Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство Образования Российской Федерации
Новосибирский Государственный Технический Университет
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
по дисциплине
Моделирование
«Исследование систем массового обслуживания»
Вариант 13
Факультет АВТ ПреподавательАльсова О.К.
ГруппаАП-319
СтудентУстюжанин И.В.
Новосибирск
2006
Введение
Имитационное моделирование является универсальным средством для принятия решений в условиях неопределенности и необходимости учета трудноформализуемых факторов. Наличие имитационной модели и обоснование выбранного варианта с ее помощью является обязательным в комплекте документов, подаваемых на рассмотрение в западных странах для проектирования или модернизации нового производства или технологического процесса. Наиболее широкий класс моделей, охватывающий дискретное сборочное производство, транспортные системы, системы логистики, разного вида обслуживающие системы, коммуникационные системы – это сети массового обслуживания, которые положены в основу большинства имитационных моделей. Аналитические методы расчетов таких сетей с использованием теории массового обслуживания имеют ограниченное применение из-за сложностей, связанных с размерностью сети и ограничений, накладываемых использованием математического аппарата марковских и полумарковских процессов. Имитационное моделирование позволяет моделировать сети массового обслуживания любой сложности с необходимой степенью детализации, зависящей от целей моделирования и ресурсных возможностей. При этом возникают две основные проблемы:
Современные программные средства имитационного моделирования позволяют автоматизировать процесс создания модели за счет использования различных компонент, из которых строится модель, и графического интерфейса. Средства имитационного моделирования, в которых используется фиксированное число моделирующих конструкций, и нет возможностей программирования, обязательно окажутся неподходящими для некоторых систем, встречающихся на практике. В идеале должна существовать возможность смоделировать любую систему, используя исключительно конструкции средства моделирования и не прибегая к программам, написанным на каком-либо языке программирования. Однако таких идеальных универсальных средств моделирования не существует, так как в этом случае они должны иметь такие же возможности, что и языки имитационного моделирования. Данную проблему можно решить путем использования генераторов программ, которые создают имитационные модели на некотором языке моделирования. В этом случае при необходимости расширения возможностей созданной модели с помощью генератора программ, квалифицированный пользователь может изменить код программы.
Так как имитационная модель, учитывающая случайные факторы, позволяет только оценить численно значения критериев ее работы, то необходимо соответствующим образом организовывать эксперименты с ней, чтобы получить требуемые оценки с заданной точностью. Современные средства имитационного моделирования позволяют не только автоматизировать создание моделей, но и организуют эксперименты с ними. Однако оценка точности результатов моделирования была и остается ключевым моментом в организации моделирования, так как не существует универсального подхода к решению проблемы точности для любых имитационных моделей.
Изучить основные положения теории массового обслуживания, ознакомиться с методами анализа СМО, получить практические навыки использования этих методов на примере СМО Еk/M/n/r.
Таблица 1. Исходные данные
|
вариант |
задание |
дополнительные условия |
|
13. |
М\Е3\2\1=0,02;=0,03;=0,06 |
одну заявку обслуживают два канала |
0 – в СМО нет заявок
10 – в СМО 1 заявка в нулевой фазе обработки
11 – в СМО 1 заявка в первой фазе обработки
12 – в СМО 1 заявка во второй фазе обработки
200 – в СМО 2 заявки; обе в нулевой фазе обработки
201 – в СМО 2 заявки; одна в нулевой фазе обработки, другая – в первой
202 – в СМО 2 заявки; одна в нулевой фазе обработки, другая – во второй
211 – в СМО 2 заявки; обе в первой фазе обработки
212 – в СМО 2 заявки; одна в первой фазе обработки, другая – во второй
222 – в СМО 2 заявки; обе во второй фазе обработки
300 – в СМО 3 заявки; две в нулевой фазе обработки, одна – в очереди
301 – в СМО 3 заявки; одна в нулевой фазе обработки, другая – в первой, третья – в очереди
302 – в СМО 3 заявки; одна в нулевой фазе обработки, другая – во второй, третья – в очереди
311 – в СМО 3 заявки; две в первой фазе обработки, одна – в очереди
312 – в СМО 3 заявки; одна в первой фазе обработки, другая – во второй, третья – в очереди
322 – в СМО 3 заявки; две во второй фазе обработки, одна – в очереди
Рис.1. Размеченный граф состояний СМО
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
Перейдем к предельным вероятностям нахождения системы в заданных состояниях:
Вероятность простоя системы:
Вероятность загрузки системы:
Вероятность загрузки 1 канала:
Вероятность загрузки 2 каналов (без очереди):
Вероятность загрузки 2 каналов (с очередью):
Вероятность отказа в обслуживании:
Среднее число требований в очереди:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее число занятых каналов:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время пребывания требования в системе:
Среднее время обработки одной заявки каналами:
Вероятность простоя системы:
Вероятность загрузки системы:
Вероятность загрузки 1 канала:
Вероятность загрузки 2 каналов (без очереди):
Вероятность загрузки 2 каналов (с очередью):
Вероятность загрузки каналаI:
Вероятность загрузки каналаII:
Вероятность отказа в обслуживании:
Среднее число требований в очереди:
Среднее число занятых каналов:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время пребывания требования в системе:
Среднее время обработки одной заявки каналами:
Среднее время ожидания в очереди:
Расчет статистических характеристик для показателя «время нахождения в системе»
Информация о времени нахождения заявки в системе была собрана вGPSS с помощью блокаSAVEVALUE и СЧА Ml.
