Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Функции многих переменных.
Множество на плоскости и в пространстве.(топология в Rn)
Опр.1: Точка х – n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n действительных чисел.
Число хi, i=1,2,…,n называется i-ой координатой точки х . Расстояние между точками:называется величена определяемая по формуле:
(1)
Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние, согласно формуле (1) называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством и обозначается: Rn
Здесь длина вектора, точки х и y. Обозначение может быть:
Расстояние в обладает следующими свойствами:
1.
2. (симметрия)
3. пер-во треугольника;
Опр.2: Пусть и совокупность всех точек y пространства Rn, таких что, называется n-мерным шаром с центром в точке х и радиусом , или - окрестностью (сферической окружностью), и обозначается:
Таким образом - множество точек у где для которых
В координатной форме это определение выглядит так:
при: и .
Рассмотрим: при n=1 Rn совпадает с прямой, - это интервал длины с центром в точке х.
Рис. - окрестность точки х
Если n=2, Rn совпадает с плоскостью.
это:
это круг радиуса с центром в точке х с координатами
При n=3:
это:
это шар радиусом , с центром в точке х с координатами
Опр.3: Пусть и ,
где: i=1,2,…,n множество.
называется n-мерным параллелепипедом; а точка х – его центром.
Опр.4: Есл , то - называется n-мерным кубом с центром в точке х, и обозначается
Пусть n=1, то , является интервалом с центром в точке х, длины , и
n=2, то это прямоугольник со сторонами || осям координат и длинами соответственно равными и .
При n=3 – параллелепипед - - куб;
Опр.5: Всякий n-мерный параллелепипед называется прямоугольной окружностью точки х, -кубическая окрестность точки х.
Лемма: Каковы бы не была окрестность у точки , существует ее прямоугольная окрестность.
, такая что (целиком содержится) и наоборот, какова бы не была прямоугольная окрестность точки , существует ее окрестность такая, что
а во всякий прямоугольник можно поместить круг с ……. в центре прямоугольника n=3 параллелепипед, шар. Не трудно записать и доказать эти утверждения и в аналитической форме, использовав координатную запись, а затем обобщить на случай n-мерного пространства.
Опр.6: Множество называется ограниченным если n-мерный шар , такое что
Опр.7: Пусть каждому натуральному числу m поставлена в соответствии некоторая точка X(m)Rn (не обязательно родные точки для родных m). Тогда множество состоящее из точек пространства Rn различными номерами называются последовательностью этого пространства и обозначается (Xmk) k=1,2…, или
Последовательность Y(k) называется последовательностью последовательности (X(m)) и обозначается : (Xmk) k=1,2…,
Если для любого k существует такое mk что Y(k)=Xmk , причём, если k’< k’’ ,или mk’<m k’’.
Опр.8: Точка X Rn называется пределом последовательности Xm и пишется:
если
как и в случае числовой последовательности можно сказать, что ,если всякая окрестность точки содержит почти все точки данной последовательности, т.е. за исключением может быть конечного числа ux.
Имеет место следующая теорема.
Теорема: последовательность X(m)=(X1(m)…Xn(m))Rn m=1,2…n сходилась к точке X=(X1,…Xn) чтобы
Опр.9: Последовательность точек XmRn m=1,2,…называется ограниченной, если множество её значений, т.е.(Xm:m=1,2,… ) ограничено в пространстве Rn
Теорема Больцако-Вейештрассе: Из любой ограниченной последовательности точек пространства Rn можно выделить сходящуюся последовательность.
Опр.10: Пусть Е – некоторое множество точек евклидова пространства XE Точка XE называется внутренней точкой множества (относительно пространства Rn), если существует -окрестность этой точки, содержащаяся во множестве Е, т.е. существует такое > 0 , число U(x,)E .
Опр.11: Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой (относительно рассматриваемого пространства Rn), называется открытым множеством.
Лема: Всякая -окрестность U(x,) любой точки XRn является открытым множеством.
Лема: Пересечение конечного числа, также как объединение любой совокупности открытых множеств является открытыми множествами.
Н-р {-1/n,…1+1/n} Бесконечное число пересекаемых таких множеств [0,1] – замкнутое множество.
Опр.12: Всякое открытое множество содержащее точку называется её окрестностью: U(X)
Опр.13: Точка Rn называется точкой прикосновения множества ERn, если любая окрестность этой точки содержит по крайней мере одну точку множества Е. Очевидно каждая точка множества Е является его точкой прикосновения ибо всякая окрестность тXE содержит саму точку . Вместе с тем могут существовать и точки прикосновения данного множества, не принадлежащие ему (н-р интервала на прямой является его ………… прикосновения).
Опр.14: Если у точки E существует окрестность не содержащая ни каких других точек множества Е, кроме самой точки, то эта точка называется изолированной точкой множества Е.
