Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
33. Квантовая оптика. Квантовая физика рассматривает взаимодействия как взаимодействия соответствующих полей: гравитационного, электромагнитных полей слабых и сильных. О каком бы взаимодействии не шла речь, поле можно представить как поток корпускул, квантов: для гравитационного- гравитон; для электромагнитного- фотон; для сильного взаимодействия- пимизон; для слабого- липтрон. Излучаются и поглощаются корпускулы порциями- квантами.
21. Тепловое излучение. Из опыта: любое вещество температура у которого не равна 0К испускает электромагнитные волны. Это излучение электромагнитных волн веществом называется тепловым излучением, т.к. механизм этого излучения связан с тепловым хаотическим движением атомов и молекул вещества. Атомы и молекулы вещества при хаотическом тепловом движении испытывают столкновения друг и другом. при этом они движутся с ускорением. Из электродинамики известно, что движущиеся с ускорением заряженные частицы испускают э/м волны. Т.к. атомы и молекулы состоят из заряженных частиц: ядра и электроны, они излучают э/м волны, потому что движутся с ускорением. При этом энергия хаотического теплового движения молекул вещества переходит в энергию э/м волн. Вещество не только излучает, но и поглощает.
22. Равновесное излучение в полости. Законы теплового излучения установлены при рассмотрении равновесного излучения. Рассмотрим замкнутую полость, т.е пространство вокруг заполнено твердым веществом. Будем считать, что Т=const. Участвуя в хаотическом тепловом движении, атомы стенок полости излучают э/м волны, которые заполняют эту полость. В условиях равновесия выполняется условие баланса: количество энергии определенной частоты, направления распространения и поляризации совпадает с таким же количеством поглощенной энергии той же частоты, направления распространения и поляризации (следствие принципа детального равновесия). Принцип детального равновесия: каждому микропроцессу, происходящему в равновесной системе, с той и же вероятностью соответствует микропроцесс идущий в обратном направлении. равновесное излучение обладает свойствами: излучение изотропно (одинаково по разным направлениям); однородно(одинаково во всех точках полости); не поляризовано. Свойство равновесного излучения не зависит от материала стенок. Можно говорить о температуре равновесного излучения, считая ее равной температуре стенок полости. Количественная характеристика равновесного излучения это его степенная характеристика - спектральная плотность излучения (U,т)- это количество лучистой энергии в интервале частот от до +d, находящейся в единице объема. Проинтегрируем по всему возможному частотному диапазону: 0 U,т d=Uт (где Uт –объемная плотность равновесного излучения).
23. Спектральные характеристики излучения и поглощения твердыми телами. Излучательная способность твердого тела (Е,т)- это количество энергии dW в частотном интервале от до +d, испускаемое единицей поверхности твердого тела в единицу времени отнесенное к величине частного интервала d. Е,т=dW/d Когда лучистая энергия падает на поверхность твердого тела, то часть ее поглощается, а часть отражается. Поглощательная способность твердого тела (А,т)- показывает какая доля падающей лучистой энергии поглощается. А,т=dWпогл/dWпад Излучательная и поглощательная способности зависят от материала твердого тела, его температуры, частоты э/м волн, состояния поверхности твердого тела. Проинтегрируем по всем возможны частотам излучательную способность: 0 Е,т d=Ет=0 (где Ет- интегральная излучательная способность твердого тела или интегральная светимость) Это величина равная количеству энергии излученной в единицу времени единицей поверхности [Ет]=Дж/(метр2сек). Абсолютно черное тело (а.ч.т.)- тело с поглощательной способностью равной 1 при любой температуре тела и не зависимо от частоты э/м волн. Для а.ч.т. А,т=1 Замкнутая полость с очень малым отверстием – неплохая модель а.ч.т., т.к. если направить на нее луч света, то э/м волны многократно отражаются и поглотятся, т.е. в конце из нее изойдет очень ничтожное количество энергии. Черное излучение – равновесное излучение внутри полости. Серое тело- тело, у которого поглощательная способность одинакова для всех частот и зависит лишь от температуры и состояния его поверхности. В теории теплового излучения доказывается, что излучательная способность а.ч.т. (обозначают E,т) пропорциональна спектральной плотности равновесного излучения. E,т=с U,т/4 (где с-скорость света в вакууме).
24. Закон Кирхгофа. Излучательная способность твердого тела пропорциональна его поглощательной способности, т.е. Е,т А,т. Установим связь между излучательной способностью тела и поглощательной. Будем считать, что наше твердое тело погружено в равновесное излучение. Рассмотрим элементарную площадку dS внутри замкнутой полости, пусть Т=const, тогда количество энергии, излученной dS в единицу времени равна количеству энергии падающей на dS в единицу времени: dWизлуч=dWпадающ.(*) Если свет падает нормально к поверхности: За время dt тогда на площадку падала бы энергия равная площади цилиндра. Получаем:
dWпадающ=V U,т=Cdt dS U,т d (где с- скорость света, V- объем из которого поступает лучистая энергия). Мы получаем. что падает из интервала частот от до d. Каждая точка внутри полости испускает волны по всем направлениям т.е. на 4. Чтобы учесть этот факт надо добавить в выражение: dWпадающ=Cdt dS U,т d/4. Вспомним,
E,т=с U,т/4 подставим это. Получаем: dWпадающ=E,тdt dS d (1). Количество отраженной энергии будет:
(1-А,т)*dWпадающ. Подставим суда (1), получаем:
(1-А,т)*E,тdt dS d. Но с площадки dS за время dt в интервале d испускается из-за теплового движения: Е,тdt dS d получается dWизлуч=(1-А,т)*E,тdt dS d+ Е,тdt dS d (2) Подставим (1) и (2) в условие баланса (*):
[E,т(1-А,т)+Е,т]*dt dS d=E,тdt dS d E,т(1-А,т)+Е,т=E,т E,т-А,т*E,т+Е,т=E,т Е,т/А,т=E,т. Закон Кирхгофа для теплового излучения: отношение излучательной способности произвольного твердого тела к его поглощательной способности равна излучательной способности а.ч.т., являющейся только функцией частоты и температуры.
Е,т А,т.
26. Законы излучения а. ч. т. Излучение, которое испускалось из отверстия, исследовали на спектральный состав. Это излучение мало отличается от излучения а.ч.т. (другая модель а.ч.т. - солнце) Проинтегрируем излучательную способность а.ч.т. (E,т) по интервалу частот от 0 до +. Получаем интегральную излучательную способность (Eт): Eт=0E,т d Применив термодинамический метод Больцман в 1884г. установил: Eт= Т4 Закон Стефана- Больцмана (где - коэффициент пропорциональности или постоянная Стефана-Больцмана, из опыта: =5,67*10-8 Вт/м2с*К4 Т- абсолютная температура) Формулировка закона: интегральная излучательная способность а.ч.т. пропорциональна абсолютной температуре а.ч.т. в четвертой степени. Из опыта: Т1>T2. В 1893г. Вин одновременно применил термодинамический метод и теорию поля Максвелла. Он показал теоретически: E,т=3*f(/T) (**) (где f-некоторая функция, которую Вин не смог установить). Вин определил частоту максимума(m) Возьмем производную от (**) по частоте:
dE,т/d=32f(/T)+3f’(1/T)=0 3f(/T)+m*f’/T. Получили закон смещения Вина: m=bT , т.е максимум частоты растет линейно с увеличением температуры (где b=-[3f(/T)]/f’). Релей и Джинс рассмотрели черное излучение используя статический метод и получили E,т=2ТВ (где В- некоторый коэффициент). В пределах <m теоретический расчет совпадает с практическим. В пределах >m экспериментальная кривая не совпадает. Проинтегрировав по частоте: Eт=02ТВ d= это противоречит закону сохранения энергии. Результат полученный Релеем и Джинсом- ультрафиолетовая катастрофа.
