Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М1, М2, Мi, Mn, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством
rc = ∑miri/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид
mi d2ri/dt2 = PiE + PiJ ; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:
∑mi d2ri/dt2 =∑ PiE + ∑ PiJ (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (rc = ∑miri/m) получаем: ∑mi d2ri/dt2 = d2/dt2 * ∑mi ri = d2/dt2 * (mrc) = md2rc/dt2. Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение (а) приобретает вид: md2rc/dt2 = ∑PiE = RE или
maC = ∑ PiE = RE (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.
Проецируя на оси x, y, z – mxC = ∑ XiE = XE
2. Теорема о моментах инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Допустим, что задана ось Oz1. Для доказательства теоремы проведём через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz1, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz1 (рис а, в). Обозначим d – расстояние между осями Cz и Oz1. для вычисления моментов инерции тела относительно осей Cz и Oz1 опустим из каждой точки Mi рассматриваемого тела перпендикуляры ri и hi на оси Cz и Oz1. Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:
ri2 = xi2 + yi2, hi2 = xi2 + (yi – d)2 = xi2 + yi2 + d2 – 2yid = ri2 + d2 – 2yid. (a)
Определим моменты инерции тела относительно осей Cz и Oz1:
JCz = ∑ miri2, Jz1 = ∑ mihi2.
Применив зависимость (а): Jz1 = ∑ miri2 + ∑ mid2 – 2∑miyid. (в)
Здесь ∑ mi = m. – масса тела. Из формулы yc = ∑ miyi/m, получим:
∑ miyi = myc, так как yc = 0, то ∑miyi = 0. Подставляя это значение в равенство (в), получаем зависимость, установленную теоремой:
Jz1 = Jcz + md2 . (г). Формула (г) показывает, что из совокупности паралельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент тв. тела относительно центра масс: Jc = ½ * (Jcx + Jcy + Jcz). Отсюда следут, что ценр масс тела явл. полюсом, относительно которго полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.
Воспользуемся формулой (г) для установления зависимости между радиусами инерции твёрдого тела icz и iz1 относительно осей Cz и Oz1.
Jz1 = miz12, Jcz = micz2, тогда miz12 = mcz2 + md2, откуда iz12 = icz2 + d2.
3. Теорема об изменении количества движения механической системы.
Изменение количества движения мех. сис. за некотрый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил приложенных к системе за тотже промежуток времени.
K = ∑ mкυк; K = ∑ mкdrк/dt = d/dt * ∑mкrк = d/dt * mrc = mdrc/dt = mυc => K = mυc. Найдём призводную: dK/dt = d(mυc)/dt = mdυc/dt = mac
Но из теоремы о движении ценра масс мех. сис. mac = RE = ∑ PкE; dK/dt = ∑ PкE. Проинтегрируем это выражение: ∫к1к2 dK = ∫t1t2∑PкEdt;
k2-k1=∑SкE – ч.т.д.
6. Теорема о работе силы.
Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.
Предположим, что точка приложения постоянной по модулю и напрвлению силы Р получает совокупность последовательных перемещений u1, u2, …, un (рис выполнен для n = 3). Результирующее перемещение точки М: u = u1 + u2 +…+un. Работа силы Р на этом перемещении определяется по формуле: A = Pu = P(u1 + u2 +…+un). полученная сумма представляет собой сумму работ силы на составляющих перемещениях. Т.о., A = A1 + A2+…+ An.
На основании этой теоремы при вычислении работы постоянной силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным. При u = 0, т.е. в случае замкнутого контура, работа постоянной силы = 0.
u2 M2
M1
u3
u1 P
M3
u
8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил. Для этого разделим силы .действующие на точки М1, М2, М3, …, Мn, на внешние силы P1E, Р2Е, …, РiE, …, РnЕ и внутрение силы P1J, P2J, PiJ, …, PnJ. Применим к движению каждой точки Мi теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка Мi перемещается из Мi(1) в Mi(2), причём скорость её изменяется от υi(1) до vi(2) (рис.).
Тогда по уравнению mυ22/2 – mυ12/2 = ∑ Ai для каждой материальной точки
(miυi2 (2) / 2) – (miυi2 (2) / 2) = AiE + AiJ , (i = 1, 2, …, n),
где AiE - работа силы РiE и AiJ - работа силы PiJ на перемещении Мi(1) Mi(2). Просумируем левые и правые части составленных n равенства: (∑(miυ2i / 2))2 – (∑(mi υi2 / 2))1 = ∑AiE + ∑AiJ.