Опр.15: Т. х принадлежит Rn наз. предельной т. множества Е , если любая окрестность т. х содержащий покрайне мере одну т. множ-ва ,относительно оси х
Очевидно что предельная точка явл. т. проникновения
Примеры n=1 E=]0,1[ каждая т. [0,1] явл. точкой прикосновения и предельной точкой мн-ва Е, при этом 0,1 не принадлежат Е.
Е=]0,1[U{2} т. 2- изолированная точка, мн-ва точек прикосновения [0,1]U{2}
Т.(2) –т. прикосновения но не придельная.
Опр.16: Совокупность всех точек прикосновения мн-ва ЕСRn наз. Замыканием мн-ва Е и обозначается Е.
Опр.17: Мн-во Е наз. Замкнутым если Е = Е ,т.е. если она содержит все свои точки прикосновения
n=1 ]0,1[ не явл. замкнутым
[0,1] – замкнутое мн-во
Мн-во Е замкнуто т и т.т. когда оно содержитоси свои предельные точки.
Опр.18: Для всякого ЕсRn мн-во Rn\E наз.его дополнением в прастранстве Rn
Лемма: Для того чтобы мн-во было открытым необходимо и достаточно ,чтобы его дополнение было замкнутым.
Опр.19:Для 2-х мн-вЕ1 иЕ2 величина
Наз. Растоянием между Е1 и Е2
Лемма: Если 2-а замкнутых множества не пересекаются и покрайнемере одно из них ограничено, то расстояние между ними положительно.
Опрд.20: Т. х принадлежащая Rn наз. граничной т. мн-ва Е принадлежащего Rn если в любой её окрестности существует точки как принадлежащие мн-ву Е, так и не принадлежащие ему . Совокупность всех ограниченных точекмн-ва Е наз.его границей и обозначается Е, очевидно ЕсЕ.
Прмеры Е=Q2 –замкнутый круг любая точка окружности
Опред.21: Мн-во точек х=( x1… xn) пр-ва Rn , координаты корых заданы как непри-
рывные фун. хi = хi(t) Где i =1,2…n определённые на некотором отрезке [a,b] наз.
неприрывной кривой в пространстве Rn t – параметр ,т. х(а) - начало ,х(b) – конец
данной кривой .
Опред.22: Мн-во Е c Rn , любые 2-е точки ,которые можно соединить целиком лежащие в нём неприрывной кривой наз. связным(линейно связным
П-р: отрезок.
Опред.23: Открытое линейно-связонное множество наз. облостью
П-р: n=1 всякий интервал область
n=2 2-а не пересекающихся круга – не явл областью
Опред.24: Мн-во , лежащие в Rn не являющееся замкнутым некоторой облости , наз.
Замкнутой облостью
Опред.25: Мн-во А сRn наз . …. Если из любой плоскости его точек можно
Выделить сходящиюся ….., предел которой пренодлежит А.
Теорема: Для ого чтобы мн-во Е пренадлежащие Rn было компоктным
необходимо и дстаточно чтобы оно было ограниченным и замкнутым .
Если 2-а замкнутых мн-ва не пересекаются и покрайне мере одно из них … ,то
расстояние между ним больше нуля.
Опр.26: М н-во точек х=( x1… xn) пр-ва Rn координаты которых представимы в
виде Xi = Xi + αi t , где i =1,2…n , -∞ < t < + ∞ , ∑αi 2 ≠ 0 наз. прямой в пр-ве с Rn
проходящей через точку х˚.
Функции многих переменных.
Рассмотрим функции которые определены на мн-вах n – мерного арифметического
евклидова пр-ва Rn и значениями которых явл. действительные числа. Фун. явл.
значениями точек в пр-ве Rn (т.е. каждой упорядоченной системе (x1… xn) из числа
пренадлежащего Rn соответствует в силу некоторого ………. .
При n > 1 фун. f(x1… xn) наз. ………
Каждой фун. y=f (x1… xn) n – переменных соответствует её график в n - мерном
пр-ве точек x1… xn , у).
Опред: Пусть на мн-ве Е евклидово пространства Rn определенна фун.
y=f( x1… xn) y=f(x) и пусть Rxy=(n+1) – мерного пр-ва точек (x,y) = (x1… xn,y) мн-во
точек пр-ва Rxy вида (х1,f(x)) = (x1… xn,f(x)) где х пренадлежит Е , называется
графиком фун. .
(здесь должен быть рисунки)
Опред: Мн-во точек х=(x1… xn) пр-ва Rn удовлетворяющих ур-нию
f(x1… xn)=C ,
где С const , наз. мн-вом уравнений фун. f соответствающим данному значению С .
Выпуклые множества .
Опред: Мн-во х из n – мерного пр-ва Rn наз. выпуклым если наряду с любыми 2-я
своими точками оно содержит соединяющий их отрезок , т.е. для любых х и y
пренадлежащие х 0≤α≤1 , точки y+α(x-y) пренадлежащий х
Вводя β=1-α
Опред: Мн-во х выпукло , если для любых x,y пренадлежащих х и любых α,β
таких , что α ≥ 0 , β ≥ 0 , α +β=1 , точек αx+βy пренадлежащих х
Св-ва: Пересечение (любого числа , выпуклых мн-в , явл выпуклым мн-м (здесь рисунок)
Предел функции. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
Опр.1: Пусть функция f определена на множестве , Е некоторое подмножества множества , -это предельная точка множества Е. Число А – называется пределом функции f по множеству Е в точке х(0), если для любой последовательности точек , при , такой что: числовая последовательность сходится к числу А.
Обозначение:
Опр.2: Пусть функция f определена на множестве , Е некоторое подмножества множества , -это предельная точка множества Е. Число А – называется пределом функции f по множеству Е в точке х(0), если для каждого Е>0 такое , что для каждой точки , , для которой выполняется неравенство:
Аналогично случаю n=1 доказывается эквивалентность этих определений для любых n.
Проколотая окрестность __________________
Опр.3: Если функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки х(0) под пределом функции в точке х(0) по этой проколотой окрестности называется просто предел функции в точке, и обозначается:
Опр.4: Пусть через точку х(0) проведена прямая l, - некоторая проколотая окрестность точки (х(0)) , предел функции f в точке х(0) по пересечению называется пределом функции f в точке х(0) в направлении прямой l.
Опр.5: Если множество Е является множеством точек, некоторой кривой, проходящей через точку х(0), то в этом случае предел функции f п множеству Е при называется пределом функции по данной кривой.
Очевидно, что если функции f предел в точке х(0), то он существует в этой точке и по любому направлению и по любой кривой, причем эти пределы совпадают.
Пример:
, определить во всех точках _________, кроме точки(0,0)
Исследуем поведение этой функции по различным направлениям и найдем пределы в точке (0,0).
Уравнение прямой, проходящей через начало координат по направлению вектора с координатами , имеет вид: причем
Тогда:
Т.е. предел существует по любому направлению и равен нулю.
Теперь:
Вывод: предел в точке (0,0) не существует.
Аналогичным случаю одной переменной для функции многих переменных по множеству имеют место соответствующие теоремы о пределах сумм, произведений, частного. Наряду с рассмотренными пределами функции многих переменных можно рассмотреть и пределы других видов, связанные с последовательным переходом пределов.
или такие пределы называются повторными.
Пример:
, интересует точка (0,0)
Рассмотрим второй предел:
;
повторные пределы могут быть неравны.
Пример:
и
- не существует так как по прямой х=0 или y=0 предел равен 0, а по прямой y=х – предел равен ½, поэтому предел по множеству в точке (0,0) не существует.
Таким образом из одного лишь существования предела функции в данной точке не следует существование повторных пределов и наоборот.
Теорема: Пусть функция f(x,y) определена на множестве Е, содержащим все точки прямоугольной окрестности:
, точки (x0,y0),кроме может быть прямых: и , если существует предел функции по множеству Е, и при любом при
, о повторные предел - существует и это предел равен пределу по множеству то есть:
Непрерывность функции.
Опр.1: Функция f определена на множестве называется непрерывной в точке если:
-
Замечание: Из определения следует, что в изолированной точке является предельной точкой для множества Е, то данное определение непрерывности функции f в точке по множеству Е эквивалентно условию:
приращение:
Тогда получаем:
;
Значит:
Вимеем или
Аналогично случаю n =1, доказываются, что если функции f и g непрерывны в точке x(0) множества Е то функции: f + g, f - g, fg, f/g, при g(x) не равное 0, также непрерывны в точке x(0).
Для функции: f(x1,x2,...xn) при n строго больше 1, наряду с непрерывностью в выше указанном смысле, которую называют непрерывностью по совокупности переменных, можно рассматривать и непрерывность по отдельным переменным.
Непрерывность композиции непрерывных функций.
Пусть на некотором множестве Et принадлежит Rк задана система n - функций:
где:
и пусть на множестве Et принадлежит Rn задана функция :
где:
Если:определена на множестве Ex , т.е. точка то её называют композицией функций
Имеет место теорема: Пусть имеет смысл сложная функция: если функции непрерывны в некоторой точке: по множеству Ex , то сложная функция непрерывна в точке
Имеет место утверждение, что всякая элементарная функция любого числа переменных непрерывна в каждой точке области определения.
Частные производные. Дифференцируемость ФМП.
Рассмотрим случай трёх переменных.
Опр.1: Пусть в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0) задана функция: U = U(x,y,z)
Фиксируя переменные y и z (y = y0, z = z0) получим функцию одной переменной x U(x,y0,z0). Обычно производная этой функции в точке х равная х0 называется частной производной функции U(x,y,z) в точке x0,y0,z0 по x, и обозначается:
Таким образом
Из определения обычной производной можно записать x = x0 +дельта x
Аналогично вводятся частные производные по y и z.
