Шпаргалка геометрия

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов. Может ли ряд , расходящийся в точке , сходиться при ?

Если степенной ряд a0+a1x+a2x+…+anxn+… сходится при некотором х=х0, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x0|; Если ряд a0+a1x+a2x+…+anxn+… расходится при некотором х=х1, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x1|

Данный ряд, расходящийся в точке -2 не может сходиться при х=3, т.к. |-2|<|3| следовательно согласно теореме Абеля ряд в точке х = 3 сходится, и притом абсолютно.

Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите сумму ряда при .

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда: пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд: f(x) = a0+a1x+a2x2+…+anxn+…(1). Рассмотрим степенной ряд: a1+2a2x+…+nanxn-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:

ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).
на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f,(x), которая разлагается в степенной ряд (2).

∑nxn=x∑nxn-1=x∑(xn)’=x/(1-x)2

∑xn=x/(1-x) |x|<1 – сходится

∑nxn-1=(x/1-x)’=(1-x+x)/1/(1-x)2

Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция разлагается в ряд Маклорена на любом интервале .

Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х(-R, R)<M, n=0,1,2,… , то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x). Имеем: (sinx)’=cosx; (sinx)’’=-sinx, (sinx)’’’=-cosx, (sinx)(4)=sinx. Отсюда видно, что последовательность производных функции sinx периодична с периодом 4. При х=0 получаем sin0=0, sin’(0)=1, sin’’(0)=0, sin’’’(0)=-1 В общем случае все производные четного порядка равны 0, а нечетного sin(2т+1)(0)=(-1)nОтсюда ряд Маклорена для sinx:Sinx=x-(x3/3!)+(x5/5!)-…+(1)n(x2n+1/(2n+1)!)+…

Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х(-R, R)<M, n=0,1,2,… , то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x). Пусть f(x)=ex. В любом интервале (-r;r) имеем |f(n)(x)|= ex<er. В силу признака Даламбера отсюда следует, что функция еч равна сумме своего ряда Маклорена при хϵ(-r;r), а значит, и для любого х ввиду произвольности r. Поскольку f(n)(0)=e0=1 при любом n, получаем разложение ex=1+x+(x2/2!)+(x3/3!)+…+(xn/n!)+… справедливо для всех х.

Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите разложение функции в ряд Маклорена, исходя из разложения функции .

ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).
на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f,(x), которая разлагается в степенной ряд (2)

ряд для cosx получается почленным дифференцированием ряда Sinx=x-(x3/3!)+(x5/5!)-…+(-1)n(x2n+1/(2n+1)!)+…

(Sinx)’=x’-(x3/3!)’+(x5/5!)’-…+((-1)n(x2n+1/(2n+1)!))’+…

Cosx=1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)n(x2n/(2n!)

Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения

Проверить, что функция

Найдем первую и вторую производные заданной функции:

Подставим полученные значения в уравнение:

- верно

Что и требовалось проверить

Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи ,

Если в некоторой окрестности точки (х0;у0) функция f(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х0;у0), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.

Подставим в исходное:

Запишем общее решение:

Подставим значения условий для задачи Коши

Ответ: с=3 и у= -3х.

Какое решение дифференциального уравнения называется особым? Найдите особое решение уравнения .

Особое решение дифференциального уравнения – это некоторая интегральная прямая уравнения, состоящая из особых точек.

Практика:

Решение уравнения, но есть особые решения при y(x)=0.

Дайте определение и приведите пример дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Приведите уравнение к виду уравнения с разделенными переменными. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Проверим на однородность функцию:

=> однородны.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Дайте определение и приведите пример автономного дифференциального уравнения. Сформулируйте свойство решений автономного уравнения.

Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида :y’=g(y).

Замечание: Если у*- корень уравнения g(y)=0, то у=у* (у-const) является решением уравнения y’=g(y). Такое решение называется стационарным.

Теорема: Если у=фи(х) – решение автономного дифференциального уравнения, то у=фи(х+С) также является решением этого уравнения.

Пример: y’=cos(2y+2x+6). Делая замену z=2y+2x+6, находим z’=2y’+2. Следовательно, z’=2cosz+2, или z’=4cos2z/2.

