а Элементы функционального анализа Что называется метрическим пространством Привести пример ме
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Мат. анализ, 2 семестр
Вопросы по теории
Часть 2(а)
Элементы функционального анализа
- Что называется метрическим пространством? Привести пример метрического пространства.
- Что называется нормированным пространством? Привести пример нормированного пространства.
- Докажите, что любое нормированное пространство является метрическим.
- Приведите пример метрического пространства, не являющегося нормированным пространством.
- Что называется скалярным произведением?
- Что называется евклидовым пространством? Приведите примеры евклидового пространства.
- Докажите, что любое евклидово пространство является нормированным.
- Что называется открытым (замкнутым) n-мерным шаром? параллелепипедом? симплексом?
- Что называется -окрестностью точки в n-мерном пространстве?
- Какая точка в n-мерном пространстве называется внутренней? внешней? граничной?
- Какое множество n-мерного пространства называется открытым? замкнутым?
- Какая точка в n-мерном пространстве называется предельной точкой? Какие точки (внутренние, внешние, граничные, изолированные) будут предельными?
- Критерии замкнутости множества n-мерного пространства (два утверждения).
- Какое множество n-мерного пространства называется ограниченным?
- Что называется непрерывной кривой в n-мерном пространстве?
- Какое множество n-мерного пространства называется связным?
- Какое множество n-мерного пространства называется областью? Привести пример.
- Что называется покрытием множества в n-мерном метрическом пространстве?
- Какое множество называется компактным? Приведите примеры компактных множеств.
- Сформулируйте критерий компактности.
Функции нескольких переменных
- Сформулируйте определение и приведите примеры функций нескольких переменных.
- Что называется пределом функции нескольких переменных? (определение по Коши)
- Что называется пределом последовательности точек n-мерного пространства?
- Докажите, что последовательность точек n-мерного пространства сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности координат.
- Какая последовательность точек n-мерного пространства называется фундаментальной?
- Докажите, что последовательность точек n-мерного пространства фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности координат.
- Сформулируйте и докажите критерий Коши сходимости последовательности точек n-мерного пространства.
- Какая последовательность точек n-мерного пространства называется ограниченной?
- Сформулируйте аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса для n-мерного пространства. Какова идея доказательства?
- Сформулируйте определение предела функции по Гейне.
- Закончите предложение: «Определения предела функции по Коши и по Гейне…» Что под этим термином понимается?
- Сформулируйте критерий Коши существования предела функции n переменных.
- Что называется повторными пределами? Приведите примеры.
- Сформулируйте теорему о существовании повторных пределов функции двух аргументов.
- Какая функция нескольких переменных называется непрерывной в точке? (определение на основе пределов)
- Какая функция нескольких переменных называется непрерывной в точке? (определение Коши)
- Какая функция нескольких переменных называется непрерывной в точке? (определение Гейне)
- Какая функция нескольких переменных называется непрерывной на множестве? Какая функция нескольких переменных называется непрерывной по переменной?
- Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции нескольких переменных.
- Сформулируйте две теоремы Вейерштрасса для функции нескольких переменных.
- Какая функция нескольких переменных называется равномерно непрерывной? Сформулируйте теорему Кантора о функции, непрерывной на компакте.