69. Фотоны. Давление света. Эйнштейн показал, что световые волны можно представить как поток корпускул. Энергия э/м волны равна сумме энергий всех корпускул (фотонов или квантов э/м излучения). Энергия фотона (Eф) равна: Eф=h (где h- постоянная Планка; -частота света). Тогда для всей энергии э/м волны: E =hi Импульс фотона(Кф) равен: Кф=(h)/с=Eф/с Eф=Кф*с (где с- скорость света) {еще Кф=h/}. Максвелл показал, что свет, падающий на поверхность тела, оказывает на нее давление. Он вычислил его из квантовой физики. Пусть на поверхность твердого тела ей ежесекундно падает n фотонов. Обозначим R-коэффициент отражения. R показывает долю отраженных фотонов от общего числа фотонов. Значит отражается (n*R) фотонов, а поглощается n*(1-R). Каждый поглощенный фотон передает твердому телу свой импульс, т.е. импульс Кф=(h)/с. Отраженный фотон передает твердому телу импульс Кф’=(2h)/с. Суммируя все импульсы переданные единице поверхности тела в единицу времени получаем давление (р):
р=[(hn*(1-R))/с]+[(2hnR)/с]=
=[(hn)/c]-[(hRn)/c]+[(2hRn)/c] p=(hn/c)*(1+R). Вспомним, Eф=h, =n*Eф (где - интенсивность света). Тогда давление на поверхность твердого тела: р=/с*(1+R). Такой же результат получим и если у нас не монохроматическая волна, т.е. это общий случай.
27. Формула Планка. Планк рассматривал черное излучение внутри замкнутой полости. Т.к. свойства черного излучения не зависят от материала стенок полости. то для стенок полости Планк выбрал простые модели: стенки- гармонические асцеляраторы, где частота лежит в пределах от 0 до +. По статическому методу и принципу детального равновесия: E,т=(22E)/с2 (где E- среднее значение энергии гармонического асцеляратора с собственной частотой ; с-скорость света в вакууме). Гармонический асцеляратор- тело, колеблющееся по гармоническому закону. В модели Планка- атом, применив закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: En=КТ (где К- постоянная Больцмана ; Т- абсолютная температура). Планк постулировал: закон равномерного распределения энергий не работает, надо искать иные пути. Он предположил, что энергия гармонического асцеляратора изменяет энергию не непрерывным, а дискретным образом, кратно некоторому значению E0 (где E0- квант энергии). En=nE0, (где n=0,1,2,3…). Для определения E0 Планк взял теорему о среднем. Из математики: если некоторая величина у принимает дискретное значение уn, то среднее значение у равно: у=[(уi*f(yi))]/[ f(yi)], (где f(уi)-вероятность, что у примет значение уi). Значит En равно: En=[Ei*f(Ei)]/[f(Ei)]=[i*E0exp(i*E0/KT)]/[exp(i*E0/KT)] Т.к. из закона Больцмана: Ei=i*E0; f(Ei)=exp(i*E0/KT). Получается, среднее значение En равно: En=E0/[ехр(E0/КТ)-1] (*) Вспомним, En,т=(22E)/с2 подставим суда (*) получим:
En,т=[(22)/с2]*[E0/(ехр(E0/КТ)-1)]. Чтоб совпала теоретическая кривая и экспериментальная, надо: En,т=h (где h-постоянная Планка h=6,62*10-34 Дж*с). Формула Планка для излучательной способности а.ч.т.: En,т=[(22)/с2]*[h/(ехр(h/КТ)-1)] тогда совпало с экспериментальной кривой. Частные случаи: 1) h<<КТ ехр(h/КТ)1+ h/КТ+… это ряд, в котором можно отбросить все слагаемые после второго, т.к. квадрат, куб т.е. ехр(h/КТ)-убывает. Подставим отсеченный ряд в формулу Планка: En,т=[(22)/с2]*[h/(1+h/КТ-1)]=(22КТ)/с2 получили формула Релея- Джинса; 2) h>>КТ (у нас значит е в очень большой степени) En,т=[(22h)/с2]*exp(-h/КТ) совпало с законом Вина(пренебрегли 1-цей в знаменателе) {En,т=3*f(/T)} Этот результат получен в 1900г. и 1900г- год начала квантовой физики. Применяя квантовую физику, исследовали фотоэлектрический эффект.
28. Фотоэлектрический эффект. Герц в 1887г. обнаружил эффект: если ультрафиолетом облучать твердое тело, то с его поверхности происходит вырывание электронов это фотоэлектрический эффект. Столетов утверждал: максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит не от интенсивности света, а от его частоты. Чем больше частота света, тем больше кинетическая энергия фотоэлектронов. Красная граница фотоэффекта: если частота света меньше некоторого характерного для этого твердого тела значения, то фотоэффект не идет. В 1905г. Эйнштейн издал статьи. Он принял, что свет излучает порциями (квантами) и поглощает порциями (квантами). Тогда частота света, вызывающая фотоэффект () умноженная на постоянную Планка (h) равна: h=А+m2max (***) Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. (где А- работа выхода электрона с поверхности твердого тела; m-масса е; max- максимальная скорость электрона. вырванного с поверхности). Работа выхода равна энергии, которую надо сообщить электрону, чтобы вырвать его с поверхности в вакуум. При уменьшении частоты света до некоторого значения условие (***) перестает выполняться. Для красной границы фотоэффекта из условия, чтоmax=0 получаем: min=А/h. Пишется max т.к. вырывание е идет в некотором приповерхностном слое. и е из твердого тела проходя какой-то путь теряет при столкновениях энергию.
32. Корпускулярно-волновая природа света. Свет проявляет корпускулярные и волновые свойства, в их проявлении есть закономерность: чем больше частота света, тем отчетливее проявляются его корпускулярные свойства. {Внешний фотоэффект наблюдается, если частота света превышает некоторое критическое для данного вещества значение; эффект Комптона: здесь свет ведет себя как поток корпускул, этот эффект лишь тогда будет если жесткие рентгеновские лучи, это излучение с маленькой длиной волны и высокой частотой} Чем больше длина волны света, чем меньше его частота, тем больше проявляются волновые свойства {интерференция, дифракция}.
33. Квантовая механика. Волновые свойства микрочастиц. Законы, управляющие материальным миром можно свести набору основополагающих принципов (например, вещество и поле имеют сходные свойства). Частицы, т.е. атомы, е, молекулы, в некоторых условиях могут проявлять волновые свойства (дифракция е) по дифракционной картине можно вычислить длину волны (волны де Бройля). Эта волна определяется выражением: =h/m=h/p (*) (где m-масса движущейся частицы; p-ее импульс; h-постоянная Планка; - скорость частицы). Выражение (*) определяет связь волновых и корпускулярных свойств вещества [m или p-характеризуют объект как частицу; - как волну].
