DSMT4 EMBED Eqution3 EMBED Eqution
Работа добавлена на сайт samzan.net:
PAGE 152
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED PBrush
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Выполнение лабораторных работ является обязательной составной частью при изучении дисциплины “Физика”. Настоящая работа по разделу “Механика” составлена в соответствии с программой для технических специальностей вузов. В лабораторном практикуме изложены 16 лабораторных работ, которые нужно выполнить в первом (втором) семестре.
Цель практикума научить применять физические законы, изученные в теоретическом курсе, к решению конкретных практических задач. Также при выполнении лабораторных работ студенты приобретают навыки исследовательской работы, учатся пользоваться современными измерительными приборами и аппаратурой, знакомятся с методами измерений различных физических величин и обработкой полученных результатов.
Описание каждой работы содержит краткий теоретический материал, в котором излагается сущность изучаемого физического явления, затем . подробно раскрывается экспериментальная часть метода, положенного в основу изучения каждого опыта, а также приводится порядок выполнения работы и обработки результатов.
Практикум предназначен для студентов всех специальностей очной формы обучения.
ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
На каждое лабораторное занятие студент должен приносить с собой:
тонкую тетрадь, физический практикум, в котором дано описание выполняемой лабораторной работы, калькулятор, ручку, карандаш, линейку, миллиметровую бумагу для построения графиков
Студент обязан являться в лабораторию подготовленным. К лабораторным занятиям студенты готовятся в часы их самостоятельной работы. Для этого необходимо тщательно изучить описание работы по лабораторному практикуму, ознакомиться по конспекту и учебнику с теоретическим материалом, необходимым для сознательного выполнения работы. В результате студент должен понимать физическую сущность явлений, которые будут изучаться в предстоящем эксперименте; отчетливо представлять те действия, которые необходимо произвести при работе с установками.
Форма отчета выполняемой лабораторной работы должна быть подготовлена заранее дома.
ФОРМА ОТЧЕТА
Отчет каждой работы следует готовить в отдельной тонкой тетради (можно с двумя листами в зависимости от объема работы). Первый лист оформляется как титульный:
|
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» Институт фундаментальной подготовки Кафедра физики–2 Лабораторная работа № __ “Полное название работы” Работу выполнил: студент ______ гр. №__ дата: ______. Принял работу:
|
На следующей странице написать:
1) название работы;
2) цель работы;
3) приборы и принадлежности с их характеристиками;
4) расчетная формула с пояснением обозначений входящих в нее величин;
5) таблицы наблюдений (с учетом числа измерений);
6) вычисление искомой величины;
7) вычисление относительной погрешности в % и абсолютной погрешности;
8) окончательный результат с учетом абсолютной погрешности;
9) построение графиков;
10) выводы.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Погрешности измерений физических величин
Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Измерения разделяют на прямые и косвенные.
При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К таким измерениям относятся измерения длины линейкой, штангенциркулем, микрометром; измерение массы тела, интервалов времени, величины напряжения или силы тока по шкале соответствующего прибора.
При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина определяется вычислением по соответствующей формуле. Конкретная формула включает в себя ряд параметров, определяемых путем прямых измерений.
Например, при определении объёма V цилиндра необходимо измерить его диаметр D и высоту H, а затем по формуле V = πHD2/4 вычислить объём.
Некоторые физические величины, входящие в расчетную формулу, остаются неизменными (параметры измерительной установки, физические и математические константы), а некоторые величины xi при проведении серии опытов измеряются. Причем в общем случае, в каждом из опытов значения измеренной величины x1, x2, …, xn могут быть различными.
Это объясняется тем, что при измерении любой величины мы всегда получаем не истинное, а приближенное значение этой величины. Причина же связана как с измерительной точностью используемых инструментов и приборов, так и невозможностью учета всех внешних факторов, влияющих наконечный результат измерений.
Даже повторные измерения одной и той же величины при одних и тех же условиях и посредством одних и тех же приборов дают несколько различные результаты. Таким образом, любые измерения всегда выполняются с погрешностями или ошибками.
Погрешностью (или ошибкой) измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.
Классификация погрешностей измерений
По характеру проявления погрешности подразделяют на систематические и случайные.
Систематическая погрешность – это составляющая ошибки измерения, которая при повторных измерениях остаётся постоянной или изменяется по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль).
Для того чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.
Случайная погрешность - это составляющая ошибки измерения, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Причина данной погрешности заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.).
Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений дает возможность уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений и установить разумное значение погрешностей. Для этого необходимо выполнить не одно, а несколько измерений той же самой величины, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно произвести.
Иногда при проведении измерений возникают грубые погрешности или промахи, являющиеся результатом небрежности отсчета по прибору или неожиданных сильных воздействий на измерения, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.
Обработка результатов прямых измерений
Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле
(1)
Случайная погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.
Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений: x1, x2, ..., xn.
Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.
Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое
(2)
Здесь xi - результат i-го измерения, n - число измерений. В случае малого n правильная оценка погрешности основана на использовании распределения Стьюдента (t – распределения). Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной случайной абсолютной погрешности Dxсл., которую вычисляют по формуле
(3)
где t(a, n) - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a. Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.
Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятных для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.
Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.
Из таблицы видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a. Практически выбирают a = 0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.
Таблица 1
|
Число |
Доверительная вероятность a |
|||
|
измерений n |
0,6 |
0,7 |
0,95 |
0,98 |
|
2 |
1,38 |
2,0 |
12,7 |
31,8 |
|
3 |
1,06 |
1,3 |
4,3 |
7,0 |
|
4 |
0,98 |
1,3 |
3,2 |
4,5 |
|
5 |
0,94 |
1,2 |
2,8 |
3,7 |
|
6 |
0,92 |
1,2 |
2,6 |
3,4 |
|
7 |
0,90 |
1,1 |
2,4 |
3,1 |
|
8 |
0,90 |
1,1 |
2,4 |
3,0 |
|
9 |
0,90 |
1,1 |
2,3 |
2,9 |
|
10 |
0,88 |
1,1 |
2,3 |
2,8 |
|
11 |
0,84 |
1,0 |
2,0 |
2,3 |
Поясним смысл терминов абсолютная погрешность Dx и доверительная вероятность a, используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины <x> (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность Dx. Отложим Dx от <x> справа и слева. Полученный числовой интервал от (<x> ─ Δx) до (<x> + Dx) называется доверительным интервалом. Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.
Рис. 1
Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины xист. попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a.
Вычислив величину абсолютной погрешности Dx по формуле (1), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x = <x> ± Dx.
Величина абсолютной погрешности Δx результата измерений еще не определяет точности измерений. Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность, которую обычно выражают в процентах:
(4)
За меру точности измерения принимают величину 1/ε. Следовательно, чем меньше относительная погрешность ε, тем выше точность измерений.
Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:
1. Провести измерения n раз (обычно 5).
2. Вычислить среднее арифметическое значение <x> по формуле (2).
3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a = 0,95).
4. По табл. 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.
5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (3) и сравнить ее с аппаратурной погрешностью. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше (см. пример на с. 8).
6. По формуле (4) вычислить относительную ошибку e.
7. Записать окончательный результат
x = <x> ± Dx
с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a.
Обычно кроме прямых измерений в лабораторной работе присутствуют косвенные измерения.
Обработка результатов косвенных измерений
Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x1, x2, ..., xn некоторой функциональной зависимостью
y = f(x1, x2, ..., xn). (5)
Среди величин x1, x2, ..., xn имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную ∆y и относительную погрешности величины y.
В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем - абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения
. (6)
Здесь где - частная производная функции по переменной xi, при вычислении которой все величины, кроме xi, считаются постоянными; ∆xi - абсолютная погрешность величины xi. Если xi получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение <x> и абсолютную погрешность ∆x вычисляют по формулам (1) и (3). (Эти величины можно найти при помощи многофункционального калькулятора. Как это сделать смотрите в приложении.) Для всех измеренных величин xi задается одинаковая доверительная вероятность .
Если какие-либо из слагаемых в выражении (6) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин (, g и др.), входящих в формулу относительной погрешности.
Конечный результат записывается в виде:
y = <y> y.
Здесь <y> - среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (5) при подстановке в нее средних величин xi, а ∆y-абсолютная погрешность косвенного измерения, найденная из определения относительной погрешности Обычно в абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной погрешности.
Действия с приближенными числами
Многие считают, чем больше цифр содержит вычисленная или измеренная величина, тем она точнее. Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
1. когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 - четыре значащих цифры);
2. когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 - только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). Её обычно пишут меньшим размером. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.
Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.
Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил:
1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934 + 3,24 + 1,188 = 0,893 + 3,24 + 1,188 = 5,321 ≈ 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632´2,8´3,53. Вместо этого выражения следует вычислять 8,63´2,8´3,53 = 85,3 ≈ 85.
3. Результат расчета значений функций xn, , lg(x) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например:
.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить плотность вещества ρ, из которого изготовлен цилиндр. По определению
где m – масса тела, а V- его объём.
Объём цилиндра определяется формулой
.
Здесь D - диаметр цилиндра, H - его высота.
Следовательно, расчётная формула для плотности вещества будет иметь вид
(7)
Пусть D и H измерены штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм, а масса определена на физических весах. В результате многократных измерений найдем средние значения <H> = 10,34 мм и <D> = 40,27 мм, а m = 35,9 г. При подстановке этих данных в формулу (7) получим кг/ м3. Если эту величину считать окончательным результатом, то запасная цифра 6 отбрасывается. Абсолютная погрешность измерения плотности в этом случае будет равна половине единицы последнего разряда, т.е. 5 кг/м3. Так обычно поступают при однократном измерении. В данном примере Н и D измерялись несколько раз, поэтому сначала надо вычислить относительную погрешность косвенного измерения плотности вещества по формуле
(8)
где DD и DH - абсолютные погрешности прямых измерений диаметра и высоты, а затем определить абсолютную погрешность плотности вещества из выражения ∆ρ = eρ. Пусть случайные абсолютные погрешности оказались равными: DDсл.= 0,01 мм; DHсл.= 0,23 мм, а ∆m = 0,05 г. Сравним вычисленные случайные погрешности с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. DDсл.<0,1, поэтому в формулу (8) подставим DD = 0,1 мм. А так как (DHсл./DHап.)<3, то DH вычисляем по формуле (3) и получаем 0,25 мм.
Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной погрешностью Δπ/π в формуле (8) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных погрешностей DD и DH видно, что наибольший вклад в относительную погрешность измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает eH = 0,0057. Если взять p = 3,1, то ep = 0,013, что превышает eH. Следовательно, значение p нужно взять 3,14. В этом случае Δπ/π » 0,00064 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002),что значительно меньше eH и относительную погрешность p можно не учитывать.
Вычисления относительной погрешности плотности по формуле (8) даёт значение e = 0,00769, а ∆ρ = 0,0077·2,72· 103 = 20,9 кг/м3. Так как в абсолютной погрешности принято оставлять одну значащую цифру, то конечный результат следует записать в виде:
ρ = (2,72 ± 0,02)103 кг/м3.
Необходимо сделать вывод по ответу. Полученное экспериментально значение величины плотности вещества равное 2,72·103 кг/м3 с точностью до ошибки измерений составляющей ± 0,02·103 кг/м3 совпадает с табличным (теоретическим) значением плотности алюминия равное 2,71·103 кг/м3. Текст, выделенный курсивом, является шаблоном вывода по ответу в любой лабораторной работе.
Примечания:
1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).
2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка (разряда) последней значащей цифры. Например, если m = 2,47 г, тогда Δm = 0,5·0,01 = 0,005 г.
Построение графиков
Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.
Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс (X), а значения функции - на оси ординат (Y). Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).
Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1; 10; 100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см.
Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин. Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.
Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рис. 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.
Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной, и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.
Вывод по графику (шаблон):
Полученный экспериментально график зависимости __________________
название функции словами
от _____________ имеет вид прямой (проходящей через начало координат,
название аргумента
параболы, гиперболы, плавной кривой) и качественно совпадает с теорети-
ческой зависимостью данных характеристик, имеющей вид ______________.
формула
Измерительные приборы и учет их погрешностей
Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx0, для второго - допускаемая погрешность Δxд. Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δxпр.:
Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора. Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора.
Но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.
Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.
Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек - ± 1 мм.
Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± 3-4 мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0 - 25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равной цене деления, т.е. 0,01 мм.
При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г - 50 мг, при нагрузке меньше 20 г - 25 мг.
Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.
Библиографический список
1. Зайдель, А. Н. Ошибки измерений физических величин / А. Н. Зайдель. – СПб.: Лань, 2005. – с. 112.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
Моделирование случайной величины
и исследование ее распределения
Цель работы: изучение статистических методов обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин.
Оборудование: наручные часы с секундной стрелкой, электронный секундомер.
Краткие теоретические сведения
Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса:
, (1)
где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.
Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму - ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов t, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t.
Гистограмму строят в следующих координатах (рис 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – ΔN/NΔt. Здесь N - полное число измерений, ΔN - число результатов, попавших в интервал [t, t + Δt]. Частное ΔN/N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt называется "плотностью вероятности".
При очень большом числе измерений () вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости
. (2)
Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t> и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t> есть среднее арифметическое случайной величины
. (3)
Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>:
. (4)
Из анализа формулы (1) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум
, (5)
при значении t = <t> и симметрична относительно t. Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (5).
Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6)
, (6)
в котором вероятность Р12 попадания результата измерения в интервал (t1, t2) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N12 , результаты которых попали в этот интервал. При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов:
t(<t>-; <t>+), P = 0,68;
t(<t>-2; <t>+2), P2 = 0,95;
t(<t>-3; <t>+3), P3 = 0,997.
Измерения и обработка результатов
В данной работе моделирование случайной величины осуществляется следующим образом. При помощи обычных часов с секундной стрелкой задают некоторый промежуток времени t и измеряют его высокочувствительным цифровым частотомером или электрическим секундомером, вручную нажимая кнопки "старт" и "стоп".
Выполнять работу рекомендуется двум студентам. Первый многократно задает определенные промежутки времени по часам, подавая команду "старт" и "стоп". Второй нажимает кнопки и записывает отсчеты по прибору. В этом случае результаты измерений будут независимыми, что должно привести к нормальному (Гауссовому) распределению случайной величины.
1. Проведите 30-50 раз измерение выбранного промежутка времени. Можно задать промежуток времени от 5 до 10 секунд. Показания цифрового частотомера занесите во второй столбец табл. 1.
2. Найдите в табл. 1 наименьший tmin и наибольший tmax из результатов наблюдений. Промежуток (tmin - tmax) разбейте на 6 - 10 равных интервалов Δt. Границы интервалов занесите в табл. 2.
3. Подсчитайте число результатов наблюдений в табл. 2, попавших в каждый интервал Δti, и заполните второй столбец табл. 2.
4. Вычислите опытные значения плотности вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов Δti. Заполните третий столбец табл. 2.
Таблица 1
|
№ опыта |
ti, c |
(ti - <t>)2, c2 |
= ... , c |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
... |
max = ... , c-1 |
||
|
30 |
|||
|
<t>, с |
(ti - t)2, с2 |
||
5. Постройте гистограмму (рис. 1), для чего по оси абсцисс откладывайте интервалы Δti, являющиеся основаниями прямоугольников, высота которых равна плотности вероятности ρi.
Таблица 2
|
Границы интервалов, с |
с-1 |
с-1 |
|
6. Вычислите <t> по (3) и по (4). Можно воспользоваться результатами двадцати наблюдений. Полученные значения занесите в табл. 1.
7. По формуле (5) найдите максимальное значение плотности вероятности max при t = <t>. Результаты занести в табл. 1. Сравнить полученные значения max с наибольшей высотой гистограммы.
8. Для значений t, соответствующих границам выбранных интервалов, вычислите по функции Гаусса (1) значения плотности вероятности (t) и занесите их в четвертый столбец табл. 2.
9. Нанесите все расчетные точки на график, на котором изображена гистограмма, и проведите через них плавную кривую. Сравните их. В чем причина неполного соответствия кривой Гаусса и гистограммы?
10. Проверьте, насколько точно выполняется в опытах соотношение (1). Вычислите границы интервалов, указанных в первом столбце табл. 3. По данным табл. 1 подсчитайте число наблюдений N12, попадающих в каждый из трех интервалов, а также отношение N12/N (6). Сравните их с известными значениями Р12, соответствующими нормальному распределению случайных величин (1). В чем причина небольшого расхождения?
Таблица 3
|
Интервал, с |
N12 |
N12/N |
P12 |
||
|
от |
до |
||||
|
<t> |
|||||
|
<t> 2 |
|||||
|
<t> 3 |
Контрольное задание
При обработке результатов измерения емкости для партии конденсаторов получено <C> = 1,1 мкФ, = 01 мкФ. Если взять коробку со 100 конденсаторами из этой партии то сколько среди них можно ожидать конденсаторов с ёмкостью меньше 1 мкФ больше 1,3 мкФ меньше 08 мкФ
Контрольные вопросы
1. Что называется абсолютной, относительной, систематической и случайной погрешностями измерений?
2. Что такое средняя квадратичная погрешность, доверительный интервал и доверительная вероятность?
3. Какими свойствами обладает нормальное распределение результатов измерений?
4. Как найти случайную погрешность среднего значения из результатов эксперимента?
5. Как найти погрешность косвенных измерений?
6.Каков смысл введения коэффициентов Стьюдента? Как их определить.
Библиографический список
1. Зайдель, А. Н. Ошибки измерений физических величин / А. Н. Зайдель. – СПб.: Лань, 2005. – с. 112.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ПРОВЕРКА ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА
НА МАШИНЕ АТВУДА
Цель работы: проверка второго закона Ньютона.
Оборудование: машина Атвуда с грузами и перегрузками, электрический секундомер.
Общие сведения
По второму закону Ньютона произведение массы частицы на ускорение равно действующей силе:
. (1)
В общем случае результирующая сила является векторной суммой всех действующих на частицу сил: . Выражение (1) называют также основным законом динамики поступательного движения. Оно справедливо не только для частицы, но и для тела, движущегося поступательно.
Если на тело постоянной массы m действовать последовательно различными силами и , тогда по второму закону Ньютона тело будет двигаться также с различными по величине ускорениями и , отношение которых равно отношению сил:
С другой стороны, из уравнения (1) следует, что если на тела с различными массами m1 и m2 действуют равные силы , то тела будут двигаться с разными по величине ускорениями и , отношение которых обратно отношению масс:
Описание установки и метода измерений
Соотношения (2) и (3) являются следствиями второго закона Ньютона и их можно проверить на машине Атвуда.
Принцип устройства машины Атвуда показан на рис. 1. На вертикальной стойке 1 с сантиметровыми делениями расположен легкий блок 2. Через блок перекинута нить с подвешенными на её концах грузами C1 и C2 равной массы m. Груз С1 удерживается в нижнем положении электромагнитом. На грузы помещаются перегрузки с разными массами (на рис. 1 не показаны). Время движения грузов измеряется электронным секундомером 3 с цифровой индикацией 4, который находится на основании 5 прибора. К электронному секундомеру подключены фотоэлектрические датчики 6 и 7. Датчик 7 включает секундомер, а датчик 6 – выключает. На лицевой панели прибора расположены также три клавиши: 10 (сеть) – выключатель сети; 8 (пуск) – отключение электромагнита и запуск секундомера; 9 (сброс) – включение электромагнита и подготовка секундомера к следующему измерению.
ЗАДАНИЕ №1
Цель работы: на машине Атвуда проверить следствие (2) второго закона Ньютона при постоянной движущейся массе. По результатам измерений необходимо определить отношение сил и отношение ускорений. Полученные результаты сравнить. Следствие (2) проверяется при движении системы тел под действием силы тяжести.
При движении системы грузов в подшипниках блока действует сила трения. Её можно компенсировать силой тяжести грузика, добавляемого к грузу C2, движущемуся вниз. Если после компенсации силы трения на левый и правый грузы положить перегрузки массой m1 слева и m2 справа (m2 > m1), то они выведут систему из равновесия, и она будет двигаться равноускоренно.
Тогда результирующая сила F1, сообщающая системе тел ускорение a1, равна разности сил тяжести, действующих на перегрузки:
F1 = m2g – m1g = (m2 –m1)g. (4)
Если переложить перегрузок m1 с левого груза на правый, то ускорение системы тел a2 возрастет, и соответствующая результирующая сила будет равна
F2 = m2g + m1g = (m2 + m1)g. (5)
Отношение сил X1 есть
По условиям опыта под действием разных сил F1 и F2 система тел проходит равноускоренно одинаковый путь h, поэтому
Отношение ускорений X2 есть
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с машиной Атвуда.
2. Скомпенсировать силу трения в блоке, добавляя к правому грузу, движущемуся вниз, небольшой грузик (кусочек пластилина или проволоки). При компенсации силы трения система тел, выведенная из равновесия легким толчком, движется равномерно. Равномерность движения определяется визуально. (Во время дальнейшей работы нужно следить за тем, чтобы положение грузов “левое” и “правое” не менялось.)