Частное приращение по х это:
и обозначается дельтаx U. И тогда:
По аналогии с функциями одной переменной линейные функции:
относительно dx, dy, dz соответственно называемых дифференциалами независимых переменных называются частными дифференциалами функции U(x,y,z), соответственно по переменным x, y, z и обозначаются:
Аналогичные определения имеют место для любого числа переменных.
Пример: ln(x2 + y2);
Дифференцируемость функции в точке.
Случай n = 2.
Пусть функция z = f(x,y), определена в некоторой окрестности U = U(M0,δ) ,точка M0 с координатами (х0,y0) и пусть точка M(x,y) є U(M0,δ). x = x - х0 ; y = y - y0 ; Тогда расстояние:
Пусть z = f(х0 + x,y0 + y) - f(x0,y0) - полное приращение функции.
Опр.1: Пусть функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке х0,y0 если существует 2 таких числа А и В, что: z = Ах + Вy + α(x, y), (1)
где: при : α(∆x, ∆y) = ε(∆x, ∆y)∙ρ , (2)
Это:
Из (1) следует, что α(0,0) = 0;
В таком случае α (∆ x, ∆ y) = 0(ρ), ρ→0
0 - БМВ с большим порядком малости.
В случае дифференцируемости функции z = f(x,y) , в т. (х0,y0) линейная функция: А ∆ х + В ∆ y , относительно ∆ х, ∆ y называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в т. (х0,y0) и обозначается:
dz = А ∆ х + В ∆ y, или dz = Аdх + Вdy
Лемма: условие (2) эквивалентно условию:
где: и
Теорема 1: Если функция z = f(x,y) дифференцируема в т. (х0,y0), то она непрерывна в этой точке.
Доказательство: Т.к. функция z = f(x,y) дифференцируема, то ∆ z = А ∆ х + В ∆ y + α (∆ x, ∆ y)
где: α (∆ x, ∆ y) = 0(ρ)
где: 0 - БМВ более высокого порядка малости, ρ →0
Т.к | ∆ х|< ρ; | ∆ y|< ρ; и если ρ →0 то ∆ y→0 и ∆ x→0
А тогда при ρ →0 из (1) следует, что ∆ z→0 Что означает что функция z = f(x,y) непрерывна в т.(х0,y0).
Теорема 2:Если функция z = f(x,y) дифференцируема в т. (х0,y0) и dz = А ∆ х + В ∆ y, её дифференциалом в этой точке, то в точке (х0,y0) у функции f(x,y) существуют все частные производные: и
то
Доказательство: Согласно опр. дифференцируемости и Лемме
где: и
Полагая, что ∆ y = 0, получим, что
В этом случае | ∆ х|= ρ ;
Если , ρ →0, то ∆x→0 и ε1 →0
Тогда: это есть
Аналогично полагая ∆x = 0 и переходя к пределу при ∆y→0 получим:
Следствие: если z = f(x,y) дифференцируема в точке (х0,y0), то она имеет единственный дифференциал.
Доказательство: единственности дифференциала следует из ф.
т.к. частные производные в точке определяются однозначно.
Полный дифференциал есть сумма частных дифференциалов:
Достаточным условием в терминах доказательств частных производных на диф-мости функции.
Теорема: Пусть z = f(x,y) в некоторой окрестности точки (х0,y0) имеют частные производные
........ непрерывна в точке (х0,y0). Тогда z = f(x,y) дифференцируема в этой точке.
Следствие: если z=f(x,y) в некоторой т.(x0,y0) имеет частные производные, при чем непрерывны в т. (x0,y0), то ф-ция z=f(x,y), также непрерывна в это т.
Теорема: Пусть ф-ция x(t), y(t) диф-мы в т. t0,. Это эквивалентно существованию производной в этой т. Пусть x0=x(t0),и y0=y(t0) если ф-ция z=f(x,y) диф-ма в т. (x0,y0).
Тогда сложная функция: z=f(x(t),y(t)) – определена в некоторой окрестности т. с и имеет в т. t0 производную, которая вычисляется по формуле:
или более подробно:
Следствие: пусть ф-ции: x=x(U,V) и y=y(U,V) определены в некоторой окрестности т. (U0,V0) а ф-ция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности т.(x0,y0) где: x=x(U0,V0) и y=y(U0,V0).
Если ф-ция f(x,y) диф-ма в т.(x0,y0) и если в т. (U0,V0)существуют частные производные:
то в т. (U0,V0) существуют и частные производные: сложной функции
z=f(x(U,V),y(U,V))причем:
аналогично: ;
Пример:; x=sint; y=t4;
;;;;
Инвариантность формы 1-го диф-ла, относительно выбора переменных.
Имеет место Теорема: пусть ф-ция z=f(x); определена в некоторой окрестности x(0)= у функции xi, где i = 1, 2…,n; t=(t1…tk),определены в окрестности и пусть i = 1, 2…, n; Тогда если ф-ция f(x) диф-ма в т. x(0), а ф-ции xi=xi(t) диф-мы в т. t(0) то сложная ф-ция:
F(x(t))=f(x1(t), x2(t),…, xn(t)),
Определена в некоторой окрестности т. t(0) и диф-ма в это т. При этом диф-ал ф-ции f(x(t)) в т. t(0) имеет вид: или
Это теорема есть выражение св-ва инвариантности полного диф-ла относительно выбора переменных.
