое движение атомов способно разрушить упорядоченное расположение магнитных моментов, и тогда ферромагнетик превращается в парамагнетик. Величина зависит от прочности связи магнитных моментов друг с другом, в случае прочной связи достигает 770 0С - для железа и превышает 1000 0С для железо-кобальтовых сплавов. Для многих веществ невелика и составляет менее 300 К.

По величине можно оценить энергию связи магнитных моментов друг с другом. Для разрушения упорядоченного расположения магнитных моментов необходима энергия теплового движения порядка эВ. Это - очень большая величина, намного превосходящая как энергию взаимодействия диполей, так и потенциальную энергию магнитного диполя в поле . В самом деле, энергия взаимодействия диполя находящегося в поле по порядку величины составляет эВ, что значительно меньше, чем . Следовательно, ее недостаточно для сохранения упорядоченного расположения магнитных моментов при температуре порядка

>>>>>O_o

Описательная теория ферромагнетизма была разработана французским физиком П.Вейсом. Последовательная количественная теория   на   основе   квантовой  механики   развита   советским   физиком Я.И.Френкелем и немецким физиком В.Гейзенбергом. Согласно представлениям Вейсса, ферромагнетики при температурах ниже точки Кюри обладают спонтанной намагниченностью, независимо от наличия внешнего намагничивающего поля. Вейсс ввел гипотезу, согласно которой ферромагнетик ниже точки Кюри разбивается на число малых макроскопических областей - д о м е н о в, самопроизвольно намагниченных до насыщения.

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю, и ферромагнетик не намагничен. Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнитные моменты не отдельных атомов, как это имеет место в случае парамагнетиков, а целых областей спонтанной намагниченности. Поэтому с ростом Н намагниченность J и магнитная индукция В уже в довольно слабых полях растут очень быстро. Этим объясняется также увеличение ферромагнетиков до максимального значения в слабых полях.

При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохраняют остаточное намагничивание, т. к. тепловое движение не в состоянии быстро дезориентировать магнитные моменты столь крупных образований, какими являются домены. Поэтому и наблюдается явление магнитного гистерезиса. Для того чтобы ферромагнетик размагнитить, необходимо приложить коэрцитивную силу; размагничиванию способствует также встряхивание и нагревание ферромагнетика.

Дальнейшее развитие теории ферромагнетизма Френкелем и Гейзенбсргом, а также ряд экспериментальных фактов позволили выяснить природу элементарных носителей ферромагнетизма. В настоящее время установлено, что магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов. Установлено также, что ферромагнитными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки с некомпенсированными спинами. В подобных кристаллах могут возникать силы, которые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу, что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничивания.

>>>>

Явление электромагнитной индукции заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемой этим контуром возникает электрический ток, называемый индукционным потоком. Эксперементально установленно, что величина индукции тока не зависит от способов изменения магнитного потока, а определяет лишь скорость изменения. Индукционный ток в проводнике может возникнуть только под действием ЭДС. ЭДС, возникшая в проводнике при изменении магнитного потока, называется ЭДС-индукции. Согласно закону Фарадея: ε инд=k dФm/dt. Направление индукции тока определяется по правилу Ленца. При всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность натянутую на замкнутый контур, в нем возникает индукционный ток такого направления, что его магнитное поле препятствует изменению магнитного потока. С учетом правила Ленца закон Фарадея имеет вид: ε инд = - dФm/dt; Поскольку для замкнутого контура dФm=dψ, то ε инд = - dψ/dt

Правило Ленца -  индукционный ток, возникающий при относительном движении проводящего контура и источника магнитного поля, всегда имеет такое направление, что его собственный магнитный поток компенсирует изменения внешнего магнитного потока, вызвавшего этот ток.