3. Положить на левый и правый грузы перегрузки известной
массы m1 и m2, где правый перегрузок m2 > m1.
4. Измерить время t1 движения системы. Опыт повторить пять раз.
5. Оба перегрузка m1 и m2 положить на правый груз. Измерить время движения t2 также пять раз.
Результаты всех измерений записать в табл. I.
Таблица I
|
Номер опыта |
Время t1i, с |
(t1i - <t1>)2 |
Время t2i, c |
(t2i - <t2>)2 |
Масса перегрузка |
|
|
m1, г |
m2, г |
|||||
|
1 |
||||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
4 |
||||||
|
5 |
||||||
|
t(, n) |
<t1>, c |
(t1i - <t1>)2 |
<t2>, c |
(t2i - <t2>)2 |
m1, г |
m2, г |
6. По формуле (6) вычислить отношение сил, обозначенное через X1, по формуле (8) – отношения ускорений X2, подставляя средние значения времени <t1> и <t2>.
7. Вычислить абсолютную погрешность измерения времени t1:
Здесь t(, n) – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности = 0,95 и числа измерений n = 5. Аналогично вычисляется абсолютная погрешность измерения времени t2.
8. Вычислить относительную погрешность измерения отношения ускорений
9. Вычислить абсолютную погрешность измерения отношения ускорений:
X2 = X2.
10. Вычислить абсолютную погрешность измерения отношения сил:
Здесь Δm – абсолютная погрешность измерения массы перегрузков.
11. Записать результаты вычислений в виде
X1 = … … , X2 = … … .
12. Сравнить полученные значения X1 и X2, которые должны совпадать в пределах ошибок:
Выполнение этого неравенства является критерием выполнимости следствия (2) второго закона Ньютона. Сделать вывод.
ЗАДАНИЕ № 2
Цель работы: на машине Атвуда проверить следствие (3) второго закона Ньютона при постоянной силе. По результатам измерений определить отношение масс и отношение ускорений. Полученные результаты сравнить. Следствие (3) проверяется при движении системы тел под действием силы тяжести.
Если на правый груз C2, движущийся вниз, поместить перегрузок массой m0, то на систему тел будет действовать сила, равная силе тяжести m0g перегрузка. Движение будет равноускоренным с ускорением а1.
Общая масса системы
m1 = 2M +m0, (9)
где M– масса груза.
Если на левый и правый грузы добавить перегрузки одинаковой массы m3, то результирующая сила не изменится. Однако, система будет двигаться с другим ускорением а2, поскольку изменилась движущая масса. Общая масса системы тел увеличилась на 2m3 и стала равной
m2 = 2M + m0 +2m3. (10)
Найдем отношение масс:
В обоих случаях система тел проходит равноускоренно одинаковый путь, следовательно
Из равенства (12) найдем отношение ускорений:
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с машиной Атвуда.
2. Скомпенсировать силу трения в блоке (согласно п. 1 в задании 1).
3. На правый груз поместить перегрузок известной массы m0.
4. Измерить время t1 движения системы тел. Опыт повторить пять раз. Результаты измерений записать в табл. 2.
Таблица 2
|
Номер опыта |
Время t1i, c |
(t1i - <t1>)2 |
Время t2i, c |
(t2i - <t2>)2 |
Масса груза M, г |
Масса перегр. |
|
|
m0, г |
m3, г |
||||||
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
4 |
|||||||
|
5 |
|||||||
|
t(,n) |
<t1>, c |
(t1i-<t1>)2 |
<t2>, c |
(t2i-<t2>)2 |
M, г |
m0, г |
m3, г |
5. Изменить общую массу системы тел, добавляя к левому и правому грузам перегрузки одинаковой массы m3. Измерить время t2 движения системы также пять раз. Результаты всех измерения записать в табл. 2.
6. По формуле (11) вычислить отношение масс. По формуле (13) вычислить отношение ускорений, подставляя средние значения времени <t1> и <t2>.
6. Вычислить случайную абсолютную ошибку измерения времени t1:
Здесь t(,n) – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности = 0,95 и числа измерений n = 5.
Аналогично вычислить абсолютную ошибку измерения времени t2.
7. Вычислить относительную ошибку измерения отношения ускорений
8. Вычислить абсолютную ошибку измерения отношения ускорений:
Y2 = Y2.
9. Вычислить абсолютную ошибку измерения отношения масс:
Здесь m – абсолютная ошибка измерения массы перегрузков.
10. Записать результаты вычислений в виде
Y1 = … …, Y2 = … ….
11. Сравнить полученные значения Y1 и Y2, которые должны совпадать в пределах ошибок:
Выполнение этого неравенства является условием выполнимости следствия (2) второго закона Ньютона.
Контрольные вопросы
1. Что называется массой тела? Что такое сила?
2. Сформулировать законы Ньютона. Какова взаимосвязь между этими законами? В каких системах отсчета они справедливы?
3. Дать определение единиц силы в системах единиц СИ и СГС.
4. При каких условиях движение тела будет равномерным, равнопеременным?
5. Как определить силу давления перегрузка на груз?
6. Что называется средней и мгновенной скоростью?
7. Дать определение среднего и мгновенного ускорения.
8. Вывести кинематическое уравнение равнопеременного движения.
9. Какие следствия второго закона Ньютона проверяются в этой работе? При каких условиях они выполняются? Как достигается выполнение этих
условий в данной работе?
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 1.1–1.4, 2.1–2.4.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 1–3, 5–7.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 3–4, 5–7.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 3 § 3.1–3.4.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 9–12.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.1 § 1.4. Гл. 1.2 § 1.6–1.10.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ СИЛЫ УДАРА И КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ СОУДАРЕНИИ ШАРА С ПЛОСКОЙ СТЕНКОЙ
Цель работы: измерение времени соударения металлических тел, определение средней силы удара и коэффициента восстановления скорости.
Оборудование: массивная плита с мишенями из разных металлов, шар на подвесе, электронный секундомер.
Средняя сила взаимодействия двух тел определяется по второму закону Ньютона:
Величину средней силы можно вычислить, если измерить время взаимодействия тел Dt и приращение скорости Du.
Описание установки и метода измерений
Металлический шар 1 подвешен на тонкой проволоке (рис. 1). При вертикальном положении нити шар 1 почти касается одной из двух противоположных сторон массивной металлической плиты 2 (стороны плиты изготовлены из разных материалов). В момент удара шара о плиту замыкается электрическая цепь. Продолжительность удара шара о плиту определяют электронным секундомером 3 по времени замыкания шаром электрической цепи.
По второму закону Ньютона средняя сила взаимодействия, возникающая в момент удара шара о стенку,
где m - масса шара; - скорость шара после удара; - скорость шара перед ударом; t - время соударения. Скорость шара после удара о плиту направлена противоположно скорости до удара. Поэтому . Тогда численное значение силы взаимодействия
(1)
Исключим из формулы (1) скорости u и u.
Скорость шара u перед ударом можно вычислить, если знать угол a, определяемый по шкале 4, который образует нить подвеса шара с ее вертикальным положением до удара (рис 1).
По закону сохранения энергии
,
здесь h - высота, на которую поднят шар; u - скорость шара перед ударом. Тогда
,
Из рис. 1 следует, что
,
откуда
,
где l - расстояние от точки подвеса шара до его центра. Следовательно,
. (2)
После удара шар отскочит от плиты и поднимется на высоту h', нить подвеса отклонится от вертикального положения на некоторый угол g. По закону сохранения энергии
.
Аналогично (2) определим скорость шара после удара:
. (3)
Подставив (2) и (3) в (1),получим
. (4)
Формула (4) является расчетной.
Уменьшение угла отклонения нити подвеса шарика после удара его о плиту происходит потому, что удар не является абсолютно упругим, и часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию соударяющихся тел.
Потери механической энергии при ударе характеризуются коэффициентом восстановления скорости Kc. Коэффициент восстановления скорости Kc в случае удара шара о массивную стенку определяется по формуле
. (5)
Подставим (2) и (3) в (5), получим расчетную формулу для определения коэффициента восстановления
(6)
В условиях опыта коэффициент восстановления скорости можно считать величиной, зависящей только от материала соударяющихся тел. Посредством Kc можно характеризовать упругие свойства того или иного материала. Очевидно, для реальных тел всегда Kc<1.
Порядок выполнения работы
1. Включить в электросеть электронный секундомер. Прогреть прибор в течение одной минуты.
2. Отвести шар от положения равновесия на угол α = 20о – 30о.
3. Отпустить шар, давая ему возможность один раз удариться о плиту.
4. Измерить угол, на который отклонится нить подвеса шара после удара его о плиту.
5. Измерить время удара электронным секундомером.
Опыт провести три раза при одном и том же угле a. Результаты измерений записать в табл. 1.
6. По найденным средним значениям <t>, <γ>, α и указанным на установке m, l вычислить среднюю силу взаимодействия шара с плитой по формуле (4).
Таблица 1
|
Номер опыта i |
Угол до удара ai |
Угол после удара gi |
Время взаимодействия ti, с |
Длина подвеса шара l, м |
Масса шара m, кг |
||
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
<a> |
<g> |
<t> |
7. Вычислить коэффициент восстановления скорости по (6), используя средние значения <a>, <g>.
8. Подвесить шар с противоположной стороны плиты и произвести измерения и расчеты согласно п.п. 1-7 для другой пары соударяющихся тел. Результаты опыта занести в таблицу.
9. Вычислить погрешность измерения силы удара по формуле
,
где Δα = Δγ. Записать конечный результат.
10. Сделать вывод о связи времени удара с упругими свойствами материалов соударяющихся тел.
Контрольные вопросы
1. Что такое масса тела? Что такое действующая на тело сила? В каких единицах измеряются эти величины в системе СИ и СГС.
2. Сформулируйте законы Ньютона.
3. Какие виды механической энергии существуют? Дайте их определения и вывод формул.
4. В каких единицах измеряется энергия в системах СИ и СГС?
5. При каких условиях справедлив закон сохранения механической энергии? Как он формулируется?
6. Вывести расчетную формулу для определения средней силы удара шара с плитой.
7. Какие удары называют абсолютно упругими и абсолютно неупругими? Чему равен коэффициент восстановления скорости при абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударе.
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 2.1–2.5, 3.1–3.4, 5.1.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 5–7, 12–15.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 7–9, 19–24.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 6 § 6.1.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 28.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.2 § 1.9. Гл. 1.3 § 1.12, 1.15
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ШАРОВ
Цель работы: проверить закон сохранения импульса, определить среднюю силу удара.
Оборудование: специальная установка, металлические шары (рис. 1).
Описание установки и метода измерений
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют провести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксированы нижний кронштейн 4 и верхний кронштейн 5.
На верхнем кронштейне закреплены стержни, на которых подвешены шары. Винт 7 позволяет менять расстояние между шарами. С помощью винта 8 можно изменять длину подвески шаров. На нижнем кронштейне закреплены пластины со шкалами 9, 10 и электромагнит 11. Электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и менять высоту его установки. Силу притяжения электромагнита можно регулировать винтом 12. Угольники со шкалами также можно передвигать вдоль нижнего кронштейна.
К основанию прибора привинчен цифровой микросекундомер 13 , измеряющий время соударения (взаимодействия) шаров.
На лицевой панели прибора расположены также три клавиши: 14 (сеть) – выключатель сети; 15 (пуск) – отключение электромагнита и запуск секундомера; 16 (сброс) – включение электромагнита и подготовка микросекундомера к следующему измерению.
ЗАДАНИЕ № 1
Проверить закон сохранения импульса
В изолированной системе тел векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему (импульс системы), не изменяется с течением времени:
Если на тела системы действуют внешние силы, то импульс равнодействующей внешних сил равен изменению импульса системы:
В данной работе шары, подвешенные на нитях, нельзя рассматривать как изолированную систему, но для небольшого промежутка времени, порядка времени удара, импульсом внешних сил можно пренебречь. Поэтому систему тел можно считать практически изолированной, для которой выполняется закон сохранения импульса:
,
где
- импульс первого шара перед ударом,
- импульс второго шара перед ударом,
- импульс первого шара после удара,
- импульс второго шара после удара.
В проекциях на ось OX это соотношение имеет вид
.
Определим импульс системы до удара и импульс системы после удара и сравним их. Для этого рассмотрим движение шара массой m1, подвешенного на нити в поле тяготения Земли, отклонив шар от положения равновесия на угол a1 (рис. 2). Сила натяжения нити работы не совершает, так как все время движения она перпендикулярна к траектории. Следовательно, к движению шара можно применить закон сохранения энергии
,
где h1 - высота, на которую был поднят шар; g - ускорение свободного падения; u1 - скорость первого шара перед самым ударом.
Тогда
.
Из треугольника OAB (см. рис. 2) следует
,
где l - расстояние от точки подвеса шара до его центра тяжести.
Определим h1:
.
Следовательно,
. (1)
Так как второй шар с массой m2 до удара находился в состоянии покоя, то импульс системы перед ударом равен
. (2)
После упругого столкновения шаров первый шар приобретает скорость , второй шар - скорость , которые можно узнать по углам их отклонения и a2¢. (Вывод аналогичен выводу u1):
, (3)
. (4)
В проекции на ось OX импульсы шаров после удара будут равны:
, (5)
. (6)
Если после столкновений первый шар будет двигаться в обратном направлении, тогда принимает отрицательное значение. Суммарный импульс шаров (импульс системы) после упругого удара будет равен
. (7)
Сравним импульсы системы до и после удара, найденные по формулам (2) и (7) и убедимся, что .
ЗАДАНИЕ № 2
Определить среднюю силу удара
Изменение импульса тела равно импульсу средней силы, действующей на тело
.
Применяя эту формулу для ударяемого шара массой m2, получим (в проекциях на горизонтальную ось)
,
где - скорость шара после удара (до столкновения шар находился в покое); <F> - средняя сила удара; t - длительность удара.
Определим
Подставив сюда вместо выражение (4), получим расчетную формулу для средней силы удара
, (8)
где l - длина подвеса шара; - угол, на который отклоняется второй шар после удара.
Порядок выполнения работы
1. Провести корректировку осевой установки шаров. Для этого шар, который расположен выше, повернуть так, чтобы риски на шарах находились на одном уровне.
2. Установить электромагнит на выбранном расстоянии от начала шкалы и на такой высоте, чтобы его ось была продолжением черты на шаре.
3. Включить прибор в сеть. Нажать клавишу "СЕТЬ" микросекундомера.
4. Отжать клавишу "ПУСК".
5. Правый шар отклонить от положения равновесия на угол и удерживать его в этом положении электромагнитом. Левый шар оставить в состоянии покоя.
6. Нажать кнопку "СБРОС".
7. Нажать кнопку "ПУСК".
8. После столкновения шаров отметить углы отклонения шаров и .
9. Измерить продолжительность столкновения шаров t.
10. Опыт повторить пять раз, выполняя пункты 4 - 9 при одном и том же значении α1. Результаты измерений записать в табл. 1.
11. Отжать клавишу "СЕТЬ".
12. При помощи мерной ленты определить длину l подвески шаров (от точки подвеса до центра тяжести шара).
Таблица 1
|
m1 = |
M2 = |
Δm = |
l = |
Δl = |
|
α1 = |
Δα1 = |
Число измерений n = |
||
|
i |
1 |
2 |
.............. |
n |
|
α1' |
<α1'> |
|||
|
α2' |
<α2'> |
|||
|
τ |
<τ> |
13. Рассчитать средние значения и погрешности измерений величин , , t по формулам
,
,
где x - измеряемая величина, n - число измерений, t(a,n) - коэффициент Стьюдента. Учесть техническую погрешность Δxт.
14. По формулам (2), (5), (6) и (7) определить импульсы шаров , , и до и после столкновения, подставляя средние значения углов отклонения <α1'> и <α2'>.
15. Вычислить погрешности измерения импульсов по формулам:
,
,
,
.
Углы необходимо выражать в радианах; Dl равно цене деления
мерной ленты; Da1 - цене деления шкалы.
16. Сравнить полученные значения px и px', которые должны совпадать в пределах ошибок измерений при выполнении следующего неравенства:
(9)
17. Вычислить среднюю силу удара по формуле (8), подставляя в нее <α2'> <τ>.
18. Вычислить погрешность измерения силы удара по формуле
. (10)
19. Результаты измерений записать в табл. 2.
Таблица 2
|
<α1'> = , Δα1' = |
<α1'> = , Δα2' = |
<τ> = , Δτ = |
|
p = , Δp = |
p' = , Δp' = |
Записать неравенство (9) |
|
F = |
ΔF = |
Контрольные вопросы
1. Что такое сила и масса тела? В каких единицах они измеряются?
2. Сформулировать законы Ньютона. Какова взаимосвязь между этими законами?
3. Что такое импульс тела? Вывести закон сохранения импульса.
4. Какова связь закона сохранения импульса с законами Ньютона?
5. Какие существуют виды механической энергии? Сформулировать закон сохранения механической энергии.
6. Какие превращения энергии происходят при столкновении тел?
7. В каких единицах измеряется энергия в СИ и СГС?
8. Вывести расчетные формулы (2), (6), (7).
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 2.4–2.5, 5.1, 5.6.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 12–15.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 5–9, 18–24, 27.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 3 § 3.1–3.4.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 9–12.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.2 § 1.9. Гл. 1.3 § 1.12, 1.15
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ
Цель работы: измерить скорость пули динамическим и кинематическим методами.
Оборудование: баллистический маятник, шкала, пружинный пистолет, линейка.
ЗАДАНИЕ № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Описание установки и метода измерений
Баллистический маятник представляет собой цилиндр массой M, подвешенный на двойном бифилярном подвесе (рис. 1). На некотором расстоянии от цилиндра по его оси укреплен пружинный пистолет. В центр неподвижного маятника производят выстрел. Горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем (абсолютно неупругий удар). В результате удара маятник с пулей приобретает некоторую скорость.
Так как в горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют (силой трения мы пренебрегаем), то на основании закона сохранения импульса можно записать
, (1)
где m - масса пули; υ - ее скорость; υ1 - скорость маятника с пулей сразу после удара.
Чтобы определить скорость υ1, применим закон сохранения механической энергии. В результате приобретенной механической энергии маятник отклонится от вертикали на некоторый угол , а все его точки поднимутся на высоту h (рис. 1). В момент наибольшего отклонения маятника его кинетическая энергия превратится в потенциальную энергию:
.
Тогда
. (2)
Подставив (2) в (1),найдем выражение для скорости пули:
. (3)
Из прямоугольного треугольника АКО (рис. 1) имеем
.
Так как l>>h, то ,
и .
Подставив найденное значение h в выражение (3), получим для скорости пули формулу
. (4)
Формула (4) является расчетной. Величины S, l определяют экспериментально.
Порядок выполнения работы
1. Масса пули и маятника указаны на установке.
2. Измерить линейкой расстояние l от точки подвеса до точки крепления нити к маятнику.
3. Привести маятник в состояние равновесия и определить положение указателя по шкале.
4. Установить маятник так, чтобы его ось совпадала с осью ствола пистолета и произвести пять выстрелов одной и той же пулей, каждый раз отмечая смещение указателя по шкале. Результаты измерений записать в табл. 1.
5. Вычислить скорость пули по формуле (4), подставив среднее значение смещения <S>.
Таблица 1
|
Номер опыта, i |
Смещение Si, м |
(Si - <S>)2 |
Масса маят- ника М, кг |
Масса пули m, кг |
Длина подвеса L, м |
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
|||||
|
t(,n) |
<S>, м |
(Si-<S>)2 |
M, кг |
m, кг |
L, м |
6. Вычислить квадрат абсолютной ошибки измерения смещения маятника:
.
7. Вычислить относительную ошибку измерения скорости:
.
8. Найти абсолютную ошибку:
.
9. Результат измерения записать в виде
.
Контрольные вопросы
1. Что называется импульсом тела?
2. Какая система называется замкнутой или изолированной ?
3. Сформулируйте закон сохранения импульса. Какова связь этого закона с законами Ньютона?
4. Какие существуют виды механической энергии?
5. В каких единицах измеряется энергия в системах единиц СИ и СГС?
6. Сформулируйте закон сохранения механической энергии?
7. Какие силы называются потенциальными и непотенциальными?
8. Какова связь законов сохранения энергии и импульса со свойствами пространства и времени?
9. Как найти изменение механической энергии неизолированной диссипативной системы?
10. Какие превращения энергии происходит в данной работе?
11. Выведите расчетную формулу.
ЗАДАНИЕ № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ
КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Так как скорость пули в этой работе мала, и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то ее можно определить кинематическим методом.
Выстрел из пружинного пистолета производится в горизонтальном направлении (рис. 2). Движение пули вдоль оси X является равномерным, поэтому дальность полета
s = υ0xt. (1)
где υ0x - начальная скорость вылета пули, t - время полета. В вертикальном направлении на пулю действует сила тяжести, сообщающая ей ускорение g. Движение вдоль оси Y является равноускоренным с υ0y = 0, поэтому высота, с которой падает пуля,
(2)
Из (1) и (2) следует, что
. (3)
Формула (3) является расчетной.