Т.е. полный диф-л ф-ции z=f(x,y) выражается одной и той же переменой как в случае, когда аргументы x,y – независимые переменные, так и в том случае когда эти аргументы в свою очередь явл-ся истинными ф-ми от нескольких независимых переменных. Лишь бы эти ф-ции имели соответствующие непрерывные частные производные.
Из этой теоремы легко получить следующие правила дифференцирования ФАП:
d(CU)=CdU;
d(UV)=VdU+UdV;
Из это же теоремы следует формула: d(f(U))=f ‘(U)dU.
Геометрический смысл. (условие диф-ти ф-ции 2-ух переменных).
Пусть z=f(x,y) определена на некотором открытом множестве G R2. Пусть .(x0,y0) G, если ф-ция диф-ма в т.(x0,y0),. То ее приращение представлено в виде:
z=f(x,y)-f(x0,y0)=Ax+By+V(),0
или иначе: z-z0= Ax+By+0(),0,
z-z0= A(x-x0)+B(y-y0)+0(), 0
где z-z0= A(x-x0)+B(y-y0) – ур-ние пл-ти, проходящей через т. (x0,y0,z0);
нормальный вектор:;
А,В – однозначно определены, следовательно плоскость определена однозначно.
Опр. Касательной пл-тью к графику функции z=f(x,y) в данной т. (x0,y0,z0) называется такая пл-ть, что разность ее аппликаты и значения f(x,y) явл-ся ее величиной бесконечно малой при сравнении с , 0.
Т.о. ур-ние касательной имеет вид:
Из условия диф-ти ф-ции z=f(x,y) т.(x0,y0) вытекает из существования касательной к пл-тик графику этой ф-ции в т.(x0,y0,z0);
x=x-x0; y=y-y0;
- полный диф-л ф-ции z=f(x,y) в т.(x0,y0).
Поэтому выражение (*) можно переписать в виде: z-z0=dz
Т.о. геом. полный диф-ал в т.(x0,y0) равен приращению аппликаты плоскости касательной к графику ф-ции.
Ур-ние нормали:
.
Теорема неявно ф-ции.
Неявные функции определены одним уравнением. Выясним условие при котором одно уравнение с несколькими переменными определяет однозначную ф-цию, т.е определяет одну из переменных как ф-цию остальных.
Рассмотрим уравнение:
F(x,y)=0
Опр. Если ф-ция 2-ух переменных F(x,y)задана на некотором подмножестве А плоскости и существует , такая ф-ция переменной y=f(x), определенная на множестве B содержащиеся в проекции множества А на ось ОХ, что для всех x из множества B[x,f(x)]A и справедливо тождество:
F(x,f(х))=0, то ф-ция f(x) наз-ся неявной ф-цией определяемо уравнением: F(x,y)=0.
Условие существование однозначной и непрерывной неявной ф-ции.
Теорема 1: Пусть ф-ция F(x,y) непрерывна на некоторой прямоугольной окрестности т.(x0,y0) т.е.
U(x0,y0)=
При каждом фиксировании x из (x0-, x0+) строго монотонно по y на интервале (y0-, y0+), тогда если F(x0,y0)=0 то существуют окрестности:
U(x0)={x| x0-<x< x0+};
U(y0)={y| y0-<x< y0+};
То существуют окрестности т., такие что, для каждого x U(x0) имеется и пи том единственное решение y U(y0), ур-е:
F(x,y)=0
Это решение является ф-цией от x, и обозначается y=f(x) непрерывна в т. х0 и f(x0)=y0
Т.о. эта теорема в частности утверждает что при сделанных предложениях неявная ф-ция y=f(x) определяемая уравнением F(x,y)=0 существует и обладает тем св-вом, что при условии, что x U(x0), y U(y0) равенства F(x,y)=0 и y=f(x)—равносильны.
Теорема 2: Пусть ф-ция F(x,y) непрерывна в некоторой окрестности т.(x0,y0) и имеет в этой окрестности частную производную Fпо Fy=(x,y) непрерывную в т.(x0,y0). Тогда если F(x0,y0)=0 и F(x0,y0)0, то найдутся такие окрестности U(x0), U(y0) соответственно т.x0 и y0, что для каждого x U(x0) существует и при этом единственное решение y=f(x) U(y0) уравнения F(x,y)=0, это решение непрерывно всюду в U(x0) и y0=f(x0). Если дополнительно предположить что ф-ция F(x,y) имеет в некоторой окрестности т.(x0,y0) частную производную по х: (Fх(x0,y0) непрерывную в т.(x0,y0) то ф-ция f(x), также имеет производную в т.x0 и для нее справедлива формула:
Аналогичным образом вводится понятие неявной функции, определяемо уравнением:
формулируется и док-во, также как т.1 и 2, под т. х0 принимаем т. n – го пространства.
i=1, 2…n.