Дайте определение уравнения Бернулли. Приведите пример.

Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yn (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли. Пример: y’-y=e6x/y2. Решение: n=-2. Выполним замену z=y3, получим z’=3y2y’. Далее решаем полученное уравнение: z’-3z=3e6x

Дайте определение и приведите пример линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докажите, что если и – решения линейного неоднородного уравнения, то разность является решением соответствующего линейного однородного уравнения

Линейным уравнением второго порядка называется уравнение y”+p(x)y’+q(x)y=b(x). Пример y”+5y’+6y=4sin(x).

Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл

Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл

Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл

Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.

Дайте определения системы линейно зависимых и системы линейно независимых функций. Установить линейную независимость системы функций , ,.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке.

Установить линейную зависимость системы функций , , . Пусть функции линейно независимы , тогда составим определитель Вронского:

Данные функции линейно зависимы так первую функцию можно представить в виде линейной комбинации двух других 2= 1*(x+1)+(-1)+(x-1), соответственно можно подобрать такие α1,α2,α3 при которых верно равенство: α1*y1+α2*y2+α3*y3=0

1*(x+1)+(-1)*(x-1)+(-1)*2=0

Докажите, что сумма частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка и общего решения соответствующего однородного уравнения является общим решением линейного неоднородного уравнения второго порядка. Общее решение неоднородного уравнения L(y)=f(x)есть сумма частного решения ‾у(х) этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения L(y)=0. Доказательство: Покажем сначала, что сумма у(х) частного решения уравнения неоднородного уравнения ‾у(х)и произвольного решения у0(х) однородного уравнения также является решением неоднородного уравнения. Действительно, в силу леммы имеем L(‾y+y0)=L(‾y)+L(y0)=f(x)+0=f(x), что и требовалось доказать. Теперь нам осталось доказать, что всякое решение у(х) неоднородного уравнения есть сумма ‾у(х) и некоторого частного решения у0(х) уравнения L(y)=f(x). Имеем L(у-‾y)=L(y)-L(‾y)=f(x)-f(x)=0.Следовательно, у0(х)=у(х)-‾у(х) – решение уравнения L(y)=0, значит, у(х)=у0(х)+‾у(х), что и завершает доказательство.

Возьмем ур-е (1): . Решением ур-я(1) будет сумма частного и общего решения однородного ур-я .

Док-во. Тогда имеем *: . Возьмем любое решение ур-я (1)**:

Вычтем их ** уравнение *, получим: ЧТД

Докажите, что линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка также является решением этого уравнения. Пусть у1(х) и у2(х),….,ук(х) – произвольные решения линейного однородного дифференциального уравнения и С1, С2,….,Ск – произвольные постоянные, тогда линейная комбинация С1у1(х)+С2у2(х)+….+Скук(х) также является решением этого уравнения. Действительно, на основании L(C1y1+C2y2)= C1L(y1)+C2L(y2), имеем: L(C1y1+C2y2+….+Ckyk)=C1L(y1)+C2L(y2)+…+CkL(yk)=0 что и требовалось доказать.
Докажите, что общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация фундаментальной системы решений этого уравнения.

Пусть у1(х),……, уп(х) – фундаментальный набор решений уравнения L(y)=0, тогда общее решение этого уравнения задается формулой: y=C1y1+…+Cnyn. Доказательство. То, что функция у(х), определяемая формулой

С1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Скук(х0)=0

С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сkу’k(х0)=0

………………………………………………

С1у1(k-1)(х0)+С2у2(k-1)(х0)+…..+ Сkуk(k-1)(х0)=-0

Является решением уравнения L(y)=0, следует из С1у1(х)+С2у2(х)+….+Скук(х). Покажем теперь что любое решение ѱ (х) уравнения L(y)=0 представимо в виде линейной комбинации функций у1,…,уп. Зафиксируем некоторую точку х0. Введем следующие обозначения ѱ(х0)=у0, ѱ’(x0)=y’0, …., ѱ(n-1)(x0)=y0(n-1) рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

С1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Сnуn(х0)=y0

С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сnу’n(х0)=y0

………………………………………………

С1у1(n-1)(х0)+С2у2(n-1)(х0)+…..+ Сnуn(n-1)(х0)=y0(n-1)