Порядок выполнения работы
1. Произвести 5 выстрелов из пистолета, расположенного на столе, в ящик с песком или лист бумаги, расположенный на полу. После каждого выстрела по отметке пули на песке, или на листе, измерить дальность полета s.
2. Измерить высоту h.
3. Результаты измерений s и h записать в табл. 1.
Таблица 1
|
№ |
si, м |
(si-<s>)2, м2 |
h, м |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
3 |
|||
|
4 |
|||
|
5 |
|||
|
t(α, n) |
<s> |
∑(si - <s>)2, |
Δh, м |
4. Вычислить скорость пули υ0x по формуле (3), подставив в нее среднее значение дальности полета пули <s>.
5. Вычислить квадрат абсолютной ошибки измерения s
где t(a,n) - коэффициент Стьюдента для надежности a = 0.95 и числа измерений n = 5.
6. Вычислить относительную погрешность измерения скорости
.
7. Найти абсолютную погрешность
Δυ0x = ε<υ0x>.
Результат измерения записать в виде
υ0x = <υ0x> Δυ0x.
Сравнивая значения скоростей, найденных с помощью баллистического маятника и кинематическим методом для одного и того же пистолета и пули, убедиться в закономерной взаимосвязи уравнений динамики и кинематики.
Контрольные вопросы
1. Что такое средняя и мгновенная скорость, среднее и мгновенное ускорение, тангенциальное и нормальное ускорение?
2. Получить уравнение траектории пули.
3. Определить скорость и ее направление при приземлении пули.
4. Определить нормальное и тангенциальное ускорение пули при
вылете и приземлении.
5. Определить время полета пули
6. Определить радиус кривизны траектории при вылете и приземлении пули.
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 1.1–1.3, 3.2–3.4, 5.1.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 2, 3, 9, 12–15.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 3–4, 10–24.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.2 § 2.1–2.4. Гл. 3 § 3.1–3.4.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 1–5, 9–12.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.1 § 1.3, 1.4. Гл.1.3 § 1.12–1.15.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА
Цель работы: определить момент инерции маховика динамическим методом и силу трения в подшипниках.
Оборудование: маховик, груз, штангенциркуль, секундомер, линейка.
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из массивного диска и шкива, насаженных на вал. Вал закреплен в подшипниках. На шкиве намотана нить (на некоторых установках роль шкива выполняет вал), к свободному концу которой подвешен груз (рис. 1). При падении груза его потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения груза и кинетическую энергию вращающегося маховика. Так как в подшипниках действует сила трения, то механическая энергия системы не остается постоянной. По закону изменения механической энергии изменение механической энергии равно работе сил трения: ΔE = Aтр.
Для момента времени, когда груз опустится с высоты h1, на которую он был поднят, согласно закону изменения энергии имеем
, (1)
где u - скорость груза; w - угловая скорость маховика; J - момент инерции маховика относительно оси вращения; m - масса груза.
После того, как нить полностью размотается, маховик, вращаясь по инерции, поднимет груз на высоту h2<h1. По закону изменения механической энергии убыль потенциальной энергии равна работе против силы трения при опускании и поднятии груза:
. (2)
Из уравнения (2) находим силу трения в подшипниках
. (3)
Так как равноускоренное движение груза начинается из состояния покоя, то
и , (4)
где t - время опускания груза с высоты h1.
Из формул (4) имеем
. (5)
Считаем, что нить нерастяжима и ее проскальзывание на шкиве отсутствует. В этом случае скорость опускания груза равна линейной скорости точек боковой поверхности шкива. Угловая скорость маховика связана с линейной скоростью точек боковой поверхности шкива, а значит и груза, соотношением
, (6)
где D - диаметр шкива.
Подставив (5) в (6), получим
. (7)
Подставляя в (1) выражения (3), (5), (7) и решив полученное уравнение относительно момента инерции маховика, получим
. (8)
Для нашей установки
С учетом этого неравенства выражение (8) принимает вид
. (9)
Формула (9) является расчетной. Из нее видно, что для определения момента инерции маховика необходимо измерить величины m, D, t, h1 и h2.
Порядок выполнения работы
1. Отрегулировать длину нити так, чтобы груз не касался основания штатива.
2. Измерить штангенциркулем диаметр шкива, определить массу груза m. Результаты записать в табл. 1.
3. Вращая маховик, поднять груз, висящий на нити, на высоту h1 от нижнего положения груза.
4. Отпустить маховик и одновременно включить секундомер. В момент, когда нить полностью размотается, секундомер выключить. Измерить высоту h2, на которую поднимается груз вследствие вращения маховика по инерции. Записать время t падения груза с высоты h1. Опыт повторить пять раз, опуская груз с одной и той же высоты h1. Результаты измерения занести в табл. 1.
Таблица 1
|
Номер опыта |
Время ti, c |
(ti - <t>)2 |
Высота подъема h2i, м |
(h2i - <h2>)2 |
Высота опускания h1, м |
Диаметр шкива D, м |
Масса m, кг |
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
4 |
|||||||
|
5 |
|||||||
|
t(,n) |
<t> |
(ti-t>)2 |
<h2> |
Σ(h2i-h2>)2 |
Δh1, м |
ΔD, м |
Δm,кг |
5. По формуле (3) вычислить силу трения в подшипниках.
6. По формуле (9) вычислить момент инерции маховика, подставляя средние значения времени <t> и высоты <h>.
7. Вычислить относительную погрешность
, (10)
где и определяются по формуле квадрата абсолютной ошибки для прямых многократных измерений.
В формуле (10) не учтены относительные погрешности m и g как малые величины по сравнению с относительными погрешностями других величин.
8. Вычислить абсолютную погрешность .
9. Результат записать в виде J = ... ± ... (кг·м2).
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом инерции точки тела относительно оси вращения? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?
2. Сформулировать закон сохранения и изменения механической энергии.
3. Вывести формулу кинетической энергии для тела, движущегося поступательно и вращательно.
4. Дать определение угловой и линейной скорости, углового и тангенциального ускорения. Какова связь между этими величинами? Как они направлены?
5. Назвать вид движения маховика и груза, подвешенного к нити. Записать кинематические и динамические уравнения движения груза и маховика.
6. Вывести расчетную формулу.
7. Вывести формулу для момента инерции маховика без учета силы трения.
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 3.2, 3.3, 4.1, 4.2.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 9, 16, 17.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38–42.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 30, 32–38.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.33–1.34.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы: определить момент инерции маятника экспериментально и сравнить его с теоретическим значением.
Оборудование: маятник Максвелла с комплектом колец.
Описание установки и метода измерений
Рис. 1
Устройство установки показано на рис. 1. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к ней прикреплены неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный кронштейн 5. На верхнем кронштейне находятся электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и винт для закрепления и регулирования длины подвеса маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать
вдоль колонки и фиксировать в произвольно выбранном положении.
Маятник Максвелла представляет собой диск 11, закрепленный на оси 10. Ось подвешена на двух нитях 12. На диске можно закреплять различные кольца, изменяя этим момент инерции системы. Длину маятника можно определить по миллиметровой шкале 13 на колонке прибора. Для этого на нижнем кронштейне есть указатель, который помещен на высоте светового луча нижнего фотоэлектрического датчика.
Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом. Нажатием кнопки "ПУСК" отключается электромагнит и включается электросекундомер 14. Электросекундомер отключается, как только опускающийся маятник перекроет световой поток, падающий на нижний фоторезистор.
В данной работе определяют момент инерции маятника Максвелла. Для вывода расчетной формулы применим закон сохранения энергии, считая движущийся маятник консервативной системой. Наматывая на ось маятника нить подвеса, поднимем его на высоту h. При этом маятник приобретет потенциальную энергию П = mgh, где m - масса маятника.
При раскручивании нити опускающийся маятник движется поступательно и одновременно вращается вокруг своей оси. При этом потенциальная энергия маятника превращается в кинетическую энергию. По закону сохранения энергии для момента времени, когда маятник опустится с высоты h, имеем
, (1)
где u - скорость поступательного движения маятника; J - момент инерции маятника относительно своей оси; w - угловая скорость вращения маятника.
Так как равноускоренное движение маятника начинается из состояния покоя, то
, ,
где t - время опускания маятника с высоты h.
Тогда
. (2)
Угловая скорость вращающегося маятника связана с линейной скоростью точек боковой поверхности оси соотношением
, (3)
где Do - диаметр оси маятника.
Подставляя (2) в (3), получим
. (4)
Заменив в соотношении (1) u и w выражениями (2) и (4), получим выражение для момента инерции маятника
. (5)
Для нашей установки , с учетом этого неравенства выражение (5) примет вид
. (6)
Таким образом, для определения момента инерции маятника Максвелла нужно измерить величины m, D, h, t.
Порядок выполнения работы
1. На диске маятника укрепить произвольно выбранное кольцо.
2. Произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось была параллельна основанию прибора.
3. Включить прибор в сеть.
Таблица 1
|
Номер опыта |
Время ti, с |
(ti - <t>)2, с2 |
Параметры установки |
|
1 |
Масса диска mд = Диаметр диска Dд = Масса кольца mk = Диаметр кольца Dk = Масса оси маятника m0 = Диаметр оси маятника D0 = Высота опускания h = |
||
|
2 |
|||
|
3 |
|||
|
4 |
|||
|
5 |
|||
|
t(α, n) |
<t>, с |
∑(ti - <t>)2 |
|
4. Нажать клавишу "СЕТЬ". Проверить, все ли индикаторы измерителя высвечивают цифру "нуль", и засветились ли лампочки обоих фотоэлектрических датчиков.
5. Отжать кнопку "ПУСК" электросекундомера.
6. Намотать на ось маятника нить подвеса, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.
7. Зафиксировать маятник в верхнем положении при помощи электромагнита (клавиша пуск должна быть отжата).
8. Нажать кнопку "СБРОС".
9. Нажать кнопку "ПУСК".
10. Результаты измерений записать в табл. 1.
11. По вертикальной колонке определить длину маятника, равную высоте h, с которой он опускается.
12. Вычислить массу маятника по формуле:
,
где m0, mд, mk - массы оси маятника, диска и кольца, указанные на соответствующих элементах.
13. По формуле (6) вычислить момент инерции маятника, подставляя среднее значение времени <t>.
14. Вычислить относительную погрешность
.
подставляя сюда <t>.
Погрешность измерения времени вычислить по формуле случайной абсолютной ошибки при прямых многократных измерениях для надежности a = 0,95. Ошибкой (g) пренебречь (взять g = 9.81).
15. Вычислить абсолютную погрешность
.
Результат записать в виде
, кг·м2
с надежностью α = … и относительной погрешностью ε = ….
16. Сравнить полученное в опыте значение момента инерции маятника с теоретическим значением Jт, вычисленным по формуле
.
Значения отдельных моментов инерции вычислить по формулам
,
, (7)
.
Здесь - массы оси маятника, диска и кольца;
- внешние диаметры оси маятника, диска и кольца.
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно точки и относительно оси вращения? Какую роль он играет во вращательном движении?
2. Как вычислить момент инерции сплошного тела? От чего зависит момент инерции тела?
2. Что называется моментом силы относительно точки, неподвижной оси? Как определить направление момента силы ?
3. Дать определение угловой скорости и углового ускорения. Как определить их направления?
4. Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями?
5. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
6. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
7. С каким фундаментальным свойством симметрии времени связан закон сохранения механической энергии.
8. Вывести формулу кинетической энергии вращающегося тела и тела движущегося поступательно.
9. Вывести расчетную формулу (5) и формулы (7).
Библиографический список
1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16–18.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 19–24, 39,41.
3. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.
4. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 30, 32–38.
5. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.33, 1.34.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8.
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ
Цель работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения b от момента силы натяжения Мн и определить из него момент силы трения Мтр и момент инерции маховика J.
Оборудование: маховик, штангенциркуль, набор грузов, секундомер, линейка.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения угловое ускорение прямо пропорционально сумме моментов внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции
. (1)
Здесь - векторная сумма моментов сил, которую называют результирующим моментом сил; J - момент инерции тела.
В настоящей работе экспериментально изучается эта зависимость.
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из диска 1 и шкива 2, насаженных на вал (рис. 1). Вал может вращаться около горизонтальной оси OO'. На шкив намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз 3.
При падении груза маховик начинает вращаться с угловым ускорением b.
Результирующий момент, создающий это ускорение, складывается из момента Мн силы натяжения нити и момента Мтр силы трения в подшипниках вала. Так как направления этих моментов противоположны, то уравнение (1) можно представить в виде
. (2)
Если момент инерции маховика и момент силы трения остаются постоянными, то зависимость углового ускорения от момента силы натяжения линейная и графически изображается прямой линией (рис 2).
Из уравнения (2) следует, что при покоящемся маховике (b=0) Мн = Мтр. Только когда момент силы натяжения становится больше максимального момента силы трения покоя, маховик начинает вращаться равноускоренно. Прямая на графике пересекает ось абсцисс (рис. 2) в точке, которая определяет Мтр. Угловое ускорение маховика b можно найти, зная тангенциальное ускорение at точек боковой поверхности шкива, которое равно ускорению a падающего груза:
, (3)
где r и D - радиус и диаметр шкива.
Так как груз движется из состояния покоя равноускоренно, то
, (4)
где h – путь, пройденный грузом за время t.
Подставив выражение (4) в уравнение (3), получим формулу, по которой можно рассчитать на опыте угловое ускорение маховика
. ( 5)
Модуль момента силы натяжения числено равен произведению силы натяжения Fн на плечо силы, которое является радиусом шкива:
.
Силу натяжения нити найдем, рассматривая движение груза 3. На него действуют сила тяжести P и сила реакции нити F1. По второму закону Ньютона , где m - масса подвешенного к нити груза.
Учитывая, что сила натяжения нити, действующая на шкив и сила реакции, действующая на груз, одинаковы по величине (Fн = F1), получим
.
Тогда
. (6)
Подставив в уравнение (6) выражение (4) для ускорения a, получим формулу
, (7)
по которой можно рассчитать на опыте момент силы натяжения нити, действующей на маховик.
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем диаметр D шкива.
2. Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по нижнему основанию груза).
3. Отпустив маховик и, одновременно включив секундомер, определить время t опускания груза с высоты h. Измерение времени провести три раза. Результаты опыта занести в табл. 1.
Таблица 1
|
Номер опыта i |
Масса m, кг |
Высота h, м |
Время t, c |
Момент силы натяжения Мн, Н·м |
Угловое ускорение b, с-2 |
|||
|
t1 |
t2 |
t3 |
<t> |
|||||
|
1 |
||||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
||||||||
|
4 |
||||||||
|
5 |
4. Повторить опыт с пятью различными грузами. Массы грузов указаны на них.
5. По формулам (5) и (7) вычислить для каждого груза угловое ускорение b и момент силы натяжения Мн, их значения записать в табл. 1. (При вычислении в формулы подставлять среднее значение времени <t>).
6. Результаты опыта изобразить графически на листе миллиметровой бумаги. Для этого по оси ординат в определенном масштабе отложить значения b, а по оси абсцисс также в определенном масштабе - значения Мн (масштабы по осям координат выбираются независимо друг от друга и должны быть нанесены на координатные оси). Полученные точки соединить прямой линией. Проводить прямую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам и по обе ее стороны оказывалось приблизительно равное их количество (см. рис. 3).
7. Продлить прямую до пересечения с осью абсцисс, определить по графику момент силы трения.
Для определения момента инерции маховика нужно на экспериментальной прямой взять точки A и B и провести через них прямые, параллельные осям координат (рис. 3). Момент инерции рассчитать по формуле
.
Записать окончательные результаты опыта
Мтр = .....; J = ..... .
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом инерции материальной точки? Единицы его измерения. От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?
2. Что называется моментом силы относительно точки, неподвижной оси? Как определить направление момента силы? В каких единицах он измеряется?
3. Дать определения угловой скорости и углового ускорения. Как определить их направления?
4. Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями?
5. Вывести основное уравнение динамики вращательного движения.
6. Какие силы сообщают вращающий момент маховику?
7. Почему движение подвешенного к нити груза и вращение маховика являются равноускоренными?
8. Вывести расчетные формулы (5) и (7).
9. Объяснить, как графически находят момент силы трения и момент инерции маховика.
10. Проведите аналогию между величинами и формулами, описывающими поступательное и вращательное движение.
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.1–4.3.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 6, 16, 18.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38, 39.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 30, 32–38.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.31– 1.34.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Цель работы: проверить прямо пропорциональную зависимость между угловым ускорением β и моментом силы M при постоянном моменте инерции J и обратно пропорциональную зависимость между β и J при M = const.
Оборудование: маятник Обербека, штангенциркуль, электросекундомер.
Описание установки и метода измерений
Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой маховик, которому придана крестообразная форма. На четырех стержнях насажены грузы одинаковой массы m0, которые могут быть закреплены на различных расстояниях R от оси вращения. На общей оси с маховиком насажены два шкива. На тот или иной шкив намотана нить, к свободному концу её, переброшенному через блок, прикреплен груз массой m. Под действием груза нить разматывается без скольжения и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение.
Рассмотрим силы, действующие на груз. На груз действуют две силы: сила тяжести P = mg и сила натяжения нити Fн. Спроецируем эти силы на ось X, которую направим вертикально вниз. Напишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза
ma = mg – Fн. (1)
Так как масса нити пренебрежимо мала, то согласно третьему закону Ньютона, сила натяжения нити Fн', действующая на маховик, равна силе натяжения (реакции) нити Fн, действующей на груз:
|Fн'| = |Fн|. (2)
На маятник Обербека действуют момент силы натяжения Mн' нити и момент силы трения Mтр в подшипниках.
Основной закон динамики вращательного движения относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, выразится уравнением
Mн' – Mтр = Jβ, (3)
где J – момент инерции маятника Обербека, β – его угловое ускорение.
Так как в нашем опыте Mтр<<Mн', то уравнение (3) можно заменить уравнением
Mн = Jβ. (4)
Момент силы натяжения равен произведению силы натяжения Fн' на плечо силы, являющееся радиусом шкива r:
Mн' = Fн'·r = Fн'·D/2, (5)
где D – диаметр шкива.
Из уравнения (1)
Fн = m(g – a). (6)
С учетом (2) и (6) формула (5) примет вид
(7)
Груз движется вниз равноускоренно, поэтому пройденный путь h определяется уравнением кинематики
, (8)
из которого выражаем линейное ускорение
(9)
Расчет ускорения по формуле (9) показывает, что в условиях нашего опыта a<<g, поэтому уравнение (7) упрощаем до вида
(10)
Угловое ускорение β связано с линейным (тангенциальным) ускорением точек боковой поверхности шкива, равным ускорению груза m, соотношением
Тогда, учитывая (9), получим
(11)
Из уравнения (4) следует, что при J = const в случае действия на маховик двух различных моментов сил M1 и M2 отношение этих моментов прямо пропорционально отношению угловых ускорений
(12)
Согласно уравнениям (10) и (11) при D = const и h = const
(13)
(14)
Для проверки равенства (12) необходимо по результатам опыта определить отношение моментов сил по формуле (13) и отношение угловых ускорений по формуле (14) и сравнить эти отношения.
Для определения отношений (13) и (14) нужно изменять вращающий момент, подвешивая к нити грузы разной массы m1 и m2, не изменяя положения грузов m0 на стержнях.
Согласно (4), угловое ускорение β обратно пропорционально J при M = const.
Если построить график зависимости 1/β = f(J) при M = const, то его линейность должна подтвердить обратно пропорциональную зависимость β от J. Величину, обратную β, найдем из (11):
(15)
Момент инерции маятника Обербека может быть определен как сумма моментов инерции крестовины со шкивом и грузов m0. Если размеры грузов малы по сравнению с расстоянием R от центра груза до оси вращения, то их моменты инерции можно определить как моменты инерции материальных точек. Таким образом,
J = J0 + km0R2, (16)
где J0 – момент инерции крестовины со шкивом, m0 – масса груза, k – количество грузов.
Из формулы (16) следует, что момент инерции маятника Обербека можно изменить, меняя количество грузов на крестовине и их расстояние до оси вращения.
Порядок выполнения работы
1. Определить массу грузов m1 и m2 (m1 взять примерно вдвое больше m2). Определить высоту h, с которой будут опускаться грузы.
2. Укрепить на крестовине грузы m0 на одинаковых наибольших расстояниях R = R1. Добиться того, чтобы маятник находился в безразличном равновесии (по равновесию маятника в двух положениях при горизонтальном расположении каждой пары стержней).
Таблица 1
|
Номер опыта |
Время t1i, c |
Время t2i, с |
Время t3i, с |
Время t0i, с |
Время t4i, c |
Время t5i, c |
Параметры маятника |
|
1 |
m0 = …, кг m1 = …, кг m2 = …, кг h = …, м D = …, м R1 = …, м R2 = …, м |
||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
<tn>, с |
|||||||
|
1/β, с-2 |
|||||||
|
0 |
|||||||
3. Определить расстояние R1 (см. рис. 1). Для этого надо измерить высоту l0 цилиндрического груза m0, диаметр шкива D, расстояние l1 от груза m0 до шкива. Вычислить R по формуле
R = l1 + l0/2 + D/2.
Результаты измерений п.п. 1 – 3 записать табл.1.
4. Вращая маятник, намотать нить на шкив и поднять груз m1 на высоту h. Затем отпустить маятник и измерить время t1 опускания груза. Опыт повторить три раза. Результаты записать в таблицу.
5. Заменить груз m1 на m2 и повторить измерения, приведенные в п. 3. Измеренное время t2 записать в таблицу. По результатам измерений вычислить средние значения <t1> и <t2>.
6. По формуле (13) вычислить отношение моментов сил, а по формуле (14), используя средние значения <t1> и <t2>, вычислить отношение угловых ускорений. Сравнить полученные отношения.
Если
,
то (12) выполняется. Для вычисления Δx1 и Δx2 смотрите обработку результатов измерений.
7. Оставляя массу подвешенного груза неизменной (m1), измерить время t3 опускания груза для двух симметрично расположенных грузов m0 на крестовине маятника, и время t0 опускания груза для маятника без грузов m0.
8. Установить расстояние R2 примерно на 5 см меньше R1 и измерить время t4 и t5 для двух и четырех грузов m0 соответственно. В каждом случае опыт провести три раза. Результаты измерений записать в табл. 1 и 2.
9. По формуле (15) для каждого случая определить 1/β, подставляя <tn>. Построить график зависимости 1/β от J, располагая неизвестное J0 в начале координат. Для построения графика использовать данные двух последних строк в таблице, кроме данных для времени t2. По виду графика сделать вывод о характере зависимости 1/β от J.
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом инерции материальной точки? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?
2. При любом ли расположении грузов на крестовине их можно считать точечными?
3. Что называется моментом силы относительно неподвижной оси? Как определить его направление? В каких единицах он измеряется?
4. Дать определение угловой скорости и углового ускорения.
Как направлен вектор угловой скорости?
5. Какова связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями?
6. Какая сила сообщает вращающий момент маятнику?
7. Вывести основной закон динамики вращательного движения. Как он записывается для маятника Обербека?
8. Какова цель работы?
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.1–4.3.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 6, 16, 18.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38, 39.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 30, 32–38.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.33, 1.34 Гл. 3.2 § 3.3.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: определить момент инерции тела, используя трифилярный подвес.
Оборудование: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, образец для измерения.
Описание установки и метода измерений
Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси, совпадающей с нитью подвеса, и затем отпустить. Такие колебания происходят под действием упругих сил, возникающих при закручивании нити. Период гармонических крутильных колебаний зависит от упругости нити и момента инерции колеблющегося тела.
В данной работе метод крутильных колебаний осуществляется путем применения трифилярного подвеса.
Трифилярный подвес состоит из диска массой m, радиусом R (рис. 1), подвешенного на трех симметрично расположенных нитях длиной l. Наверху эти нити закреплены по краям диска меньшего радиуса r. При повороте диска на небольшой угол относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, все три нити принимают наклонное положение, и диск начинает совершать крутильные колебания.
В процессе колебания диска его центр массы перемещается по оси вращения (рис. 1). Обозначим через h = h1 – h2 высоту, на которую поднимается центр массы диска при наибольшем отклонении его от положения равновесия. При этом потенциальная энергия диска
.
При возвращении диска к положению равновесия его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения
.
Рис. 1
В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия принимает максимальное значение
где J - момент инерции диска, w0 - максимальная угловая скорость диска.
Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии можно записать
. (1)
При малых углах поворота диска (4 - 60) колебания можно считать гармоническими. Тогда угловое смещение диска от положения равновесия будет изменяться с течением времени по закону
,
где - амплитуда углового смещения, T- период колебания диска.
Мгновенная угловая скорость вращения определяется как первая производная углового смещения j по времени t
.
В момент прохождения диском положения равновесия угловая скорость диска максимальна и равна
. (2)
Из формул (1) и (2) получим
(3)
Найдем величину h при повороте диска на угол. Будем считать, что . Тогда (см. рис. 1)
. (4)
Из рисунка следует, что
;
.
Подставив и в формулу (4),найдем
.
Вследствие малости угла j0 синус его можно заменить самим углом. Тогда
.
Подставив значение h в формулу (3),получим
. (5)
Формула (5) является расчетной для вычисления момента инерции диска. Величину периода колебаний диска Тд измеряют в ходе опыта, а остальные величины указаны на установке.
Если на диск положить тело произвольной формы так, чтобы центр массы его лежал на оси, вокруг которой совершаются колебания, то момент инерции всей системы Jc определится по формуле
, (6)
где mт - масса положенного на диск тела; Tc -период колебаний системы.
С другой стороны, момент инерции этой системы равен сумме моментов инерции диска и тела:
Jс= Jд+ Jт.
Таким образом, если из опыта по формулам (5) и (6) вычислить моменты инерции диска и системы, то момент инерции тела
Jт = Jc - Jд. (7)
Порядок выполнения работы.
1. Поворотом нижнего диска привести систему в колебательное движение. Следите за тем, чтобы центр масс диска не смещался в сторону, т.е. перемещался вертикально. Амплитуда колебаний не должна превышать 4 - 60.
2. Секундомером измерить время tд для 20 полных колебаний (n) и вычислить период колебаний T = tд/n. Измерение повторить 5 раз. Результаты записать в табл. 1. Вычислить среднее значение периода <T>.
Таблица 1
|
Номер опыта |
Число ni колебаний |
Время tд, с |
Время tc, с |
Период Tд, с |
Период Tc, с |
Параметры установки |
|
1 |
R = r = l = mд = mT = |
|||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
4 |
||||||
|
5 |
3. По формуле (5) определить момент инерции диска Jд, подставляя среднее значение периода. Измерить (l, R, r). Значение m указано на установке. R и r равны радиусам дисков, если нить подвеса проходит через край диска. В противном случае за R и r надо брать расстояние от центров дисков до точки подвеса.
4. Сравнить момент инерции диска Jд = mR2/2, вычисленный по теоретической формуле, с экспериментальным результатом, полученным по формуле (5).
5. Поместить тело, момент инерции которого будем определять, на диск так, чтобы его центр массы находился на оси, вокруг которой совершаются крутильные колебания.
6. Провести измерения согласно пп. 1-3 и вычислить Jc по формуле (6).
7. Определить момент инерции тела по формуле (7).
8. Вычислить относительную погрешность измерения момента инерции диска
Подумайте, погрешностью каких величин можно пренебречь в приведенной формуле?
9. Найти абсолютную погрешность
Результат записать в виде
J = ... ± ... .
Контрольные вопросы
1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно точки (полюса) и относительно оси вращения? От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?
2. Вывести формулу момента инерции диска относительно оси перпендикулярной к диску и проходящей через центр инерции.
3. Что представляют собой крутильные колебания?
4. Какие колебания называют гармоническими? Что такое амплитуда, фаза, период, частота? Напишите кинематическое уравнение гармонических колебаний.
5. Что называется угловой скоростью? Как найти мгновенную угловую скорость при гармонических крутильных колебаниях?
6. Вывести формулу кинетической энергии вращающегося тела.
7. Вывести расчетную формулу (5).
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.3.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16–17, 140–141.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38, 39, 41, 53.
3. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 4 §4.4. Гл.7 § 7.1, 7.3, 7.4, 7.6.
4. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 33–36, 39,42.
5. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.33. Гл. 3.2 § 3.3.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ МАЯТНИКОМ-СТЕРЖНЕМ
Цель работы: построить график зависимости периода колебаний маятника-стержня от расстояния между верхним концом стержня и осью качания. Вычислить ускорение свободного падения.
Оборудование: маятник-стержень, секундомер.
Описание установки и метода измерения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника
, (1)
где J - момент инерции маятника относительно оси качания (точки подвеса), m - масса маятника, a - расстояние от центра массы до оси качания (см. рис. 1). Однако формула (1) непосредственно для вычисления g не используется, так как момент инерции J и расстояние aобычно не могут быть измерены достаточно точно. Поэтому применяются такие методы, которые позволяют исключить данные величины из расчетной формулы для вычисления g.
В данной работе это достигается путем использования физического маятника в форме длинного стержня.
Маятник представляет собой однородный стержень (рис. 1) с опорной призмой П, которую можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любом его месте. Для определения положения призмы на стержне нанесена шкала с делениями через 1 см.
Период колебаний маятника, который выражается формулой (1), можно записать в виде
, (2)
где называется приведенной длиной физического маятника.
Момент инерции стержня относительно оси качания запишем по теореме Штейнера:
, (3)
где J0 момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр массы C (середину стержня) параллельно оси качания.
Для стержня
.
Для любого тела момент инерции J0 можно представить в виде
. (4)
Величина a0 называется радиусом инерции и имеет определенное значение для каждого тела. Для стержня
Используя формулы (3) и (4), получим выражение для приведенной длины
,
и периода колебаний
.
Таким образом, приведенная длина и, следовательно, период колебаний маятника являются функциями расстояния от центра массы до оси качания.
Из этих формул видно, что L и T стремятся к бесконечности при двух значениях a: при a®0 и при a®¥. Для определения значений при которых период является экстремальным, найдем производную dL/da и приравняем ее к нулю:
,
откуда a = ± a0 .Значит, T = Tmin, если опорная призма закреплена на расстоянии a0 » l/3 от середины стержня. Второе расстояние a = a0 означает, что если перевернуть стержень, то для точек подвеса, симметричных относительно середины, периоды колебаний будут одинаковы.
Из графика (риc. 2) видно, что при увеличении или уменьшении расстояния a по сравнению с a0 период колебания увеличивается. Поэтому одно и то же значение периода, большее чем Tmin, маятник может иметь при двух положениях опорной призмы: при и . Для этих положений опорной призмы будут одинаковы и приведенные длины маятника, что следует, из формулы (2):
,
откуда . Тогда
(5)
Приведенная длина (рис. 2) L = MN + MK. Очевидно, что другому периоду колебаний будет соответствовать другая приведенная длина.
После подстановки (5) в (2) получим
,
откуда
. (6)
Формула (6) является расчетной для вычисления ускорения
свободного падения. Значения и T определяют по экспериментально построенному графику. Для этого опорную призму перемещают вдоль стержня и для каждого ее положения измеряют период колебаний. При проведении опыта и построении графика вместо расстояния a удобнее брать расстояние от конца стержня до призмы, которое на рис. 1 обозначено х.
Порядок выполнения работы
1. Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала ~ 60. Это означает, что наибольшее отклонение нижнего конца стержня от положения равновесия не должно превышать 0,1 расстояния от конца до опорной призмы.
2. Определить секундомером время t десяти полных колебаний. Значения х и t записать в табл. 1.
Таблица 1
|
Номер опыта i |
Расстояние x, м |
Число колебаний n |
Время t, с |
Период колебаний T, с |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
… |
3. Перемещать опорную призму к середине стержня через 0,01 м измеряя для каждого ее положения время 10 полных колебаний и занося результаты измерения в табл. 1.
Измерения можно прекратить после того, как получится, что время 10 колебаний стало больше времени, полученного при самом первом измерении, когда опорная призма находилась на конце стержня.
Перевертывать маятник и определять периоды для различных положений призмы на другом конце стержня нет необходимости.
4. Вычислить периоды колебаний Т по формуле Т = t/n и занести в табл.
5. Построить график T = f(x). Для этого по оси абсцисс откладывают расстояние х от конца стержня до опорной призмы, а по оси ординат - соответствующее значение периода.
Масштаб по оси ординат следует выбрать по возможности больше, чтобы точнее определить по графику величины L и T . Для этого за начало отсчета по оси ординат нужно взять не нуль, а некоторое значение периода, меньшее Тmin, но близкое к нему.
Отметить на оси абсцисс середину стержня и провести через эту точку прямую, параллельную оси ординат. В итоге получится график, показанный на рис. 3.
6. По графику определить для 5 различных значения периода соответствующие им значений приведенной длины маятника L (5). Для этого нужно провести 5 прямых, параллельных оси абсцисс так, чтобы каждая прямая пересекала построенную кривую в двух точках. Значения Т и L, определенные для каждой такой прямой, записать в табл. 2.
Таблица 2
|
Номер опыта i |
Период колебаний T, с |
Приведенная длина L, м |
Ускорениеgi, м/с2 |
(gi - <g>) |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
4 |
||||
|
5 |
||||
|
t(α, n) |
<g> |
∑(gi - <g>) |
||
7. По формуле (6) вычислить g для каждого измерения и найти среднее значение <g>
.
8. Вычислить относительную погрешность по формуле
.
Здесь Δa = Δa1 = Δa2. Для нахождения ΔT необходимо произвести
измерения T 5 раз для одного из значений x и вычислить абсолютную погрешность по формуле
,
где t(α, n) - коэффициент Стьюдента.
9. Вычислить абсолютную погрешность Δg = ε<g>.
10. Записать конечный результат в виде g = ... ± ... .
Контрольные вопросы
1. Какие колебания называются гармоническими? Дать определение их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты). При каких условиях колебания физического маятника можно считать гармоническими?
2. Что называется физическим маятником?
3. Вывести формулу периода колебаний физического маятника.
4. Что называется приведенной длиной физического маятника? Вывести формулу (5).
5. Как определить точку подвеса, для которой период колебаний минимальный? Проверьте, соответствует ли расчетное значение экспериментальному?
6. Что называется моментом инерции материальной точки? Как вычислить момент инерции твердого тела? Сформулировать теорему Штейнера.
7. Вывести расчетную формулу (6).
8. Почему для определения g не пользуются непосредственно формулой периода колебаний маятника?
Библиографический список.
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.3, 27.1–27.2.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16, 140–142.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 53–54.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 2 § 2.1–2.4. Гл.7 § 7.3, 7.4.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д.В.Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 33, 42.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК
Цель работы: проверить закон Гука; определить жесткость пружины статическим и динамическим способами.
Оборудование: пружина с линейкой, набор грузов, секундомер.
Краткая теория
Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Так, упруго растянутая пружина принимает свою прежнюю длину после прекращения действия растягивающей силы. С изменением знака силы меняется и знак упругой деформации. Например, если под влиянием растягивающей силы пружина удлиняется, то под влиянием сжимающей силы она укорачивается.
По закону, установленному английским физиком Р. Гуком, величина деформации х пропорциональна действующей силе F: х F.
Под абсолютно твердым телом подразумевается такое тело, которое нисколько не деформируется под влиянием приложенных к нему сил. В природе нет неизменных, абсолютно твердых тел. Любое тело под действием сил испытывает большую или малую деформацию. Если при устранении внешних сил деформация исчезает, то тело называют упругим. Вообще под упругостью подразумевают присущее телам стремление восстанавливать измененную внешними силами форму. Одно и то же тело в зависимости от внешних условий (например, температуры или давления) может быть упругим или неупругим (пластичным). Так, с хорошей упругостью стальная пружина по мере повышения температуры становится всё более пластичной.
Если на упругое тело действуют какие-либо внешние силы, то, согласно третьему закону Ньютона, и со стороны упругого тела на внешние тела действуют такие же, но противоположно направленные силы. Эти силы называют упругими силами. Поэтому закон Гука можно выразить и таким образом: при малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации. Например, рассмотрим растянутую пружину. Если её длину из недеформированного состояния увеличили на х, то согласно закону Гука сила упругости пружины
Fупр., х = - kх, (1)
где коэффициент k называется коэффициентом упругости или коэффициентом жесткости пружины. Положив в (1) х = 1, получим k = Fупр., х.
Это означает, что коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина увеличилась на единицу длины. Знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную удлинению (смещению). Сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена к положению равновесия.
Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими силами. К таким силам относятся, например, сила связи в атомах между ядром и так называемыми оптическими электронами.
Груз на пружине, если отклонить его от положения равновесия и отпустить, будет совершать колебания около положения равновесия. Такая система носит название пружинного маятника. Колебания груза совершаются по закону синуса или косинуса и поэтому являются гармоническими. Уравнения колебаний, выражающие собой зависимость смещения груза от времени, имеют вид
х = Asin(t + a) или х = Acos(t + a′). (2)
В этих уравнениях А – амплитуда колебаний, т.е. величина наибольшего смещения груза от положения равновесия. Её значение зависит от величины первоначального отклонения или толчка, которым груз был выведен из положения равновесия. Постоянные величины a, a' представляют собой значения фазы в начальный момент времени t = 0 и называются начальной фазой колебания. Величина есть круговая частота колебаний, она численно равна числу колебаний за 2π секунд. Продолжительность одного полного колебания называется периодом колебания Т. Период колебаний связан с круговой частотой соотношением
Т = 2p/.
Для определения зависимости от k запишем второй закон
Ньютона для груза на пружине
ma = Fупр,х = - kх (3)
Продифференцировав дважды функцию (2) по времени, получим
а = - 2 Acos (t + a) = - 2x. (4)
После подстановки (4) в (3) находим
= и Т = 2p. (5)
Последняя формула выражает период собственных колебаний пружинного маятника, который зависит только от свойств колеблющейся системы: от массы груза и коэффициента упругости пружины.
В данной работе делается проверка справедливости закона Гука и определяется коэффициент упругости пружины. При этом определение коэффициента упругости k делается двумя способами: из закона Гука (статический способ) и из измерений периода колебаний маятника (динамический способ). Совпадение значений k, найденных различными способами, будет указывать на правильность теории пружинного маятника.
Описание установки и метода измерений
Установка (рис. 1) состоит из пружины, верхний конец которой закреплен неподвижно, а на нижнем конце подвешен груз. К пружине прикреплён указатель, перемещающийся вдоль линейки при деформации пружины. В комплект установки входит также набор грузов различной массы.
Порядок выполнения работы
ЗАДАНИЕ № 1
Проверка закона Гука
1. К нижнему концу пружины подвешивать разные грузы массы mi и по линейке отмечать вызванные ими удлинения хi. Измерения выполнить для пяти различных грузов. Результаты измерений записать в табл. 1.
2. Построить график зависимости силы тяжести mg, действующей на грузы, от удлинения пружины x, используя данные табл. 1. Из условия равновесия груза на пружине следует, что Fупр. равна силе тяжести mg, поэтому проверка прямо пропорциональной зависимости между mg и удлинением пружины x будет являться проверкой закона Гука.
Таблица 1
|
Номер груза |
m, кг |
mg, Н |
х, м |
<k>, Н/м |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
4 |
||||
|
5 |
ЗАДАНИЕ №2
Определение коэффициента упругости
1. По графику зависимости mg = f(x) определить коэффициент упругости k, используя формулу k = Δ(mg)/Δx.
2. Вывести груз из положения равновесия и измерить секундомером время t, в течение которого груз совершает n колебаний. Число отсчитываемых колебаний желательно делать не менее 10. Измерения с одним повторить 5 раз.
3. Вычислить период колебаний T = t/n.
4. Как отмечалось выше, . Отсюда k = 4π2m/T2. По этой формуле определить k. Данные занести в табл. 2.
5. Сравнить результаты для средних значений упругости <k> пружины, полученные статическим и динамическим способами. Сделать вывод.
Таблица 2
|
Номер опыта i |
mi, кг |
ti, c |
n |
Ti, c |
<ki>, H/м |
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
Вычислить абсолютную погрешность измерения коэффициента упругости динамическим способом по формуле k =<k>, где относительная погрешность равна:
Контрольные вопросы
1. Что такое колебание?
2. Дайте определение обычной и циклической частоты колебаний. Какова связь между ними?
3. Что такое упругость?
4. Какая сила называется упругой, квазиупругой?
5. Что называют коэффициентом упругости?
6. Какие колебания называются гармоническими?
7. Запишите кинематическое уравнение движения гармонического колебания.
8. Дайте определения амплитуды, фазы колебаний.
9. Напишите формулу зависимости скорости МТ от времени при гармонических колебаниях.
10. Напишите уравнения связи амплитуды скорости и амплитуды смещения при гармонических колебаниях МТ.
11. Напишите формулу зависимости ускорения МТ от времени при гармонических колебаниях.
12. Напишите уравнения связи амплитуды скорости и амплитуды ускорения при гармонических колебаниях МТ.
13. Напишите уравнения связи амплитуды смещения и амплитуды ускорения при гармонических колебаниях МТ.
14. Напишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний МТ.
15. Напишите дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний МТ.
16. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если пружины соединить последовательно, параллельно?
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 27.1–27.2.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 140–142.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 14, 53.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 2 § 2.1, 2.2, 2.3.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 39,40.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.33. Гл. 3.2 § 3.3, 3.7.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ОБОРОТНЫМ МАЯТНИКОМ
Цель работы: определить приведенную длину оборотного маятника и вычислить ускорение свободного падения.