30. Эффект Комптона. Если направить пучок рентгеновских лучей на мишень, наблюдается рассеяние лучей. В опыте в приемнике находили длину волны рассеянных лучей под разными углами. Получили из опыта: длина волны рассеянных лучей не совпадала с длиной падающих, т.е.’. =’+2ksin2(/2) (где - длина волны падающих; ’-длина волны рассеянных; - угол рассеяния; k- постоянная Комптона k=2,43*10-12м). С точки зрения классических представлений нельзя объяснить этот эффект. Пусть фотон рассеивается на свободном электроне (это оправданно,т.к. энергия связи в атомах на порядок< энергии квантов). И пусть на результат столкновения влияют законы сохранения (энергии и импульса). Обозначим Eф- энергия фотона до столкновения с е; Eф-энергия фотона после столкновения; W-энергия е до столкновения; W’- энергия е после столкновения; Кф- импульс фотона до столкновения; Кф’- импульс фотона после столкновения; Импульс е до столкновения считаем за ноль; Ке- импульс е после столкновения.Теперь запишем законы сохранения энергии и импульса в изолированной системе фотон- электрон: Eф+W=Eф’+W’и в векторном виде Кф=Kф’+Ke(*) Вспомним: Eф=с*Кф и Eф’=с*Кф’ Для энергии е надо применять релятивистские выражения, т.е. W=mc2 и W’=c*(Ke+m2c2). Подставим все это в закон сохранения энергии: с*Кф+mc2–с*Кф’=c*(Ke+m2c2) сократим на с Кф+mc–Кф’=(Ke+m2c2) мы обозначили части за G1 G2 . Возведем в квадрат величины G1 и G2: G12=G22 Они равны: G12=Кф2+m2c2+(Кф’)2+2mcКф-2Кф(Кф’)-2mc(Кф’);G22=Кe2+m2c2 Используя (*) заменим: Ке=Kф–Kф’ возведем в квадрат: Ке2=|Kф–Kф’|2=Kф2+(Kф’)2-2Kф*Kф’cos (**) (где – угол между векторами на рис.). Распишем равенство G1=G2 Кф2+m2c2+(Кф’)2+2mcКф-2Кф(Кф’)-2mc(Кф’)=Кe2+m2c2 подставим вместо Kе2 (**) сократим одинаковые слагаемые всправа и слева и после сокращения разделим на 2-ку: mcКф-Кф(Кф’)-mc(Кф’)=-Kф*Kф’cos. Перенесем все с Kф’ вправо: mcКф=Кф(Кф’)+mc(Кф’)-Kф*Kф’cos mcКф=Kф’[mc+Kф(1-cos)] (***)Вспомним: Kф=h/c=h/ (1); Kф’=h’/c=h/’ (2). Разделим (***) на KфKф’ и подставим туда (1), (2) получаем:
mc/Кф’=[mc+Kф(1-cos)]/Kф mc’=[mc+ h/*(1-cos)] Разделим на mc и раскроем скобки: ’=+ h/mc*(1-cos) ’=+2k sin2(/2) (где k=h/mc=2,43*10-12м). Мы доказали выражение полученное опытным путем. Эффект Комптона- еще одно явление, где свет проявляет корпускулярные свойства.
31. Люминесценция. Это избыточное над тепловым излучение света веществом, имеющая длительность значительно превышающую периоды излучения в оптическом диапазоне спектра. Люминесценцию вызывают: облучение вещества ультрафиолетовым светом, рентгеновскими или гамма-лучами, бомбардировка е, ионами или нейтральными частицами, при прохождении электрического тока через полупроводники, химические превращения в твердом теле или на его поверхности. Твердому телу подводят энергию в какой-то форме, поэтому электроны переходят из основного состояния в возбужденное, а потом самопроизвольно из возбужденного в основное состояние с испусканием кванта света. На рис.: 1-добавляем энергию, е переходит; 2- самопроизвольно переходит и испускает свет (2 тоже может быть без излучения света, когда идет лишь нагрев решетки). Переходы, ответственные за люминесцентное излучение - спонтанные. Характерное время жизни в возбужденном состоянии: 10-8 с. Системе энергетически выгодно быть в нижнем состоянии, поэтому и переходит. Кроме спонтанных есть индуцированные (вынужденные) переходы, сопровождающиеся выделением света. Если возбужденный атом поместить в э/м поле, то время жизни атома в возбужденном состоянии уменьшается и под действием э/м поля атом в возбужденном состоянии испускает квант света и чем ближе частота э/м волны, вызывающей индуцированный переход к частоте излучаемого света, тем выше вероятность вынужденного излучения. { Аналог: если взять заряженный шарик и заколебать его, то он будет испускать э/м волны, т.к. он движется с ускорением, и если на него дейцствует сила, то будет вынужденные колебания, и его частота колебаний зависит от вынуждающей силы}. Спектральный состав люминесценции может быть разным, это зависит от агрегатного состояния. Если атомарный газ: линейный спектр. Если полупроводники: люминесцентные полосы. Если металлы: непрерывный, сплошной спектр. Спектральный состав атомов водорода: h=13,6[(1/k2)–(1/n2)] это в ЭВ для атомов водорода. Если k=1, n=2,3,4…серия Лаймана; если k=2, n=3,4,5…серия Бальмера.
Основы квантово- механического описания частиц. К частицам-волнам не применимы классические представления (бессмысленно понятие, к примеру, траектории). Для их описания разработана специально квантовая механика. Из-за своих волновых свойств частица может оказаться в элементарном объеме dv (dv=dx*dy*dz) в момент времени t с вероятностью (x,y,z,t): (x,y,z,t)=|(x,y,z,t)|2*dv (где выражение под модулем - квадрат функции пси; (x,y,z,t)-волновая функция частицы, описывающая е состояние в каждый момент времени.). Импульс микрочастицы: p=ħK=ħn/ (где К- волновой вектор; К=2n/; n- единичный вектор распространению волны де Бройля; Н- постоянная Планка { ħ=h/2} , т.е. отличается от постоянной Планка на 2). Функция в общем случае комплексна, т.е. =a+bi (где а,b-действительные функции от x,y,z,t ; i=). Квадрат ее будет: ||2=*=a2+b2 (где *- комплексно сопряженная с функция,т.е. *=a-bi). Волновая функция всюду непрерывна и удовлетворяет следующему условию нормировки:
–+–+–+||2dx*dy*dz=1 Это условие значит, что вероятность обнаружить частицу в бесконечном пространстве равна 1,т.е частица где-то есть. С помощью известной нормированной функции можно найти среднее значение В (где В-любая физическая величина, характеризующая состояние частицы).
В=–+–+–+В*||2dx*dy*dz Возможность применения классических понятий координаты импульса к описанию состояний частиц-волн ограниченно. Частица-волна не может иметь точных значений координаты х и проекции импульса рх,т.е. они определяются с ошибкой, неопределенностью. Неопределенность координаты х и проекции импульса: х*рхН/2 Неопределенность времени и энергии: t*EН/2 Т.е. поведение микрочастиц имеет вероятностный характер.