Определителем этой системы является определитель Вронского для функции у1,…уп в точке х0. Ввиду линейной зависимости этих функций данный определитель не равен нулю. Следовательно, у системы

С1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Сnуn(х0)=y0(1.1)

С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сnу’n(х0)=y0

………………………………………………

С1у1(n-1)(х0)+С2у2(n-1)(х0)+…..+ Сnуn(n-1)(х0)=y0(n-1)

Существует решение (‾С1, ‾С2,….,‾Сп). Тогда функция у(х)=‾С1у1(х)+‾С2у2(х)+…+‾Спуп(х), как это вытекает из (1.1), удовлетворяет тем же начальным условиям. В силу единственности решения задачи Коши имеем ѱ(х)=у(х), т.е. ѱ(х) есть линейная комбинация функции у1,…уп. теорема доказана.

Записать общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами , если соответствующее характеристическое уравнение имеет корень λ второй кратности.

Записать общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами , если корни характеристического уравнения λ1 , λ2 вещественные и различные.

Записать общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в вещественной форме, если корни характеристического уравнения λ1 , λ2 комплексные.

Написать частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения (числовых значений коэффициентов не находить):

Характеристическое уравнение для имеет вид:

α=0, n=2

α=0 является корнем характеристического уравнения, значит

Написать частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения (числовых значений коэффициентов не находить):

Характеристическое уравнение для имеет вид:

λ2 - 2λ – 8=0

λ1 = 4, λ2 = -2 - по теореме, обратной теореме Виета

α=4, n=1

α=4 является корнем характеристического уравнения, значит

Написать частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения (числовых значений коэффициентов не находить):

Характеристическое уравнение для имеет вид:

λ2 - 8λ – 20=0

D = 64 – 4*20 = -16 = 16i2

λ1 = 4 + 2i

λ2 = 4 – 2i

α=4, β=2, m1=m2=0

α + iβ = 4+2i является корнем характеристического уравнения, а m = max(m1, m2) = 0, значит

Исследовать ряд на сходимость-расходимость в зависимости от значения параметра α

Данный ряд расходится при и сходится при . Докажем это утверждение, согласно интегральному признаку:

()

при

Доказать, что если ряд an – сходится, а ряд bn – расходится, то их сумма an+bn будет расходиться.

Ряд an:Sn = a1+a2+…+an

Ряд bn:

Ряд an+bn:(

1. Чтение. Понимание фактического содержания прочитанного незнакомого текста после предварительной подготовки, с опорой на вспомогательные слова
2. Биогеоценоз это-b сообщество растительности животного мира микроорганизмов и среды их обитания Биос
3. Межотраслевое управление
4. на тему Справочноправовые системы- понятие назначение принцип работы Выполнил- студент 5го курса э
5. З ІСТОРІЇ УКРАЇНИ Головні історичні регіони України
6. Задачи, деятельность эксперта в системах моделирования
7. Вятский государственный гуманитарный университет ВятГГУ Филиал ВятГГУ в г
8. Директор заводу і голова профспілкового комітету склали проект колективного договору який було передано
9. тематичного сподівання середньоквадратичного відхилення і коефіцієнта варіації
10. Статья- Проблема беспрепятственной эвакуации людей из высотных зданий и пути её решения
11. Пищевые и биологически активные стабилизаторы
12. а водяного пара и примесей
13. Криминологическая характеристика лиц совершивших налоговые преступления
14. Археологические исследования на территории Дагестана
15. З КУРСУ ПСИХОЛОГІЧНЕ КОНСУЛЬТУВАННЯ Освітньокваліфікаційний рівень- спеціаліст Галузь
16. Научноисторические основы изучения проблемы дисциплины школьников.html
17. і 0 Аспанда~ы ж~лдыздарды санайды
18. Евро грец. ~ офіційна валюта 17 з 28 держав Європейського Союзу відомих також як Єврозона рідна для
19. і Вони а також незалежно від них Ральф Меркл розробили основні його поняття у 1976 році
20. Конфуцианство в Китае

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе