Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задача 7
Подпространства V k и V l векторного пространства Vn натянуты на системы векторов и Найдите базисы и размерности подпространств Vk, Vl, Vs = V k + V l , Vr = V k Ç Vl .
Выясните, является ли сумма Vs =V k + V l прямой суммой.
Вариант 2. a=3, b=3, n=4; ={1;1;1;1}, ={1;1;-1;-1},
={1;-1;1;-1}; ={1;-1;-1;1}, ={2;-2;0;0}, ={3;-1;1;1}.
Вариант 3. a=3 , b=3, n=3; ={2;1;0}, ={1;2;3},
={-5;-2;1}; ={1;1;2}, ={-1;3;0}, ={2;0;3}.
Вариант 4. a=2, b=2, n=4; ={1;2;1;0}, ={-1;1;1;1};
={2;-1;0;-1}, ={0;1;-1;0}.
Вариант 5. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;-1;-2}, ={3;1;1;1},
={-1;0;1;-1}; ={2;5;-6;-5}, ={-1;2;-7;-3}.
Вариант 6. a= 2, b=2 , n=4; ={1;1;0;0}, ={1;0;1;1};
={0;0;1;1}, ={0;1;1;0}.
Вариант 7. a= 3, b= 2, n=5; ={1;1;1;1;1}, ={1;-1;1;-1;1}, ={2;1;-1;1;2}; ={-1;2;1;1;0}, ={1;0;4;0;1}.
Вариант 8. a=3, b=3, n=3; ={0;2;1}, ={1;1;-1}, ={1;-3;3};
={2;3;-1}, ={1;5;2}, ={4;1;-3}.
Вариант 9. a=3, b= 3, n=4; ={1;1;1;0}, ={1;1;0;1}, ={1;0;1;1}; ={1;1;-1;-1}, ,
Вариант 10. a=3, b=2, n=4;
Вариант 11. a=3, b= 3, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0}, ={1;2;2;-3}; ={1;1;1;1}, ,
Вариант 12. a=3, b=3, n=4; ={1;1;0;0}, ={0;1;1;0},
={0;0;1;1}; ={1;0;1;0}, ={0;2;1;1}, ={1;2;1;2}.
Вариант 13. a=2, b=2, n=3; ={1;3;1}, ={-2;1;-3};
={-1;2;3}, ={0;1;2}.
Вариант 14. a=2, b=2, n=3; ={1;1;-1}, ={1;2;1};
={2;3;-1}, ={1;2;2}.
Вариант 15. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 16. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 17. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 18. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 19. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 20. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 21. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 22. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 23. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 24. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 25. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 26. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 27. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 28. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 29. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 30. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 31. a=3 , b= 2, n=4; ={1;2;1;-2}, ={2;3;1;0},
={1;2;2;-3}; ={1;0;1;-1}, ={1;1;1;1}.
Вариант 35. a=3, b=3, n=3; ={1;2;1}, ={1;1;-1}, ={1;3;3};
={2;3;-1}, ={1;2;2}, ={1;1;-3}.
РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
Пример 1 (Вариант 35). Подпространства и векторного пространства натянуты на следующие системы векторов:
, , ;
, , .
Найти базисы и размерности подпространств , .
Выяснить является ли сумма прямой суммой.
Решение. 1) Найдем базисы и размерности линейных оболочек
, .
Для этого приведем матрицы А и В, составленные из координат векторов , а затем из , к ступенчатому виду:
, rang A = 2;
, rang B = 2.
Таким образом, система векторов – линейно зависима , а подсистема – линейно независима, т.е. вектор линейно выражается через .
Но тогда по определению линейной оболочки L всякий вектор из также выражается через векторы , которые, следовательно, составляют базис подпространства . Поэтому и
Итак, базис подпространства
Аналогично рассуждая, получаем, что
,
Итак, базис подпространства
2) Найдем базисы и размерности подпространств Vs = Vk + Vl и Vr = Vk Vl .
а) По определению суммы подпространств, всякий вектор суммы имеет вид , где , и потому , то есть сумма Vs = Vk + Vl является линейной оболочкой, натянутой на сис- тему векторов : . Поэтому, чтобы найти базис Vs = Vk + Vl нужно выделить в системе векторов линейную независимую подсистему.
Составляя и преобразуя матрицу со строками из координат , имеем
.
Отсюда заключаем, что совокупность векторов является одним из базисов подпространства Vs = Vk + Vl, так что .
б) Итак, получили, что Поэтому по теореме 6, то есть dim Vr = Vk Vl = r = 1.
По определению пересечения подпространств, всякий вектор имеет вид
или в координатах
()
Решим полученную систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных
Составим матрицу системы () и приведем ее к ступенчатому виду:
.
Видим, что ранг этой матрицы, то есть системы (), равен R = 3, число всех неизвестных равен а число свободных неизвестных равен ; то есть имеется одно фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений.
Восстановим по последней матрице систему, равносильную ():
Поскольку можно принять за свободное неизвестное, а за основные неизвестные (почему?), то выражая через , получим общее решение системы ()
Тогда всякий вектор имеет вид
или
.
Следовательно, вектор составляет базис подпространства Vr = Vk Vl .
Так как , то Vs = Vk + Vl не является прямой суммой.
Ответ: базис базис ,
базис Vs = Vk + Vl, ;
базис Vr = Vk Vl, ,
Vs = Vk + Vl не является прямой суммой.
PAGE \* MERGEFORMAT 3