Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
едун В.И. Конспект лекций
Классическая электронная теория проводимости (Теория Друде - Лоренца).
Попытаемся теперь описать наблюдаемые в опытах явления, основываясь на модельных представлениях о среде, проводящей электрический ток.
Модель проводника. Закон Ома.
|
Модель металла: в объеме, созданном положительными ионами (ионной решеткой), находятся свободные электроны, т.е. электроны, которые относительно слабо связаны с ионами кристаллической решетки и могут свободно перемещаться внутри неё. В отсутствие внешнего электрического поля или других |
|
регулярных сил электроны движутся хаотически, причем все направления их движения равноправны. Средняя кинетическая энергия теплового (неупорядоченного) движения электронов
Оценим среднюю квадратичную скорость хаотического движения электронов при комнатной температуре ():
Включая электрическое поле, мы обеспечиваем появление регулярной силы, действующей на электрон
Движение электрона в действительности очень сложное, т.к. упорядоченное движение накладывается на хаотическое. При этом важную роль играет взаимодействие электронов с решеткой. Полная скорость электрона складывается из скоростей хаотического и упорядоченного движения (скорость дрейфа
Обычно .
Классическая механика описывает это движение уравнением Ньютона:
Здесь – сила, действующая на электрон со стороны ионов при столкновениях с ними. Столкновения между электронами можно не принимать во внимание, т.к. они не влияют на количество движения всей электронной подсистемы.
Рассмотрим слагаемые, входящие в уравнение (1.16).
Усредняя по всем электронам, получим
Если все направления равноправны, и вместо появится средняя сила взаимодействия электронов с ионами решетки, под действием которой электроны теряют энергию, приобретенную в электрическом поле. В отсутствие дрейфового движения обращается в нуль, но при наличии дрейфа это не так.
В то же время нас интересует только упорядоченное движение зарядов – электрический ток, поэтому сложную картину передачи энергии от электрона ионам (влияние ) заменим более простой (приближенной) моделью. А именно: электрон ускоряется под влиянием внешнего поля в течение времени , затем сталкивается с атомом (ионом) решетки и передает ему всю приобретенную в электрическом поле энергию. А затем вновь разгоняется, сталкивается и т.д.
Здесь время релаксации неравновесного распределения электронов (заряда) к тепловому равновесию с кристаллической решеткой, оно характеризует скорость возвращения к этому равновесию. С другой стороны, имеет смысл среднего времени между столкновениями ( также называют средним временем свободного пробега), т.е. времени в течение которого электрон ускоряется электрическим полем:
где - средняя длина свободного пробега, а - средняя скорость беспорядочного движения.
Тогда перемещение, совершаемое электроном под действием внешнего электрического поля от столкновения до столкновения, равно
Средняя скорость дрейфа
Заметим, что скорость упорядоченного движения обратно пропорциональна частоте соударений и будет уменьшаться с ростом температуры.
Плотность тока равна
Вводя обозначение , получаем закон Ома в дифференциальной форме
Проводимость прямо пропорциональна концентрации носителей, квадрату заряда и обратно пропорциональна корню квадратному из температуры.
Для характеристики проводящих сред вводится понятие подвижности, как отношение скорости дрейфа носителя к напряженности электрического поля:
При этом подвижность имеет смысл скорости дрейфа в единичном внешнем электрическом поле.
Получаем связь между подвижностью и проводимостью:
откуда
Опыт дает для подвижности электронов в металлах: () м2/Вс (в системе СИ). Отсюда следует, что скорость дрейфа электронов в металлах значительно меньше средней скорости их теплового движения. Если имеется несколько сортов носителей, то каждый из них характеризуется своим значением подвижности . Проводимость такой среды равна
Закон Джоуля-Ленца.
Опытным путем было установлено, что с прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты. Этот эффект проявляется в нагревании проводника.
В рамках используемой нами модели механизм наблюдаемого явления достаточно прост: носители тока в результате работы сил внешнего электрического поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют её на возбуждение колебаний решетки при столкновении с её узлами-атомами. Наша задача – найти количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в единичном объеме проводника.
Итак, за время электрон набирает максимальную скорость и приобретает кинетическую энергию, равную
|
, |
и полностью передает её решетке при столкновении с атомом, расположенном в её узле.
