Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Распределения случайных величин
План лекции:
Наряду со случайными событиями одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины - величины, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Примерами случайных величин могут быть: отметка на экзамене - целое, положительное число (от 2 до 5); число оборотов спутника вокруг Земли до его гибели - любое натуральное число (в принципе ничем не ограниченное); продолжительность работы телевизора до выхода из строя - любое неотрицательное число и так далее.
Обозначать случайные величины будем греческими буквами - x, h, z и другими, а их возможные значения - x, y, z, снабжая их при необходимости индексами.
Таким образом, случайная величина x - число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу стохастического эксперимента. Поскольку исходы опыта полностью определяются элементарными событиями, можно рассматривать случайную величину как функцию от элементарного события w на пространстве элементарных событий W.
В зависимости от возможных значений все случайные величины можно разбить на два класса: дискретные и непрерывные.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют или конечное множество, или счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать).
Примером случайной величины, принимающей конечное число значений, является число очков, выпавших при бросании кубика; примером случайной величины, принимающей счетное число значений может служить пуассоновcкая величина.
Для задания случайной величины недостаточно знать все её возможные значения, две случайные величины могут иметь одинаковые возможные значения, но принимать их с различными вероятностями (случайные величины - оценки на экзамене у сильных и слабых студентов имеют одинаковые возможные значения, но разные вероятности). Поэтому необходимо указать и возможные значения случайной величины, и вероятности, с которыми она может их принять.
Назовём законом распределения дискретной случайной величины правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан графически, аналитически и таблично. В последнем случае задаётся таблица, где в одной строке записаны все возможные значения xi, а в другой соответствующие им вероятности pi. Её называют таблицей или рядом распределения вероятности.
Поскольку в результате опыта случайная величина может принять одно и только одно из возможных значений, то события, заключающиеся в том, что x примет значение x1, ... , xn попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. Отсюда следует, что вероятность суммы этих событий равна 1 и мы приходим к важному соотношению.
. (2.1)
Замечание. Если множество возможных значений бесконечно и счётно, то сумма будет содержать бесконечное число слагаемых. Такую сумму называют суммой числового ряда. В этом случае находят сумму первых n членов - Sn и затем переходят к пределу при n ® ¥. Таким способом в школьном курсе алгебры была найдена сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины x, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике - 0,6.
Решение. Очевидно, возможные значения x есть 0, 1, 2, причём
;
;
.
Здесь A1 и A2 - события, заключающиеся в том, что математика и соответственно физика сданы на 5. При вычислении вероятностей использовалась несовместность слагаемых и независимость сомножителей. Сведём полученное в таблицу и нарисуем график, который называется многоугольником распределения (рис. 2.1):
– ряд распределения вероятностей.
Рис. 2.1
Как легко проверить, условие нормировки (2.1) выполняется.
Пример. Вероятность появления события A при одном испытании равна p. Испытания повторяются до появления события A. Составить закон распределения случайной величины x - числа испытаний, предшествующих первому появлению A.
Решение. Возможные значения x - все целые числа от 0 до ¥. Предположим, что x = n и подсчитаем вероятность такого события. Очевидно, оно произойдёт, если в первых n испытаниях произойдут события а в (n + 1) - произойдёт A. Отсюда искомая вероятность равна
,
здесь q = 1 - p и мы воспользовались независимостью сомножителей. Условие нормировки принимает вид
.
Здесь мы воспользовались формулой суммы членов бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q и первым (при n = 0) членом, равным p.
Для задания любой случайной величины можно ввести функцию распределения F(x), равную вероятности того, что случайная величина x примет значение, меньшее x:
(2.2)
Легко видеть, что F(x) – неубывающая функция, при этом F(-¥)=0; F(¥)=1.
По известному ряду распределения функцию распределения дискретной случайной величины находим так:
, (2.3)
где (x < xi) означает, что суммирование ведётся по всем индексам i, для которых это неравенство выполняется. Функция распределения F(x) дискретной случайной величины x является ступенчатой, сохраняющей постоянное значение на каждом интервале, не содержащем точек xi, и терпящей в этих точках скачок, равный pi. Для примера о количестве пятерок функция распределения и её график (рис. 2.2) представлены ниже.