Оборудование: оборотный маятник, секундомер.
Теоретические сведения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических ко-
лебаний физического маятника
. (1)
Здесь J - момент инерции маятника относительно оси качания (точки подвеса), m - масса маятника, а - расстояние от оси качания до центра масс.
Величина называется приведенной длиной физического маятника. Тогда
. (2)
Формула (1) для вычисления g обычно не используются, так как измерение а и J представляет большие трудности. Применение оборотного маятника, который является частным случаем физического маятника, позволяет обойти эти трудности, потому что предлагаемый метод дает возможность определить g без измерения момента инерции J и расстояния а.
Оборотный маятник (рис. 1) состоит из стержня, на котором закреплены опорные призмы П1 и П2. Между опорными призмами закреплен груз А. Второй груз В можно перемещать по стержню и закреплять в любом месте между призмой П2 и концом стержня.
Особенностью оборотного маятника является то, что в нем можно найти две такие точки, лежащие по разные стороны от центра масс С, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую точку период колебаний его остается одним и тем же.
Можно показать, что расстояние между этими точками равно приведенной длине маятника L.
Преобразуем формулу (1). Подставим в нее по теореме Штейнера выражение
,
где J0 - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс С параллельно оси качаний, а величины J, m, a те же, что в формуле (1).
Тогда
.
Если маятник совершает колебания на призме П1, то период колебания
. (3)
Если маятник перевернуть и заставить качаться на призме П2, то период колебания
. (4)
Из (3) и (4) имеем
,
. (5)
При перемещении грузов изменяется положение центра масс С (см. рис. 1) и, следовательно, изменяются величины а1 и а2. Можно добиться такого положения грузов на стержне, при котором T1 = T2 = T в пределах точности эксперимента.
Тогда (5) имеет вид
. (6)
Докажем, что расстояние l = a1 + a2 между опорными призмами оборотного маятника при T1 = T2 = T равно приведенной длине L. Из (6) имеем
. (7)
Сравнив формулы (2) и (7), видим, что, L = a1 +a2. Расчетная формула для ускорения свободного падения имеет вид
. (8)
Сущность работы состоит в том, чтобы найти такое положение грузов на стержне, при котором периоды колебаний на призмах П1 и П2 были равны. Тогда, измерив величину периода T и приведенную длину оборотного маятника L = a1 + a2, по формуле (8) можно найти g.
Описание установки и метода измерений
В основании 1 (рис. 1) закреплена колонка 2, на ней зафиксирован верхний кронштейн 3 и нижний кронштейн 4 с фотоэлектрическим датчиком 5. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении.
Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня 6, на котором находятся две призмы 7 и два груза 8. На стержне через 1 см нанесены деления для определения приведенной длины маятника. Призмы и грузы можно перемещать вдоль стержня и фиксировать в любом положении.
Порядок выполнения работы
1. Закрепить один груз вблизи конца, а другой - вблизи середины стержня.
2. Закрепить призмы так, чтобы они были обращены друг к другу. Одну из них поместить вблизи свободного конца стержня, а другую - примерно на половине расстояния между грузами. Проверить, совпадают ли основания призм с делениями на стержне.
3. Закрепить маятник на вкладыше верхнего кронштейна на призме П1, находящейся вблизи конца стержня.
4. Нижний кронштейн вместе с фотодатчиком установить так, чтобы стержень маятника пересекал световой поток фотодатчика.
5. Отклонить маятник на 4-50 от положения равновесия и отпустить.
6. Нажать клавишу "СБРОС" секундомера 9, при этом начинается отсчет времени t и числа полных колебаний n.
7. После подсчета измерителем n полных колебаний нажать клавишу "СТОП". Результаты измерений записать в табл. 1.
8. Определить период колебаний маятника T1
,
где t1 - продолжительность колебаний.
9. Снять маятник, закрепить его на второй призме П2 и определить период колебаний T2:
10. Сравнить периоды колебаний T1 и T2.
Если T2 > T1 , то вторую призму переместить в направлении груза, находящегося на конце стержня.
Если T2<T1 , то переместить вторую призму в направлении середины стержня.
Положение груза А и первой призмы П1 не менять!
11. Повторно измерить период T2 и сравнить с величиной T1.
12. Изменять положение второй призмы до момента получения равенства T2 = T1 с точностью до 0.5%.
Результаты всех измерений записать в табл. 1.
Таблица 1
|
n1i |
t1, с |
T1, с |
n2i |
t2, с |
Т2, с |
L, м |
13. Измерить приведенную длину оборотного маятника L, принимая ее равной расстоянию между опорными призмами.
14. Определить ускорение свободного падения по формуле(8) и обработать результаты измерений.
Контрольные вопросы
1. Какие колебания называются гармоническими? Дать определения их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты).
2. Как представить гармонические колебания с помощью вращающегося вектора?
3. Как найти скорость и ускорение при гармоническом колебании?
4. Написать основное уравнение динамики гармонического колебания.
5. Что называется физическим маятником?
6. Вывести формулу периода колебания физического маятника.
7. Что называется приведенной длиной физического маятника?
8. Что называется моментом инерции материальной точки? Как вычислить момент инерции твердого тела? Сформулировать теорему Штейнера.
9. Вывести расчетную формулу(8).
Библиографический список
1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16, 140–142.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 38, 39.
3. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 2 § 2.1, 2.2, 2.3.
4. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 39,40.
5. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.6 § 1.33. Гл. 3.2 § 3.3, 3.7.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Цель работы: наблюдать собственные колебания гибкой однородной струны, натянутой между двумя неподвижными точками; исследовать зависимость скорости распространения поперечных колебаний (скорости, с которой передвигается возмущение по струне) от натяжения струны.
Оборудование: установка для изучения колебаний.
Общие сведения
Если натянуть струну и возбудить в ней колебания, то по струне побегут волны, которые, отражаясь от закрепленных концов и, складываясь друг с другом, создают сложную картину колебаний.
Рассмотрим, как распространяются волны по струне. Для этого оттянем струну, а затем ее отпустим. Созданное нами возмущение передвигается по струне, не меняя своей формы. Такое перемещающееся возмущение называется бегущей волной. В нашем случае отклонение частиц струны происходит в направлении, перпендикулярном направлению движения волны (направлению струны). Такие волны называются поперечными.
Скорость, с которой передвигается возмущение по струне, называется скоростью волны. Обозначим ее буквой u. Эта скорость не имеет ничего общего со скоростью u, которую приобретают частицы струны в процессе прохождения волны. Эти две скорости в поперечной волне перпендикулярны друг другу. Не равны и их численные величины. Скорость u зависит от того, насколько сильно была оттянута струна перед тем, как ее отпустили. Эта скорость непрерывно меняется во времени и меняет знак, когда частицы струны изменяют направление своего движения. Скорость волны u определяется только плотностью материала струны и ее натяжением.
Запишем уравнения двух плоских гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
, (1)
, (2)
где y1, y2 - смещение точек струны от положения равновесия, А - амплитуда, w - круговая частота колебаний, k – волновое число (k = 2π/λ).
Волна (1) перемещается в сторону увеличения х, волна (2) - в сторону уменьшения х; х – координата колеблющейся точки.
Сложив эти уравнения и, преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны
y = y1 + y2 = 2Acos(kx)·cosωt. (3)
Заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (3) примет вид
y = (2Acos2πx/λ)cosωt. (4)
В стоячей волне все точки колеблются в одинаковой фазе, а их амплитуда
зависит от x. Точки стоячей волны, в которых отсутствует смещение, называют узлами, а точки, в которых амплитуда колебаний максимальна – пучностями, рис. 1.
Координаты узлов стоячей волны найдем из условия
.
Тогда
,
где n- любые целые числа (n= 0,1, 2, 3, ...). Координаты узлов имеют значения
. (5)
Аналогично получается выражение для координаты пучностей
. (6)
Из формул (5) и (6) видно, что соседние узлы или пучности в стоячей волне отстоят друг от друга на половину длины волны λ/2.
Длина волны определяется как
, (7)
где υ – скорость волны, ν – частота колебаний в герцах.
Частота колебаний, при которой на длине струны укладывается одна полуволна, называется основным тоном. Все остальные стоячие волны носят название обертонов. В нашем случае выражение (7) можно переписать
, (8)
где L - длина струны.
Тогда частота собственных колебаний струны будет
. (9)
Строгий расчет скорости распространения волны в струне приводит к дифференциальному уравнению в частных производных (к так называемому волновому уравнению). Такой расчет выходит за рамки нашего курса, поэтому для вывода применим метод анализа размерностей.
Опыт показывает, что существует зависимость частоты стоячих волн, следовательно, и скорости u, от натяжения струны, ее массы и длины. Запишем эту зависимость
, (10)
где c - безразмерный коэффициент; a, b, g - неизвестные показатели степени.
Распишем размерность правой и левой части уравнения (10):
. (11)
Равенство (11) возможно, если показатели у одноименных величин, стоящих слева и справа, равны, т.е.
. (12)
Из системы уравнений (12) находим a=-1/2, b=1/2, g=1/2.
Подставляя значения a, b, g в (11), находим
(13)
При с = 1 формула (13) совпадает с теоретической.
Итак,
, (14)
где r и d - плотность материала струны и ее диаметр, соответственно, F - сила натяжения струны.
Описание установки
Для возбуждения колебаний струны в работе используется метод резонанса. Струна приводится в движение силой, действующей на проводник с током в магнитном поле. Постоянное магнитное поле создается магнитом. На струну подается переменное напряжение от звукового генератора. Частота силы, раскачивающей струну, равна частоте колебания тока в струне, т.е. частоте генератора.
Данная работа выполняется на установках двух типов. Установка первого типа выполнена в настольном исполнении на едином основании с регулируемыми опорами и состоит из штатива, на основании которого закреплен электронный блок, над электронным блоком закреплен механизм натяжения струны. Механизм натяжения струны состоит из основания, на котором закреплен постоянный магнит и планка. Между полюсами магнита через блок протянута струна. Один конец струны крепится к клемме, а другой - к тарировочной пружине. Второй конец пружины механически связан с винтовым механизмом, предназначенным для
изменения натяжения струны.
Сила натяжения струны измеряется по шкале. Весь механизм закрыт кожухом, на передней поверхности которого нанесена шкала, предназначенная для измерения длины полуволн. Для улучшения видимости колеблющейся струны применяется подсветка. Для изменения точки приложения вынуждающей силы передвигают магнит, ослабив крепящие его винты.
Установка второго типа (рис. 2) не имеет единого основания и собирается из отдельных частей. Натяжение струны осуществляется грузами в чашке, прикрепленной к одному из концов струны.
Порядок выполнения работы
1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку "СЕТЬ".
2. Дать электронному блоку в течение 1-2 минут войти в режим.
3. Установить натяжение струны F = 0,40 Н. Для установки второго типа положить в чашечку груз m = 40 г.
4. Ручку "ВЫХОД" на лицевой панели электронного блока повернуть вправо до упора.
5. Изменяя частоту в диапазоне 15 - 40 Гц с помощью ручек "ГРУБО" и "ПЛАВНО", получить одну хорошо различимую полуволну по всей длине струны. Отсчет частоты производить при максимальной амплитуде полуволны.
6. Увеличивая частоту кратно полученной, получить колебания нескольких обертонов. Число хорошо различимых полуволн при этом должно быть не менее четырех. Для установки второго типа - не менее трех. Колебания, соответствующие основному тону и наблюдаемым обертонам, зарисовать.
Проделать эти измерения при различных натяжениях струны (не менее трех раз).
7. По экспериментально найденным частотам рассчитать
скорость распространения поперечных колебаний, применяя формулу (9).
8. Вычислить теоретическое значение скорости распространения поперечных колебаний в струне для каждой силы натяжения по формуле (14).
9. Построить графики (на одном чертеже) теоретической и экспериментальной зависимости скорости распространения колебаний в струне от .
10. Проанализировать графики и сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Чем стоячая волна отличается от бегущей?
2. В чем назначение постоянного магнита и генератора колебаний в данной работе? Какие колебания можно возбудить в струне при расположении магнита под серединой струны?
3. Как происходит отражение волн от свободного и закрепленного концов струны? В каких случаях в месте отражения получается узел, а в каких - пучность?
4. Что называется стоячей волной? Как она возникает? Что такое пучности, узлы стоячей волны? Вывести уравнение стоячей волны и координаты узлов и пучностей.
5. Начертите зависимость амплитуды стоячей волны от координаты и укажите на ней узлы и пучности.
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 29.1, 29.5, 29.6.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 140, 141, 145, 153–157.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 97, 99,100.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Ч.3. Гл. 5 § 5.1, 5.4, 5.7.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 84.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 3.5 § 3.15.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Цель работы: определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны.
Оборудование: металлическая труба, микрофон, осциллограф, электродинамический громкоговоритель (динамик), генератор электрических колебаний звуковой частоты.
Общие сведения
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина волны связана с периодом колебания частиц T и скоростью распространения волны u соотношением
λ = υT или λ = υ/ν,
где ν = 1/T - частота колебания частиц среды.
Если две волны одинаковой частоты и амплитуды распространяются навстречу друг другу, то в результате их наложения при определенных условиях может возникнуть стоячая волна. В среде, где установились стоячие волны, колебания частиц происходят с различной амплитудой. В определенных точках среды амплитуда колебания равна нулю, эти точки называются узлами; в других точках амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний, такие точки называются пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно l/2, где l - длина бегущей волны (рис. 1).
Стоячая волна может образоваться при наложении падающей и отраженной волн. При этом, если отражение происходит от среды во много раз более плотной, чем среда, в которой распространяется волна, то в месте отражения смещение частиц равно нулю, то есть образуется узел. Если волна отражается от среды менее плотной, то из-за слабого задерживающего действия частиц второй cреды на границе возникают колебания с удвоенной амплитудой, то есть образуется пучность. В том случае, когда плотности сред мало отличаются друг от друга, наблюдается частичное отражение волн от границы раздела двух сред.
Рассмотрим стоячие волны, которые образуются в трубе с воздухом длиной l, закрытой с двух сторон (рис. 1а). Через небольшое отверстие в одном конце трубы при помощи динамика возбудим колебания звуковой частоты. Тогда в воздухе внутри трубы распространится звуковая волна, которая отразится от другого закрытого конца и побежит обратно. Казалось бы, что должна возникнуть стоячая волна при любой частоте колебаний. Однако, в трубе, закрытой с двух сторон, на концах должны образовываться узлы. Это условие выполняется, если в трубе укладывается половина длины бегущей волны: l = l/2 (рис. 1б). Здесь амплитуды смещения частиц воздуха отложены по вертикали. Сплошной линией изображена бегущая волна, пунктиром - отраженная. В трубе возможна и такая стоячая волна, где имеется и еще один узел, при этом укладываются две половины длины волны: l = 2l/2 (рис. 1в). Следующая стоячая волна возникает, когда длина бегущей волны удовлетворяет условию l = 3λ/2 (рис. 1г). Таким образом, в трубе, закрытой с двух сторон, стоячая волна образуется в тех случаях, когда на длине трубы укладывается целое число половин длин волн:
, (1)
где m = 1, 2, 3. Выразив l из (1) и подставив в формулу ν = υ/λ,
получим
.
Полученная формула выражает собственные частоты колебаний воздушного столба в трубе длиной l, где m = 1 соответствует основному тону, m = 2, 3 - обертонам. В общем случае колебание столба воздуха может быть представлено как наложение собственных колебаний.
Описание установки
Общий вид установки показан на рис. 2. На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 мо-
жет свободно перемещаться электродинамический громкоговоритель 4. От генератора электрические колебания звуковой частоты подаются на динамик. Динамик возбуждает колебания воздуха определенной частоты.
Звуковая волна, дойдя до микрофона, отражается от него (как от стенки). Сигнал от микрофона подается на осциллограф 6 для визуального наблюдения амплитуды звуковых колебаний воздушного столба в трубе.
Если с помощью генератора волн предельной частоты возбудить колебания воздуха в трубе, то при совпадении частоты генератора с одной из собственных частот воздушного столба наступает резонанс - в трубе установится стоячая волна. Это обнаруживается по увеличению громкости звука и максимальной амплитуде сигнала на экране осциллографа. Поскольку на закрытых концах трубы образуются узлы, а расстояние между соседними узлами равно (рис. 1), то усиление звука будет возникать всякий раз, как длина воздушного столба изменится на . Следовательно, если при изменении столба воздуха на величину наблюдалось n усилений звука, то
,
откуда
. (2)
Скорость звука . Тогда, с учетом (3), получим конечную формулу для расчета скорости звука
. (3)
Измерив в ходе опыта расстояния l1 и l2 при помощи линейки, закрепленной на трубе, и зная частоту n звукового генератора, по формуле (4) можно найти скорость звука в воздухе.
Порядок выполнения работы
1. Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон - к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать примерно 2 - 4 кГц.
2. При помощи стержня приблизить динамик вплотную к микрофону.
3. Медленно выдвигая стержень, по шкале, имеющейся на трубе, замерить длину воздушного столба l1, соответствующую какому-либо максимуму звучания и максимальному значению амплитуды сигнала на экране осциллографа. Этот максимум принять за нулевой.
Увеличивая далее расстояние между динамиком и микрофоном, считая последующие максимумы, взять отсчет длинны столба для некоторого n-го максимума (n брать порядка 4 - 6). Опыт повторить пять раз. Результаты записать в табл. 1
Таблица 1
|
Опыт i |
l1i, м |
l2i, м |
ni |
li, м |
ui, м/с |
ν, Гц |
|
1 |
||||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
4 |
||||||
|
5 |
4. По формуле (3) вычислить длину волны, а по (4) - скорость звука в воздухе. Найти среднее значение скорости <u>.
Контрольные вопросы
1. Что называется волной?
2. Какие волны называются продольными и какие поперечными?
3. От чего зависит скорость распространения продольных и поперечных волн?
4. Написать и пояснить уравнение плоской бегущей волны.
5. Вывести уравнение стоячей волны.
6. Какие точки называются узлами, а какие пучностями?
7. В каких случаях в месте отражения получается узел, а в каких пучность?
8. Объяснить явление резонанса в воздушной трубе, закрытой с двух сторон.
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 29.1–29.3, 29.6.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 157.
3. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 49,53.
4. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл. 5 § 5.2, 5.5.
5. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д. В. Сивухин. – М.: Физматлит МФТИ, 2005. – § 85.
6. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 3.5 § 3.15.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16
ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: определить основные характеристики затухающих механических колебаний.
Оборудование: специальная установка, снабженная секундомером, счетчиком числа колебаний и градусной шкалой - линейкой.
Общие сведения
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Наиболее простыми являются гармонические колебания, при которых какая-либо физическая величина, характеризующая колебание, изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Примером может служить колебание маленького шарика, подвешенного на длинной нити.
Если пренебречь силой трения, то величина смещения шарика из положения равновесия изменяется по закону
,
или (1)
,
где A - амплитуда колебания; w0 - циклическая частота; a1, a2 - начальные фазы колебания.
Колебательные процессы будут незатухающими, если они совершаются под действием только упругой или квазиупругой силы. В любой реальной колебательной системе всегда существует сила сопротивления, поэтому все реальные колебательные процессы затухающие.
Отклоним шарик, подвешенный на нити, из положения равновесия (рис. 1). Применив к нему второй закон Ньютона, имеем
, (2)
или
,
где m - масса шарика, a - ускорение, - квазиупругая сила, - сила сопротивления.
При малых колебаниях F1 = - kx, а FC = -rυ, где x - смещение, r - коэффициент сопротивления. Введем следующие обозначения:
. (3)
Тогда уравнение (2) примет вид:
. (4)
Уравнение (4) называется уравнением динамики затухающих гармонических колебаний, где b - коэффициент затухания.
Если затухание невелико (b<w0), то решением уравнения (4) является выражение
. (5)
Здесь e - основание натурального логарифма.
Графически это решение представлено на рис. 2. Амплитуда затухающих колебаний изменяется по экспоненциальному закону.
Следует отметить, что затухающие колебания не являются периодическими, т.к. через одинаковые промежутки времени состояние наблюдаемой системы в точности не повторяется. Однако эти колебания условно характеризуют частотой и периодом в том смысле, что колеблющаяся система проходит положение равновесия в одном и том же направлении через равные промежутки времени.
Частоту затухающих колебаний определим по формуле
,
где - частота собственных колебаний системы при отсутствии силы сопротивления.
Изучать затухающие колебания можно только при b<w0. При b>w0 колебания становятся апериодическими.
Отметим, что в данной работе период затухающих колебаний незначительно отличается от периода свободных колебаний, т.е. b<<w0.
Для характеристики быстроты затухания колебаний вводят величину, называемую логарифмическим декрементом затухания d, который числено равен натуральному логарифму отношения двух амплитудных значений изменяющийся величины, отстоящих по времени одно от другого на период:
. (6)
Выясним физический смысл этой характеристики.