38. Уравнение Шредингера. Для микрочастиц применение классических представлений (таких как понятие траектории, уравнения Ньютона) ограниченно из-за их корпускулярно-волновой двойственности. Уравнение движения должно быть таким, чтоб давало описать наблюдаемые волновые свойства, т.е. уравнение должно быть волновым. Уравнение Шредингера- основное уравнение квантовой механики, определяющее вид функции пси () для различных случаев движения и взаимодействия частиц. Для одной частицы без магнитного поля:
iħ*(/t)=(-ħ2/2m)*+U(x,y,z,t)* (*) (где =2/х2+2/у2+2/z2 оператор Лапласа; U(x,y,z,t)- потенциальная энергия; m- масса частицы; ħ- постоянная Планка, которая без 2,т.е. ħ =h/2; i= ). Случай, когда ||2/t=0 (**) это стационарное, т.е. неизменное со временем, состояние частицы. Подставим (**)(*): (x,y,z,t)=(x,y,z)*f(t), т.е функция от координат фи и функция ф от времени. +(2m/Ђ2)*[Е-U(x,y,z)]*=0 (где Е- неопределенная величина, с размерностью энергии);
f(t)=f0*exp(-iEt/Ђ). Решения этого уравнения n(x,y,z) называются собственными функциями, они существуют лишь при определенных собственных значениях энергии, т.е. Еn. Собственный спектр частиц- совокупность собственных значений Еn При переходах между дискретными уровнями энергии Еn выделяется или поглощается квант света. Для квантовой механики важно найти собственные значения собственных функций частиц или систем частиц. Решая задачи, волновая механика использует стационарное уравнение Шредингера: d2/dx2+(2m/ħ2)*E=0. Диф. ур. в частных производных для решения требует граничные условия (т.е. значения волновой функции в границе области, где определяем вид функции). При зависимости от времни уравнения Шредингера нужны значения функции в t=0. От этого зависит разрешенное состояние n и соответствующее им разрешенные уровни энергии Еn (из стационарного ур-я Шредингера).
39. Предельный переход классической механики. Классическая механика- предельный случай квантовой (по аналогии как соотношение волновой, где распространение э/м волн описывают уравнения Максвелла, и геометрической оптик, где свет распространяется по траектории-лучу) В классической корпускулы движутся вдоль траекторий, в квантовой рассматривают волны Де Бройля. Этот переход можно описать как переход к пределу: =h/p0 Чтоб получить движение микрочастицы по какой-то траектории, надо исходить из волновой функции, заметно отличающейся от нуля лишь в узеньком участке пространства. Такая волновая функция - волновой пакет. В квазиклассическом случае считают перемещение волнового пакета в пространстве по классической траектории.
40. Движение свободной частицы. Пусть свободная частица движется вдоль оси х. Если силового поля нет, то потенциальная энергия частицы равна нулю полная энергия равна кинетической: Е=Ек=р2/2m (где р - импульс частицы, р=m; m- масса частицы). Пусть нам известен импульс частицы. Найдем волновую функцию, описывающую ее состояние. Значит нам надо решить стационарное уравнение Шредингера: d2/dx2+(2m/Ђ2)*E=0 Его решение (x)=В*еxp(ik0x) (где i=; k0-волновое число; В- коэффициент; х- координата). Вспомним, k0=(2mE)/Ђ=p/Ђ=2/ в свою очередь =h/m= h/p (где -длина волны де Бройля для данной частицы; m-масса частицы; - скорость частицы; Ђ=h/2, h-постоянная Планка) Можно записать уравнение плоской монохроматической волны, используя формулу Эйлера как: (x,t)=Aei(kx-t) (где А- амплитуда волны де Бройля; =Е/Н - циклическая частота; t-время; x-координата).Модуль функции пси в квадрате:||2=*=[Aei(kx-t)]*[Ae–i(kx-t)]=A2 не зависит от координаты х, а значит частица может быть в любом месте пространства с равной вероятностью. Такой результат соответствует соотношению неопределенности, которое обозначает, что если мы знаем импульс, то ничего не знаем о месторасположении частицы.
Частица в одномерной потенциальной яме. Направили ось х по дну ямы Если координата частицы 0<x<L, то U=0 (где U- потенциальная энергия); если же x L или х0, то U=. Т.к. частица перемещается одномерно, то стационарное уравнение Шредингера будет d2/dx2+(2m/Ђ2)*E=0 (здесь у нас U=0) Найдем граничные условия. Вне ямы частицы не может быть, т.к. ||2=0 вероятность нулевая. Мы вначале отметили что стенки ямы непроницаемые, значит за ямой =0 На границе ямы тоже будет ноль, т.к. волновая функция непрерывна. Решение нашего уравнения Шредингера: (х)=А*cos(kx)+B*sin(kx) (*), (где k-волновое число, k=(2mE)/Ђ, Ђ=h/2, h-постоянная Планка) из граничных условий (0)=0, подставим это в (*) получаем (0)=А*1+B*0=0 А=0 Теперь (L)=0+B*sin(kx)=0, ведь k=kn=n/L (n=1,2,3…) мы можем отсюда найти kn (где kn- волновые числа) k имеет дискретные значения. Значение n=0 не подходит иначе вся функция превратиться в ноль, т.е. частицы не будет нигде, а ведь она где-то есть. У нас получается серия функций n(х)=B*sin(knx) Множеству волновых чисел kn соответствует множество длин волн n из выражения kn=2/n Тогда nn/2=L в длину ямы L влазиет определенное целое количество полуволн де Бройля. Вспомним k=(2mE)/Ђ=n/L отсюда энергия En=(n22Ђ2)/(2mL2) Числа n-квантовые числа могут принимать значения 1,2,3… они определяют уровни энергии. En может принимать какие-то определенные значения, т.е тоже дискретно, значит энергетический спектр частицы дискретен. Посчитав Е1 и Е2 мы не сможем найти Е’, чтоб Е1<E’<Е2
43. Туннельный эффект. Связанные частицы (е в атоме, нейтрон в ядре) реально находятся в потенциальных ямах конечной глубины. При этом вне ямы волновая функция нулю не равна, значит, частица может с какой-то вероятностью оказаться вне ямы. Внутри ямы частицу описывает волна де Бройля. На границах ямы частица отражается, и частично вылазиет за пределы потенциальной энергии. А значит мы можем найти ее за ямой. В классической механике частица не может выйти из ямы, если ее полная энергия меньше высоты потенциального барьера. Туннельный эффект, когда в рамках квантовой механике частица-волна может пройти сквозь потенциальный барьер. пусть частица с энергией Е летит из 1 на барьер с высотой U0 { причем Е<U0} по квантовой механике она или отразиться или пролетит и попадет в 3. Чтоб найти вероятность пролета частицы в область 3 надо решить уравнение Шредингера: Dexp[(-2L/Ђ)*(2m(U0-E))] (где L- длина ямы; U0- потенциальная энергия для высоты потенциального барьера; Е- энергия частицы; m-масса частицы; Ђ=h/2, h- постоянная Планка; D- коэффициент прозрачности). В классической механике D=0 (непрозрачен); в квантовой D=1 (прозрачен).
