Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава.4
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
АНАЛИЗА ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Понятия экономических рядов динамики
Предварительный анализ и сглаживание временных рядов экономических показателей
Расчет показателей динамики развития экономических процессов
Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ
4.1. Понятия экономических рядов динамики
Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления в экономике.
Эти значения, в частности, могут служить для обоснования (или отрицания) различных моделей социально-экономических систем. Они служат также основой для разработки прикладных моделей особого вида, называемых трендовыми моделями.
Дадим ряд определений. Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берётся время, то такой динамический ряд называется временным рядом. Так как в экономических процессах, как правило, упорядочение происходит в соответствии со временем, то при изучении последовательных наблюдений экономических показателей все три приведённых выше термина используются как равнозначные.
Составными элементами рядов динамики являются, таким образом, цифровые значения показателя, называемые уровнями этих рядов, и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.
Временные ряды, образованные показателями, характеризующими экономическое явление на определённые моменты времени, называются моментными:
Таблица 4.1. Списочная численность рабочих предприятия.
|
Дата |
1/I |
1/II |
1/III |
1/IV |
30/IV |
|
Списочная численность рабочих |
4100 |
4400 |
4200 |
4600 |
4800 |
Если уровни временного ряда образуются путём агрегирования за определённый промежуток (интервал) времени, то такие ряды называются интервальными временными рядами:
Таблица 4.2. Фонд заработной платы рабочих предприятия
|
Месяц |
Январь |
Февраль |
Март |
Апрель |
|
Фонд заработной платы рабочих, тыс.руб. |
37187,5 |
38270,0 |
39380,0 |
42535,0 |
Временные ряды могут быть образованы как из абсолютных значений экономических показателей, так и из средних или относительных величин – это производные ряды:
Таблица 4.3. Среднемесячная плата заработной платы рабочих предприятия
|
Месяц |
Январь |
Февраль |
Март |
Апрель |
|
Средняя заработная плата рабочих, руб. |
8750 |
8900 |
8950 |
9050 |
Под длиной временного ряда понимают время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного. Таким образом, длина всех приведённых выше временных рядов, равно четырём месяцам. Часто длиной ряда называют количество уровней, входящих во временной ряд; длина ряда из табл. 4.1. равна пяти, а табл. 4.2. и табл. 4.3. – четырём.
Если во временном ряду проявляется длительная ( вековая ) тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Т.о., под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим, экономико - математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд её основных показателей, называется трендовой моделью.
Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей и статистики, разработанный для простых совокупностей. Отличие временных экономических рядов от
простых статистических совокупностей заключаема прежде всего в том, что последовательные значения уровней временного ряда зависят друг от друга. Поэтому применение
выводов и формул теории вероятностей и математической статистики требует известной осторожности при анализе ременных рядов, особенно при экономической интерпретации
результатов анализа.
Предположим» имеется временной ряд, состоящий из n уровней:
y1,y2,y3, …….,yn.
В самом общем случае временной ряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно обра зующих элемента:
тренд, составляющие которого будем обозначать Ut, t= 1,2,3,.....,n;
сезонная компонента, обозначаемая через Vt, t= 1,2,...,n;
циклическая компонента, обозначаемая через Сt, t= 1,2,3,.....,n;
случайная компонента, которую будем обозначать ε t, t= 1,2,3,.....,n;
Под трендом, как уже отмечалось выше; понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.
Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента.
Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами временного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, т.е. случайные отклонения неизбежно сопутствуют экономическому явлению. Если экономические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:
Проверка адекватности трендовых моделей основана на проверке выполняемости указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признаётся неадекватной; при выполнении всех четырёх свойств модель адекватна. Даная проверка осуществляется с использованием ряда статистических критериев.
4.3. Расчёт показателей динамики развития экономических процессов.
Этот расчёт проводится на основе статистического анализа одномерных временных рядов экономической динамики. Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида
у1 ,у2 ,у3 ……..уn
абсолютные уровни моментных и интервальных рядов (см. для примера табл. 4.1 и 4.2), а также уровни их средних величин (см. табл. 4.3) должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу (за базу сравнения чаще всего принимают начальный уровень временного ряда у1), либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем. В первом случае получают базисные показатели, во втором – цепные.
Временной ряд тогда правильно отображает объективный процесс развития экономического явления, когда уровни этого ряда состоят из однородных, сопоставимых величин. Для несопоставимых величин вести расчёт рассматриваемых ниже статистических показателей динамики неправомерно.