Пример:
F(x,y)=x2+y2-3axy=0
F(x,y,z)=ez-xyz=0
;
;
Касательная пл-ть и нормаль поверхности, заданные неявным уравнением.
Пусть ф-ция задана неявным уравнением:F(x,y,z)=0
Будем считать, что F(x0,y0,z0)=0 и в некоторой окрестности т.(x0,y0,z0) ф-ция F(x,y,z) имеет непрерывные частные производные. Для определености будем считать, что:
Fя(x0,y0,z0)0
Имеем:
;
;
;
Пример:
x+2y=3z=6 (1,1,1)
Fx(1,1,1)=2; Fy(1,1,1)=4; Fz(1,1,1)=6.
2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть задана функция f(x,y), тогда каждые из ее частных производных при условии их существования:
в свое очередь является ф-циями независимых переменных и могут также иметь производные:
; .
Эти производные fxx, fxy, fyx, fyy, называются частными производными второго порядка. Аналогично определяются и частные производные 3-ого и выше порядков:
Опр.1: Частная производная по любой из независимых переменных от частной производной порядка m-1 (m=1,2,…) называется частной производной порядка m.
Частные производные полученные дифференцированием по различным переменным называются смешанными частными производными, а по одной переменной – чистыми.
Теорема 3: Пусть функция f(x,y) определена вместе со своими частными производными fx, fxy, fyx, fy в некоторой окрестности точки (x0, y0) при чем fxy и fyч непрерывны в данной точке. Тогда они равны:
fxy (x0, y0) = fyч(x0, y0)
Пусть функция z=f(x,y) имеет непрерывные первые и вторые частные производные на некотором плоском открытом множестве G. Из непрерывности частных производных следует дифференцируемость самой функции f(x,y) в каждой точке этого множества. Таким образом для всех точек (x,y) определен дифференциал:
Т.к. существуют непрерывные вторые производные, то функции и также дифференцируемые на этом множестве G. Поэтому дифференциал dz, рассматриваемый как функция только переменных x и y, в свою очередь является дифференцируемой функцией на множестве G.
Вычислим дифференциал от первого дифференциала, считая dx и dy фиксированными, т.е. dx и dy не меняются при переходе от одного дифференциала к следующему. Тогда:
d(dx)=0 и d(dy)=0, так как dx и dy фиксированные точки.
(*)
Опр.2: Вторым дифференциалом d2z функции z=f(x,y) в данной точке называется квадратичная форма от дифференциалов dx и dy независимых переменных (*).
Аналогично для функции n переменных y=f(x1, x2,…, xn) второй дифференциал определяется по формуле:
- квадратичная форма относительно переменных х1, х2,…, хn
Вообще дифференциал порядка l от функции y=f(x1, x2,…, xn) определяется с помощью рекуррентной формулы:
Для функции z=f(x,y) при непрерывных частных производных 3-его порядка можно записать третий дифференциал:
Можно показать, что для дифференциала порядка m справедлива формула:
где
Пусть z=f(x,y) имеет в окрестности точки Р0(х0 ,у0) непрерывные производные всех порядков до порядка m. Р1(х0+х,у0+у) соединим с Р0 отрезком прямой, уравнение которой можно записать в параметрической форме:
х=х0+tх y=y0+ty t[0,1] x=x-x0 y=y-y0
Тогда вдоль отрезка Р0Р1 функция z=f(x,y) будет функцией одной переменной:
(1)
Формула Маклорена для функции F(t) в окрестности точки t0=0 имеет вид:
Полагая в этой формуле t=1получим:
Вычислим производную F(t) через функцию f(x,y).
t=0
Аналогично:
Аналогично :
В силу этого:
Последняя формула называется формулой Тейлора с остаточным членом формулы Лагранжа для функции f(x,y).
Для случая n переменных формула Тейлора имеет следующий вид:
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция f определена в окрестности точки М0 U(M0,) и пусть точка М1 U(M0,). Проведем через точки М0 и М1 прямую. За положительное направление на этой прямой возьмем направление вектора . Для любых М М0М – ориентированная длина, т.е. длина отрезка со знаком плюс, если вектор имеет то же направление, что и , и со знаком минус в противном случае.
Опр.1: , если он существует, называется производной функции f в точке х0 по направлению и обозначается
Пусть в R3 зафиксирована некоторая система координат xyz M0(x0, y0, z0), M(x, y, z)
x=x-x0 y=y-y0 z=z-z0
M0K=x-x0= M0Mcos
MK=y-y0=M0Mcos
S=М0М
Найдем связь между координатами точки М и ориентированной длиной S отрезка [М0М]. Пусть , , - это углы, образованные соответственно с осями Ох, Оу, Оz. Тогда:
х-х0=Scos
y-y0=Scos
z-z0=Scos
вдоль прямой М0М функция z=f(x,y,z) является функцией одной переменной S:
f(x,y,z)=f(x0+Scos, y0+Scos, z0+Scos)
Производная этой функции, если она существует, по переменной S является производной функции f в точке М0 по направлению М0М1.