Пусть за t секунд амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Тогда из (6), зная, что lne = 1, имеем
bt = 1. (7)
Тогда из (6) с учетом (7) получим
, (8)
где Ne - число колебаний, совершенных системой за время t.
Из выражения (8) следует, что d есть величина, обратная числу колебаний Ne, совершенных системой за время, в течение которого амплитуда уменьшится в e раз. Время t называется временем релаксации.
Скорость затухания колебаний характеризуется также физической величиной, называемой добротностью Q, которая может быть определена как отношение максимального значения квазиупругой силы к максимальной силе сопротивления:
.
Максимальное значение квазиупругой силы F1max = kA, где , (см. (3)).
Максимальное значение силы сопротивления пропорционально максимальной скорости Fcmax = rumax, где umax = Aw0 (см. (3)).
Тогда
.
Сделав замену ω0 = 2π/T и учитывая (6), окончательно получим
. (9)
Из выражения (9) следует, что добротность колебательной системы тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в e раз.
При слабом затухании добротность системы пропорциональна отношению энергии W, запасенной в системе, к убыли этой энергии ΔW за один период:
. 10
В этом заключается энергетический смысл добротности колебательной системы.
Описание установки
На передней панели прибора (рис. 3) имеются три клавиши: 1 (сеть) - выключатель сети; 2 (пуск) - запуск счетчика колебаний и секундомера; 3 (стоп) - остановка счетчика колебаний и секундомера.
На стойке 4 подвешен металлический шарик 5. Амплитуду колебания шарика можно измерить по шкале 6.
В работе определяются основные характеристики затухающих колебаний при различных силах сопротивления. Для изменения силы сопротивления плоскость колебания шарика ручкой 7 можно отклонить от вертикального положения на угол g, величину которого можно измерять по шкале 8. При этом шарик, совершающий колебания, начнет кататься по гладкой поверхности плоской панели. В этом случае сила сопротивления складывается из двух сил: силы вязкого трения шарика в воздухе, зависящей от скорости, и постоянной силы трения качения. При этом экспоненциальный закон затухания колебаний не нарушается.
Рис. 3
На передней панели прибора (рис. 3) имеются три клавиши: 1 (сеть) - выключатель сети; 2 (пуск) - запуск счетчика колебаний и секундомера; 3 (стоп) - остановка счетчика колебаний и секундомера.
На стойке 4 подвешен металлический шарик 5. Амплитуду колебания шарика можно измерить по шкале 6.
В работе определяются основные характеристики затухающих колебаний при различных силах сопротивления. Для изменения силы сопротивления плоскость колебания шарика ручкой 7 можно отклонить от вертикального положения на угол g, величину которого можно измерять по шкале 8. При этом шарик, совершающий колебания, начнет кататься по гладкой поверхности плоской панели. В этом случае сила сопротивления складывается из двух сил: силы вязкого трения шарика в воздухе, зависящей от скорости, и постоянной силы трения качения. При этом экспоненциальный закон затухания колебаний не нарушается.
Следует отметить, что при отклонении от вертикали плоскости колебаний на угол g изменяется период колебаний. Это обусловлено изменением квазиупругой силы F1. В предельном случае, когда угол g = 90, F1 = -kx =0 и колебания совершаться не будут.
Порядок выполнения работы
1. Включить установку в сеть и проверить работу регистрирующих систем: электронного секундомера и счетчика числа колебаний.
2. Задать начальную амплитуду A0 . По графику (рис. 4) определить
амплитуду Aτ последнего колебания, при котором начальная амплитуда уменьшится в e раз (A = A0/e).
3. Отклонить шарик из положения равновесия на A0 . Определить число колебаний Ne и время t, по истечению которого амплитуда примет значение Aτ.
4. Опыты по пунктам 2 и 3 выполнить по 3 раза для 3-х значений угла наклона плоскости колебания шарика: 100, 200, 300.
5. Вычислить логарифмический декремент затухания и период колебаний
.
6. Вычислить коэффициент затухания и добротность колебательной системы
.
7. Вычислить коэффициент сопротивления
.
Результаты измерения занести в табл. 1.
Таблица 1
|
g |
i |
A0 |
At |
Ne |
t |
di |
<d> |
Ti |
<T> |
bi |
<b> |
Qi |
<Q> |
ri |
<r> |
|
1 |
|||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
|
3 |
8. Проанализировать изменение коэффициентов b и r, а также периода колебаний T в зависимости от угла наклона g плоскости колебаний.
Контрольные вопросы
1. Записать кинематическое уравнение гармонических колебаний и охарактеризовать все величины, входящие в него.
2. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Изобразить это решение графически.
3. Что такое логарифмический декремент затухания? Объяснить силовой и энергетический смысл добротности колебательной системы.
4. Объяснить физический смысл коэффициента затухания и времени релаксации. Какова связь между этими величинами?
5. Каким образом изменяются коэффициенты r и b, а так же период колебаний системы T при увеличении угла наклона плоскости колебаний?
6. Каким образом на практике добиваются гашения колебаний?
Библиографический список
1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 146.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 49, 58.
3. Кингсеп, А. С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А. С. Кингсеп, Г. Р. Локшин, О. А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Ч.3. Гл. 2 § 2.1– 2.4.
4. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 3.5 § 3.8.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ К ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
Цель работы: определить методом Клемана-Дезорма отношение теплоемкостей газа.
Оборудование: закрытый стеклянный баллон; U- образный манометр; поршневой насос.
Краткие теоретические сведения.
Теплоемкостью вещества называют количество тепла, которое необходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин.
Теплоемкость единицы массы вещества называют удельной теплоемкостью (Суд), а теплоемкость одного моля вещества - молярной теплоемкостью (Сm).
Таким образом,
где Суд и Сm - удельная и молярная теплоемкости,
dQ - количество сообщенного тепла,
dT - изменение температуры тела при нагревании,
m и m - масса вещества и масса моля этого вещества соответственно.
Величина теплоемкости газа сильно зависит от условий нагревания.
При изобарическом нагревании (P=const) подведенное к газу тепло расходуется на увеличение его внутренней энергии и на совершение работы:
. (1)
Изменение внутренней энергии идеального газа вычисляется по формуле:
,
где i - число степеней свободы молекул газа,
R - универсальная газовая постоянная (8,315 Дж/моль×К).
Элементарная работа газа при равновесном расширении:
. (2)
Таким образом,
.
Из формул (1) и (2) получается выражение для молярной теплоемкости идеального газа при постоянном давлении:
. (3)
При изохорическом нагревании газа (V=const) его работа равна нулю (dA = pdV = 0), все подведенное тепло идет на приращение внутренней энергии газа (dQ = dU) и молярная теплоемкость
. (4)
Таким образом, теплоемкость идеального газа не зависит от температуры, a oпределяется только числом степеней свободы молекул газа и характером изменения состояния.
Из выражения (3) и (4) следует, что отношение теплоемкости Сp к теплоемкости СV :
. (5)
Величину g называют коэффициентом Пуассона, или показателем адиабаты.
Определение g важно потому, что эта величина входит в уравнения, описывающие адиабатические процессы, для которых dQ=0, и процессы, близкие к ним, такие, как распространение звука, течение газов со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями и т. п.
Конечно, для однородного газа g легко рассчитать по формуле (5). Однако, для смеси газов расчет осложняется, так как нужно знать процентное содержание каждого газа в смеси. В этом случае удобнее g определять опытным путем.
В настоящей работе для определения g воздуха предлагается метод Клемана и Дезорма.
Описание установки и метода Клемана и Дезорма.
Установка состоит из стеклянного баллона Б, поршневого насоса Н, водяного манометра М, клапана-крана К рис.1. Роль клапана-крана на некоторых установках может выполнять резиновая трубка.
Если при помощи насоса накачать в баллон некоторое количество воздуха, то его давление и температура повысятся. Вследствие теплообмена с окружающей средой температура воздуха в баллоне через некоторое время сравняется с температурой окружающей среды. Давление Р1, установившееся в баллоне, больше атмосферного на величину, определяемую разностью уровней h1 жидкости в коленах манометра (рис. 1). Р и h измеряются в мм водяного столба.
Если обозначить через m массу воздуха в баллоне при атмосферном давлении, то при давлении воздух займет меньший объем, чем объем сосуда. Обозначим этот объем через . Тогда состояние воздуха массой m внутри баллона будет характеризоваться параметрами,, .
На рис. 2 данному сoстоянию соответствует точка А.
Если открыть на короткое время кран К, то воздух в баллоне расширится. Давление внутри баллона в конце расширения сравняется с атмосферным (обозначим его через , объем рассматриваемой массы воздуха равен объему сосуда . Так как процесс быстрого расширения воздуха можно считать адиабатическим, то температура газа станет ниже комнатной.
Следовательно, в конце адиабатического расширения (точка Б на рис. 2) параметры газа будут
Применяя к этому состоянию уравнение Пуассона, получим:
Охладившийся при расширении воздух в баллоне через некоторое время, вследствие теплообмена, нагреется до комнатной температуры (процесс нагревания является изохорическим). Поэтому давление воздуха возрастет до некоторой величины . Это давление будет больше атмосферного на величину, определяемую разностью уровней жидкости в коленах манометра . Параметры этого состояния (точка Д на рис. 2):
. , .
На графике рис. 2 показаны процессы перехода газа из одного состояния в другое. Линия АБ является адиабатой, БД- изохорой, АД-изотермой.
Так как переход газа из состояния А в состояние Б происходит адиабатически, то он подчиняется уравнению Пуассона (), которое в данном случае удобно записать в форме
(6)
Дальнейший переход из состояния Б в состояние Д может быть охарактеризован уравнением Гей-Люссака (изохорический процесс):
(7)
Исключив из уравнений (6) и (7) температуру и учтя, что , получим
(8)
Подставляя в (8) значения давлений Р1 и Р3, выраженные через давление Р2 и разность столбов жидкости в манометре ( ), получим
В условиях эксперимента и значительно меньше единицы, поэтому можно ограничиться лишь двумя первыми членами биномов Ньютона, что дает
Отсюда можно получить расчетную формулу для коэффициента Пуассона:
(9)
Порядок выполнения работы.
1. Проверить, нет ли утечки газа из баллона. Для этого с помощью поршневого насоса медленно нагнетают в баллон воздух. За повышением давления воздуха в баллоне наблюдают по разности уровней в коленах манометра. Так как при нагнетании воздуха температура его несколько повысится, следует подождать 2-3 минуты, пока установится тепловое равновесие с окружающей средой. После этого, если показания манометра не изменяются (нет утечки воздуха), записывают значение h1, соответствующее исходному состоянию (А).
2. Открыть клапан-кран (К), соединяя воздух в баллоне с атмосферой. Как только выровняется давление воздух внутри баллона с атмосферным (прекратится шипение воздуха), клапан-кран быстро закрыть, или при отсутствии клапана-крана пережать резиновую трубку.
Предполагается, что этот процесс соответствует адиабате АВ (рис.2). Давление воздуха в баллоне понизится до атмосферного, а газ охладится. Однако, в результате теплообмена с окружающей средой через 2-3 минуты после закрытия клапана-крана газ изохорически перейдет в состояние Д. Давление воздуха в баллоне возрастет и появится разность уровней h2 в коленах манометра. Указанный эксперимент повторить 5-6 раз. Результаты измерений h1 и h2 записать в табл. 1.
Таблица 1
|
№ п/п |
h1i |
h2i |
g i |
g i -<g> |
(gi -<g>)2 |
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
. |
|||||
|
. |
|||||
|
<g> |
S(g i -<g>) |
S(g i -<g>)2 |
|||
3. По формуле (9) вычислить g i для каждого опыта.
4. Вычислить абсолютную и относительную погрешность по формуле:
5. Записать конечный результат в виде:
g = <g> ± Dg.
6. Рассчитать g теоретически, считая воздух двухатомным газом. Сравнить экспериментальный результат с теоретическим. Объяснить расхождение результатов.
Контрольные вопросы
1. Что называют удельной теплоемкостью и молярной теплоемкостью вещества? Какая связь между ними?
2. Теплоемкость - это функция состояния или функция процесса?
3. Чему равны молярные теплоемкости идеальных газов при изопроцессах?
4. Почему Ср>Cv? Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R?
5. Какое практическое значение имеет соотношение
6. Какой процесс называется адиабатическим и каким уравнением он описывается?
7. Какова связь между параметрами, характеризующими состояние газа при адиабатическом процессе?
8. Изобразите график процессов, происходящих в данной работе, в координатах Р и V и назовите эти процессы. Изобразите графики известных вам процессов в координатах Р и Т, Т и V.
9. От каких параметров зависит внутренняя энергия идеального газа?
10. Как формулируется первое начало термодинамики и как оно записывается аналитически? Как записать его для различных изопроцессов?
11. Выведите расчетную формулу для вычисления g.
12. Почему необходимо выждать некоторое время после того, как накачают воздух в баллон?
13. Почему после выхода воздуха из баллона и перекрытия клапана-крана возникающая разность уровней в коленах манометра зависит от скорости (времени) расширения газа?
14. Каковы отличия между реальным и идеальным газами?
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 2 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.2–5.4 Гл. 5.2 § 5.17–5.19.
2. Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И.В. Савельев.– СПб.:Лань, 2005. – § 82 – 86.
3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 50 – 56.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ВОЗДУХА ПО СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА
Цель работы: определить показатель адиабаты воздуха по скорости распространения звука в воздухе.
Оборудование: металлическая труба, микрофон, осциллограф, элетродинамический громкоговоритель (динамик), генератор электрических колебаний звуковой частоты.
Общие сведения
В воздухе, как и во всякой газообразной среде, могут распространяться только продольные волны. Поэтому звуковая волна в воздухе представляет собой чередование сжатий и разрежений. При сжатии увеличивается давление воздуха и, следовательно, возрастает его упругость. При разрeжении упругость воздуха уменьшается. Соответственно, при сжатии воздух нагревается, а при разрежении охлаждается. Эти изменения температуры приводят к добавочному изменению упругости воздуха (возрастание и уменьшение соответственно).
Такие изменения температуры, вызывающие добавочное изменение упругости воздуха, возникают лишь тогда, когда сжатия и разрежение воздуха быстро сменяют друг друга, т.е. когда соседние участки воздуха не успевают обмениваться теплотой и процесс сжатия и разрежения воздуха близок к адиабатическому. Лаплас впервые доказал, что сжатия и разрежения в звуковой волне в воздухе происходят адиабатически и скорость звука в воздухе увеличивается благодаря изменениям температуры, производимым самой звуковой волной. Эти изменения температуры невелики и не влияют на среднюю температуру воздуха.
Определим скорость распространения звука в воздухе, считая его сплошной однородной упругой средой, плотность которой равна ρ. В этой среде мысленно выделим некоторый цилиндрический объем с плoщaдъю поперечного сечения S.
Пусть кратковременный импульс силы F (на рис. 1 показан стрелками), равномерно распределенной по сечению S, вызывает смещение вправо частиц среды (воздуха) в узком слое, прилегающему к этому сечению. Вследствие инертности, соседний к нему слой окажется деформированным и в нем возникнут упругие силы, стремящиеся остановить частицы первого слоя и привести в движение частицы второго слоя. В итоге действие упругих сил приведет к исчезновению деформации сжатия в этом слое и к ее возникновению в следующем слое. Таким образом, импульс деформации сжатия передается от слоя к слою с некоторой скоростью , отличной от скорости смещающихся частиц воздуха. Пусть в начале деформация сжатия, охватывает слой воздуха толщиной dx, а средняя плотность среды в нем возрастает до . Частицы воздуха не перемещаются от слоя к слою вместе с распространяющейся деформацией. Вместе с деформацией от слоя к слою передается уплотнение воздуха:
. (1)
Этому уплотнению соответствует масса:
, (2)
и импульс:
, (3)
где
, (4)
скорость распространения импульса деформации сжатия.
Можно полагать, что такой импульс будет соответствовать уплотнению во втором и последующих слоях воздуха (среда однородная). Приравняем этот импульс к импульсу внешней силы:
, (5)
где dt- промежуток времени, в течение которого деформация сжатия охватывает слой dx.
Изменение давления при деформации:
(6)
Отсюда скорость распространения звуковой волны:
T.е. скорость распространения звука определяется отношением изменения давления к изменению плотности в любой, сплошной, однородной и упругой среде.
В дифференциальной форме:
. (7)
При адиабатическом процессе объем и давление газа связаны уравнением Пуассона:
,
где
,
отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Поскольку плотность газа обратно пропорциональна его объему, то:
.
Дифференцируя это выражение, получим
.
Отсюда:
.
Следовательно:
. (8)
Это формула Лапласа.
Хотя в последнюю формулу входит давление P, скорость звука от давления не зависит, т.к изменениe давления пропорционально изменению плотности воздуха. Скорость звука в воздухе зависит от температуры. Установим эту зависимость, воспользовавшись формулой Клапейрона-Менделеева для одного моля газа (воздуха):
PV=RT.
Из этой формулы:
.
Следовательно,
(9)
т.к
,
где m- молярная масса воздуха.
Из этой формулы:
. (10)
Формула (10) является расчетной. Чтобы вычислить g по этой формуле необходимо вначале определить скорость звука в воздухе.
Для определения скорости звука в воздухе в этой работе используется метод стоячей волны.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина волны связана с периодом колебания частиц T и скоростью распространения волны u соотношением:
, или , (11)
где - частота колебания частиц среды.
Если две волны одинаковой частоты и амплитуды распространяются навстречу друг другу, то в результате их наложения при определенных условиях может возникнуть стоячая волна. В среде, где установились стоячие волны, колебания частиц происходят с различной амплитудой. В определенных точках среды амплитуда колебания равна нулю, эти точки называются узлами; в других точках амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний, такие точки называются пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно l/2, где l - длина бегущей волны (рис. 2). Стоячая волна может образоваться при наложении падающей и отраженной волн. При этом, если отражение происходит от среды во много раз более плотной, чем среда, в которой распространяется волна, то в месте отражения смещение частиц равно нулю, то есть образуется узел. Если волна отражается от среды менее плотной, то из-за слабого задерживающего действия частиц второй cреды на границе возникают колебания с удвоенной амплитудой, то есть образуется пучность. В том случае, когда плотности сред мало отличаются друг от друга, наблюдается частичное отражение волн от границы раздела двух сред.
Рассмотрим стоячие волны, которые образуются в трубе с воздухом длиной , закрытой с двух сторон (рис. 2а). Через небольшое отверстие в одном конце трубы при помощи динамика возбудим колебания звуковой частоты. Тогда в воздухе внутри трубы распространится звуковая волна, которая отразится от другого закрытого конца и побежит обратно. Казалось бы, что должна возникнуть стоячая волна при любой частоте колебаний. Однако, в трубе, закрытой с двух сторон, на концах должны образовываться узлы.
Это условие выполняется, если в трубе укладывается половина длины бегущей волны: =l/2 (рис. 2б). Здесь амплитуды смещения частиц воздуха отложены по вертикали. Сплошной линией изображена бегущая волна, пунктиром - отраженная. В трубе возможна и такая стоячая волна, где имеется и еще один узел, при этом укладываются две половины длины волны: =l (рис. 2в). Следующая стоячая волна возникает, когда длина бегущей волны удовлетворяет условию . Таким образом, в трубе, закрытой с двух сторон, стоячая волна образуется в тех случаях, когда на длине трубы укладывается целое число половин длин волн:
, (12)
где k=1, 2, 3 .... Выразив l из (1) и подставив в формулу:
,
получим:
. (13)
Полученная формула (13) выражает собственные частоты колебаний воздушного столба в трубе длиной , где k=1 соответствует основному тону, k=1,2,3... - обертонам. В общем случае колебание столба воздуха может быть представлено как наложение собственных колебаний.
Описание установки
Общий вид установки показан на рис. 3.
На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 может свободно перемещаться электродинамический громкоговоритель 4. От генератора электрические колебания звуковой частоты подаются на динамик. Динамик возбуждает колебания воздуха определенной частоты.
Звуковая волна, дойдя до микрофона, отражается от него (как от стенки). Сигнал от микрофона подается на осциллограф 6 для визуального наблюдения амплитуды звуковых колебаний воздушного столба в трубе.
Если с помощью генератора волн предельной частоты возбудить колебания воздуха в трубе, то при совпадении частоты генератора с одной из собственных частот воздушного столба наступает резонанс - в трубе установится стоячая волна. Это обнаруживается по увеличению громкости звука и максимальной амплитуде сигнала на экране осциллографа. Поскольку на закрытых концах трубы образуются узлы, а расстояние между соседними узлами равно (рис. 3), то усиление звука будет возникать всякий раз, как длина воздушного столба изменится на . Следовательно, если при изменении столба воздуха на величину наблюдалось n усилений звука, то:
откуда:
. (14)
Скорость звука:
.
С учетом (14) получим расчетную формулу:
. (15)
Измерив в ходе опыта расстояния и при помощи линейки, закрепленной на трубе, и зная частоту n звукового генератора, по формуле (15) можно найти скорость звука в воздухе.
