Дискретная математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Федеральное агентство по образованию

Сибирский Федеральный Университет

МАТЕМАТИКА.

Дискретная математика.

Теория вероятностей и математическая статистика.

Сборник задач

Красноярск

2007

Составители:

Ахмаров С. И., Васильева А. В., Колмакова Н. Р., Кравцова О. В., Кузоватова Н. В., Моисеенкова Т. В., Мельникова И. В., Панько Н. В., Римацкий В. В., Шевелева И. В.

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебно-методическое пособие предназначено для организации практических занятий и самостоятельной работы студентов по разделам «Дискретная математика» и «Теория вероятностей» (9 и 10 разделы программы дисциплины «Математика»).

Оно состоит из двух глав, соответствующих указанным разделам. В каждой главе две части: первая содержит задачи для практических занятий, вторая – индивидуальные задания.

В первой главе приведены задачи по всем основным темам раздела «Дискретная математика»: множества и отношения, нечеткие множества, комбинаторика, элементы математической логики (алгебра высказываний, булева алгебра и булевы функции, исчисление высказываний и исчисление предикатов) и элементы теории графов.

В главу «Теория вероятностей и математическая статистика» включены задачи и задания по следующим темам: алгебра событий, вероятностное пространство, вероятности событий, последовательности испытаний, случайные величины, законы распределения, числовые характеристики случайных величин, многомерные случайные величины, основные понятия математической статистики, точечные и интервальные оценки, статистическая проверка гипотез.

Задачи практических занятий снабжены ответами. Комплект индивидуальных заданий по дискретной математике состоит из 13, по теории вероятностей и математической статистики – из 20 заданий в 30 вариантах. Порядковый номер заданий соответствует варианту, номер которого для каждого студента определяет преподаватель. Количество заданий, порядок их выполнения, оформления и сдачи определяется решением кафедры. При выполнении некоторых заданий допустимо, а иногда обязательно применение компьютера.

Необходимые знания, понятия, правила даются на лекциях и практических занятиях по курсу математики. Кроме того, приведен список рекомендуемой учебно-методической литературы.

Глава 1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

§1. Множества и отношения

Понятие множества. Операции над множествами. Свойства операций. Понятие нечеткого множества.

1.1. Доказать, что .

1.2. Доказать, что .

1.3. Существуют ли такие множества ,  и , что , , ?

1.4. Выразить через подмножества множества  целых чисел: , , и , используя операции на множествах, следующие подмножества:

а) множество всех нечетных чисел;

б) ;

в) ,

г) .

1.5. Доказать, что если множество  состоит из  элементов, то множество всех подмножеств  множества  состоит из  элементов.

1.6. Пользуясь определениями доказать, что для любых множеств ,  и  выполняются следующие тождества. Проиллюстрировать диаграммами Эйлера:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е), где  – симметрическая разность множеств  и ;

ж).

1.7. Доказать, что:

а)  и ;

б) ;

в) .

1.8. Два нечетких множества , где  – множество действительных чисел, заданы функциями принадлежности:

 

Найти наибольшее значение функции принадлежности нечеткого множества .

1.9. Нечеткие подмножества , ,  множества  заданы функциями принадлежности:

	1	2	3	4
	0,2	0,7	0,8	0,1
	0,9	0,3	0,7	0,3
	0,3	0,6	0,3	0,4

Найти значение , где .

1.10. Нечеткое подмножество  задано графиком функции принадлежности .

Подмножество  задано условием

.

Задать функции принадлежности  и  аналитически. Построить графики функций принадлежности пересечения , объединения , дополнения , разности  и .

Декартово произведение множеств. Соответствия. Мощность множества.

1.11. Выписать, все элементы декартова произведения  и , соответственно, для указанных множеств ,  и :

а) , ;

б) , , .

1.12. Привести пример множеств  и  таких, что .

1.13. Пусть  и  отрезки действительной прямой. Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств:

а) ;

б) ;

в) .

1.14. Доказать, что для не пустых множеств , , ,  справедливо:

а)  и ;

б)  и .

1.15. Доказать, что . В каком случае возможно равенство?

1.16. Доказать, что для произвольных множеств , ,  и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1.17. Найти , если известно, что  и .

1.18. Каждый из 63 студентов 1-го курса, изучающих информатику в университете, может посещать и дополнительные лекции. Если 16 из них слушают ещё курс бухгалтерии, 37 – курс коммерческой деятельности, и 5 изучают обе эти дисциплины, то, сколько студентов вообще не посещают упомянутых дополнительных занятий?