44. Гармонический осциллятор. Так называют частицу, совершающую гармонические одномерные колебания при действии упругой силы F (F=-kx). Потенциальная энергия частицы равна: U=kx2/2=mx22/2 В этом случае уравнение Шредингера: d2/dx2+(2m/Ђ2)*(E-mx22/2)*=0 Значениям функции n соответствуют собственные значения энергии: En=(n+)Ђ ( где n=1,2,3…) Нулевая энергия, т.е. наименьшая равна E0=Ђ (где - собственная частота колебаний осциллятора; Ђ=h/2, h- постоянная Планка; m-масса частицы; х- перемещение осциллятора при колебании). Квантовая энергия определяет вероятность перехода системы из одного состояния в другой. Гармонический осциллятор может переходить на соседние уровни энергии, т.е квантовое число изменяется на 1(n= 1 это условие правила отбора). Правила отбора- условия, накладываемые на изменение квантовых чисел при переходе из одного состояния в другое.
46. Боровская теория атома. Резерфорд провел опыты и узнал строение атома. Обнаружили массивное, положительное ядро и электронную оболочку. Бор применил открытия, чтоб объяснить линейчатые спектры атомов при излучении и поглощении. Бор предположил, что свет поглощается и излучается порциями (квантами). По его модели хорошо описывался атом водорода, а если взять многоэлектронный атом, то не получится так же как в опыте. Решили эту проблему потом. А модель Резерфорда- Бора подходит для водородоподобных атомов (система двух связанных микрочастиц). Постулаты Бора: 1)Постулат стационарных состояний: есть некоторые стационарные состояния атома, в которых он не излучает энергию. Этим состояниям соответствуют стационарные орбиты, где движутся около ядра е. Электрон движется с ускорением, но все равно не излучает э/м волн; 2)Правило квантования орбит: двигаясь по круговой орбите, е в стационарном состоянии имеет квантовые значения момента импульса(L) в соответствии с уравнением L=me*n*rn=nh/2 (где me–масса е; n-его скорость на орбите n; rn- радиус орбиты n; h-постоянная Планка; n- номер орбиты l=1,2,3…); 3) Условие частот: атом излучает или поглощает квант э/м энергии, когда е переходит с орбиты с большим номером на орбиту с меньшим (испускает) или наоборот (поглощает). Энергия кванта равна разности эенргий е на орбитах: Е=hmn=Em-En (где mn–частота который испустил е или поглотил при переходе; Em ,En -энергия е на орбитах m и n) Значит частота: mn=(Em-En)/h Постулаты Бора основаны на квантовой физике. Возьмем уравнение me*n*rn=nh/2 причем на орбите в атоме е удерживает кулоновская сила, е движется с нормальным ускорением (аn): аn=n2/rn. По 2-му закону Ньютона F=ma. У нас е с действующей на него кулоновской силой и его нормальное ускорение. Значит: me*an=Fк me*(n2/rn)=ze2/(40rn2) (где 0-электрическая постоянная ; z-заряд ядра; е- заряд е) А мы еще отмечали уравнение me*n*rn=nh/2 значит у нас есть система уравнений. Решим ее: rn=(nh)/(2men) при подстановке в систему получаем: n= ze2/(20nh) ; rn=(а0n2)/z, где а0=(h20)/(mee2)=0,528*10-10 мрадиус первой боровской орбиты. Сложив кинетическую и потенциальную энергии на n-ой орбите получим полную энергию е на этой орбите: En=Wкин.n+Wпот.n Преобразуем. En=Wкин.n+Wпот.n= =[(men2)/2]-[(ze2)/(40rn)] подставим суда выражения для n и rn (мы выражение (men2)/rn= (ze2)/(40rn2) сократили на rn и умножили на т.е. *(men2)=*(ze2)/(0rn)) получим: En=-*[(mez2e4)/(n2h202)] (*) (где n=1,2,3…) Найдем линии спектра водородоподобного атома. Сначала найдем частоту(nm) {применяем формулы (*) и еще hmn=Em-En }: nm=(En-Em)/h=Rcz2/(1/m2-1/n2), (где R- постоянная Ридберга, R=(mee4)/(8сh302)=1,097*107м).
45. Частица в трехмерном потенциальном ящике. Пусть в прямоугольном трехмерном потенциальном ящике есть частица. Lx, Ly, Lz-стороны у ящика вдоль осей соответственно х, у, z. Пусть у частицы внутри ящика нет потенциальной энергии (т.е. она равна нулю), а если на границе или за ящиком, то потенциальная энергия U=. Тогда уравнение Шредингера: +(2m/Ђ2)*Е=0.(*) (где m - масса частицы; Ђ- постоянная Планка, которая без 2,т.е. Ђ=h/2; E-энергия частицы; -волновая функция)Функция на границе равна 0: /s=0 решение диф. ур-а будет (x,y,z)=Asin(kx*x)*sin(ky*y)*sin(kz*z).(**) (kx,ky,kz- проекции волнового числа на оси; А- коэффициент- амплитуда) Подставим это выражение в (*) и найдем производную: –(kx2+ky2+kz2)*+(2m/Ђ2)*Е=0.(***) Теперь берем граничное условие, что функция kx=(nx)/Lx; ky=(ny)/Ly; kz=(nz)/Lz (где nx,ny,nz=1,2,3…) Берем эти условия и выражения (**) и (***) переделаем так, что выразить энергию: Е=[Ђ2*(kx2+ky2+kz2)]/2m=
=(Ђ22/2m)*[(nx2/Lx2)+(ny2/Ly2)+(nz2/Lz2)] а выражение (**) измениться (x,y,z)=Asin((nx*x)/Lx)*sin((ny*y)/Ly)*sin((nz*z)/Lz). Видим, эта функция виде трехмерной стоячей волны. Значит в трехмерном потенциальном ящике функция будет такой.
48. Орбитальный момент импульса. Электрон вращается, значит у него есть энергия вращательного движения (Wв). В квантовой механике эта энергия делиться на уровни: Wв=[l(l+1)*Ђ2]/(2I) (где l- орбитальное квантовое число; Н- постоянная Планка, которая без 2,т.е. Ђ=h/2; I-момент инерции е) В классической: Wв=L2/(2I) L=Ђ*[l*(l+1)], (где L-момент импульса е). Видно, что уровни есть и у момента импульса, т.е. он квантуется. Квантуется и проекция L на направление z: Lz=mЂ (где m-магнитное квантовое число) Правила для квантования не такие как у Бора {L=mr=nЂ}. Квантовые числа l и m определяют форму электронного облака е, ориентируясь относительно z.У атома водорода: n=1; 0 l (n-1) т.е. l=0; -l m l т.е. m=0 1,0,0=1=е(-r/a) функция отражает шар. Пусть n=2; 0 l (n-1) т.е. l=0 и l=1; -l m l т.е. m=0 и m=1 2,1,0=r*е(-r/2a)*cos; 2,1,1=r*е(-r/2a)*sin*ei; есть еще уровни 2,1,-1 и 2,0,0. Число n удовлетворяет группе из n2 волновых функций, и у них разные l и m.