Причины несопоставимости уровней временного ряда могут быть различными. В экономике чаще всего такими причинами является несопоставимость:
Возможны и другие причины несопоставимости.
При анализе временных рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего bычисляют скорость развития этого явления во времени. Показа телем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле
Δ уi = уi - уi-k , (4.4)
где уi — i-й уровень временного ряда (i = 2,3, ..., n); индекс k=1,2, ..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования; при k=1 получаются цепные показатели, при k = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т. д. Абсолютный прирост выражает величину изменения показателя за интервал времени между сравниваемыми перио дами. Еcли подходить более строго, то скоростью называют прирост в единицу времени; эта величина носит название среднего абсолютного прироста:
уi - y i-k
Δyi = ___________ . (4.5)
k
В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен
___ уn - y 1
Δyi = ___________ (4.6)
n-1
и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.
Для определения относительной скорости изменения изу чаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста). Заметим, что во всех последующих формулах индекс начального уровня, по отношению к которому осуществляется сопоставление, опреде ляется точно так же с помощью индекса к, как и ранее для показателя абсолютного прироста.
Коэффициент роста для i-го периода вычисляется по формуле
уi
Кi(р) = ___________ . (4.7)
уi-к
Кi(р) > 1, если уровень повышается; Кi(р) < 1, если уровень занижается; при Кi(р) =1 уровень не меняется.
Коэффициент прироста равен Кi(пр) = Кi -1 или,
уi - уi-к
Кi(пр) = ___________ . (4.8)
уi-к
На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:
уi
Тi(пр) = _______.100% , (4.9)
уi-к
где Тi(пр) – темп прироста для i-го периода;
Тi(пр) = Тi(р) – 100 % или
уi - уi-к
Тi(пр) = _________.100% , (4.10)
уi-к
где Тi(пр) - темп прироста для i-го периода.
Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же промежутки времени показывает, что в реальныx экономических процессах замедление темпа прироста часто не сопровождается уменьшением абсолютных приростов.
Абсолютное значение одного процента прироста определяется как отношение абсолютного прироста Δуi к темпу прироста в процентах Тi(пр). Среднюю скорость изменения изучаемого явления за рассматриваемый период характеризует также средний темп роста. Обычно он рассчитывается по формуле средней геометрической:
где T1(p),T2(p),.....,Tn(p) – средние темпы роста за отдельные интервалы времени.
Соответственно средний темп прироста определяется как
_
T(пр) = T(пр) – 100% (4.12)
Показатель среднего темпа роста, рассчитываемый по приведённой выше формуле средней геометрической, имеет существенные недостатки, так как основан на сопоставлении конечного и начального уровней временного ряда, промежуточные уровни во внимание не принимаются. В случае сильной колеблемости уровней использование для статистического анализа среднего геометрического темпа роста может привести к серьёзным просчётам в результате искажения реальной тенденции временного ряда.
В настоящее время предложены другие способы расчёта среднего темпа роста, в той или иной мере лишённые недостатков средней геометрической. Например, предлагается использовать для расчёта среднего темпа роста формулу:
_ n-1 ỹ n
T(p) = __ ∙ 100 % , (4.13)
ỹ 1
где ỹ1 и ỹn - сглаженные по уравнению тренда( уравнению кривой роста) начальный и конечный уровни временного ряда. Порядок получения уравнения тренда, т.е. порядок построения трендовой модели рассмотрен в гл. 5. Трендовая модель учитывает, колеблемость промежуточных уровней временного ряда, поэтому вычисленные по ней значения ỹ1 и ỹn, а следовательно, и средний темп роста, вычисляемый по последней формуле, будут более точно характеризовать изменения изучаемого экономического явления за рассматриваемый интервал времени.
Важной характеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динамически с равноотстоящими во времени уровнями расчёт среднего уровня ряда производиться по формуле средней арифметической (здесь и далее суммирование ведётся по всем периодам наблюдения):
__ Σ yt
y = ____ (4.14)
n
Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:
__ Σ yt t
y = _______ , (4.15)
Σ t
где t – число периодов времени, при которых значение уровня yt не изменяется.
Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:
__ 1/2 y1 + y2+ y3+ ….+ yn-1+ 1/2yn
y = _________________________________________ , (4.16)
n-1
где n - число уровней ряда.