Согласно T = ∑Ti, (∑(miυi2 / 2)) = T1 – кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(miυi2 / 2))2 = T2 – кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,
T2 - T1 = ∑AiE + ∑AiJ. (a)
Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.
Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑AiJ = 0.
Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид
T2 - T1 = ∑AiE,
т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.
υi(2)
Mi(2)
Mi
υi(1) PiJ
PiE
Mi(1)
9. Определение динамических реакции при вращении тв. тела вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим тв. тело под действием приложенных к нему внешних сил Р1Е, Р2Е,…, РnE. Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, приложим к каждой точке тела Мк силу инерции Фк. При неравномерном вращении эта сила состоит из Фкω – вращ. и Фкε – центроб. состояния силы инерции. Применим принцип освобождения от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакции. На основании принципа Даламбера все силы должны удовлетворять уравнению:
PE + RA + RB + ФA = 0,
MAE + MARA + MARB + MAФA = 0
Или спроецируем на оси координат: получим новую систему линейных уравнений:
∑ xкE + xA + xB + ∑ Pкx = 0
∑ yкE + yA + yB + ∑ Фкy = 0
∑ zкE + zA = 0
∑ MкxE – yBh + ∑ MФкx = 0
∑ MкyE + xBh + ∑ MФкy = 0
∑ MкzE + ∑ MкФ = 0
10. Вывод общего уравнения динамики.
Если система получит возможное помещение при котором каждая точка имеет возможное перемещение δSк, то сумма работ этих сил на перемещении δSк должна быть равна 0.
Pk δSк cos(Pk, δSк) + Rk δSк cos(Rk, δSк) + Фк δSк cos(Фк, δSк) = 0,
(k = 1, 2, …, n). Просуммируем все n уравнения:
∑ Pk δSк cos(Pk, δSк) + ∑ Rk δSк cos(Rk, δSк) + ∑ Фк δSк cos(Фк, δSк) = 0
Положим, что связи в рассматриваемой мех. сис. двухстороннеидеальные тогда ∑ работ рекции связи = 0, тогда
∑ Pk δSк cos(Pk, δSк) + ∑ Фк δSк cos(Фк, δSк) =0
11. Вывод уравнения Лагранжа 2 рода.
Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq1 (δ/ δt *( δT/ δq1) – δT/ δq1 -Q1) + δq2(δ/ δt - δT/ δq2 – δT/ δq2 – Q2) + … + δqS(δ/ δt - δT/ δqS – δT/ δqS - QS) = 0
Где q1, q2,…, qS – обобщённые координаты, q1, q2,…, qS - обобщённые скорости, δq1, δq2,…, δqS - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,
Q1, Q2,…, QS - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq1, δq2,…, δqS в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.
δ/ δt *( δT/ δq1) – δT/ δq1 = Q1 } – уравнение Лагранжа 2 рода.
δ/ δt *(δT/ δq2) – δT/ δq2 = Q2 }
5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точки Mi тело относительно оси z: где Liz = miυizi (a), ri - радиус окружности описываемой точкой Mi ; υi = ri ω - алгебраическая величина вращательной скорости точки Mi. Подставляя в (а) это значение υi , получаем Liz = miri2ω. Кинетический момент твердого тела относительно оси z: Здесь Lz = ∑ Liz = ∑ miri2ω = ω∑ miri2, ∑ miri2 = Jz - момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Таким образом,
Lz = Jzω (в) т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.
Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P1E, P2E,…, PnE
Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:
dLz /dt = ∑ MizE (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): Lz = Jzω = Jzφ , то dLz/dt = Jzφ, а потом уравнение (г)принимает вид: Jzφ = ∑ MizE (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.
12. Динамические давления в гироскопе.
Пользуясь теоремой Резаля и формулой u = Lcω1 = J ζωω1, получаем
MCE = u = Jζωω1, тогда динамические реакции подшипников
RAдин = RBдин = Jζωω1/AB
Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.
PAдин = -RAдин; PBдин = -RBдин; PAдин = PBдин = Jζωω1/AB
2. Диф. уравнение движения свобод. мат. точ. в декарт.
mx = ∑ Pкx }; my =∑ Pкy }; mz =∑ Pкz }
3. Естественные уравнения движения мат. точки.