По правилу Ленца дополнительные токи возникают вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям токов в цепи – это приводит к тому, что установление ока при замкнутой цепи и убывание тока при размыкании происходит не мгновенно, а постепенно – токи при этом называются экстратоками. Размыкание: в момент t=0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко, как только сила тока в цепи начнет убывать, возникают две самоиндукции, противодействующие этому убыванию. IR=εs=-LdI/dt или dI/dt+I/L=0, dI/I=-Rdt/L => lnI=-Rt/L+lnC => I=C*e-Rt/L  При t=0   I0=ε/R => C=I0 => I=I0e-Rt/L  Скорость убывания определяется величиной τ=L/R, которая называется временем релаксации. Это время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Замыкание: после под-я источника тока, до тех пор пока сила тока не достигнет установленного значения , I0=ε/R, в цепи кроме ε будет действовать две индукции => IR=ε+ε0=ε-LdI/dt или I=I0+c*e-Rt/L. т.к. при t=0 I=0, то c=-I0 => I= I0(1-e-Rt/L).

εIdt=I(c.2)Rdt+dA;    

dA=IdФm;  

εIdt=I(c.2)Rdt+IdФm;

I=(ε – dФm/dt)/R=(ε+ε инд)/R;

Согласно закону Фарадея возникающая ЭДС индукции,

возникает не только в движущемся проводнике, но и в неподвижном. Появление ЭДС индукции в движущемся проводнике можно объяснить действием силы Лоренца на свободные заряды, движущиеся в магнитном поле вместе с проводником. Однако такое объяснение не подходит для неподвижных зарядов. Сила Лоренца на неподвижные заряды не действует. Для объяснения появления ЭДС индукции в неподвижных проводниках Максвел предположил, что всякое перемещене магнитного поля порождает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновеня ЭДС индукции. Циркуляция вектора E электрического поля по замкнутой поверхности контура и есть ЭДС индукции, т.е. ε инд = замкнутый ∫[по L]E(в) dl(в)= - dФm/dt. Это электрическое поле является вихревым (для потенциального поля циркуляция вектора E по замкнутому контуру равна нулю).

51) Температура Кюри.

52) Теория ферромагнетизма.

53) Электромагнитная индукция.

54) Правило Ленца.

55) Закон электромагнитной индукции.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого по закону Био-савара-Лапласа пропорциональна току, поэтому сцепленный с контуром магнитный поток будет также пропорционален току в этом контуре. Коэффициентом пропорциональности является величина L – индуктивность.Фm=LI; L=Фm/I

Если ток в контуре будет изменяться, то будет изменяться и сцепленный с контуром магнитный поток, поэтому в нем будет ЭДС, возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока в нем называется самоиндукцией.

ε инд = - dФm/dt= - (L[dI/dt]+J[dl/dt]);

L зависит от формы проводника и магнитной проницаемости среды, в которой он находится.

Обычно величина L не зависит от силы тока в контуре, поэтому L=const, поэтому ε инд= - L (dI/dt)

При расчете катушки индуктивности предварительно задаются геометрическими размерами катушки и определяют коэффициент L0, а затем по заданной величине индуктивности L находят число витков:

где I, - в мкГн , D - в см.

Для намотки катушки обычно применяют провод оптимального диаметра, который рассчитывается с помощью эмпирических формул и графиков. Для этого по графику S=f(t/D;l/D) находят вспомогательный коэффициент S. Затем рассчитывают коэффициент

где f -в мкГц , D - в см. Затем рассчитывают коэффициент a1

где f - частота в Гц.

ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ – явление индуктирования (наведения) эдс индукции в одной цепи (катушке) при изменении электрического тока в другой цепи. Ток I1, проходя по виткам W 1 первой катушки, вызывает магнитный поток, часть которого Ф (1-2) пронизывает витки второй катушки W2 (рис.), образуя потокосцепление взаимной индукции Y = W2 Ф (1-2).

Магнитный поток Ф 1-2 и, следовательно, потокосцепление пропорциональны току

Y 1-2 = M 1 2 I 1.

Аналогично ток I2, проходя по виткам второй катушки, вызывает магнитный поток Ф 2-1, пронизывающий витки первой катушки W 1, образуя потокосцепление взаимной индукции

Y 2-1 = W 1 Ф 2-1.

Для этого случая потокосцепление пропорционально току

Y 2-1 = M 2-1 I 2.

Магнитное поле, подобно электрическому полю, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна той работе, которая затрачивается электрическим током на создание этого поля.
     Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток силой I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI, причем при изменении тока на величину dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ ток должен совершить работу  

     Тогда работа по созданию магнитного потока Ф, численно равная энергии магнитного поля, связанного с контуром, будет равна

      (4.10)  Формулу (4.10) можно получить также, воспользовавшись законом Ома. При изменении тока I в замкнутом контуре возникает ЭДС самоиндукции, противодействующая этому изменению. По закону Ома сила тока в контуре с сопротивлением R и индуктивностью L равна      где - ЭДС источника электроэнергии;   - ЭДС самоиндукции, которая по закону Фарадея равна   Таким образом,      Работа, совершаемая источником электроэнергии за время dt, равна

      Первое слагаемое в правой части выражения представляет собой джоулеву работу, расходуемую на нагревание проводника, второе - дополнительную работу, обусловленную индукционными явлениями. Следовательно, работа, затрачиваемая на увеличение силы тока в контуре от нуля до I, равна

     Таким образом, увеличение силы тока в проводнике вызывает соответствующее усиление его магнитного поля и увеличение энергии магнитного поля этого контура с током.
     Формула (4.10) позволяет также дать следующее энергетическое определение индуктивности: индуктивность контура численно равна удвоенной энергии магнитного поля, создаваемого проходящим по контуру током единичной силы.

>>>>>

Дж. Максвеллом было высказано следующее фундаментальное свойство магнитного поля: изменяясь во времени, магнитное поле порождает электрическое поле. Это электрическое поле имеет совсем другую структуру, чем электростатическое. Линии напряженности возникшего электрического поля представляют собой замкнутые линии, подобные линиям индукции магнитного поля. Такое поле называют вихревым электрическим полем. Вихревое электрическое поле действует на электрические заряды, так же как и электростатическое F = q • Е, где E - напряженность вихревого поля. В отличие от статического или стационарного электрического поля работа вихревого поля на замкнутом пути не равна нулю. Вихревое электрическое поле, так же, как и магнитное, непотенциально.

Работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого неподвижного проводника численно равна ЭДС индукции в этом проводнике.

Если проводник длиной l перемещать в магнитном поле с индукцией В, направленной перпендикулярно скорости перемещения, то магнитная сила Лоренца разделяет электрические заряды проводника и между его концами возникает ЭДС индукции, равная ei = lvE.

Возникновение изменяющегося магнитного поля создает ЭДС индукции в том контуре, по которому течет ток, создающий это изменяющееся поле. Такое явление назвали самоиндукцией.

Магнитный поток, проходящий через контур, прямо пропорционален силе тока в контуре:

Физическая величина, равная отношению магнитного потока, проходящего через контур, к силе тока в контуре, называется индуктивностью этого контура:

ЭДС, возникающая в контуре, при изменении силы тока, протекающего по контуру, называется ЭДС самоиндукции.

По закону электромагнитной индукции ЭДС самоиндукции равна  

За единицу индуктивности в СИ принимается 1 генри (1 Гн), это индуктивность такого контура, в котором при равномерном изменении силы тока в цепи со скоростью 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции, равная 1 В:

В природе существует два вида токов: ток проводимости и ток смещения. Во времена Максвелла, ток проводимости мог быть экспериментально зарегистрирован и измерен (например, амперметром, индикаторной лампой), тогда как движение зарядов внутри диэлектриков могло быть лишь косвенно оценено.

При разрыве цепи постоянного тока и включении в неё конденсатора ток в разомкнутом контуре отсутствует. При питании такого разомкнутого контура от источника переменного напряжения в нём регистрируется переменный ток (при достаточно высоких частоте и ёмкости конденсатора загорается лампа, включённая последовательно с конденсатором). Для описания и объяснения "прохождения" переменного тока через конденсатор (разрыв по постоянному току) Максвелл ввёл понятие тока смещения.

Ток смещения существует и в проводниках по которым течёт переменный ток проводимости, однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально советским физиком А. А. Эйхенвальдом, изучившим магнитное поле тока поляризации, который является частью тока смещения. В общем случае, токи проводимости и смещения в пространстве не разделены, они находятся в одном и том же объеме. Поэтому Максвелл ввёл понятие полного тока, равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока: 

56) Явление самоиндукции. Индуктивность. Расчет индуктивности катушки.

57) Взаимная индукция.

58) Магнитная энергия тока. Энергия магнитного поля.

59) Вихревое электрическое поле.

60) Ток смещения.

???