Рис. 2.2
Обратимся теперь к непрерывной случайной величине x, которая в отличие от дискретной может принять любое значение из некоторого промежутка, т.е. ее возможные значения сплошь заполняют некоторый интервал и потому их множество несчетно. Например:
1) размер детали массового производства;
2) урожай с одной сотки;
3) ошибка измерения;
4) продолжительность работы устройства до момента отказа.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины x можно задать либо функцией распределения F(x) = P(x<x), либо ее производной , называемой плотностью распределения вероятности или плотностью вероятности. В точках, где производная не определена, будем считать, что f(x) = 0. В силу монотонности функции F(x) плотность f(x) ³ 0 всюду. Зная F(x), можем найти плотность вероятности по формуле f(x) = F’(x), а зная f(x), найдем функцию распределения как .
Для непрерывной случайной величины x вероятность попадания ее в промежуток с концами a и b (неважно, открытый или замкнутый) равна
. (2.4)
Полезно помнить, что:
1) плотность вероятности f(x) это есть вероятность попадания x в интервал (x, x+Dx), деленная на его длину Dx, когда длина Dx исчезающе мала;
2) вся площадь между графиком f(x) и осью Ox равна 1:
(2.5)
(аналог формулы (2.1)).
В качестве примера непрерывного распределения ниже мы рассмотрим так называемое нормальное распределение, его плотность .
Широко пользуются некоторыми суммарными характеристиками случайной величины. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины x назовём сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности
. (2.6)
Подчеркнём, что математическое ожидание случайной величины есть некоторое число (постоянная, неслучайная величина).
Пример. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти математическое ожидание.
Решение. По определению,
M(x) = 0 × 0,08 + 1 × 0,44 + 2 × 0,48 = 1,4.
Для понимания очень полезна механическая аналогия. Трактуя возможные значения случайной величины как координаты точек на оси, а соответствующие им вероятности - как некоторые (вероятностные) массы, можно заметить, что математическое ожидание является аналогом понятия центра масс, то есть является тем “средним, центральным” значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины.
Пример. Согласно американским статистическим таблицам смертности вероятность того, что 25-летний человек проживет еще год, равна 0,992 (следовательно, вероятность того, что он умрет, равна 0,008). Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000$; страховой взнос равен 10$. Найти математическое ожидание прибыли компании.
Решение. Величина прибыли X есть случайная величина со значениями +10$ (если застрахованный человек не умрет) и –990$ (если он умрет). Составим таблицу распределения вероятностей.
MX = 10 × 0,992 – 990 × 0,008 = 2.
Ожидаемая средняя прибыль положительна, что дает возможность страховой компании продолжать дело, оставлять резервный капитал для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.
Пример. Игра в рулетку. На колесе рулетки имеется 38 одинаково расположенных гнезд, которые нумеруются так: 00, 0, 1, 2,…, 35, 36. Игрок может поставить 1 доллар на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти математическое ожидание выигрыша игрока.
Решение. Составим таблицу вероятностей.
MX= –37/38 + 35/38 = –2/38 = –1/19.
Игра не является “справедливой”, игорный дом, как и страховая компания, обеспечивает себе средний доход на “накладные расходы” и риск.
Пример. За дом внесен страховой взнос 200 рублей. Вероятность ему сгореть в данной местности для такого типа домов оценивается как 0,01. В случае, если дом сгорит, страховая компания должна выплатить за него 10000 рублей. Какую прибыль в среднем ожидает получить компания? На какую прибыль сможет рассчитывать компания, если для получения страховой суммы в размере 10000 она будет брать взнос 100 рублей?
Ожидаемая средняя прибыль для взноса 200 рублей:
M(X) = –9800 × 0,01 + 200 × 0,99 = –98 + 198 = 100.
