Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
30. Резонанс в электромагнитном колебательном контуре. Амплитудная и фазовая характеристики контура.
Вынужденные эл. колебания:
Свободные колеб-я в контуре затухают из-за потерь энергии вследствие выделения тепла на активном сопротивлении. Иначе обстоит дело, если на контур оказывается периодическое внешнее возд-е, например, посредством включения последовательно с эл-тами контура источника переменного напряжения с ЭДС, изменяющейся по з-ну гармонического колеб-я (эпсилон)=(эпсилон0)sin((омега)t). Осн. Дифференциальное ур-е тогда имеет вид L(d2q/dt2)+R(dq/dt)+(1/C)q=(эпсилон0)sin((омега)t).
Аналогичное ур-е из механики: m(d2x/dt2)+b(dx/dt)+kx=f0sin((омега)t) - ур-е движ-я материальн. точки массой m, наход-ся под действием квазиупругой силы f=kx, силы жидкого трения fтр= -b(dx/dt) и периодической вынуждающей силы fx=f0sin((омега)t), где х и 0-индексы.
Заменяя эквивалентные величины ((эпсилон0) -> f0), получим решение ур-я:
x(t)=Asin((омега)t+(фи)) -> q(t)=q0sin((омега)t+(фи)),
где A=f0/(mкорень(((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)) ->
q0=(эпсилон0)/(Lкорень(((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)),
tg(фи)=2(бета)(омега)/ ((омега)^2 – (омега0)^2).
(бета)=R/2L; (омега0)=1/корень(LC) =>
q0=(эпсилон0)/((омега)корень(R^2+(((омега)L – 1/((омега)С))^2)),
tg(фи)=R/((омега)L – 1/((омега)С)).
Зная, как зависит от времени заряд конденсатора, находим силу тока и напряжения на всех эл-тах контура:
I=dq/dt=d/dt[q0sin((омега)t+(фи))]=q0(омега)sin((омега)t+(фи)+П/2),
UR=RI= q0(омега)Rsin((омега)t+(фи)+П/2),
UC=q/C=(q0/C)sin((омега)t+(фи)),
UL=L(dI/dt)= q0(омега)^2Lsin((омега)t+(фи)+П), где R,C,L в левой части- индексы.
Итак, при подключении в колебательный контур послед-но его эл-там источника переменного напряжения в контуре происходят вынужденные эл. колеб-я, при кот. все переменные эл. величины I(t), q(t), UR(t), UC(t), UL(t) совершают гармонические колеб-я, у кот. частота равна частоте источника напр-я, а амплитуды и фазы зависят от параметров контура, а так же от амплитуды и частоты ЭДС источника.
Резонанс – явление, характерное для вынужденных колеб-й, кот. заключается в возрастании амплитуды вынужденных колеб-й при приближении частоты внешнего возд-я (в нашем случае – частоты ЭДС источника напряжения (омега)) к резонансной частоте, зависящей от параметров колебательной с-мы (в нашем случае-параметров R,C,L контура).
Амплитуда силы тока равна: I0=(эпсилон0)/корень(R^2+(((омега)L – 1/((омега)С))^2) (1), т.к.
q0=(эпсилон0)/((омега)корень(R^2+(((омега)L – 1/((омега)С))^2)) и I=dq/dt=d/dt[q0sin((омега)t+(фи))]=q0(омега)sin((омега)t+(фи)+П/2),
где (омега)-круговая частота, (эпсилон)-
I0(омега)->0 при (омега)->0 и при (омега)->(бесконечность), а при((омега)L-1)/(омега)С=0 (т.е. при (омега)рез=1/корень(LC)=(омега0) (2)) достигает максимума I0max=(эпсилон0)/R, т.к. при этих условиях знаменатель минимален.
(рис.1) графики зависимости I0(омега) – резонансные кривые силы тока – для трех значений активного сопротивления R1<R2<R3 при неизменных C,L; кривые, соответствующие большим значениям R, расп-ся ниже, т.к.согласно (1), с ростом R сила тока уменьшается.
Таким образом, согласно (2), резонансная частота (омега)рез для силы тока равна частоте (омега0) свободных незатухающих колеб-й в контуре и резонанс выражен тем отчетливее, чем меньше активное сопротивление контура.
Амплитуда напряжения равна: UC0=(эпсилон0)/(LСкорень(((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)) (3), где С0 в левой части-индекс, т.к.
UC0=q0/C и q0=(эпсилон0)/(Lкорень(((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)).
Функция UC0(омега) всюду положительна, UC0(0)=(эпсилон0), а при (омега)->(бесконечность) UC0->0; для нахождения экстремумов следует приравнять к 0 ее первую производную: dUC0/d(омега)=0. Экстремум ф-и совпадает с экстремумами подкоренного выр-я в знаменателе => (d/d(омега)) (((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)=0 => (омега)=корень((омега0)^2-2(бета)^2) (4). Такой частоте соответствует максимум => (4) определяет резонансную частоту (омега)рез=корень((омега0)^2-2(бета)^2).
(рис.2) графики зависимости UC0(омега) – резонансные кривые силы тока – для трех значений активного сопротивления R1<R2<R3 при неизменных C,L; кривые, соответствующие большим значениям R, расп-ся ниже, т.к.согласно (3), с ростом R растет (бета) => UC0 уменьш-ся.
(омега)рез=корень((омега0)^2-2(бета)^2) => резонансная частота на конденсаторе всегда меньше (омега0) в отличие от резонансной частоты для силы тока, которая равна (омега0). Для представляющих практический интерес контуров с малым затуханием ((бета)<<(омега0)) членом 2(бета)^2 можно пренебречь. У таких контуров резонанс всех переменных электрических величин (q, I, UR, UC, UL, где R,C,L-индексы) достигается практически одновременно при частоте ЭДС источника напр-я, равной часоте свободных незатухающих колеб-й: (омега)рез(примерно равна)(омега0)=1/корень(LC). Наоборот, у контуров с большим затуханием резонансная частота для напр-я на конденсаторе может заметно отличаться от (омега0), а если 2(бета)^2 > (омега0)^2, то резонансная кривая не имеет максимума => резонанс отсутствует (см. R3 на рис.2)