Явление электромагнитном индукции заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного. Этот ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции. значение индукционного тока совершенно не зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а определяется лишь скоростью его изменения  Всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции. Значение индукционного тока, а следовательно, и э.д.с. электромагнитной индукции 1 определяются только скоростью изменения магнитного потока, т. е. 1~dФ/dt (1) Закон электромагнитной индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с.i=–dФ/dt (в Вольтах) (2). Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток. Закон Фарадея: э.д.с. i, электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. э.д.с. не зависит от способа изменения магнитного потока. Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми или токами Фуко. Их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, индуцирующему вихревые токи.

???

Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток. Закон Фарадея: э.д.с. i, электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. э.д.с. не зависит от способа изменения магнитного потока. Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми или токами Фуко. Их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, индуцирующему вихревые токи.

Вихревые токи помимо торможения вызывают нагревание проводников. Вихревые токи возникают и в проводах, по которым течет переменный ток Направление этих токов можно определить по правилу Ленца. направление вихревых токов таково, что они противодействуют изменению первичного тока внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности. Таким образом, вследствие возникновение вихревых токов быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению провода неравномерно – он как бы вытесняется на поверхность проводника.

???

Явление электромагнитном индукции заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного. Этот ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции. значение индукционного тока совершенно не зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а определяется лишь скоростью его изменения  Всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции. Значение индукционного тока, а следовательно, и э.д.с. электромагнитной индукции 1 определяются только скоростью изменения магнитного потока, т. е. 1~dФ/dt (1) Закон электромагнитной индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с.i=–dФ/dt (в Вольтах) (2). Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток. Закон Фарадея: э.д.с. i, электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. э.д.с. не зависит от способа изменения магнитного потока. Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми или токами Фуко. Их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, индуцирующему вихревые токи.

Эти силы, называемые обменными силами, имеют квантовую природу - они обусловлены волновыми свойствами электронов.

Кюри точка, температура Кюри, температура фазового перехода II рода, связанного со скачкообразным изменением свойств симметрии вещества (например, магнитной — в ферромагнетиках, электрической — в сегнетоэлектриках, кристаллохимической — в упорядоченных сплавах). Назван по имени П. Кюри, подробно изучившего этот переход у ферромагнетиков. При температуре Т ниже К. т. Q ферромагнетики обладают самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью и определённой магнитно-кристаллической симметрией. В К. т. (T = Q) интенсивность теплового движения атомов ферромагнетика оказывается достаточной для разрушения его самопроизвольной намагниченности («магнитного порядка») и изменения симметрии, в результате ферромагнетик становится парамагнетиком. Аналогично у антиферромагнетиков при Т = Q (в т. н. антиферромагнитной К. т. или Нееля точке) происходит разрушение характерной для них магнитной структуры (магнитных подрешёток), и антиферромагнетики становятся парамагнетиками. В сегнетоэлектриках и антисегнетоэлектриках при Т = Q тепловое движение атомов сводит к нулю самопроизвольную упорядоченную ориентацию электрических диполей элементарных ячеек кристаллической решётки. В упорядоченных сплавах в К. т. (её называют в случае сплавов также точкой Курнакова) степень дальнего порядка в расположении атомов (ионов) компонентов сплава становится равной нулю.

Т. о., во всех случаях фазовых переходов II рода (типа К. т.) при Т = Q в веществе происходит исчезновение того или иного вида атомного «порядка» (упорядоченной ориентации магнитных или электрических моментов, дальнего порядка в распределении атомов по узлам кристаллической решётки в сплавах и т. п.). Вблизи К. т. в веществе происходят специфические изменения многих физических свойств (например, теплоёмкости, магнитной восприимчивости и др.), достигающие максимума при Т= Q (см. Критические явления), что обычно и используется для точного определения температуры фазового перехода. Значения К. т. для различных веществ приведены в статьях Антиферромагнетизм, ферромагнетизм, Сегнетоэлектрики.

Всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения. Токи проводимости (I) и смещения (Iсм,) равны: Iсм=I. Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора I=dQ/dt= (поверхностная плотность заряда  на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе. jcм=D/t – плотность тока смещения. Ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. D=0E+P, где Е – напряженность электростатического поля, а Р – поляризованность, зн плотность тока смещения jсм=0E/t+P/t, где jсм – плотность тока смещения в вакууме, P/t плотность тока поляризации – тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах). Ток смещения по своей сути – это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Полный ток равен сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока jполн=i+D/t. Полный ток в них всегда замкнут, т. е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н

Сравнивая выражения для энергий конденсатора   и контура с током   с потенциальной   и кинетической   энергиями, можно провести аналогию между электромагнитными и механическими явлениями. Так, для электрического поля величина , обратная емкости, аналогична жесткости пружины, а для магнитного поля индуктивность L аналогична массе тела m. Таким образом, еще раз можно заключить, что индуктивность является мерой инертности контура по отношению к изменению в нем тока

O_o ???

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I.  С данным контуром сцеплен магнитный поток  Ф=LI причем при изменении тока на dl магнитный поток изменяется на Ф=LdI. Однако для изменения магнитного потока на величину  dФ необходимо совершить работу dA-IdФ-LIdL. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна A=Зн. энергия магнитного поля, связанного с контуром, W=LI2/2 (1)

Рассмотрим частный случай — однородное магнитное поле внутри динного соленоида. W-0N2I2S/(2l). Так как I=Bl/(0N)  и B=0H, то W=B2V/(20)=BHV/2, где Sl=V - объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью w=W/V=B2/(20)= 0H2/2=BH/2 (3). (3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. оно относится только к пара- и диамагнетикам

???

Взаимная индукция Рассмотрим два неподвижных контура, расположенных достаточно близко друг от друга. Если в контуре 1 течет ток I1, то магнитный поток, создаваемый этим током пропорционален I1. Обозначим через Ф21 ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда Ф21=L21I1 (128.1), где L21— коэффициент пропорциональности. Если ток I1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. i2, которая по закону Фарадея  равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф21, созданного током в первом контуре и пронизывающего второй: s= –dФ21/dt= –L21dI1/dt. Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховыми линиями) пронизывает первый контур. Если Ф12 – часть этого потока, пронизывающего контур 1, то Ф12=L12I2. Если ток I2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. i1 которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф12, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый: i1= –dФ12/dt= –L12dI2/dt..

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L21 и L12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что L21 и L12 равны друг другу, т. е. L21=L12 (128.2). Коэффициенты L21 и L12 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, – генри (Гн).

???

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф =LI (1), L-индуктивность контура. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока наз самоиндукцией. (L)=Гн индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура – аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды. Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э.д.с. самоиндукцииs=–dФ/dt=–d(LI)/dt=–(LdI/dt+IdL/dt) Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L=const b s= –LdI/dt (126.3) где знак минус показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

В основе современной классической электродинамики лежит система уравнений Максвелла.

интегральная форма системы уравнений Максвелла в системе единиц СИ имеет вид

где - величина свободного заряда в объеме, охватываемом замкнутой поверхностью , а величина "сила тока" определена соотношением

В основе современной классической электродинамики лежит система уравнений Максвелла. Дифференциальная форма системы уравнений Максвелла в системе единиц СИ имеет вид:

Согласно закону электро-магнитной индукции Фарадея, изменение магнитного поля приводит к появлению электро-магнитного поля ε= - dФ/dt – ЭДС. Максвел выдвинул гипотезу, что верно и обратное утверждене, изменение электрического поля должно сопровождаться возникновением магнитного поля. Он обобщил закон полного тока:

замкнутый ∫ [по L] H(в) dl(в)=j(в), предположив, что переменное электрическое поле также как и электрический ток является источником магнитного поля. Для количественного описания магнитного действия и переменного электрического поля, он ввел понятие тока смещения. Согласно теореме Гаусса Фe=замкнутый ∫ D (в) dS(в)=q; Фe – поток электрического смещения;

I=dq/dt=dФe/dt=(d/dt)*замкнутый ∫[по S] D(в) dS(в); Если поверхность S неподвижна (не меняется со временем), то производную по времени можно внести под знак интеграла и переписать выражение в виде:

I=замкнутый ∫[по S] (∂D(в)/∂t) dS(в) – ток смещения; плотность

тока j=I/S; I=∫[по S] jdS(в). Видно, что плотность тока

смещения j см = ∂D(в)/∂

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

I: (L)EBdl=-∂BndS/∂t -> изменяющееся во времени магнитное поле является причиной возникновения электрического поля магнитной природы (оно вихревое)

 II: (L)Hdl=∫(jпр+ jан)/dS=∫(jпр+∂D/∂t)dS изменяющееся во времени электрическое поле вызывает появление магнитного поля наряду с током проводимости.   