То же для страхового взноса 100 рублей:
M(X) = –9900 × 0,01 + 100 × 0,99 = -99 + 99 = 0.
– такая работа компании называлась бы справедливой, но у нее не только бы отсутствовала прибыль, но и не было бы денег на административные расходы.
Как правило, приходится вычислять математические ожидания много более сложных случайных величин. Так, например, страховые расчеты производятся не за один год, а за много лет, и надо учитывать ежегодную прибыль от вкладов и т.д. При этом помогает знание свойств этой характеристики.
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
M(С) = С. (2.7)
Действительно, постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение С с вероятностью 1, поэтому М(С) = 1×С = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(С×x) = С×М(x). (2.8)
Поскольку при умножении на С возможные значения случайной величины также умножаются на С, при сохранении соответствующих вероятностей, то (2.8) следует из известных свойств суммы и интеграла.
Следующие два свойства приведём без обоснования.
3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
. (2.9)
4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
. (2.10)
Пример. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20 центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:
Как оценить ожидаемую прибыль: от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?
Решение. X – случайная величина, прибыль от продажи 10 яиц.
MX = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,5 + 0,2 × 0,2 + 0 × 0,06 – 0,2 × 0,04 = 0,352,
M10000X = 10000 × 0,352 = 3520$.
Итак, математическое ожидание является тем “средним” значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Однако знания среднего значения случайной величины для большинства задач недостаточно, необходимо иметь ещё количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. Для этого рассмотрим разность - отклонение возможного значения случайной величины от её математического ожидания (x - a).
Случайные величины при одинаковом среднем могут быть совершенно разными, например, одна может меняться в узких пределах, а вторая – в широких. Приведем в качестве примера графики некоторых распределений, имеющих одинаковое среднее, равное нулю, и разные разбросы (рис. 2.3).
Рис. 2.3
На всех графиках нас интересует разброс вокруг среднего (в нашем примере оно равно нулю; если это не так, картинка только сдвинется).
Чтобы охарактеризовать разброс, рассеяние случайной величины есть несколько показателей, но чаще всего применяют дисперсию D(x) или среднеквадратическое (стандартное) отклонение .
Назовём дисперсией случайной величины x математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания a=Mx:
, (2.11)
.
Для вычисления дисперсии часто оказывается полезной формула
,
.
Действительно,
.
Пример. Сосчитаем дисперсии распределений, приведенных на графиках (см рис. 2.3):
1) 1 × 1/8 + 1 × 1/8 – 0 = 1/4 = 0,25;
2) 1 × 1/3 + 1 × 1/3 – 0= 2/3 = 0.(6);
3) 1 × 1/2 + 1 × 1/2 – 0 = 1;
4) 4 × 1/2 + 4 × 1/2 – 0 = 4;
5) 4 × 1/4 + 1×1/4 + 1 × 1/4 + 4 × 1/4 – 0 = 2,5.
Самая большая дисперсия у четвертого распределения, когда все значения удалены от среднего на расстояние 2. Самая маленькая – у первого, когда математическое ожидание является наиболее вероятным значением.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия неотрицательна – .
2. Дисперсия постоянной равна нулю:
D(C) = 0. (2.12)
Действительно, D(C) = M(C2) - (M(C))2 = C2 - C2 =0.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(C×x ) = C2×D(x ). (2.13)
Действительно,
.
4. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
. (2.14)
Доказательство проведём для двух слагаемых.
.
Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, то в ряде случаев удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и её называют среднеквадратическим отклонением
. (2.15)
Отметим, что для четвертого распределения, где все значения находились на расстоянии 2 от среднего, s = 2.
Из свойств дисперсии немедленно следуют свойства среднеквадратического отклонения: .
Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется как
, (2.16)
а дисперсия
. (2.17)
Все рассуждения, приведенные для математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин, верны и для непрерывных величин.
Рассмотрим некоторые особо важные распределения случайных величин и найдём их числовые характеристики.
PAGE 1