47. Атом водорода. Берем атом водорода и применяем к его е уравнение Шрединегра: +(2m/Ђ2)*(Е-U)=0; заряд z=1 U=(-k0e2)/r (где k0=1/40; r-расстояние от е до ядра атома; Н- постоянная Планка, без 2,т.е. Ђ=h/2; m-масса частицы; E-энергия частицы; U -потенциальная энергия). Граничное условие, что r=0. Найдем функцию : (r)=е(-r/a) . полагая что функция зависит от r лишь. Возьмем сферическую систему координат, тут положение е описывает радиус-вектор r и углы и . =2/r2+(2/r)*(/r)=[e(-r/a)]/a2-[2e(-r/a)]/ra подставим в уравнение Шредингера получим:
(1/a2-2/ra)*[e(-r/a)]+(2m/Ђ2)*[Е+(k0e2)/r]*е(-r/a)=0 Такое будет для любого r если оба слагаемые будут нулями, т.е.:
(-2/ra)+(2m/Ђ2)*[(k0e2)/r]=0 и (1/a2)+(2m/Ђ2)*Е=0 найдем отсюда Е и а: а=Ђ 2/(mk0e2)=5,3*10-11 м;
Е=-Ђ2/(2ma2)=-(mk02e4)/(2Ђ2)=-13,6 эВ.(**) Когда а и Е этому равны, то функция будет удовлетворять уравнению Шредингера и будет показывать состояние е в атоме. Тогда полная энергия е будет: Е=Е1=-13,6 эВ; число а=5,3*10-11 м радиус атома водорода. Решения для уравнения Шредингера: 1=е(-r/a) ; Е1 равна функции (**); 2=[1-(r/2a)]*е(-r/2a) ; Е2=Е1; 3=[1-(r/2a)+(2r/27a2)]*е(-r/3a) ; Е3=Е1. В общем, на уровне n энергия будет: Еn=()2Е1=-()2(mk02e4)/(2Ђ2) (где n-уровень энергии) Функции n(r;;); {l, m они характеризуют момент импульса е}
49. Спин. Принцип Паули. У элементарной частицы есть свой момент импульса (Ls) он не связан с ее движением в пространстве. Спин(Ls) -момент импульса, не связанный с движением частицы в пространстве. Ls=Ђ*[s*(s+1)] (где s-спиновое квантовое число; Н- постоянная Планка, которая без 2,т.е. Ђ=h/2). У е в атоме есть спиновый момент и момент импульса, т.е результирующий момент импульса е (Le): Le=L+Ls. Причем Ls квантуется: Lsz=msЂ(где ms-спиновое квантовое число; -smss). Фермионы- частицы со спиновым квантовым числом s= (протон, нейтрон, е). Бозоны- если у частицы s целое число (s=1 фотон; s=0 нимезон). Чтоб полностью описать состояние е надо задать m, n, l и ms. Проекции спина на заданное направление показывает ms, ms=. Признак Пауля: в атоме не может быть электронов с одинаковыми наборами квантовых чисел в одном состоянии будет лишь один е. Электронная конфигурация- распределение электронов в атоме с разными числами n, l, m. Оно обозначается цифрой(значение n) и буквой (значение l). l: 0s; 1p; 2d; 3f; 4g. Разных значений m может принимать 2l+1, а разных электронных состояний с одинаковыми l и n будет 2*(2l+1), т.к. ms=. Это эквивалентные состояния. Все е из эквивалентных состояний образуют подоболочку. Все е с одинаковым n образуют оболочку. Оболочка заполнена, если электронов на ней 2n2.
50. Периодическая система элементов Менделеева. Менделеев открыл, что физические и химические свойства элементов повторяются периодически-периодический закон. Долго не могли понять почему так, объясняет квантовая механика. Рассмотрим электронное состояние в атоме, учитывая что е занимают нижние энергетические слои, которые квантованы. В сложных атомах энергия е зависит от n и l(n-формирует электронные уровни; l-форму электронного облака). Выделим электронную конфигурацию т.е. состояния е с одинаковыми n и l эти е образуют подоболочку; обозначается цифрой (значение n) и буквой (значение l). l: 0s; 1p; 2d; 3f; 4g. Энергетические уровни с большим числом n могут быть ниже уровней с меньшим n (ведь энергия зависит от l т.е. период заполнен не полностью). Разных значений m может принимать 2l+1, а разных электронных состояний с одинаковыми l и n будет 2*(2l+1), т.к. ms=.Максимум е в подоболочке будет Nпод=2*(2l+1). Возьмем электроны с оболочки (с одинаковыми n, а другие разные). Максимум е в атоме оболочке: Nоб=2n2 принцип Пауля ограничивает заполнение энергетических состояний. Заполняется по правилам: 0 l (n-1); -l m l; Nоб=2n2; Nпод=2*(2l+1). По группам в таблице Менделеева элементы показывают похожие свойства .
51. Рентгеновское излучение. Жесткое э/м излучение с энергией фотонов ф=103-105 эВ. Длина волны рентгеновского излучения =0,01-10 нм. Рентгеновское излучение бывает: 1) Белое излучении (непрерывный спектр) Это тормозное излучение. Когда ускоренный электрическим полем е попадает на анод, он сталкивается с атомами Ме и теряет энергию. Движется е с ускорением, а ускоренные частицы излучают э/м волны получаем сплошное излучение. У этого спектра есть граница, ведь энергия излученного кванта света не больше кинетической энергии е бомбардирующих анод, т.е. hmax=Wкин=eU, (где е-заряд е; U-потенциал; h-постоянная Планка; max-максимальная частота; Wкин- кинетическая энергия). Отсюда min=c/max=ch/Wкин=ch/eU граница непрерывного спектра (где с-скорость света в вакууме); 2) Характеристическое излучение (линейчатый спектр) обусловлено энергетическими переходами в оболочках средних и тяжелых атомов. При бомбардировки электронами вещества идет выбивание е из внутренних оболочек; появляются дырки (вакантные места), е из внешних оболочек атома заполняют их. Частота =(En-Ek)/h (где (En-Ek)- энергия электронных состояний между которыми делается переход). Из опыта: =cR(z-)2[(1/k)2-()2] (где -частота рентгеновского кванта; с-скорость света; R-постоянная Ридберга, R=1,1*107м-1; z-заряд ядра; -постоянная экранирования k,n-постоянные числа).Когда е переходит из одного состояния в другое он одновременно находится под влиянием поля ядра атома и электрического поля других атомов и это объясняет .Оболочки:
Переходы на уровень К- создают Ксерию, L-серия, когда переходят на уровень L.Переходы могут быть с излучением и без(тут энергия отдается одному е из атома и е уходит из атома) Выход е из атома с запасом энергии: . Оже- процесс– процесс {рекомбинации с дырками} без излучения. Для разных е мы получим разные наборы в рентгеновском спектре. По положению линий в спектре можно найти заряд(z) и природу вещества. По линиям спектра анализируют состав веществ(есть ли примеси). Оже- спектры тоже используют: наблюдают эмиссию е из ядра, обусловленную внутренними переходами в оболочках атомах вещества и применяя тормозящее поле получают элементный состав вещества (в оже- спектрометре).