Вычисляется производная по направлению по правилу дифференцирования сложных функций.
Пусть функция f(x,y,z) дифференцируема в точке (x0, y0, z0) и пусть:
x=х0+Scos
y=y0+Scos
z=z0+Scos
Согласно определению и правилу дифференцирования сложных функций имеем:
так как , , то имеем:
(1)
Таким образом доказана теорема: Пусть функция f дифференцируема в точке (x0, y0, z0), тогда в этой точке функция f имеет производную в этой точке по любому направлению и эта производная находится по формуле (1).
Опр.2: Вектор с координатами называется градиентом функции f(x,y,z) в точке М0 и обозначается grad f или символически
Пусть теперь вектор единичной длины, а это значит, что он имеет координаты cos, cos, cos
Тогда:
(скалярное произведение)
где – угол между векторами и gradf.
Отсюда следующие утверждения:
Действительно, максимальное значение производной получается при cos=1 , т.е. при совпадении направления вектора с направлением вектора градиента функции.
Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению и градиент.
Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле этой величины.
Поле называется скалярным, если данная величина скалярная, т.е. характеризуется своими числовыми значениями.
Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функции в точке М.
U=f(M)
Если в пространстве введена декартова система координат, то поле определяет функция:
U=f(x, y, z)
Скалярное поле, порожденное функцией зависящей только от точки и не зависящей от времени называется стационарным. В противном случае поле называется нестационарным.
Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня или эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение.
U=f(x, y, z)=С, C=const
Скалярное поле называется плоским, если существует некоторая плоскость, такая, что во всех параллельных ей плоскостях скалярное поле будет одним и тем же. Скорость изменения скалярного поля в данной точке М0(x0, y0, z0) определяет производная по направлению:
Модуль производной по направлению определяет величину скорости изменения функции U(M) в точке М в направлении вектора l , а знак характеризует изменение функции в сторону возрастания или убывания. Если >0, то в точке М в направлении l функция U(M) возрастает, а убывает если <0.
Особую роль для дифференциальной характеристики скалярного поля играет производная ф-ции U по нормали к линии уровня.
Опр. Grad скал поля U в данной точке М наз. вектор
Аналогично(скалярное произведение)=
Св-ва grad
1. grad направлен по нормали к поверхности уровня U(x,y,z)=с;
2. grad направлен в сторону возрастания ф-ции поля
3. Модуль grad = наибольшей производной по направлению в данной точке
Опр.1: Grad поля U(x,y,z) в точке М наз вектор, направленный по нормали к пов-ности уровня, проходящий через точку М в сторону возрастания поля и численно равный производной от ф-ции по этому направлению.
Опр.1: Пусть ф-я f(x) определена на множестве Е, ЕRn, x(0)E наз точкой строгого max (строгого min), если существует такая окрестность U(x(0)) точки x(0), что для всех x пересечению U(x(0)) и множеством E выполняется нер-во:
f(x) f(x(0)) → max
f(x) f(x(0)) →min строгий экстремум.
В случае если f(x) f(x(0)) или f(x) f(x(0)) то x(0) называется просто точка экстремума
Теорема 1: Пусть ф-я f(x), где x=(x1,x2,…xn)Rn определена в некоторой окрестности точки x(0) если эта точка является точкой экстремума ф-ции f(x) и если в ней существует какая либо из производных f/xj (j=1,2,…n), то она = 0.
Т.е. f(x(0))/ xj =0
Следствие: Если функция дифференцируема в точке экстремума x(0) , то ее дифференциалы этой точка равен нулю.
Док-во: Пусть для определённости j=1 если т x0=(x(0),x1(0)…xn(0)) явл точкой экстремума для ф-ции f(x)=f(x1…xn) то x1(0) явл т экстремума для ф-ции f(x1(0),x2(0)…xn(0)) ф-я одной переменной x1 поэтому если в этой точке существует производная f/x, то по теор Ферма она = 0 аналогично в случае любой переменной х;
Следствие: Если f(x) диф-ма в точке экстремума х(0) то в этой точке существуют все производные f/x, j=1,2…n, и согласно теореме все они = 0 в этой точке:
Замечание: критерий Сильвестра для того чтобы квадратичная форма: у которой аij=aji, i,j=1,2…n была положительно определённой необходимо и достаточно
для того чтобы была отрицательно определённой
Опр.2: Пусть ф-я f диф-ма в т х(0) из Rn если d1f(x(0))=0 то х(0) – стационарная точка ф-ции f, очевидно, что точка х(0) в которой ф-я диф-ма является стационарной тогда и только тогда, когда i=1,2…n.
