Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
26. Метод анализа иерархий. Основная схема решения. Шкала Саати.
Основная схема решения.
Метод анализа иерархий (МАИ) состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР) по парным сравнениям. МАИ - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению.
Результат применения МАИ.
В результате применения МАИ мы получим оценку для каждой из рассмотренных нами альтернатив (относительно рассмотренных критериев) и выберем наиболее подходящую нам альтернативу (наиболее подходящей будет альтернатива с наибольшим значением оценки).
Суть МАИ.
Решение проблемы – процесс поэтапного установления приоритетов:
Пример 1 (Построении иерархии).
Покупка нового мобильного телефона.
Рассматриваются модели 3 производителей N,SE,LG, сравнение по 3 критериям (цена, функционал, дизайн).
Шкала Саати (Шкала относительной важности).
Шкала Саати используется при построении матриц парных сравнений.
Если использовать только эту информацию, билет получается каким-то неполным, поэтому я советую объединить 26 и 27 билет в один при написании любого из них.
27. Метод анализа иерархий. Построение матриц парных сравнений.
Индекс согласованности. Согласованность экспертных оценок.
Основным элементом для представления интенсивности взаимовлияния объектов в МАИ является матрица парных сравнений. Объекты, находящиеся на одном уровне обладают одинаковыми наборами показателей. Значения этих показателей для каждого объекта различные. Конечной целью сравнения объектов – выяснить их рейтинг среди рассматриваемого множества, причем, рейтинг стремятся получить в виде количественной индивидуальной оценки. Решение задачи в методе анализа иерархий осуществляется снизу вверх (мы делали сверху вниз, т.е. по сути, без разницы). Сначала рассматривают объекты, находящиеся на самом нижнем уровне (альтернативы) и попарно сравнивают друг с другом (как я уже говорил, можно начинать с критериев, без разницы). При сравнении пары объектов исследователь стремится установить насколько один объект лучше (хуже) другого, что выражается установлением количественной оценки (используя шкалу Саати). Просмотрев все сочетания возможных пар объектов, и установив между ними оценки взаимного влияния, исследователь получает матрицу парных сравнений.
Пример 1 (Построение матриц парных сравнений).
При сравнении элементов А и Б (выбор мобильного телефона):
Заполняем матрицу, отвечая на данные вопросы.
Как это читается?
Читается слева направо, с правого верхнего угла
«Для меня цена по отношению к цене имеет одинаковую важность (капитан очевидность), цена намного важнее, чем функционал и цена немного важнее, чем дизайн».
Как это составляется?
Если сравнивать цену, функционал и дизайн для меня цена окажется предпочтительней функционалу и дизайну (насколько? – для меня цена гораздо важнее, чем функционал (поэтому я ставлю цифру 5 в соответствии со шкалой Саати), кроме того, цена важнее, чем дизайн, но не сильно (поэтому я ставлю цифру 3)).
Всегда должно выдерживаться соотношение, отвечающее условию: если при сравнении i-го объекта с j-м объектом ставится оценка aij, то при сравнении j-го объекта с i-м, оценка aji должна быть обратной aij, т.е. aji = 1/aij.
Т.е. если при сравнении цены и функционала мы поставили цифру 5 в первой строке (цена важнее функционала сильно), то при сравнении функционала и цены во второй строке мы ставим цифру 1/5 (это будет говорить нам о том же, цена сильно важнее функционала)).
Матрица парных сравнений по критериям.
Какой из выбираемых телефонов более желателен по отношению к определенному критерию?
Матрицы парных сравнений по альтернативам (относительно критериев).
Основные правила заполнения матрицы парных сравнений:
Индекс согласованности.
Для того чтобы вычислить ИС необходимо определить собственные вектора.
Определение собственных векторов.
Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.
Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению, опишем способ приближенного вычисления собственного столбца методом среднего геометрического измерения расстояний между оцениваемыми объектами (другие способы мы не рассматриваем, т.к. они будут более трудоемкими, по сравнению с описанным выше способом).
Алгоритм вычисления среднего геометрического состоит из следующих шагов:
1)Перемножаем элементы всех строк.
1 * 5 * 3 = 15
1/5 * 1 * 2 = 2/5 = 0,4
1/3 * 1/2 * 1 = 1/6 = 0, 17
Записываем полученные результаты в столбец.
(15)
(0, 4)
(0,17)
2)Извлекаем корень 3 степени из каждого элемента столбца.
Cuberoot (15) = 2, 47
Cuberoot (0, 4) = 0, 74
Cuberoot (0, 17) = 0, 55
Записываем полученные результаты в столбец.
(2,27)
(0,74)
(0,55)
3)Складываем элементы этого столбца.
2, 27 + 0, 74 + 0,55 = 3, 56
4)Делим каждый из элементов столбца на полученную сумму (нормализуем вектор).
2,27/3,56 = 0,64
0,74/3,56 = 0,21
0,55/3,56 = 0,15
Записываем полученные результаты в столбец
(0,64)
(0,21)
(0,15)
Мы нашли собственный вектор для таблицы критериев, то же самое надо сделать для оставшихся таблиц.