По полученной выборке значений времени пребывания заявки в системе средствамиStatistica были рассчитаны числовые характеристики показателя (табл.2) и построена гистограмма (рис.2).
Таблица 2. Числовые характеристики показателя «время нахождения в системе»
|
|
Minimum |
Maximum |
Range |
Variance |
Std.Dev. |
|
tc |
0 |
84,401 |
84,401 |
212,008 |
14,561 |
Рис.2. Гистограмма распределения времени нахождения заявки в системе
Закон Эрлангаk-го порядка выводится из закона Гамма. Следовательно, можно предположить, что показатель «время нахождения заявки в системе» распределен по закону Гамма.
H0: показатель «время нахождения заявки в системе» распределен по закону Гамма.
H1: показатель «время нахождения заявки в системе» распределен по какому-то другому закону (экспоненциальный, нормальный)
Пусть уровень значимости α = 0,05.
Количество категорий:
Проверим гипотезу о распределении времени пребывания заявки в системе по закону Гамма на основе критерия хи-квадрат средствамиStatistica.
Таблица 3.
|
|
Observed |
Cumulative Observed |
Percent Observed |
Cumul. % Observed |
Expected Frequency |
Cumulative Expected |
Percent Expected |
Cumul. % Expected |
Observed- Expected |
|
<= 11,111 |
51 |
51 |
25,62814 |
25,6281 |
51,87901 |
51,8790 |
26,06985 |
26,0699 |
-0,87901 |
|
22,222 |
63 |
114 |
31,65829 |
57,2864 |
65,13076 |
117,0098 |
32,72903 |
58,7989 |
-2,13076 |
|
33,333 |
45 |
159 |
22,61307 |
79,8995 |
41,30189 |
158,3117 |
20,75472 |
79,5536 |
3,69811 |
|
44,444 |
24 |
183 |
12,06030 |
91,9598 |
21,74218 |
180,0539 |
10,92572 |
90,4793 |
2,25782 |
|
55,555 |
11 |
194 |
5,52764 |
97,4874 |
10,47275 |
190,5266 |
5,26269 |
95,7420 |
0,52725 |
|
66,666 |
5 |
199 |
2,51256 |
100,0000 |
4,78789 |
195,3145 |
2,40597 |
98,1480 |
0,21211 |
|
77,777 |
0 |
199 |
0,00000 |
100,0000 |
2,11486 |
197,4294 |
1,06275 |
99,2107 |
-2,11486 |
|
88,888 |
1 |
200 |
0,50251 |
100,5025 |
0,91164 |
198,3410 |
0,45811 |
99,6688 |
0,08836 |
|
< Infinity |
0 |
200 |
0,00000 |
100,5025 |
0,65901 |
199,000 |
0,33116 |
100,000 |
-0,65901 |
Рис. 3. Гистограмма распределения времени нахождения заявки в системе
c наложением закона Гамма
Посколькуp-значение не меньше α (0,69342>0,05), гипотезаH0призаданном уровне значимости не отвергается.