Теорема 2: (достаточное условие строгого экстремума)
Пусть ф-я f определена и имеет производные 2-го порядка в некоторой окрестности т х(0) пусть х(0) – стационарная точка ф-ции f тогда если квадратичная форма
т.е. 2-ой диф-л ф-ции f в т х(0), если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то х(0) является точкой строгого min (max), если квадрат форма неопределенна, то в точке х(0) экстремума нет.
Теорема 3: (достаточное условие экстремума для ф-ции 2-ух переменных)
Пусть ф-я f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные 2-го порядка в некоторой окрестности т (x0,y0), кот является стационарной точкой ф-ции f(x,y), т.е. fx=fy=0, тогда если в т (x0,y0) fxxfyy-fx2y>0 то (x0,y0) – точка строгого экстремума (max если fxx<0 и min если fхх>0, если в т (x0,y0) выражение fxxfyy-fx2y<0 то в т (x0,y0) экстремума нет, если fxxfyy-fx2y=0 то в т (x0,y0) экстремум может быть либо не быть.
Док-во: Предположим, что 2-ая производная по х0 (fxx0) тогда квадр форму запишем в виде L(dx,dy)=fxdx2+2fxydxdy+fyydy2 - квадрат матрица, если fxx>0 и fxxfyy-fx2y>0 квадр форма положит определена и по теореме в т (x0,y0) будет минимум, если fxx<0 то квадр форма по критерию Сильвестра опред, то по теор т(x0,y0) будет максимум, если fxxfyy-fx2y<0 квадр форма неопред, то в т (x0,y0) по теор экстр нет, если fxxfyy-fx2y=0 то вопрос о экстремуме открыт, в случае когда fxx=0 fyy0 исслед аналогично, если fxx=0 fyy=0 то треб дополнит исследование.
Пусть на открытом множестве GRn заданы ф-ции yi=fi(x), i=1,2…m, x=(x1,x2…xn) где хG. Множество Е это множество точек хG в кот все ф-ции fi, i=1,2…m, обращаются в ноль Е={хGfi(x)=0}, ур-е fi(x)=0 i=1,2…m будем называть ур-ями связи.
Опр: Пусть на G задана ф-ция f0(x), т x(0)E наз точкой условного экстремума ф-ции f0(x) относительно ур-ий связи, если она является точкой обычного экстремума этой ф-ции, рассматриваемой толко на множ Е.
В дальнейшем будем предполагать, что все ф-ции f1,f2…fm – непрерывно диф-мы в открытом множестве G и в рассматр точке х0 векторы f1,f2…fm – линейно независимы т.е. ранг матрицы равен m
Тогда в силу теоремы о неявных ф-ях система ур-ий fi(x)=0, в некоторой окр т x(0) разрешима относительно перемен х1,х2…хм подставим х1,х2…хм задаваемые формулой (4) в ур-е y=f0(x), получим ф-цию от n-m переменных y=f0(1(xm+1…xn),…,m(xm+1…xn),xm+1…xn)= g(xm+1…xn)=получим ф-цию, тогда точка х(0) является точкой условного экстремума для ф-ции f0(х), относительно ур-ий связи (3), тогда и только тогда, когда является точкой обычного экстремума для ф-ции g(xm+1…xn); точка обычного экстремума ф-ции g когда диф-л ф-ции g=0; это условие необходимо для условного экстремума точки х0.
Пусть ф-ции f0,f1…fm непрер диф-мы в откр множ GRn
Теорема 1: Пусть х(0) точка условного экстремума ф-ции f0 при выполнении ур-ий связи (3), тогда в этой точке f0,f1…fm – линейно зависимы, т.е. существуют не все равные 0
числа 0 , 1…m, такие что:
Следствие: Если в т.х0 условного экстремума фун.fo относительно уравнения связи (3) f1…fm линейнонезависемых, то сущ. числа
l1… l m , такие что в этой точке:
В координатной форме это условие для любых i=1,n в т. х0 имеет вид :
Где (*) l1… lm - удовлетворяют условию (7) называется фун. Лагранжа (*) , рассматриваемой задачи сами числа l1…lm – называется множителями Лагранжа
Условие (7) означает что если т. х0 является т. условного экстремума фун. fo при выполнении уравнеий связи (3) , то она явл- ся стационарной точкой для фун. Лагранжа , т.е.
Где i =1,2…n
Будем выбирать l1… lm такими чтобы выполнялись условия (7). Для отыскания точки условного экстремума следует рассмотреть систему n+m урав-ний(3) и (7), относительно неизвестных x10… xn0, l1… lm;
Достаточное условие следует из следуйщей Теоремы:
Если х0=( x10… xn0) удовлетворяют уравнению связи и явл. стационарной точкой для фун Лагранжа и если 2-й деффе-л фун. Лагранжа в этой точке явл . положительным (отриццательнным) определённый квадратной формой относительно переменных dx1…dxn при условии , что они удовлетворяют системе:
Где i =1,2…n
То т. х0 явл. т. условного экстремума min(max), для f относительно уравнения связи (3)