При парном сравнении объектов необходимо выставить оценку, которая показывает величину - на сколько, один объект предпочтительнее другого. Эксперт может ошибиться при сравнении другой пары объектов, что приведет к противоречивости результатов.
Пример ошибки.
При взвешивании предметов. А тяжелее Б, Б тяжелее, чем В, однако В тяжелее, чем А.
Для выявления противоречивости результатов, которые предложил эксперт при заполнении матрицы парных сравнений используется количественная оценка – индекс согласованности (ИС). Индекс согласованности – количественная оценка противоречивости результатов сравнений, который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.
Как вычислить ИС?
где N - число сравниваемых элементов.
Расчет λMAX
СУММА и есть λMAX
1)Суммируем каждый столбец матрицы
1 + 1/5 + 1/3 = 1,53
5 + 1 + 1/2 = 6,5
3 + 2 + 1 = 5
2)Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора и т.д.
Вспоминаем наш нормализованный вектор.
(0,64)
(0,21)
(0,15)
Умножаем.
1, 53 * 0,64 = 0,9792
6,5 * 0,21 = 1, 365
5 * 0,15 = 0,75
3)Суммируем полученные величины.
0,9792 + 1,365 + 0,75 = 3, 0942 = λMAX
Вычислим ИС.
ИС = (3,0942 – 3)/2 = 0,0471
Отношение согласованности.
Следует напомнить, что в МАИ используется дискретная шкала относительной важности, это, в свою очередь приводит к рассогласованию реальных оценок с идеальными оценками, которые можно проставить в редких случаях. Для окончательного выяснения согласованности результатов парных сравнений вычисляется количественная оценка относительной согласованности (ОС). Относительная согласованность сравнений – отношение индекса согласованности к среднестатистическому значению индекса согласованности (СС) при случайном выборе коэффициентов матрицы сравнений. Относительная согласованность для системы в целом характеризует взвешенное среднее значение относительной согласованности по всем матрицам сравнений. Отношение ИС к среднему СС для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Данные можно считать практически непротиворечивыми (достаточно согласованными), если значение отношения согласованности меньше чем 0,1. Это заключение справедливо как для данных кластера, так и для данных в масштабе всей системы. В качестве поправочного коэффициента при окончательном выяснении согласованности оценок в матрице парных сравнений, используется среднее значение случайного индекса (СС).
ОС=ИС/СС
Как вычислить СС?
Значения СС постоянны. Их можно найти в таблице.
Вычислим ОС.
Вспоминаем ИС
ИС = 0, 0471
Смотрим на таблицу, приведенную выше, размерность нашей матрицы 3 => СС = 0,58.
ОС = 0,0471/0,58 = 0,08
0,08 < 0,1 => данные согласованы.
Синтез решения.
Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент.
Т.е. необходимо вычислить все нормализованные векторы (по каждой из матриц, у нас в примере их всего 4: 1 матрица критериев и 3 матрицы альтернатив)
Все я вычислять не буду, просто возьму другие числа (из своего д\з).
Вектор для матрицы критериев.
(0,07)
(0,65)
(0,28)
Векторы для матриц альтернатив.
(0,08)
(0,73)
(0,19)
(0,11)
(0,58)
(0,31)
(0,12)
(0,56)
(0,32)
Произведем синтез решения.
Для упрощения вычислений соберем векторы матриц альтернатив в единую матрицу 3*3 и произведем необходимые вычисления. Вспоминаем правило умножения матриц и определение вектора и транспонированной матрицы.
(0,08 0,11 0,12) (0,07)
(0,73 0,58 0,31) * (0,65) = (0,11 0,59 0,30) – конечный результат
(0,19 0,56 0,32) (0,28)
Мы можем сделать вывод о том, что предпочтительней оказалась альтернатива номер 2, имеющая наибольшее значение.
Согласованность всей иерархии (хз надо ли это, но на всякий случай).
Можно найти перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия и суммируя полученные числа.
Результат делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы.
Конкретно для нашего примера.
Вспоминаем вектор для матрицы критериев.
(0,07) – a1,1
(0,65) – a2,1
(0,28) – a3,1
Находим ИС для КАЖДОЙ из матриц альтернатив, их получится 3 штуки: ИС1 = a, ИС2 = b, ИС3 = c.
Записываем СС для каждой из матриц альтернатив, т.к. они 3*3 => СС = 0,58
Найдем ОС для всей иерархии.
ОС = (ИС1 * a1,1 + ИС2 * a2,1 + ИС3 * a3,1)/CC(a1,1 + a2,1 +a3,1) = (a0,07 + b0,65 +c0,28)/0,58
Вспоминаем определение нормализованного вектора (|A со стрелочкой сверху| = 1)=>a1,1 + a2,1 + a3,1 = 1
Ну а коэф. a,b,c вы находите ранее.
Не забываем, что ОС < 0,1 – иначе данные не согласованы.
Хотя по поводу согласованности всей иерархии я не уверен, подтверждения от неё о правильности решения я не получил.
Ссылка с моим вариантом д\з по МАИ.
http://rghost.ru/46961308