III: DdS=∑qi – Теорема Гаусса для поля D поток вектора смещения электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

 IV: BdS=0 – теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю.

Величины, входящие в уравнения Максвелла не являются независимыми и между ними есть связь : D=εoεE, B=μoμH, j=φE, εo и μо – электрическая и мгнитная постоянные, ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости, φ – удельная проводимость. Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющееся во времени м.п., а м.п. могут возбуждаться либо перемещенными электрическими зарядами.

В основе теории М-ла лежат 4 ур-я: 1. Электрическое поле  может быть как потенциальным (EQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е=ЕQ+-ЕB. Так как циркуляция вектора EQ равна нулю, а циркуляция вектора ЕB определяется выражением, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля . Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. 2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н: .Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. 3.Теорема Гаусса для поля D: (1) Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то (1) запишется в виде 4. Теорема Гаусса для поля В: .  Итак, полная система уравнении Максвелла в интегральнойформе: . D=0E, B=0H, j=E, где 0 и 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и . – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости,  – удельная проводимость вещества.

Всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты.Изменяющееся во времени электрическое поле порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов:

1. Существуют электромагнитные волны, то есть распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы и перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны

.

2. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью Скорость электромагнитных волн в вакууме (ε = μ = 1): 

3. В электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры». Поэтому объемные плотности электрической и магнитной энергии равны друг другу: wэ = wм.

Отсюда следует, что в электромагнитной волне модули индукции магнитного поля и напряженности электрического поля в каждой точке пространства связаны соотношением .

61) Система уравнений Максвелла в интегральной форме

62) Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

63) Фундаментальная система уравнений

64) Полная система уравнений Максвелла. Материальные уравнения

65) Электромагнитные волны

Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность энергии элетро-магнитной волны будет складываться из объемной плотности энергии электрического и магнитного поля,

т.е.: ω=ω эл + ω м

Ранее было получено: ω эл = ε0 ε E(c.2)/2; ω м = μ0 μ H(c.2)/2;

ω=(ε0 ε E(c.2) / 2) + (μ0 μ H(c.2) / 2).

Учитывая, что √ε0 ε]*E=√μ0 μ]*H,

ω эл= ω м; H=(√ε0 ε]/√μ0 μ])*E; ω=(ε0 ε E(c.2) / 2) + (μ0 μ ε0 ε / μ0 μ)*E(c.2)=

=ε0 ε E(c.2); ω=ε0εE(c.2)=√ε0ε]*E*√ε0ε]*E=√ε0 ε]E√μ0 μ]H=√ε0 μ0]√ε μ]EH

Плотность потока энергии электромагнитной волны S (энергия, переносимая волной за единицу вермени через единичную площадку 1 м(с.2), расположенную перпендикулярно распространения) можно найти ω на скорости распространения электро-магнитной волны. S=ω*v. Учитывая, что v=(1/√ε0 μ0]√ε μ]), имеем: S(в)=E(в)xH(в)=[E(в), H(в)].

Вектор S называется вектором поинтинга (вектор Умова-пойнтинга). Он показывает какая энергия переносится за единицу времени через площадку в 1 м(с.2), расположенную перпендикулярно направлению распространения волны

В основе теории М-ла лежат 4 ур-я: 1. Электрическое поле  может быть как потенциальным (EQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е=ЕQ+-ЕB. Так как циркуляция вектора EQ равна нулю, а циркуляция вектора ЕB определяется выражением, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля . Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. 2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н: .Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. 3.Теорема Гаусса для поля D: (1) Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то (1) запишется в виде 4. Теорема Гаусса для поля В: .  Итак, полная система уравнении Максвелла в интегральнойформе: . D=0E, B=0H, j=E, где 0 и 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и . – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости,  – удельная проводимость вещества.