0 = ∑ Pко
md2s/ dt2 = ∑ Pi cos (Pi, τ);
mυ2/ρ = ∑ Pi cos (Pi, n).
8. Диф. уравнение свободных колебаний мат. т. и уравнение гармон. колебательного движения точки.
x + k2x = 0 - Диф. уравнение свободных колебаний мат.
x = A sin(kt+β) - уравнение гармон. колебательного движения точки.
9. Амплитуда и т.д для свободных колебаний.
A = √x2o + (x0/k)2.
10. Диф. уравнение затухающих колебаний.
x + 2nx + k2x = 0 - Диф. уравнение.
x = Ae-nt sin (√k2 – n2t + β);
x = Ae-ntsh (√n2 – k2t + β) – апериодическое уравнение.
11. Период затухающих колебаний, декремент и т.д.
T* = T/√1 – (n/k)2;
e-nT*/2 – декремент, -nT*/2 – логарифмич. декрмент.
n = α/2m – коэф. затухания. k* = √k2 – n2
12. Диф. уравнение вынужден. кол.
x + k2x = hsin (pt + δ)
13. Амплитуда и фаза вынуж. кол.
p<k, pt + δ – фаза
AB = h/(k2 – p2)
p>k, pt + δ – π
AB = h/(p2 – k2).
14. Движение при резонансе.
x + k2x = h sin (kt + δ),
или x = C1 cos kt + C2 sin kt - h/(2k)*t cos (kt + δ).
15. Основное уравнение динамики относительного движения.
mār = ∑Pi + Фе + Фс
17. Принцип относительности.
Никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения.
19. Формулы, определяющие центр масс системы.
xc = ∑mixi/m, yc = ∑m=yi/m, zc = ∑mizi/m
21. Моменты инерции твёрдого тела.
Моментом инерции твёрдого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.
JyOz = ∑mixi2; JzOx = ∑miyi2; JxOy = ∑mizi2.
Моментом инерции твёрдого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.
Jx = ∑mi (yi2 + zi2); Jy = ∑mi (zi2 + xi2); Jz = ∑mi(xi2 + yi2).
Моментом инерции твёрдого тела относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.
Jo = ∑miri2 = ∑mi (xi2 + yi2 + zi2).
22. Радиус инерции.
Момент инерции твёрдого тела относительно заданной оси, например
оси z, можно представить в виде произведения массы тела на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси: Jz = miz2, где m – масса тела, iz2 – радиус инерции относительно оси z.
23. Момент инерции стержня и диска.
Определим момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси Сy , проходящей через центр масс стержня.
JCy = ml2/12 .
Момент инерции диска:
JCz = mR2/2, JCx = JCy = mR2/4.
24. Дать понятие импульса постоянной и переменной силы.
Если постоянная по модулю и направлению сила Р действует на тело за промежуток времени τ = t2 – t1, то её импульсом за этот промежуток времени является вектор Š = Pτ.
Чтобы найти импульс переменной силы P = P(t) за промежуток времени
t2 – t1 этот промежуток разбивает на n элементарных промежутков Δtк и определяют элементарных импульсов сила за эти промежутки. ΔŠк = РкΔtк
25. Импульс равнодействующей сил.
Š = Š1 + Š2 +…+ Šn
в проекциях Šx = Š1x + Š2x +…+ Šnx
Šz, Šy =…………………..
26. Теорема об изменении количества движения в конечной и диф. форме.
ma = mdυ/dt = d(mυ)/dt =P - в диф. форме.
mυ2 – mυ1 = ∑ Ši – в кон. форме.
27. Количество движения мех. системы.
Количеством движения мех. сис. наз. вектор, равный геометр. сумме (главному вектору) количеств движения всех мат. точ. этой сис.
K = ∑miυi
28. Закон сохранения количеств движения системы.
Если внешие силы отсутствуют или главный вектор внешних сил, действующих на мех. сист. равен 0, то кол –во движения мех. сис. остаётся постоянны по модулю и направлению и равным своему нач. знач.
29. Момент колич. движения мат. т. относительно центра.
Моментом кол. движ. mυ мат. точки М относительно неподвижного центра О называется вектор lo = mυh, где h – плечо вектора mυ относительно центра О.
