Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Предел числовой последовательности.
13. (227.) Во многих вопросах алгебры и геометрии приходится встречаться с последовательностями чисел, написанных одно за другим по определённому закону. Например, натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ....
арифметическая и геометрическая прогрессии, продолженные неограниченно:
а, а + d, a + 2d, a + 3d, ...,
а, аd, аd2, аd3, ...,
представляют собой бесконечные последовательности чисел, или бесконечные числовые последовательности.
Для каждой такой последовательности можно указать правило, по которому составляются её члены. Так, в арифметической прогрессии каждый член разнится от предыдущего на одно и то же число, в геометрической прогрессии каждый член равен предшествующему, умноженному на некоторое определённое число (знаменатель прогрессии).
Многие последовательности составляются по более сложным правилам. Так, например, вычисляя √2 с недостатком сначала с точностью до 0,1, затем с точностью до 0,01, затем с точностью до 0,001 и продолжая это вычисление неограниченно, мы получим бесконечную числовую последовательность:
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142.....,
дающую приближённое значение √2 с возрастающей степенью точности.
Для этой последовательности нельзя указать простого правила, по которому можно было бы получить новые её члены, зная предыдущие, но всё же можно определить любой член этой последовательности. Так, чтобы получить 4-й её член, нужно вычислить √2 с точностью до 0,0001, для получения 5-го члена нужно вычислить √2 с точностью до 0,00001 и т. д.
Допустим, что члены данной бесконечной последовательности a1,a2, a3,...an,... по мере повышения их номера неограниченно приближаются к некоторому числу А. Это значит следующее: существует некоторое число А такое, что, какое бы малое положительное число q мы ни взяли, в данной последовательности можно отыскать член, начиная с которого все члены последовательности по абсолютной величине отличаются от А меньше, чем на q. Мы будем это свойство коротко выражать так: абсолютная величина разности ап — А неограниченно убывает с возрастанием номера п.
В этом случае число А называется пределом данной бесконечной числовой последовательности. Приведём пример такой последовательности. Составим последовательность десятичных дробей:
0,9; 0,99; 0,999; ... .
Здесь каждый член получается из предыдущего приписыванием нового десятичного знака 9.
Легко заметить, что члены этой последовательности неограниченно приближаются к единице.
Именно, первый член отличается от единицы на 0,1, второй на 0,01, третий на 0,001, и если достаточно продолжить эту последовательность, то можно найти в ней член, начиная с которого все последующие члены будут отличаться от единицы на сколь угодно малую, заранее указанную величину. Следовательно, мы можем cказать, что взятая нами бесконечная числовая последовательность имеет пределом единицу. Другим примером числовой последовательности, имеющей предел, служит последовательность приближённых значений длины отрезка, несоизмеримого с единицей длины, вычисленных с недостатком, сначала с точностью до 0,1, затем — до 0,01, затем — до 0,001 и т. д.
Пределом этой последовательности служит бесконечная десятичная дробь, представляющая точную меру длины данного отрезка. В самом деле, величина бесконечной десятичной дроби заключена между двумя её приближёнными значениями, вычисленными с одинаковой точностью — одно с недостатком, другое с избытком.
Как было показано выше, эта разность неограниченно убывает по мере повышения степени точности приближённых значений. Следовательно, должна неограниченно убывать и разность между самой бесконечной десятичной дробью и её приближёнными значениями по мере повышения степени точности этих значений. Значит, бесконечная десятичная дробь служит пределом последовательности всех её приближённых значений, взятых с недостатком (или всех приближённых значений, взятых с избытком).
Легко заметить, что не всякая бесконечная последовательность имеет предел; например, натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5.....
очевидно, никакого предела не имеет, так как его члены неограниченно возрастают и ни к какому числу не приближаются.
14. (228.) Теорема. Всякая бесконечная числовая последовательность может иметь только один предел.
В справедливости этой теоремы легко убедиться доказательством от противного. В самом деле, предположим, что дана последовательность
a1,a2, a3,...an,...,
которая имеет два различных предела А и В. В таком случае, в силу того, что А есть предел данной последовательности, абсолютная величина разности an — А должна неограниченно убывать с возрастанием п. В силу того, что В есть тоже предел данной последовательности, абсолютная величина разности an — В также должна неограниченно убывать с возрастанием п.
Но в таком случае абсолютная величина разности
(an — А) — (an — В)
должна также или неограниченно убывать, или быть равной нулю. Но эта последняя разность равна разности чисел В — A и, следовательно, есть некоторое вполне определённое, отличное от нуля число. Это число не зависит от номера п и при возрастании п вовсе не изменяется. Таким образом, предположение, что существуют два предела числовой последовательности, привело нас к противоречию.
15. (229.) Предел возрастающей бесконечной числовой последовательности. Рассмотрим такую последовательность a1,a2, a3,...an,..., в которой каждый следующий член больше предыдущего, т. е. an+1 > an, и в то же время все члены последовательности меньше некоторого определённого числа М, т. е. для любого номера п
an < М.
В этом случае последовательность имеет определённый предел. (Теорема Вейерштрасса).
16. (231.) Предел переменной величины. Если дана последовательность
a1,a2, a3,...an,...,
то п-й член её an можно назвать переменной величиной, числовое значение которой зависит от её номера п. Этим выражением «переменная величина» часто пользуются для упрощения речи. Так, вместо выражения "дана бесконечная числовая последовательность a1,a2, a3,...an,..." принято говорить "дана переменная величина an, принимающая последовательно ряд значений a1,a2, a3,...". Если пользоваться этим способом выражения, то можно говорить не о пределе последовательности, а о пределе переменной величины.
В таком случае, предложение, доказанное в § 14 (228), можно высказать в форме: «Всякая переменная величина может стремиться лишь к одному пределу». Это предложение часто высказывают так: «Если даны две переменные величины an и bn, причём все значения первой равны соответствующим значениям второй: a1 = b1, a2 =b2, ..., an = bn, то предел первой величины, конечно, если он существует, равен пределу второй», или короче: «Если две переменные величины равны, то равны и их пределы».
Предложение (§ 15) о пределе возрастающей числовой последовательности можно высказать так: если переменная величина аn возрастает с возрастанием номера п и в то же время остаётся меньше некоторого постоянного числа, то эта переменная величина имеет предел.