Среднее время пребывания требования в системе по результатам 10 экспериментов:
Среднее время обработки одной заявки каналами результатам 10 экспериментов:
Среднее время ожидания в очереди по результатам 10 экспериментов:
По заданию одну заявку обслуживают два канала, значит, это система с взаимопомощью. Каждая заявка одновременно обслуживается двумя каналами, соответственно интенсивность обслуживания рассчитывается как суммарная интенсивность работы двух каналов.
Вероятность простоя системы:
Вероятность загрузки системы:
Вероятность загрузки 1 канала (без очереди):
Вероятность загрузки 1 канала (с очередью):
Вероятность отказа в обслуживании:
Среднее число требований в очереди:
Среднее число занятых каналов:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время пребывания требования в системе:
Среднее время обработки одной заявки каналами:
Среднее время ожидания в очереди:
Увеличение интенсивности обслуживания заявок значительно сократило время их пребывания в СМО. Однако это не привело к улучшению характеристик системы. Среднее время ожидания в очереди увеличилось более чем в 3 раза (из-за ликвидации одного самостоятельного канала), а вероятность простоя системы – более чем в 1,2 раза (интенсивность потока поступления заявок намного меньше интенсивности потока их обработки). Поэтому можно сделать вывод, что в данной СМО взаимопомощь не является оптимальным решением задачи улучшения ее функционирования.
Таблица 4. Ошибки определения параметров СМО
|
Параметр |
Аналитический метод |
Метод ИМ |
Ошибка оценки показателя ε (в %) |
|
P0 |
0,6374 |
0,62 |
2,73 |
|
P1 |
0,2857 |
0,2974 |
4,1 |
|
P2 |
0,0727 |
0,0723 |
0,55 |
|
P3 |
0,0113 |
0,0109 |
3,54 |
|
Pзагр |
0,3626 |
0,38 |
4,8 |
|
n0 |
0,0113 |
0,0109 |
3,54 |
|
tож |
0,565 |
0,531 |
6,02 |
|
Nз |
0,4537 |
0,4631 |
2,07 |
|
J |
0,465 |
0,474 |
1,93 |
|
tc |
22,787 |
23,13 |
1,51 |
|
tобр |
22,222 |
22,552 |
1,49 |
Как видно из таблицы 4, оценки значений вероятностей и характеристик СМО, полученные в результате имитационного моделирования статистически близки с точными значениями, рассчитанными аналитически. Поэтому можно сделать вывод о довольно высокой эффективности имитационного метода применительно к решению данной задачи. Незначительные расхождения с аналитически рассчитанными значениями объясняются переходными процессами в системе, а также некачественной генерацией последовательностей случайных чисел.
Однако сама система, несмотря на маленькое время ожидания в очереди и низкую вероятность отказа в обслуживании, является довольно неэффективной: очень велика вероятность ее простоя.
Несколько улучшить характеристики заданной СМО может полная ликвидация одного из каналов обслуживания (однако при этом необходимо позаботиться об увеличении очереди до 3 - 4). В этом случае вероятность загрузки системы увеличится с 0,38 до 0,48, хотя остальные характеристики при этом несколько ухудшатся.
Примером реальной СМО может служить склад комплектующих для компьютера. Поскольку поток покупателей не очень значителен, довольно велика вероятность простоя, а образование очереди, наоборот, маловероятно. Это СМО полностью соответствует варианту без дополнительных условий. А варианту с дополнительными условиями соответствует ситуация, когда поступает большой заказ и все работники стараются как можно быстрее его выполнить (собрать все необходимые комплектующие, аксессуары и др.).