52. Решающие эксперименты в квантовой физике. Когда наблюдали дифракцию поняли что вещества состоят из атомов. Из опытов поняли что поглощение и излучение идет порциями. 1)Опыт Боте. В опыте взяли рентгеновский пучок света падающий на фольгу из металла поставили симметрично счетчики Гейгера для фиксации рентгеновских лучей, счетчики связали с печатным устройством, печатающим какие-то данные. Рентгеновские лучи выбивали из фольги е и шли флюоресценция, это вторичное излучение оно фиксировалось. Если бы фольга испускала бы во все стороны, то отметки на бумажке были бы симметричные по обе стороны. Из опыта поняли что отметки хаотичные рентгеновские кванты испускаются то в одном, то в другом направлении. Значит испускание света идет квантами каждому кванту можно привязать импульс, а это характеристика частицы и можно говорить о направлении. 2) Опыты Франка и Герца. Есть стеклянный сосуд с парами ртути в давлении р=100Па. В сосуде есть накаливающий катод (он испускает е ) и анод, а посередине сетка. (здесь Uт- тормозящее напряжение; МА- микроамперметр). Искали зависимость силы тока I от ускоряющего напряжения Uуск. Из опыта получили осцилляцию. В атоме ртути энергетические состояния квантованы, чтоб перевести атом из основного в возбужденное состояние надо потратить энергию 4,9 эВ, т.е. Е=Е2-Е1=4,9 эВ На рисунке в отрезке (0;4,9) ток усиливается, т.к. чем больше кинетическая энергия тем больше е проскочат через сетку на анод, т.е. при этом мы увеличиваем Uуск. Когда меньше 4,9 е испытывает столкновения с атомами ртути эти удары упруги и нет энергообмена (т.к. масса е << массы атома Hg). Когда энергия е больше 4,9 столкновения уже неупругие и при них он теряет энергию в 4,9 эВ. Значит у е энергия становится на 4,9 меньше он не может проскочить сетку ток пойдет по сетке, а на аноде будет меньше ток, ведь меньше е на него попадут. Потом ток опять растет пока энергия не станет 9,8. В этом опять е испытывает неупругие удары 2 штуки. С атомами ртути е обменивается энергией и характер обмена- квантовый, когда при неупругом столкновении он теряет энергию это и дает осцилляцию. Опыты открыли дискретные энергетические уровни у атомов.
Спектры щелочных Ме. У щелочных Ме есть один валентный электрон у щелочных Ме спектры похожи на водородовский (их спектры тоже из серий). Серии линий для щелочных Ме называют: 1) главной (наблюдается в спектрах поглощения); 2) резкой (состоит из резких линий); 3) диффузной (линии размыты); 4) основной (имеет схожесть с сериями водорода). Рассмотрим это для натрия (Na).У него период третий, т.е. главное квантовое число n=3 На рисунке со всех из p на 3s– главная; со всех до 4 из s на 3p- резкая; со всех их d на 3p – диффузная; со всех из f на 3d - основная. Частота для водорода: =cR[(1/k)2- ()2] (где c-скорость света; R- постоянная Ридберга; k, n – целые числа). =T(k)-T(n) разница двух термов. Терм T(n)=cR/n2 При щелочных металлах аналогия с Na: =T(k)-T(n) только T(n)=cR/(n+)2 (где - безразмерная величина , поправка Ридберга, это квантовый эффект ) Причем рзное для разных щелочных металлов. оно зависит от соответствующего терма, и от чисел s, p, d, f. Когда ищут терм, то вместо пишут : s, p, d, f, … число соответсвует определенному терму. К примеру для резкой серии: =cR[1/(3+p)2- 1/(n+s)2] {n=4,5…}; для главной серии: =cR[1/(3+s)2- 1/(n+p)2] {n=3,4…}; для основной серии: =cR[1/(3+d)2- 1/(n+f)2] {n=4,5…};В случае многоэлектронных систем надо изображать в многомерном пространстве энергию как поверхность.
Ширина спектральных линий. Если говорить об основном состоянии е в атоме, то там е может быть сколько хочется. В соответствии с соотношением неопределенности для энергии и времени: Е Ђ, т.к. , то Е=0. В случае возбужденных состояний е в атоме его время жизни в таком положении конечно (рано оно 10-8 сек) за это время атом переходит в основное состояние и испускает квант э/м излучения. Энергия в возбужденном состоянии атома не определяется точно, т.к. время мелкое. Неопределенность времени: ЕвЂ/в. Энергия испускаемая атомом может принимать разные значения. Изменение интенсивности излучения света атомами в зависимости от их энергии Е будет: .(где Ев- ширна на высоте в половину максимальной, т.к. Энергия испускаемая атомами разная, то и частота разная) =Е/Ђ(где - циклическая частота излучения; Ђ- постоянная Планка, без 2,т.е. Ђ=h/2; ). Есть определенной разброс по частотам излучения: =Ев/Ђ=1/в значит этот разброс по величине порядка обратному числу жизни в в возбужденном состоянии. - естественная ширина спектральной линии, 108 сек-1 Посмотрим чему равна если берем не частотном интервале, а в единицах длин волн. /=/ =*(/)=()/(2)= =(2)/(2с)10-5 нм. (здесь учли =2; =; и взяли =500 нм). Атомы, излучающие свет участвуют в хаотическом тепловом движении спектральные линии уширяются. Уширение Доплера- такое уширение. Это так, ведь испущенный фотон уносит импульс Ђk атом испускающий фотон получает импульс отдачи т.е. импульс атома меняется. (где k-волновое число фотона). Если начальный импульс атома р0, то потом р=р0-Ђk в соответствии с законом сохранения импульса. Т.к. импульс меняется, то меняется и кинетическая энергия:
Е=[|р0-Ђk|/2m]-[|р0|2/2m] (кинетическая энергия после испускания) (кинетическая энергия до испускания фотона). Если бы импульс при излучении не менялся, то атомы испускали бы кванты с энергией h0 но в соответствии с законом сохранения энергии, энергия фотона должна меняться, т.е. на самом деле h=h0 – Е. Потому что Е разное, т.е. линия уширяется. Уширение Доплера равно: Д=Е=(20)/с (где - тепловая скорость движения атома; 0- частота). Т. е. =(*Д)/3*10-3 нм
Мультиплетность спектра. Если взять оптический прибор с высокой разрешающей способностью, то можно понять, что у многих атомов в некоторых случаях линии в спектре неодинарны, могут быть две линии (дуплеты), три (триплеты), четыре (квартетов), пять (квинтетов) и шести (секстетов). Тонкая структура- структура спектра, отражающая расщепление линий на компоненты. Мультиплеты – сложные линии, состоящие из нескольких компонентов. Синглет- линия, не распадающаяся на части, одиночная (такая у щелочных металлов). Есть орбитально-спиновое взаимодействие , т.е расщепляются энергетические состояния, значит расщепляются и линии. Ls=Ђ*[s(s+1)] т.к. s=, то Ls=Ђ*3 (*) (где Ls- спин; Ђ- постоянная Планка, без 2, т.е. Ђ=h/2). Но у е есть и магнитный момент (М): М=S (где -результирующий момент; S - спин). Тогда собственный магнитный момент (Мs): Мs=Ls*[-e/(mc)] (**) (где е- заряд е; m- масса е; с-скорость света). Спин будет собственным механическим моментом. Причем Ls и Мs лежат на одной прямой, но. Подставим (*)(**):Мs=(Ђ*3)*[-e/(mc)]=-б*3, (где обозначили б =(Ђe)/mc; б – магнетон Бора). Спроектируем Мs на ось z: Мsz =Lsz*[-e/(mc)]=ms*[-eН/(mc)] (где ms- квантовое число; Lsz- проекция спина на выбранное направление z). Причем -s ms s (где s- спиновое квантовое число; s=) т.о. ms=. Значит Мsz =Ђ*[-e/(mc)]=б Вот у Na из-за спина появляется мультиплет. Момент импульса атома(Lа) складывается из: Lа=Ls+Lе (где Ls-спин; Lе- орбитальный момент). Причем Lа зависит от квантового числа j. Lj=Ђ[j(j+1)] (где Lj- момент импульса) Квантовое число j равно: j=l+s или j=|l–s| (где l-орбитальное квантовое число, для состояния в котором е; s- спиновое квантовое число, s=) j=l, если l=0, то j=. Есть у е орбитальный и спиновый магнитные моменты, эти моменты взаимодействуют. Это спин-орбитальное взаимодействие (это релятивистский эффект). Это делает так, что у атома энергия зависит от j. И каждый энергетический уровень распадается на дуплеты, это видно в спектре. Для s состояния, т.е l=0, а j= нет расщепления, т.е. синглет. Для щелочных металлов число линий мультиплета равно 2. Оптические переходы определяются правилом отбора: j=0;1. Спин-орбитальное взаимодействие- релятивистский Можно найти, используя квантово-релятивистскую теорию расстояние между линиями дуплета. Для водорода: Е=Ei*[e2/(Ђc)]. Выражение =e2/(Ђc) определяет постоянную тонкой структуры (), причем =1/137 (где Ei- энергия ионизации атома водорода; Е-расстояние между линиями дуплета).