В основе современной классической электродинамики лежит система уравнений Максвелла. Дифференциальная форма системы уравнений Максвелла в системе единиц СИ имеет вид:

(7.1)   (7.2)   (7.3)

(7.4)   (7.5)   (7.6)

(7.7)

Уравнениям (7.1)- (7.4) соответствуют интегральные формы записи:

(7.1') (7.2')

(7.3') (7.4') где - величина свободного заряда в объеме, охватываемом замкнутой поверхностью , а величина "сила тока" определена соотношением

(7.8)

Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что выбор положительного направления обхода контуров в левых частях уравнений (7.1') и (7.2') согласован с выбором направления нормали к элементу поверхности в поверхностных интегралах правой части упомянутых уравнений: обход контура должен производиться против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Иначе, если тело человека ориентировано по вектору , то двигаться вдоль контура надо так, чтобы область внутри контура оставалась слева.

В уравнениях (7.3') и (7.4') используется внешняя нормаль по отношению к объему, ограниченному рассматриваемой замкнутой поверхностью. В определении (7.8) направление нормали в поверхностном интеграле задает положительное направление, с учетом которого определяется алгебраическая величина силы тока .

Интегральная форма записи уравнения (7.7) представляет собой хорошо известный из элементарного курса физики закон Ома:

>>>

(Не надо думать, что для переменного электромагнитного поля нельзя ввести понятие потенциала, но силовые характеристики и описываются при этом совокупностью скалярного потенциала , переменного во времени, и векторного потенциала , тоже переменного во времени. Работа по перемещению точечного заряда по замкнутому контуру в этих условиях может оказаться не равной нулю).

В магнитостатике (электрические токи не меняют своей величины и направления, в рассматриваемой системе не накапливаются электрические заряды) известно уравнение

(7.10) и его интегральный аналог - теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру: (7.11)где - сила тока, пронизывающая произвольную поверхность, натянутую на рассматриваемый замкнутый контур.

Использование уравнения (7.11) затруднено при анализе процесса зарядки-разрядки конденсатора: на замкнутый контур , расположенный в пространстве между обкладками конденсатора, можно натянуть поверхность, которая целиком находится между обкладками, ток проводимости через нее не течет. Вторая возможность - поверхность охватывает одну из обкладок конденсатора, через нее течет сила тока проводимости .

В соответствии с уравнением (7.11) мы должны получить различные значения циркуляции поля по рассматриваемому замкнутому контуру. Такая неоднозначность противоречит физическому принципу, согласно которому физическая величина должна определяться независимо от метода расчета.

Выпишем здесь еще раз систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме вместе с материальными уравнениями (15.3):

Применим систему уравнений Максвелла (13.4) к однородной ( ε = const, μ = const), нейтральной ( ρ = 0), непроводящей ( σ = 0) среде. Уравнения Максвелла примут следующий вид.

Первая пара:                                                  Вторая пара:

Наша задача - получить волновые уравнения для векторов и , решениями которых будут уравнения электромагнитной волны (сравните с 15.3).

Система уравнений Максвелла для плоской электромагнитной волны

Зададим направление оси x перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда: От координат x и z в плоской волне и не зависят. Как известно из математики:

Учитывая, что не зависит от y и z из первого уравнения первой пары: , получим три скалярных уравнения:

Второе уравнение первой пары дает:

66) Теорема Пойнтинга

X1 Система уравнений Максвелла в ??? Форме

X2.1 Система уравнений Максвелла в ??? Форме

X2.2 Система уравнений Максвелла в ??? Форме

X3 Электромагнитные волны

4. Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии. Если выделить площадку S (рис. 2.6.3), ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку протечет энергия ΔWэм, равная ΔWэм = (wэ + wм)υSΔt.

Плотностью потока или интенсивностью I называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади

Подставляя сюда выражения для wэ, wм и υ, можно получить: Поток энергии в электромагнитной волне можно задавать с помощью вектора направление которого совпадает с направлением распространения волны, а модуль равен EB / μμ0. Этот вектор называют вектором Пойнтинга (1885 г.).

В синусоидальной (гармонической) волне в вакууме среднее значение Iср плотности потока электромагнитной энергии равногде E0 – амплитуда колебаний напряженности электрического поля.