Средняя хронологическая для местного временного ряда с разноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:
__ ( y1 + y2)t1+ (y3 +y4)t2+ ….+( yn-1+ yn) t n-1
y = ___________________________________________________ , (4.17)
2 Σt
Здесь n- число уровней ряда, а ti – период времени, отделяющий i-тый уровень ряда от (i+1)-го уровня.
При статистическом анализе временных рядов часто возникает вопрос необходимость, кроме определения основных характеристик ряда, оценить зависимость изучаемого показателя yt от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2) и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом yt и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину τ. Функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:
Задавая различные значения τ =1,2,3,…, получаем последовательность значений r1, r2 , r3, .... На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от n/4 до n/3.
График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания с которым изменение показателя yt сказывается не его последующих значениях. Величина сдвига τ, которому соответствует наибольший коэффицент автокорреляции, называется временным лагом.
В ряде случаев используется упрощённая формула для вычисления коэффициента автокорреляции:
4.4. Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ
Рассмотрим ряд проблем и основных понятий, связанных с исследованием сезонных колебаний в экономике. Сезонность, как правило, связывается исключительно со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени – годового периода. Наиболее ярко эта связь видна там, где используемые процессы прямо связаны с естественными особенностями того или иного временного года: в сельском хозяйстве, добывающих отраслях, отраслях лёгкой промышленности, обрабатывающих сельскохозяйственную продукцию, и др. Однако сезонные колебания формируются не только под влиянием природно-климатических факторов, но и, пусть в меньшей степени, под влиянием иных особенностей системы, уходящих корнями в экономику.
Влияние сезонности на экономику вполне очевидно и проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объёмов грузооборота и товарооборота и т.д. Не во всех случаях сезонность является следствием действия неуправляемых или почти неуправляемых факторов. Чаще всего они поддаются регулированию. Но даже и в тех случаях, когда прямое воздействие на процессы, вызывающие сезонные колебания, невозможно, необходимо учитывать их действие при совершенствовании технологических, организационно-экономических процессов и процессов управления. Для того чтобы можно было целенаправленно влиять на сезонность, необходимо уметь измерять и анализировать сезонность, уметь предвидеть развитие процессов, подверженных сезонным колебаниям.
Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъёмов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т.д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью – ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.
Как отмечено выше, упорядоченная во времени последовательность наблюдений экономического процесса называется временным рядом, и если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определённый и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с так называемым тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом).
Почти всюду, где не оговорено специально, будем рассматривать временной ряд {Yt}, t =1,T, порождаемый аддитивным случайным процессом:
Yt = Ut + Vt + ε t , t= 1,T, (4.19)
где Ut – тренд;
Vt – сезонная компонента;
ε t - случайная компонента;
T – число уровней наблюдения.
Относительно Ut предполагается, что это некоторая гладкая функция, степень гладкости которой заранее известна. Сезонная компонента Vt имеет период T0 : V t+T0 = Vt (T0=12 для месячных данных; T0 = 4 – для ряда квартальных данных).
Кроме того, известно, что Т0 нацело делит Т, т.е. Т= m x T0, m- целое число. Очевидно, если Т0 –число месяцев или кварталов в году, m – число лет, представленных во временном ряду {Yt}. Часто исходные данные тренд-сезонного временного ряда представляются в виде матрицы {Yij} размера [m x T0]. В этом случае выражение (4.19) перепишется с учётом введения двойноё индексации:
Yij = Uij + Vij + ε ij , i= 1,m, j=1,T0 (4.20)
Запишем соотношения, устанавливающие связь между индексами t и ( i,j):
t
i= ____ + 1
T0 ; [ ] означает, как и выше, целую часть. (4.21)
i = t – (i-1) x T0
Постараемся выделить и кратко охарактеризовать задачи, возникающие при исследовании сезонности вообще и сезонных временных рядов в частности. Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровывать из временного ряда {Yt} сезонную компоненту Vt и затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.
При исследовании сезонной волны Vt чаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. Vij = Vi+k,j , i+k ≤ m. На самом деле такое предположение далеко от действительности, по крайней мере для большинства экономических процессов. Для сезонной волны характерно изменение со временем как её размаха, так и формы. В результате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезонной волны.