Порядок выполнения работы
1. Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон - к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать примерно 2-4 кГц.
2. При помощи стержня приблизить динамик вплотную к микрофону.
3. Медленно выдвигая стержень, по шкале, имеющейся на трубе, замерить длину воздушного столба , соответствующую какому-либо максимуму звучания и максимальному значению амплитуды сигнала на экране осциллографа. Этот максимум принять за нулевой.
Увеличивая далее расстояние между динамиком и микрофоном, считая последующие максимумы, взять отсчет длинны столба для некоторого n-го максимума (n брать порядка 4 - 6). Опыт повторить пять раз. Результаты записать в табл. 1.
Таблица 1
|
n=....,Гц |
|||||||
|
i |
, м |
, м |
n |
li, м |
u1i, м/с |
<u>, м/с |
g |
|
1 2 3 4 5 |
4. По формуле (14) вычислить длину волны, а по (15) - скорость звука в воздухе. Найти среднее значение скорости <u>.
5. Среднее значение скорости , найденное по формуле (15), подставить в выражение (13) и вычислить g.
Контрольные вопросы
1. Что называется волной?
2. Какие волны называются продольными и какие поперечными?
3. От чего зависит скорость распространения продольных и поперечных волн?
4. Написать и пояснить уравнение плоской бегущей волны.
5. Вывести уравнение стоячей волны.
6. Какие точки называются узлами, а какие пучностями?
7. В каких случаях в месте отражения получается узел, а в каких пучность?
8. Объяснить явление резонанса в воздушной трубе, закрытой с двух сторон.
9. Дать определение адиабатическому процессу. Привести пример.
10.Что такое постоянная адиабаты и какова ее связь со степенями свободы молекул.
11. Найти работу газа при адиабатическом процессе.
12. Вывести уравнения Лапласа.
13. Вывести связь между постоянной адиабаты и скоростью распространения звука в воздухе.
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 3.5 § 3.15, 3.18. Т.2 Гл. 5.1 § 5.2–5.4 Гл. 5.2 § 5.17–5.19
2. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 29.1–29.4.
3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 140, 141, 153–158.
4. Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И.В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 82–83, 86–88.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ДЛЯ ВОЗДУХА И СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА
Цель работы: определить вязкость и среднюю длину пробега молекул воздуха.
Оборудование: смонтированная на щитке установка с U - образным водяным манометром, секундомер, термометр, барометр, стакан для слива воды.
Краткие теоретические сведения
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории позволяет вычислить скорость теплового движения молекул газа; например, для молекул воздуха при комнатной температуре она равна 500 м/с. Однако явление переноса (теплопроводность, диффузия и внутреннее трение), как показывает опыт, протекают медленно. Это значит, что молекулы газа, находясь в состоянии непрерывного и хаотического движения, сталкиваются друг с другом. Эти столкновения препятствуют свободному движению молекул, т.е. после каждого соударения их скорости существенно меняются по величине и по направлению, и путь отдельной молекулы представляет собой весьма сложную ломаную линию. Поэтому, несмотря на большую скорость теплового движения, молекула за одну секунду уходит лишь на очень небольшое расстояние от того места, где она находится.
В простейшем случае, для идеального газа, можно положить, что между двумя последовательными столкновениями молекула движется равномерно и прямолинейно. Расстояние, которое она проходит при этом, называется длиной свободного пробега. Длина этого пути l (лямбда) при данной температуре для одной и той же молекулы различна, поэтому говорят о средней длине свободного пробега <l>.
В молекулярно-кинетической теории выводится формула средней длины свободного пробега:
(1)
где n0 - концентрация моекул газа при данной температуре;
d - эффективный диаметр молекулы.
Эффективным диаметром молекулы d называется минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры молекул. Эффективный диаметр несколько уменьшается с увеличением температуры.
Для экспериментального определения средней длины свободного пробега молекул формулу (1) использовать невозможно, так как нужно знать эффективный диаметр молекул при данных условиях. В настоящей работе используется связь средней длины свободного пробега молекул воздуха <l> с коэффициентом внутреннего трения (вязкости) h (эта), которая согласно молекулярно-кинетической теории выражается формулой
,
где r - плотность воздуха;
<u> - средняя арифметическая скорость молекул при данной температуре.
Отсюда
. (2)
Плотность воздуха r при температуре Т и давлении Р можно выразить из уравнения состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):
, (3)
где m - молярная масса воздуха;
R - универсальная газовая постоянная.
Средняя арифметическая скорость движения молекулы выражается формулой:
. (4)
Подставив (3) и (4) в (2) и проведя некоторые преобразования, получим:
. (5)
Формулу (5) используют для определения средней длины свободного пробега молекул воздуха. Температуру Т, давление Р и коэффициент вязкости воздуха h определяют экспериментально.
Описание установки.
Установка для определения коэффициента вязкости воздуха состоит из стеклянного сосуда А с краном К (рис.1). Сосуд наполнен водой и закрыт с помощью зажима З.
В сосуд впаян капилляр Т, который соединяет пространство внутри сосуда с атмосферой. С помощью шланга сосуд соединен с манометром, которым измеряют разность давления воздуха внутри и вне сосуда. Верхняя часть сосуда с капилляром закрыта кожухом.
Если открыть кран К, то при вытекании воды из сосуда давление в нем понижается. На концах капилляра Т возникает разность давленийP, поэтому воздух через капилляр поступает в сосуд.
При протекании воздуха по капилляру прилегающие к стенке слои воздуха не движутся. По мере удаления слоя воздуха от стенки его скорость возрастает и является наибольшей в центре капилляра (рис.2). Следовательно, в текущем по капилляру воздухе существует градиент модуля скорости и между слоями действуют силы внутреннего трения.
При постоянной разности давлений воздуха P на концах капилляра объем воздуха, протекшего через капилляр за время t, определяется законом Пуазейля:
где r - радиус капилляра,
- его длина.
Тогда коэффициент внутреннего трения (вязкости) воздуха
. (6)
Очевидно, что при постоянной разности давлений на концах капилляра объем воздуха, протекшего через капилляр за время t, равен объему воды, вытекшего из сосуда А за это же время.
Если измерять объем вытекшей воды V, время, за которое это количество воды вытекает, и разность давленийP, то по формуле (6) можно определить коэффициент внутреннего трения. Радиус капилляра r и его длина известны.
Зная h и измеряя давление P и температуру Т, при которой производился опыт, определяют по формуле (15) среднюю длину пробега молекулы воздуха.
Порядок выполнения работы
1. Взвесить сухой сосуд.
2. Открыть кран К сосуда А и следить за показаниями манометра, регулируя краном скорость вытекания воды, добиться такого режима его вытекания, чтобы разность уровней в коленах манометра была не менее 100 мм и оставалась постоянной.
Подставить взвешенный сосуд, измерить время вытекания некоторого количества воды (примерно 3-5 г).
Следует отметить, что разность давлений на концах капилляра, измеряемая манометром М, зависит от высоты жидкости в сосуде А. Поэтому при вытекании воды из сосуда во время опыта показание манометра будет несколько изменяться. В связи с этим отсчет по манометру нужно взять не только в начальный момент времени, т.е. когда начинаете измерять количество вытекающей воды, но и в конце этого измерения, Для расчетов нужно использовать среднее арифметическое этих показаний манометра:
,
где DP1 и P2 - показания манометра, соответствуют началу и концу опыта (P1 и P2 не должны отличаться более чем на 5 мм).
3. Взвесить стакан с жидкостью. Определить массу воды в стакане по формуле:
m=m2-m1,
где m1 - масса сухого стакана,
m2 - масса стакана с водой.
4. Определить по барометру давление P и по термометру температуру Т, при которых производится опыт.
Результаты измерений записать в табл. 1.
Таблица 1
|
m1, г |
m2, г |
m, г |
р1, мм.вод.ст. |
р2, мм.вод.ст. |
<р>, мм.вод.ст |
р, Па |
t, oC |
T, K |
5. Определить объем воды по формуле:
,
где r - плотность воды.
Значение плотности воды при комнатной температуре принять равной 998 кг/м3.
6. По формуле (16) вычислить коэффициент внутреннего трения воздуха. Радиус капилляра и его длина указаны на установке. Объем воды (воздуха) V, радиус капилляра r и его длину можно брать в любой, но в одной и той же системе единиц. Учесть, что 1 мм. рт.ст.=13,6 мм. вод.ст =133 Па.
7. По формуле (5) вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха в системе СИ. Для воздуха кг/моль.
Контрольные вопросы
1. Что такое длина свободного пробега молекул и от чего она зависит?
2. Что называется эффективным диаметром молекул?
3. Выведите формулу средней длины свободного пробега молекул газа исходя из молекулярно-кинетической теории.
4. Объясните молекулярно-кинетический механизм внутреннего трения.
5. Объясните формулу, выражающую величину силы внутреннего трения. Что такое градиент модуля скорости?
6. Дайте определение коэффициента внутреннего трения. В каких единицах он измеряется?
7. Что называется плотностью вещества?
8. Почему при протекании воздуха по капилляру возникает внутреннее трение?
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 10.6–10.9.
2. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 46, 48.
3. Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И.В. Савельев.–СПб.: Лань, 2005. – § 75, 128,129,132.
4. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.3, 5.6.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА
Цель работы: изучить метод Стокса, построить температурную зависимость коэффициента динамической вязкости глицерина, определить энергию активации молекул глицерина.
Оборудование: стеклянный цилиндрический сосуд, заполненный глицерином, шарик, штангенциркуль, секундомер, термостат.
Краткие теоретические сведения
В жидкостях и газах при перемещении одних слоев относительно других возникают силы внутреннего трения, или вязкости, которые определяются законом Ньютона:
(1)
где - коэффициент внутреннего трения, или коэффициент динамической вязкости, или просто вязкость; – модуль градиента скорости, который показывает, как быстро изменяется величина скорости в направлении внутренней нормали к поверхности слоя; DS – поверхность соприкасающихся слоёв (рис. 1).
Уравнение (1) является определяющим для установления единиц измерений коэффициента динамической вязкости. Размерность вязкости ML-1×T-1. В СИ h измеряется в Па×с=кг/(м×с), а в СГС в пуазах. П (пуаз) = г/(cм×с).
Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах неодинаков, так как в них различен характер теплового движения молекул.
Вязкость жидкости обусловлена молекулярным взаимодействием, ограничивающим движение молекул. Каждая молекула жидкости находится в потенциальной ямы, создаваемой соседними молекулами. Поэтому молекулы жидкости совершают колебательное движения около положения равновесия, то есть внутри потенциальной ямы. Глубина потенциальной ямы незначительно превышает среднюю кинетическую энергию, поэтому, получив дополнительную энергию при столкновении с другими молекулами, она может перескочить в новое положение равновесия. Энергия, которую должна получить молекула, чтобы из одного положения перейти в другой называется энергия активации W, а время нахождения молекулы в положении равновесия – временем “оседлой жизни” t. Перескок молекул между соседними положениями равновесия является случайным процессом. Вероятность того, что такой перескок произойдет за время одного периода t0, в соответствии с законом Больцмана, составляет:
(2)
Обратная величина определяет среднее число колебаний, которое должна совершить молекула, чтобы покинуть положение равновесия. Среднее время “оседлой жизни” молекулы:
, (3)
где k – постоянная Больцмана; - средний период колебаний молекулы около положения равновесия.
Коэффициент динамической вязкости зависит от , чем реже молекулы меняют положение равновесия, тем больше вязкость. Используя модель скачков молекул, Я.И. Френкель показал, что вязкость изменяется по экспоненциальному закону:
(4)
где А – константа, определяемая свойствами жидкости.
Формула (4) является приближенной, но она достаточно хорошо описывает вязкость многих жидкостей в том числе и глицерина в интервале температур, задаваемом в данной работе. Строгая теория вязкости носит квантовый характер и является очень сложной.
Из формулы (4) видно, что с уменьшением температуры вязкость жидкости возрастает. В ряде случаев она становится настолько большой, что жидкость затвердевает без образования кристаллической решетки. В этом заключается механизм образования аморфных твердых тел.
При малых скоростях движения тела в жидкости слой жидкости, непосредственно прилегающий к телу, прилипает к нему и движется со скоростью тела. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев жидкости будет уменьшаться, но они будут двигаться параллельно. Такое слоистое движение жидкости называется ламинарным. При больших скоростях движения жидкости становится неустойчивым и называется турбулентным, при котором частицы жидкости движутся по сложным траекториям со скоростями, изменяющимися беспорядочным образом. В результате происходит перемешивание жидкости и образуются вихри.
Характер движения жидкости определяются безразмерной величиной Re, называемой числом Рейнольдса. Re зависит от формы тела и свойств жидкости. При движении шарика радиусом R со скоростью в жидкости с плотностью rж:
(5)
При малых Re (<10) движение жидкости будет ламинарным. В этом случае на тело будет действовать сила сопротивления, пропорциональная скорости:
, (6)
где r – коэффициент сопротивления.
Для тела сферической формы
Сила сопротивления шарика примет вид:
(7)
Формула (7) называется законом Стокса.
При падении шарика в жидкости на него действуют силы: сопротивления , тяжести , выталкивающая . Запишем уравнение движения в проекциях на направление движения:
. (8)
Решение уравнения (8) описывает характер движения шарика на всех участках падения. Прежде чем привести это решение, проанализируем его качественно.
Примем при t = 0 скорость . Перепишем уравнение (8) в видe:
, (9)
где - характерная величина, имеющая размерность времени и называется временем релаксации.
В начале движения скорость мала, слагаемым в уравнении (9) можно пренебречь и оно примет вид:
. (10)
Из уравнения (10) видно, что на начальном этапе шарик движется с ускорением:
Согласно уравнению (8), по мере увеличения скорости возрастает сила сопротивления и ускорение уменьшается. При большом времени движения (t®¥) сила сопротивления уравновешивается равнодействующей сил и , и шарик будет двигаться равномерно с установившейся скоростью . Так как при равномерном движении , то из уравнения (9) находим:
. (11)
Из приведенных рассуждений ясно, что скорость будет возрастать с увеличением времени движения и при t®¥, , т.е. эта зависимость будет экспоненциальной. Строгую зависимость дает решение дифференциального уравнения (9). Опуская математическую часть задачи, приведем окончательный результат:
(12)
График зависимости (12) представлен на рис. 2 (кривая линия б).
Проведем касательную к начальному участку кривой (см. рис. 2). Так как угловой коэффициент этой прямой числено равен а0, то уравнение этой линии будет и согласно (11) она пересечет при t = tр. Отсюда можно дать одну из трактовок времени релаксации как времени, за которое скорость тела достигла бы установившегося значения , если бы оно двигалось в среде без трения только под действием внешних сил (в данном случае силы тяжести и выталкивающей силы).
Чем больше будет ускорение а0, т.е. круче касательная к кривой , тем меньше tр. Следовательно, время релаксации характеризует быстроту приближения к установившемуся значению скорости, поэтому его также называют временем переходного процесса. На практике принимается, что переходные процессы вида (12) заканчиваются за время ~ 3tр. За это время тело пройдет расстояние:
Итак, после прохождения шариком расстояния его движение можно считать равномерным. Уравнение движения (24) в этом случае примет вид:
. (14)
Сила тяжести
, (15)
где r - плотность вещества шарика.
Выталкивающая сила определяется по закону Архимеда:
(16)
Подставив (15), (16) и (7) в уравнение (14), получим
.
Отсюда найдем
. (17)
Измерив и R, взяв табличные значения плотности вещества шарика и глицерина, можно определить вязкость глицерина по формуле (17).
Описание установки
Схематично установка изображена на рис. 3.
1 – блок управления ; 2 - термостат; 3 – стеклянный цилиндр с двойными стенками; 4 - термометр.
В термостате вода нагревается и по резиновым шлангам насосом, установленным внутри термостата, прокачивается через полость между внутренними и внешними стенками цилиндра. В результате нагревается глицерин в цилиндре. Температура воды определяется по термометру. Считается, что температура глицерина такая же, как у воды.
Порядок выполнения работы
Задание 1. Определить коэффициент динамической вязкости глицерина при комнатной температуре.
Измерить штангенциркулем диаметр шарика в различных местах.
Опустить шарик по центру цилиндра с глицерином. При прохождении им верхний метки на цилиндре включить секундомер и выключить его при прохождении шариком нижней метки. Такие измерения выполнить с пятью различными шариками. Данные занести в табл. 1.
Таблица 1.
|
i |
D, мм |
t, с |
h, м |
h, Па×с |
Dh, Па×с |
|
1 2 3 4 5 |
По результатам каждого измерения вычислить значение коэффициента динамической вязкости по формуле (18), полученной из (17) путем замены R на D/2, на h/t (h – расстояние между метками на цилиндре):
. (18)
Вычислить среднее значение вязкости <h>, абсолютную ошибку Dh, относительную погрешность измерения вязкости e.
Записать конечный результат в виде h = (<h>±Dh).
Задание 2. Определить температурную зависимость коэффициента динамической вязкости глицерина и вычислить энергию активации.
Измерить штангенциркулем диаметр D всех шариков, выданных преподавателем.
С разрешения преподавателя включить нагреватель термостата кнопкой К1 и насос кнопкой К2.
При различных температурах измерить время падения шарика. При каждой температуре опыт проводится один раз. Интервал температур и количество опытов задается преподавателем. (Ориентировочные данные - проводить измерения через 5°С от комнатной температуры до 50°С).
Вычислить коэффициент динамической вязкости при различных температурах по формуле (18).
Заполнить табл. 2, построить график зависимости h = f(t°С).
Таблица 2.
|
i |
<D>, м |
t, °C |
t1, °C |
h, Па×с |
1/T×103, 1/K |
lnh |
Прологарифмировав выражение (4):
(19)
Построить график зависимости (19) в координатах , (1/T)103.
Вычислить угловой коэффициент прямой (19) по формуле:
где и - произвольные значения точек на оси абсцисс, разделенных на 103, а и – соответствующие значения на оси ординат.
Найти энергию активации молекул глицерина по формуле:
.
Контрольные вопросы
Напишите закон Ньютона для силы внутреннего трения и поясните все величины, входящие в него.
В каких единицах измеряется коэффициент динамической вязкости, и какую размерность он имеет?
Как изменяется h с изменением температуры в газах и жидкостях? Чем объясняется различный характер этих зависимостей?
При каких условиях движение жидкости будет ламинарным?
Применив метод размерности, выведите формулу Стокса (при затруднении вывода см. [3] или [5]).
Опишите характер движения шарика в глицерине.
Какую величину называют временем релаксации? Как она изменится для шарика: а) при увеличении вязкости жидкости? б) при увеличении размера шарика?
Запишите уравнение движения шарика в глицерине.
Как определить положение верхней метки на цилиндре? От каких величин она зависит?
Как изменится характер движения шарика, если до вхождения в глицерин он будет иметь скорость, отличную от нуля? Изобразите для этого случая зависимость .
Выведете расчетную формулу для h, для W.
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.6–5.7.
2. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 10.7–10.
3.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 31–32.
4. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – §75–76.
5. Гольдин, Л. Л. Лабораторные занятия по физике. / Л. Л. Гольдин.– М.: Наука, 1983. – § 3.15.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 21
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ГАЗА
Цель работы: определить коэффициент теплопроводности воздуха при различных температурах.
Оборудование: цилиндр с нитью-проволокой, выпрямитель, амперметр, вольтметр, реостат.
Краткие теоретические сведения
Явление теплопроводности представляет собой процесс переноса тепла, обусловленный беспорядочным (тепловым) движением молекул. Это явление возникает всегда, когда есть разность температур между отдельными участками тела.
Точки тела, имеющие одинаковые температуры, образуют изотермические поверхности. Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, изотермические поверхности не могут пересекаться. В простейших случаях изотермические поверхности представляют собой параллельные плоскости, коаксиальные цилиндрические поверхности, как в настоящей лабораторной работе, или сферические поверхности с общим центром.
Важной характеристикой поля является величина, получившая название градиент. Градиент скалярной величины, например температуры, есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой величины (температуры). Для температурного поля, изотермическими поверхностями которого являются параллельные плоскости, численная величина градиента выражается наиболее просто:
, (1)
где координата х отсчитывается по нормали к изотермическим поверхностям. Если температурное поле цилиндрическое, как в данном случае, то:
, (2)
где r – радиус цилиндра. Из приведенных формул следует, что градиент температуры измеряется в К/м (Кельвин/метр).
Для характеристики переноса тепла вводят понятие плотности теплового потока - q, которая представляет собой количество тепла - Q, переносимое через единицу площади S изотермической поверхности в единицу времени:
, (3)
и в системе СИ будет измеряться в Дж/м2 ·с = Вт/м2.
В изотропных телах плотность потока тепла q противоположен по направлению градиенту температуры и пропорционален ему по величине - закон Фурье:
, (4)
где l - теплопроводность, которая в системе СИ измеряется в Вт/м·К. Знак минус в формуле (4) означает, что теплота передается в сторону убывания температуры, т.е. от более нагретых частей тела к менее нагретым.