Плотность потока энергии в СИ измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).

Аналогично, из второй пары уравнений Максвелла получим:

Уравнения (1) и (4), (5) и (8) утверждают, что Hx и Ex не зависят от времени и координаты x, т.е. являются однородными постоянными полями. Таким образом, переменное поле электромагнитной волны не имеет составляющей вдоль оси x, в направлении которой распространяется волна. Это значит, что электромагнитная волна поперечна, т.е. векторы и перпендикулярны направлению ее распространения.

Волновое уравнение

В уравнения (2) и (7) входят Ez и Hy, в уравнения (3) и (6) входят Ey и Hz. Таким образом, если первоначально было создано поле Ey, то оно породит Hz (3), которое создает Ey (6). Аналогично с Ez и Hy.

Для описания электромагнитной волны можно выбрать уравнения (2) и (7), либо уравнения (3) и (6), либо те и другие.

Получим волновое уравнение для уравнений (3) и (6):

После указанных стрелками замен имеем два волновых уравнения:

Рис.7.1.К вопросу о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру

Рис.7.2."Парадокс" применения теоремы о циркуляции вектора по замкнутому контуру ()

Максвелл ввел в уравнение (7.11) дополнительный "ток смещения"(7.12) и постулировал "закон полного тока" в форме (7.2'). Все противоречия при описании рассматриваемой выше физической ситуации оказались снятыми.

При выяснении физического смысла уравнения (7.2) оказывается, что в отсутствие объемной плотности тока проводимости магнитное поле может быть порождено переменным электрическим полем, это магнитное поле оказывается вихревым.

Рассматривая уравнения (7.1) и (7.2) совместно, замечаем, что переменное поле порождает вихревое поле , а переменное поле порождает вихревое поле . Гениальность открытия Максвелла состоит в выявлении этой "симметрии" взаимодействия электрического и магнитного полей как единого электромагнитного поля.

Заметим также, что знакомые нам из предыдущих разделов курса уравнения (7.3) и (7.4) и соответствующие им уравнения (7.3') и (7.4') также подверглись переосмысливанию. Вспомним, что уравнение (7.3) в электростатике являлось следствием закона Кулона в полевой формулировке. Точечный заряд , который создавал вокруг себя электрическое поле, при этом покоился. Тот факт, что уравнение (7.3) остается справедливым и в системе координат, относительно которой этот заряд движется и не обязательно с постоянной скоростью, является далеко не тривиальным.

(7.7')Уравнение (7.7') записано для неразветвленного участка цепи, который содержит ЭДС (электродвижущую силу) , имеет сопротивление , ток по которому течет от сечения 1 к сечению 2, и - потенциалы электрического поля для рассматриваемых сечений. В отсутствие ЭДС из уравнения (7.7') следует уравнение закона Ома в формегде - напряжение между граничными сечениями участка цепи.

Наиболее последовательное представление о природе электромагнитного поля состоит в том, что система уравнений Максвелла принимается как постулат, как теоретическое обобщение всех известных экспериментальных законов электромагнетизма, как то целое, из которого как частные случаи следуют отдельные физические закономерности.

Значимость системы уравнений Максвелла для электродинамики можно сравнить со значимостью законов Ньютона для механики и открытием закона всемирного тяготения.

В чем принципиальная новизна представлений Максвелла о природе электромагнитного поля? Явление электромагнитной индукции было описано законом электромагнитной индукции Фарадея и правилом Ленца:(7.9)

Внешне оно похоже на уравнение (7.1') системы уравнений Максвелла. Но М. Фарадей и Э.Х. Ленц рассматривали явление электромагнитной индукции как явление в электропроводящем контуре. Д.К. Максвелл постулировал, что циркуляция напряженности электрического поля по замкнутому контуру возникает всегда, когда меняется величина потока магнитной индукции через поверхность, натянутую на этот контур, безотносительно к тому, возникает ли в контуре электрический ток под действием электродвижущей силы индукции.

Особенно наглядно проявляется новизна представлений Максвелла о природе электромагнетизма в записи уравнения (7.1). В переменном векторном поле частная производная по времени от вектора не равна нулю. Это означает, что переменное векторное поле , в отличие от электростатики, становится вихревым, оно перестает быть потенциальным !