Выводы
По результатам проведенных исследований СМО можно сделать следующие заключения:
Литература
Приложение 1. Исходный текст программы имитации СМО с одинаковыми интенсивностями обслуживания каналов
TABTABLEM1,8,8,11 ;сбор информации о МО и СКО
ERLANG FVARIABLE (EXPONENTIAL(1,0,7.4)+EXPONENTIAL(3,0,7.4)+EXPONENTIAL(5,0,7.4))
GENERATE (EXPONENTIAL(7,0,50)),,,200;распределение входного потока заявок
TESTLQ$SIS,3,OUT ;по экспоненциальному закону
QUEUE SIS
TRANSFER BOTH,K1,K2
K1 SEIZE 1
ADVANCEV$ERLANG;распределение потока обработки заявок
DEPARTSIS;по закону Эрланга 3 порядка
RELEASE 1
TRANSFER,OUT
K2 SEIZE 2
ADVANCEV$ERLANG;распределение потока обработки заявок
DEPARTSIS;по закону Эрланга 3 порядка
RELEASE 2
OUTSAVEVALUE 1+,1;сохранение значений показателя
SAVEVALUEX1,M1;время нахождения заявки в системе
SAVEVALUETIME,C1;общее время моделирования
TABULATE TAB
TERMINATE 1
START200;общее количество заявок
GENERATE 0,,,1
MET ADVANCE 1
TESTGQ$SIS,0,MET;общее время загрузки системы
SAVEVALUE PLOAD+,1
TEST E Q$SIS,1,MET1
SAVEVALUEPLOAD1+,1;время пребывания в системе 1 заявки
TRANSFER ,MET
MET1 TEST E Q$SIS,2,MET2
SAVEVALUEPLOAD2+,1;время пребывания в системе 2 заявок
TRANSFER ,MET
MET2 SAVEVALUE PLOAD3+,1;время пребывания в системе3 заявок
TRANSFER ,MET
FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY
1 138 0.337 23.253 1 0 0 0 0 0
2 57 0.126 21.016 1 0 0 0 0 0
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
SIS 3 0 195 0 0.474 23.130 23.130 0
TABLE MEAN STD.DEV. RANGE RETRY FREQUENCY CUM.%
TAB 22.552 14.562 0
_ - 8.000 30 15.00
8.000 - 16.000 47 38.50
16.000 - 24.000 45 61.00
24.000 - 32.000 31 76.50
32.000 - 40.000 21 87.00
40.000 - 48.000 14 94.00
48.000 - 56.000 6 97.00
56.000 - 64.000 4 99.00
64.000 - 72.000 1 99.50
72.000 - 80.000 0 99.50
80.000 - _ 1 100.00
SAVEVALUE RETRY VALUE
TIME 0 9516.061
LOAD 0 3622.000
LOAD1 0 2830.000
LOAD2 0 688.000
LOAD3 0 104.000
Приложение 2. Исходный текст программы имитации СМО с учетом дополнительных условий
TABTABLEM1,7.75,7.75,7;сбор информации о МО и СКО
ERLANG FVARIABLE (EXPONENTIAL(1,0,3.7)+EXPONENTIAL(3,0,3.7)+EXPONENTIAL(5,0,3.7))
GENERATE (EXPONENTIAL(7,0,50)),,,200;распределение входного потока заявок
TESTLQ$SIS,2,OUT;по экспоненциальному закону
QUEUE SIS
SEIZE 1
ADVANCE (V$ERLANG1+V$ERLANG2);распределение потока обработки заявок
DEPARTSIS;по закону Эрланга 3 порядка
RELEASE 1
OUT SAVEVALUE 1+,1
SAVEVALUE X1,M1
SAVEVALUETIME,C1;общее время моделирования
TABULATE TAB
TERMINATE 1
START200;общее количество заявок
GENERATE 0,,,1
MET ADVANCE 1
TEST G Q$SIS,0,MET
SAVEVALUELOAD+,1;общее время загрузки системы
TEST E Q$SIS,1,MET1
SAVEVALUELOAD1+,1;время пребывания в системе 1 заявки
TRANSFER ,MET
MET1 SAVEVALUE PLOAD2+,1;время пребывания в системе 2 заявок
TRANSFER ,MET
FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY
1 193 0.230 11.348 1 0 0 0 0 0
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
SIS 2 0 193 0 0.266 13.144 13.144 0
TABLE MEAN STD.DEV. RANGE RETRY FREQUENCY CUM.%
TAB 12.684 9.156 0
_ - 7.750 68 34.00
7.750 - 15.500 71 69.50
15.500 - 23.250 36 87.50
23.250 - 31.000 14 94.50
31.000 - 38.750 8 98.50
38.750 - 46.500 2 99.50
46.500 - _ 1 100.00
SAVEVALUE RETRY VALUE
TIME 0 9521.469
LOAD 0 2198.000
LOAD1 0 1856.000
LOAD2 0 342.000
0
0
11
12
200
201
202
212
222
211
300
301
302
312
322
311
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
2μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
2μ
2μ
2μ
μ
μ
2μ
2μ