Моментом количества движения мех. сис. относительно даного центра О называется векторная величина Lo, = геометр. сумме моментов количеств движения всех мат. т. системы относительно центра О: Lo = ∑m0(mkυk) =
= ∑rk mkυk
31. Закон сохранения кинетического момента мех. сис.
закон сохранения кинетич. момента сис. относительно центра:
если главный момент внешних сил, действующих на сис. относительно неподвиж.центра = 0, то кин. момент системы относительно неподвижного центра остаётся постоянным по модулю и направлению.
32. Диф. уравн. поступ. движ. тв. тела.
mxc = ∑XiE = XE; myc = ∑ YiE = YE; mzc = ∑ZiE = ZE.
33. Диф. уравн. плоского движения.
mxc = ∑XiE = XE; myc = ∑ YiE = YE; dLζr/dt = ∑MiζE = MζE, где Lζr – кинет. мом. тела относительно оси ζ.
35.Мощность силы.
Отношение работы произведённой силой F к приложенному промежутку времени наз. мощностью: W = dA/dt = F*dr/dt = Fυ; т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.
36. Как определяется работы силы тяжести, кода она больше или меньше 0
A = ± mgh или A = mg(z0 – z1). Работа силы тяжести положительна, если начальное положение точки выше конечного, и отрицательна в противоположном случае.
37. Работа сил упругости.
A = -c/2*(x12 – x02). Работа силы упругости будет положительна, когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательная, когда конец пружины удаляется от равновесного положения.
38. Теорема об изменении кин. энергии мат. точки в кон. и диф. форме.
mυ22/2 – mυ12/2 = ∑Ai – кон. форма. Изменение кинетической энергии мат. точки на некотором её перемещении = алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом перемещении.
d(mυ2/2) = ∑δAi – дифференциал кин. энерг. м. т. равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точке.
39. Работа внутренних сил, приложенных к твёрдому телу.
Сумма работ твердого тела на любом его перемещении равна 0.
AJ = 0.
40. Кинет. энергия мат. точ. и мех. сист.
Кинетическая энергия мат. точ. равна половиен произведения массы точки на квадрат её скорости: T=1/2*mυ2;
Кинет. энер. мех. сис. равна сумме кинет. энергий всех мат. точ. системы: T =∑Tк = 1/2*∑mк υк2
41. Формулы определяющие кин. энер. т.тела при пост, вращ, и плос. движ
Пост. движ. – T = 1/2* mυ2.
Вращ. вокруг неподвижной оси. – T = 1/2*Jzω2.
Плоское – T =1/2* mυ c2 + 1/2*Jczω2.
42. Понятие силового поля и его разновидности.
Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени. Силовое поле. силы которого не зависят от времени, называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: Xi=∂υ/∂xi; Yi=∂υ/∂yi; Zi = ∂υ/∂zi.
43. Дать понятие силовой функции и потенциальной энергии.
функцию - U = U(xi, yi, zi, x2, y2, z2,…, xn, yn, zn) наз. силовой функцией.
Потенциальная энергия системы в любом данном её положении = равна сумме работ сил потенциального поля, приложенных к её точкам на перемещение системы из даного положения в нулевое.
44.Элементарная работа и работа на конечном перемещении мех. системы под действием сил потенциального поля.
δA = dU. Элементарная работа = полному дифференциалу силовой функции:
A1, 2 = ∫(1)(2) dU = U2 – U1 – Работа сил поля на конечном перемещении мех. сис. из положения 1 в положение 2.
45. Закон сохранения мех. энерг.
При движении мех. сис. в стационарном потенцциальном поле полная мех. энерг. остаётся неизменной. Т + П = const.
46. Понятие обобщённых координат.
Независимые величины, однозначно определяющие положение точек мех. системы, наз. обобщёнными координатами этой системы.
47. Понятие возможных перемещений.
Возможные перемещениями несвободной мех. сис. наз. воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на сис. связями.
48. Принцип возможных перемещений.
Необходимое и достаточное условие равновесия системы сил, приложенных к мех. сис., подчиненной стационарным двусторонним и идеальным связям, заключается в равенстве 0 суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого её положения.
50. Главный вектор и гл. момент.
∑ Фi = Ф* Главный вектор
∑ Mio Ф = МоФ