Кинетическая теория газов дает для коэффициента теплопроводности выражение:
, (5)
где r - плотность газа,
CV - теплоемкость единицы массы при постоянном объеме,
- среднеарифметическая скорость движения молекул,
- средняя длина свободного пробега молекул.
Средняя скорость определяется выражением:
. (6)
Здесь R - универсальная газовая постоянная,
Т – термодинамическая температура,
µ - молярная масса газа.
Из приведенных выражений видно, что коэффициент теплопроводности зависит от целого ряда параметров.
Одним из распространенных методов измерения теплопроводности газов является метод с использованием нагретой нити. При этом газ, теплопроводность которого изучается, находится в цилиндрической трубке, а по оси натянута металлическая проволока. Проволока служит одновременно источником тепла и термометром сопротивления. Через проволоку пропускается электрический ток и она нагревается, а наружная поверхность трубки поддерживается при постоянной температуре. Если считать, что тепло идет от проволоки через газ по радиусу, то изотермическими поверхностями в газе будут цилиндрические поверхности с общей осью - осью проволоки.
Плотность теплового потока через изотермическую поверхность радиусом r равна:
, (7)
где W=IU - тепловая мощность, выделяемая током I проходящим по проволоке длиной L при напряжении U. Разделяя переменные, уравнение (7) можно записать в виде:
.
Поставим пределы интегрирования:
, (8)
где Т- температура нити, она разная при разных значениях тока в ней,
Тк- комнатная температура, определяется по термометру,
rт- радиус трубки (указан на установке),
rн- радиус нити (указан на установке).
После интегрирования получим:
. (9)
Из последнего выражения (9) получим формулу для расчета коэффициента теплопроводности:
(10)
В формуле (10) настоящей работы сила тока I и напряжения U на концах проволоки определяется по показаниям электроизмерительных приборов на установке. Температуру нити Т можно определить следующим образом.
Сопротивление нити Rк проволоки при комнатной температуре Тк определяется формулой:
, (11)
где R0 – сопротивление нити при 0оС,
Т0 = 2730К, и, следовательно;
.
Следовательно:
,
из последнего выражения находим Т:
(12)
здесь a = 6,5.10-3 K-1 - температурный коэффициент сопротивления железной нити, используемой в настоящей работе; R – сопротивление нити при данном значении тока и напряжения; Rк - сопротивление нити при комнатной температуре Тк, оно определяется путем экстраполяции, т.е. продолжением графика зависимости сопротивления R от тока I до значения I=0.
Наконец, сопротивление проволоки R, по которой протекает ток, может быть определено с помощью показаний амперметра и вольтметра по закону Ома:
. (13)
Описание установки
Рабочий участок установки с нитью - проволокой показан на рис. 1.
Железная проволока диаметром 0,2 мм расположена по оси вертикальной стеклянной трубки внутренним диаметром 12 мм, в которой находится исследуемый газ - воздух. Пространство между внешней и внутренней трубками заполнено термостатирующей жидкостью - водой.
Тепловой поток, идущий через газ от нагретой проволоки, нагревает прилегающие к внутренней трубке слои воды. Из-за большой теплоемкости и значительного объема воды изменение ее температуры в течение опыта незначительно (тем более, что полученное от трубки тепло рассеивается в окружающую среду). Благодаря циркуляции воды и интенсивному теплообмену можно считать, что температура внутренней стеклянной трубки первоначально равна температуре воды Тк, которую можно принять равной комнатной (определяется по термометру в лаборатории).
Электрическая схема установки показана на рис.2 При помощи реостата Rz можно изменять ток (контролируется амперметром А) через нить-проволоку, напряжение на концах которой регистрируется вольтметром U.
Примечание. Тепло от нагретого тела может переноситься движением макроскопических объемов газа, это так называемый конвективный способ передачи тепла. Конвекция может быть естественной, обусловленной разностью плотностей нагретого и холодного газа, и исказить результаты опыта.
Утечка тепла в настоящей работе происходит также через концы проволоки, которые будут находиться при температуре, близкой к комнатной, т.е. потери тепла будут происходить и за счет теплопроводности металла.
Наконец, потери тепла могут осуществляться и за счет теплового излучения. Излучение с поверхности нагретого тела (в нашем случае нити проволоки) существенно зависит от температуры и может, с возрастанием последней, значительно изменить получаемое в настоящей работе, значение коэффициента теплопроводности.
Порядок выполнения работы
1. Измерить и записать в табл. 6 комнатную температуру Тк.
2. Установить реостат на максимальное значение его сопротивления (соответствует минимальному значению тока в цепи). Включить выпрямитель.
3. Перемещая подвижный контакт реостата, увеличивать ток через интервалы 0,2А. Показания амперметра и вольтметра занести в табл.1 (получить не менее шести пар значений). При этом вследствие тепловой инерции измерительной ячейки переход от одного установившегося теплового состояния к другому происходит через определенный промежуток времени, увеличивающийся с ростом тока в цепи. Это надо учитывать и записывать в таблицу только установившиеся через несколько секунд показания амперметра и вольтметра.
Таблица 1
|
Tк |
I |
U |
R |
Rк |
IU |
T |
l |
|
К |
А |
В |
Ом |
Ом |
Вт |
К |
Вт/м·К |
Обработка результатов
1. Для каждого измерения тока и напряжения вычислить сопротивление нити-проволоки по формуле (13) и записать в табл.1. Построить на миллиметровой бумаге (размером до тетрадной страницы) график зависимости сопротивления R от тока I и, продолжив его до значения I=0, определить Rк. График, естественно, должен соответствовать постепенному возрастанию сопротивления с увеличением тока (соответствует увеличению температуры).
2. По формуле (12) вычислить температуру Т - для каждого значения силы тока, и записать в табл.1. Значения; rт, rн, L – указаны на установке.
3. По формуле (10) определить для каждого случая коэффициент теплопроводности и сравнить его с теоретическим значением, предварительно вычислив его по формуле (5).
Контрольные вопросы
1. Что такое градиент температуры? Что такое плотность теплового потока? В каких единицах они измеряются?
2. Назовите и поясните известные явления переноса в термодинамически неравновесных системах.
3. Дайте пояснения закону Фурье.
4. От каких параметров зависит коэффициент теплопроводности?
5. Какими способами может осуществляться перенос тепла?
6. Какие погрешности (явления, эффекты) влияют на результаты определения коэффициента теплопроводности в настоящей лабораторной работе?
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.6–5.7.
2. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.:Высш.шк., 1999. – § 10.7–10.8
3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т. И. – М.: Академия, 2004. – § 46, 48.
4. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Наука, 2005. – § 131.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 22
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ МАКСИМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ В ПУЗЫРЬКЕ
Цель работы: измерить коэффициент поверхностного натяжения исследуемой жидкости при комнатной температуре.
Оборудование: аспиратор, жидкостный манометр, колбы с водой и исследуемой жидкостью.
Краткие теоретические сведения
Свободные поверхности жидкостей находятся в особом состоянии натяжения. Силы поверхностного натяжения направлены по касательной к поверхности жидкости и действуют нормально к любой линии, мысленно проведенной на этой поверхности. Для количественной характеристики силы поверхностного натяжения вводят коэффициент поверхностного натяжения - s, который равен силе, отнесенной к единице длины:
(1)
Наличие сил поверхностного натяжения можно понять из следующих рассуждений.
Поверхность жидкости, соприкасающаяся с ее паром или другой средой (воздухом), находится в особых условиях, т.к. молекулы поверхностного слоя взаимодействуют с молекулами двух сред, имеющих различную плотность. Последнее обстоятельство обусловливает равнодействующую сил:
,
действующих на молекулу в поверхностном слое, направленную внутрь жидкости (рис.1).
Таким образом, у поверхности жидкости будут действовать силы, образующие “поверхностное” силовое поле, расположенное в тонком слое порядка нескольких межмолекулярных расстояний в жидкостях. Молекулы, находящиеся в этом поле, обладают повышенной потенциальной энергией.
Следовательно, при выходе молекул из глубины жидкости на поверхность их потенциальная энергия возрастает. Изменения энергии происходит в поверхностном слое (пленке) толщиной 10-7 cм.
При изменении формы поверхности жидкости или изменении ее площади часть молекул с повышенной энергией уходят внутрь жидкости, освобождающаяся при этом энергия расходуется на увеличение теплового движения молекул.
Поэтому при отсутствии внешних сил или при их незначительности поверхность жидкости будет сокращаться и жидкость примет форму с минимальной поверхностью, возможной в данных условиях. Например, в поле силы тяжести капли жидкости с уменьшением их размера приближаются к сферической форме из-за незначительности веса капли.
Кроме силового смысла, который определяется из выражения (1), коэффициент поверхностного натяжения имеет и энергетический смысл. Для понятия этого смысла рассмотрим случай, когда жидкость существует в форме тонкой пленки, примером которой может служить мыльная пленка. Возьмем проволочный каркас, имеющий форму прямоугольника, рис.2.
Сторона может свободно скользить вдоль направляющих АС и ВД, затянем площадь АВСД мыльной пленкой. Пленка эта двойная, подобно листу бумаги. Опыт показывает, что пленка стремиться сократиться и перемычка СД приходит в движение вверх. Для удержания в равновесии перемычки СД к ней надо приложить определенную силу, например, подвесить грузик, Так как пленка двойная, то величину этой силы обозначим 2, считая, что на каждую сторону пленки действует сила , при бесконечно медленном перемещении перемычки на расстояние Dx будет совершена работа:
A=2FDx. (2)
Площадь поверхности пленки увеличится на =2DS, где - длина перемычки СД, DS - увеличение поверхности каждой стороны пленки. С учетом (1) формулу (2) можно записать: A==2sDS, или окончательно:
. (3)
Из выражения (3) следует, что коэффициент поверхностного натяжения равен работе, затраченной на увеличение поверхности пленки на единицу площади. В этом заключается энергетический смысл s.
Вследствие действия сил поверхностного натяжения искривленный поверхностный слой производит на жидкость давление DP, дополнительное к внешнему давлению и обусловленное кривизной поверхности.
Определим величину дополнительного давления для случая, когда поверхность жидкости представляет собой часть сферы радиусом R. Отсечем мысленно малый сферический сегмент DS , рис.3.
Силы поверхностного натяжения, приложенные к контуру этого сег
мента, касательные к сферической поверхности. На элемент контура действует сила:
DFi=sD. (4)
Разложим силу, на составляющие , и . Геометрическая сумма сил D, приложенных ко всему контуру, равна нулю. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на рассматриваемый контур, будет направлена к плоскости сечения радиусом r.
Величина равнодействующей силы будет равна алгебраической сумме сил :
.
Заменив в последнем выражении DFi соотношением (4) и cosj отношением r к R, получим:
,
так как равна длине окружности радиуса r.
Давление DP получим, поделив значение силы F на площадь, ограниченную контуром, т.е.:
. (5)
Формула (5) дает величину добавочного давления, оказываемого на жидкость со стороны сферической поверхности, и всегда направленного к центру кривизны поверхности.
Если поверхность жидкости выпукла, то давление на жидкость больше внешнего давления на величину DP, рис. 4.
В случае вогнутой поверхности давление отрицательно, так как направлено не внутрь жидкости, а наружу, и давление на жидкость будет меньше внешнего.
В данной работе формула (5) использована для определения s.
Описание установки
Установка схематически показана на рис.5.
Наполненный водой аспиратор А соединен с помощью резиновых трубок с жидкостным манометром М и с воздушным пространством сосудов В и С. В сосуде В налит спирт ( в сосуде С-вода) до такого уровня, чтобы трубки Т1 и Т2 с оттянутыми концами лишь слабо касались поверхности жидкостей.
Если открыть кран К3 (краны К1 и К2 закрыты), то вода из аспиратора будет вытекать и давление в сосуде С будет постепенно понижаться. Избыток давления вне сосуда С вызовет искривление поверхности жидкости и образование воздушного пузырька на конце трубки Т1, рис.6. Давление, создаваемое искривленной поверхностью жидкости в пузырьке
будет уравновешиваться разностью давлений DP внутри и вне сосуда С.
Тогда можно записать по формуле (5):
,
где R - радиус внутренней поверхности возникающего пузырька.
Следует отметить, что разряжение в аспираторе А можно создать и путем отсасывания воздуха из аспиратора резиновой грушей (этот метод чаще используется в данной работе)
С возрастанием разности давлений будет расти и пузырек воздуха, причем его радиус внутренней поверхности будет уменьшаться, а давление, обусловленное искривлением поверхности жидкости, будет расти. Однако уменьшение радиуса R не происходит беспредельно. Радиус пузырька не может быть меньше радиуса отверстия трубки R0 , рис.6.
Если радиус пузырька становится больше R0, то давление внутри пузырька превосходит давление, обусловленное поверхностным натяжением, при этом пузырек лопается и воздух проникает в сосуд В.
Таким образом, по мере вытекания жидкости из сосуда В разность давлений DР, измеряемая манометром М , возрастает до некоторого значения DPmах, определяемого соотношением:
, (6)
а затем резко падает, когда пузырек лопается. Поскольку вода из аспиратора продолжает вытекать, вновь появляется разность давлений DP, на конце трубки образуется новый пузырек и весь процесс повторяется.
Формулу (6) можно использовать для определения s. Радиус отверстия трубки R0 лучше всего исключить, если произвести опыт с жидкостью, коэффициент поверхностного натяжения которой хорошо известен, (например, с дистиллированной водой). Для жидкостей с известным и неизвестным s напишем, соответственно:
.
Из последних соотношений получим:
(7)
где hmax - показание манометра при открытом кране К1,
- показания манометра при закрытом кране К1 и открытом К2. Следует обратить внимание, что для повышения точности показания манометра его трубка находится не в вертикальном положении, а в наклонном.
h – показание манометра, если его трубки находятся в вертикальном положении, равно , где - показание манометра если его трубки находятся в наклоненном положении, - угол наклона трубки манометра. В расчетной формуле (7) стоит отношение , его можно заменить отношением , т. к. эти отношения пропорциональны:
(8)
Формула (8) является расчетной. Величины иопределяются из опыта. Значение коэффициента поверхностного натяжения воды s надо взять из справочника (при Т = 18оС, s = (74,0± 0,1)Н/м).
Порядок выполнения работы
1. Открыть кран К1 и записать показание манометра М (краны К2 и К3 - закрыты).
2. Открыть кран К3 аспиратора и отрегулировать сток воды ( краны К1 и К2 - закрыты). Регулировка стока воды считается удовлетворительной, если можно следить за возрастанием уровня жидкости в манометре и производить отсчет его максимального показания.
Произвести по манометру пять отсчетов максимальных показаний манометра , соответствующих моменту отрыва пузырька в сосуде С.
3. Открыть кран К2 (краны К1 - закрыт, К3 - открыт) и произвести по манометру пять отсчетов максимальных показаний манометра , соответствующих моменту отрыва пузырька в сосуде В.
Результаты измерений записать в табл. 1
4. По формуле (8) вычислить коэффициент поверхностного натяжения жидкости sх,, подставляя средние значения <> и <> и известное значение s .
5. Определить относительную погрешность.
Найти абсолютную погрешность по формуле:
Ds = es
и результат записать в виде
s = <s> ± Ds Н/м.
Таблица 1
|
№ п/п |
, мм |
, мм |
, мм |
s, Н/м |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
4 |
||||
|
5 |
,мм |
, мм |
||
Контрольные вопросы
1. Объяснить характер теплового движения молекул жидкости.
2. Почему существую силы поверхностного натяжения и как они направлены ?
3. Дать определения коэффициента поверхностного натяжения. В каких единицах он измеряется?
4. При каких условиях жидкость принимает форму шара? Как осуществить эти условия?
5. Вывести формулу добавочного давления под изогнутой поверхностью жидкости ( формула Лапласа).
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 12.1.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 66–69.
4. Курс физики в 2-х т. Т. 2 / – В. Н. Лозовский и др. СПб.: Лань, 2006. – § 5.23–5.25.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Руководство по расчету случайной погрешности
Случайная погрешность влияет на окончательный результат измерений, т. е. в равной степени завышает либо занижает его. Поэтому необходимо указать интервал [<x> - Δx, <x> + Δx] на числовой оси, в который попадает измеряемая величина с некоторой указанной вероятностью этого попадания. Этот числовой интервал называется доверительным интервалом , где
(1)
есть среднее значение результатов измерений, а Δx – случайная погрешность:
. (2)
Значение коэффициента Стьюдента tα,n зависит от числа выполненных измерений n и доверительной вероятности α (обычно берут α = 0,95), и определяется по табл. 1 на стр. 23.
Проще и быстрее можно найти погрешность при помощи многофункционального калькулятора в режиме статистических расчетов. В этом режиме вводятся результаты измерений x1, x2,…, xn. Далее выводится значение среднеквадратичного отклонения
и рассчитывается погрешность по формуле .
В российских калькуляторах среднеквадратичное отклонение s обозначено символом σn-1. Затем выводится среднее значение результатов измерений <x> и записывается значение измеренной величины х с указанием доверительного интервала
.
Таблица записи результатов расчетов упрощается и остаются только 2 столбца : номер опыта и результатов измерений..
Работа с калькулятором
Переведем калькулятор в режим статистических расчетов. Введите данные результатов измерений: набрав число x1, нажмите клавишу , набрав число x2, нажмите клавишу и т. д. Рассчитайте погрешность нажатием следующих клавиш: , наберите коэффициент Стьюдента tα,n , . На индикаторе возникает вычисленная погрешность. Для вызова <x> нажмите клавишу .
ОГЛАВЛЕНИЕ
Общие сведения………………………………………………….3
Требования к выполнению лабораторных работ…………….3
Лабораторная работа № 1. Моделирование случайной величины и исследование ее распределения…………………………….16
Лабораторная работа № 2. Проверка второго закона ньютона на машине Атвуда………………………………………………………20
Лабораторная работа № 3. Определение средней силы удара и коэффициента восстановления при соударении шара с плоской стенкой……...28
Лабораторная работа № 4. Исследование столкновения шаров…………………………………………………………………………32
Лабораторная работа № 5. Определение скорости пули с помощью баллистического маятника……………………………………40
Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции маховика…………………………………………………………………….45
Лабораторная работа № 7. Определение момента инерции маятника Максвелла……………………………………………………..50
Лабораторная работа № 8. Изучение законов вращательного движения и определение момента силы трения………………………………………..55
Лабораторная работа № 9. Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела ……………………………………….60
Лабораторная работа № 10. Определение моментов инерции твердых тел методом крутильных колебаний диска…………….65
Лабораторная работа № 11. Определение ускорения свободного падения маятником – стержнем………………………………70
Лабораторная работа № 12. Изучение пружинного маятника…………………………………………………………………………76
Лабораторная работа № 13. Определение ускорения
свободного падения оборотным маятком……………………….81
Лабораторная работа № 14. Изучение колебаний струны……………………………………………………………………..86
Лабораторная работа № 15. Определение скорости
звука в воздухе методом стоячей волны……………………….92
Лабораторная работа № 16. Изучение механических
затухающих колебнаий…………………………………………….96
Лабораторная работа № 17. Определение отношения теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме ……………………………………………………….103
Лабораторная работа №18. Определение воздуха по скорости распространения звука……………………………………………..110
Лабораторная работа № 19. Определение коэффициента внутреннего трения для воздуха и средней длины свободного пробега молекул газа ...............................................................................119
Лабораторная работа № 20. Определение вязкости жидкости методом Стокса…………………………………..125
Лабораторная работа № 21. Измерение коэффициента теплопроводности газа………………………………………134
Лабораторная работа № 22. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости по методу максимального давления в пузырьке ……………… ………. 142
Приложение…………………………………………158
2. Как Вас называли в детстве ~ Ваши прозвища ~ и что они значат для Вас
3. История развития хозяйства России и машиностроительный комплекс.html
4. К основным функциям ядра ОС UNIX принято относить следующие
5. ОБЛАКА и rt Promo Group При содействии Free Live Promo ~ спец
6. Реферат- Проектирование датчика
7. На какую величину отличаются друг от друга выручка и брутторезультат эксплуатации инвест
8. Курсовая работа- Развитие финансового контроля в РФ
9. Основы теории электроприводов летательных аппаратов
10. Гемолитическая болезнь новорожденных
11. изюминку города Какими культурными ценностями вашего города Вы гордитесь Красота этого города
12. класса каждый получит готовую работу созданную своими руками под руководством наших преподавателей Каждом
13. Социальная защита судей в РФ
14. Исторические этапы научной рациональности
15. машина Jv Clssic Кофемашина Jv Clssic готовит эспрессо латте и капучино
16. Тема- Предприятие как объект государственного регулирования Вопрос 1
17. Методика навчання тактики гри і тактичної підготовки юних волейболістів
18. English speking countries
19. 3
20. по теме Здоровый образ жизни и решили создать наш проект