Колебания решетки. Хаотическое тепловое движение атомов кристалла делает что во все стороны идут упругие волны. Физика твердого тела хочет найти спектр таких вот упругих волн. Рассмотрим одномерный кристалл из цепочки одинаковых атомов. Здесь М – масса одного атома в цепочке. а – расстояние между атомами. Найдём колебательный спектр этого кристалла. Пусть каждый атом имеет взаимодействие только с двумя т.е. самыми ближними атомами - соседями. Мы выделим атом с номером n. Обзовем xn, xn+1, xn-1 – смещения из положения равновесия атомов под номером (n), (n+1) и (n-1). Атом n движется и сила со стороны n+1 атома на атом n (f1) равна: f1=c(xn+1- xn); а сила со стороны n-1 атома на атом n (f2) равна:
f2=c(xn- xn-1) ( где с-упругая постоянная)Значит на атом n будет сила f= -(f2-f1)=c(xn+1+xn-2xn). Тогда по 2-му закону Ньютона: F=ma M*(d2xn/dt2)=с(xn+1+xn-2xn)(*). Отсюда xn=A*exp[i(ωt-kyn)], (где A -амплитуда волны; ω - циклическая частота; i =; t-время k- волновое число, k=(2π)/λ; yn – координата атома с номером n, yn=an). Запишем по аналогии для xn+1 и xn-1 и их подставим в выражение (*), получим, что они нормально подходят для уравнения (*), если ω=[(4с/M)]*|sin(ka/2)| (**) определяет те частоты с которыми могут колебаться атомы цепочки. У нас 0<|sin(ka/2)|<1 0<ω<ωmax, где ωmax=(4c/M) (где М-масса) Если нарисовать зависимости частоты ω от волнового числа k: Т.е. когда k=π/a ka/2=π/2=90°,а sin90°=1, т.е. max. Найдём скорость упругих волн в цепочке атомов: =λ/T=λω/2π, (где T–период, T=2π/ω; λ- длинна волны). Подставим сюда(**) причем учтем в выражении под sin, что k=2π/λ тогда ka/2=πa/λ =λω/2π=(λ/2π)*[(4с/M)]*|sin(πa/λ)| дисперсия волн, т.е зависимость от λ. Когда ω=ωmax, ka/2=π/2. 2πа/λ=π, λmin=2a. Значит λmax=∞
2a λ<∞. Если мы устремим λ∞, т.е. λ>>πa, значит у синуса πa/λ<<1 sin(πa/λ)πa/λ. Получим υλ/2π*[(4с/M)]*πa/λ=a*(C/M) можно принять что это число равно скорости звука(υ=υзв). Теперь можно оценить ωmax=2(C/M)=2υзв/a)=2*3*103/3*10-10=2*1013 с-1. Пусть в цепочке разные атомы. У нас в цепочке 2 разных вида атомов. М – масса одного атома, m – масса другого. Зависимость ω от волнового числа k имеет 2 вида: где ветвь 1 – акустическая, а 2– оптическая ветвь колебательного спектра. 1)Центр тяжести смещается (атомы сдвигаются в одну сторону, потом дружно в другую).Световая волна ИК спектра может возбудить колебания 2. 2)Тут центр тяжести у двух ближних атомов не движется. Такое бывает если атом из двух видов и если трёхмерная решётка с одинаковыми атомами.
Ангармонические колебания. Если имеется в виду гармонический осциллятор, то сила f=-kx. Для потенциальной энергии гармонического осциллятора f=-dU/dx U=-∫fdx=k∫xdx=kx2. В реальных кристаллах такого нет, т.е. можно брать это приближённо при малых колебаниях. Реально действует сила f=-kx+hx2-gx3…(где k, h, g и т.д. – коэффициенты ангармоничности; x- смещение из положения равновесия) Проинтегрировав получим потенциальную энергию как:
U=kx2-hx3+gx4- … Ангармоничность ответственна за тепловое сопротивление кристаллов. Если U=kx2/2, то теплопроводность равна ∞. Ангармоничность делает так, что колебания рассеиваются при столкновении, что и создаёт тепловое сопротивление. Если гармонический осциллятор, то колебания независимы и упругие волны не рассеиваются друг на друге.
Фононы. Можно представить как поток корпускул каждый фотон. Можно аналогично отквантовать и упругую волну, т.е. она у нас будет как поток квазичастиц фононов. Фонону дают энергию ф=ħω (где ; ħ- постоянная Планка, которая без 2,т.е. ħ =h/2; ω-частота) и квазиимпульс kф=2/ (где –длина волны упругих смещений) Энергия упругой волны будет суммой ф: i(ф)=i(ħω) Энергия гармонического осциллятора: εn=(n+)*ħω.(где n-целое число) Фононы не подчиняются статистике Ферми и не являются фермионами, фононы – бозоны, они подчиняются статистике Бозе-Эйнтштейна, т.е. в одном и том же состоянии может быть сколько угодно фононов. Причём: ni=1/[exp(ħωi/kT)-1] (где ni- среднее число фононов с частотой ωi; Т-температура; k-постоянная Больцмана). Если температура велика kT >> ħωi; т.е. exp(ħωi/kT)≈1+ħωi/kT. Значит : ni=(kT)/(ħωi). Т.о. среднее число растет с температурой. Фононы при сталкновениях обмениваются квазиимпульсом и т.е. тепловое сопротивление, это сопротивление растёт с температурой.