Перечислим теперь задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:
Объясним суть некоторых понятий и дадим краткую характеристику каждого пункта. Под степенью гладкости тренда мы будем понимать минимальную степень полинома, адекватно сглаживающего компоненту Ut. Этот пункт используется в некоторых итерационных алгоритмах фильтрации при выделении из временного ряда {Yt} его компонент Ut,Vt ,ε t .
Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний сводиться к проверке на случайность остаточного ряда:
{l t}; l t =Yt – Ut .
Под фильтрацией компонент ряда понимается выделение из ряда {Yt} его составляющих Ut,Vt ,ε t .
Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс принятия решения трёх взаимосвязанных задач:
На рисунке 4.1. приведена укрупнённая схема исследования сезонных временных рядов. Схема не определяет методов решения каждой задачи, методы могут изменяться, совершенствоваться со временем, но она определяет совокупность и последовательность вопросов, которые должны быть решены для полного исследования сезонного временного ряда.
Выше уже отмечалось, что в каких бы формах ни проявлялась сезонность, в любом случае её действие отрицательно сказывается на результатах деятельности предприятия, фирмы, отрасли, экономики в целом. Управление сезонностью должно опираться на знание законов её эволюции, на знание внешней среды, в которой происходит развитие процесса, подверженного сезонным колебаниям.
Глава 5
МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
5.1. Трендовые модели на основе кривых роста
Основная цель создания трендовых моделей экономиче ской динамики — на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показа тель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по кото рым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных вре менных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.
Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположе ниях:
В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:
ỹ t = a0 +a1t (полином второй степени)
ỹ t = a0 +a1t+ a2t 2 (полином второй степени)
ỹ t = a0 +a1t+ a2t 2 + a3t 3 (полином третьей степени)
и т.д.
Параметр а1 называют линейным приростом, параметр а2 — ускорением роста, параметр а3 - изменением ускорения роста.
Для полинома первой степени характерен постоянный
закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле ut = yt - yt-1 , t =2, 3, ..., n, то они будут постоянной величиной и равны a1.
Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u2 , u3 , …. на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты ut(2) = ut - ut-1 для полинома второй степени будут постоянны.
Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле ut(3) = ut(2) - ut-1(2), будут постоянной величиной.
На основе сказанного можно отметить следующие свойст ва полиномиальных кривых роста:
• от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;
• значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции y`t.
Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.
В отличии от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.
Простая экспонента представляется в виде функции
ỹ t = abt (5.1)
где а и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если меньше единицы — функция убывает.
Можно заметить, что ордината данной функции изме няется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной: .
ut yt - yt-1 1
___ = __________ = 1 - ___ .
yt _ yt b
Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию:
log ỹ t = log a + t log b.
Отсюда можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.
Модифицированная экспонента имеет вид
ỹ t = k + abt (5.2)
где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно при ближаются (снизу) к величие k . Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.
Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получиться функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:
ut yt - yt-1
___ = __________ = b .
ut-1 _ yt-1 - yt-2
В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.
Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение
bt
ỹ t = ka (5.3)
где а,b — положительные параметры, причём b меньше единицы; параметр k — асимптота функции.
В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором – прирост увеличивается, на третьем участке прирост приметно постоянен, на четвёртом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.
Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате фикций — линейная функция времени.
На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования по казателей смертности и т. д.
Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида – возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде
k
ỹ t = __________ ; (5.4)
1+ a e -bt
другие виды этой кривой:
k k
ỹ t = __________ ; ỹ t = __________ ;
1+ a b -t 1+ 10 a-bt
В этих выражениях а и b – положительные параметры; k – предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.
Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого при роста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.
Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.
Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд у1, у2,у3 … уn .
Для выбора вида полиномиальной роста наиболее распространённым методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.
Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.
В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется таблица 5.1.
|
Показатель |
Характер изменения показателя во времени |
Вид кривой роста |
|
Первый средний прирост ũt |
Примерно одинаковы |
Полином первого порядка (прямая) |
|
То же |
Изменяются линейно |
Полином второго порядка (парабола) |
|
Второй средний прирост ũt (2) |
Изменяются линейно |
Полином третьего порядка (кубическая парабола) |
|
ũt ___ ỹt |
Примерно одинаковы |
Простая экспонента |
|
log ũt |
Изменяются линейно |
Модифицированная экспонента |
|
ũt log __ ỹt |
Изменяются линейно |
Кривая Гомперца |
|
ũt log __ ỹt2 |
Изменяются линейно |
Логическая кривая |