Частота столкновений каждого электрона проводимости с атомами кристаллической решетки определяется обратным временем свободного пробега: . Если концентрация носителей в проводнике , то полное число соударений электронов с решеткой в единицу времени в единице объема проводника:
Следовательно, в рамках принятой модели выделяемая теплота в единице объема за единицу времени, т.е. объемная плотность тепловой мощности составляет
Т.о., получаем закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
Мощность тепла, выделяемого в единице объема проводника, пропорциональна квадрату плотности электрического тока и обратно пропорциональна удельной проводимости.
Примечание: переход к обычной записи закона осуществляется интегрированием полученного выражения по объему провода
|
, |
где поперечное сечение провода, элемент длины и сопротивление рассматриваемого участка провода.
Закон Видемана-Франца.
Классическая теория смогла объяснить еще один результат – связь между электропроводностью и теплопроводностью металлов. Полученный результат парадоксален, поскольку классические о свойствах металлов не должны были обеспечивать согласия с опытом. И хотя классический вывод этого соотношения неверен, сам результат оказался правильным, поэтому мы приведем его.
Металлы – хорошие проводники не только электричества, но и тепла. Согласно принятой нами модели электричество и тепло в металлах переносят одни и те же частицы, т.е. основной механизм теплопроводности должны обеспечивать квазисвободные электроны. При этом роль ионов в переносе тепла пренебрежимо мала. Применяя к электронной теплопроводности формулы кинетической теории газов (см. II семестр), можем записать
|
, |
где коэффициент теплопроводности, - число степеней свободы системы.
или
Здесь - плотность электронного газа, , и длина свободного пробега, - теплоемкость в расчете на один электрон.
Электропроводность, как было получено выше,
|
. |
Тогда получаем отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности проводника равным
|
, |
и, т.к. и , то
|
. |
Эта формула была получена Друде, без учета распределения электронов по скоростям.
Опыт показывает, что для всех металлов отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности действительно имеет одно и то же значение, что и выражает закон Видемана-Франца:
|
. |
Приведенное выражение дает хорошее согласие с опытом. Однако, как уже отмечалось, это согласие является случайным, хотя бы потому, что, получая это соотношение, мы не учитывали максвелловское распределение электронов по скоростям. Лоренц ввел соответствующую поправку и получил численный коэффициент «2» вместо «3», что, однако, только ухудшило согласие с экспериментом.
Т.о., здесь уже начали проявляться трудности классического описания. Квантовая теория Зоммерфельда дала коэффициент , что практически совпадает с «классикой».
Недостатки классической теории.
Классическое описание наглядно и дает правильные зависимости, выражаемые законами Ома, Джоуля-Ленца, Видемана-Франца. Однако оно не приводит к правильным количественным результатам.
Расхождения.
1) Чтобы получить правильные значения электропроводности , необходимо принимать очень большие значения длины свободного пробега электронов, на три порядка превышающие межатомные расстояния что не находит убедительного объяснения в классической физике.
В теплоемкость металлического проводника, согласно «классике», аддитивный вклад вносят электронный газ и решетка , что в сумме дает , и что не находит подтверждения в эксперименте.
Квантовая трактовка.
|
Квантовая физика допускает дуализм в поведении микрочастиц, т.е. приписывает им волновые свойства, позволяющие «обтекать» атомы без столкновений, что приводит к увеличению длины свободного пробега электронов. |
|
Распределение электронов по энергиям подчиняется статистике Ферми-Дирака.
В образовании электронной теплоемкости участвует лишь малая часть электронов, имеющих энергии вблизи уровня Ферми, поэтому электронный газ не вносит существенного вклада в теплоемкость. Квантовая физика предсказывает для температурной зависимости теплоемкости , что и наблюдается в эксперименте.
В различных средах – твердых телах, жидкостях, газах, вакууме – реализуется различный механизм проводимости. При сверхнизких температурах (ниже ) в металлах наблюдается явление сверхпроводимости, открытое еще в начале века. Однако в конце 80-х годов была обнаружена сверхпроводимость вплоть до температур , причем на керамических материалах. Подобные явления уже никак не вписываются в картину представлений классической физики, а являются прерогативой физики квантовой.
6