1.19. Показать с помощью диаграмм Эйлера – Венна, что для любых множеств  выполняется соотношение:

.

1.20. Каждый из 63 студентов 1-го курса, изучающих информатику в университете, может посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, пятеро изучали бухгалтерию и туризм, а трое – туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать стразу три дополнительных курса. Сколько студентов посещали, по крайней мере, один дополнительный курс? Сколько из них были увлечены только туризмом? (Воспользоваться результатом задачи 1.19).

1.21. Доказать, что:

а) если  – подмножество конечного множества , то множество  конечно.

б) если  – счетное множество,  – конечное множество, то множество  счетно.

1.22. Доказать, что счетно:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество рациональных чисел отрезка .

1.23. Доказать, что множество всех многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами счетно.

1.24. Доказать, что множества точек отрезка и квадрата равномощны.

Отношения и функции. Бинарные отношения. Специальные бинарные отношения.

1.25. На множестве  определено бинарное отношение :  существует  – общий делитель  и . Задать отношение  перечислением элементов, матричным и графическим способом.

1.26. Найти область определения – , область значения – , обратное отношение – , произведения , , , для следующих отношений, заданных на множествах  – натуральных и  – действительных чисел соответственно:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.27. Пусть  и  – конечные множества мощности  и  соответственно. Найти:

а) число бинарных отношений между элементами множеств  и ;

б) число функций из множества  в ;

в) число инъекций из множества  в .

При каких  и  существует биекция из множества  в ?

1.28. На рис. 1 отношение  заданно графически. Найти графическое представление следующих отношений , , , . 1.29. Какие линии нужно добавить к графическому изображению отношения из задачи 1. 28. чтобы отношение стало: а) рефлексивным; б) симметричным; в) транзитивным?

Рис 1.

1.30. Привести примеры бинарных отношений:

а) рефлексивного, симметричного, но не транзитивного;

б) рефлексивного, антисимметричного и не транзитивного;

в) рефлексивного, транзитивного, но не симметричного;

г) антисимметричного, транзитивного и не рефлексивного.

1.31. Определить, какие из следующих отношений на множестве людей рефлексивны, симметричны, или транзитивны:

а) «…имеет тех же родителей, что и …»;

б) «… является братом …»;

в) «…старше или младше …»;

г) «… не выше, чем …».

1.32. Являются ли отношениями эквивалентности на множестве всех прямых плоскости:

а) отношение параллельности;

б) отношение перпендикулярности?

1.33. Доказать, что следующие отношения являются отношениями эквивалентности:

а) ;

б) ;

в) .

1.34. Доказать, что бинарное отношение , которое на множестве действительных чисел задано условием:  является отношением эквивалентности. Описать классы эквивалентности, содержащие .

1.35. Показать, что бинарное отношение , которое на множестве целых чисел задано условием:  делится на 3, является отношением эквивалентности. Описать классы эквивалентности.

1.36. Пусть на множестве  определено отношение , задаваемое следующим правилом: . Показать, что  – частичный порядок. Существуют ли в данном множестве наибольший, наименьший, максимальный и минимальный элементы (относительно )?

1.37. Построить диаграммы Хассе для следующих отношений частичного порядка:

а) ,  – отношение включения на множестве всех подмножеств множества ;

б) ,  – отношение, задаваемое по правилу: .

§2. Комбинаторика

1.38. Сколькими способами можно разместить за круглым столом  мужчин и  женщин так, чтобы ни какие два лица одного пола не сидели рядом?

1.39. Комиссия из трех человек, выбирается из четырех супружеских пар. Сколько таких комиссий можно составить, если:

а) в комиссию могут входить любые три человека;

б) в комиссию не могут входить члены одной семьи?

1.40. Сколько существует телефонных номеров, состоящих из шести различных цифр?

1.41. По  различным урнам размещаются  одинаковых шаров. Найти количество таких размещений, при следующих условиях:

а) пустых урн нет;

б) во второй урне  шаров.

1.42. Найти количество размещений  белых , черных и  синих шаров по  различным урнам.

1.43. Имеется 30 монет достоинством 1, 2 и 3 копейки. Сколько существует различных комбинаций монет?

1.44. В скольких случаях при игре в «Спортлото» (угадывание 5 номеров из 36) будут правильно выбраны:

а) ровно 3 номера;

б) ровно 4 номера;

в) ровно 5 номеров;

г) не менее трех номеров?

1.45. Из колоды состоящей из 52 карт, выбрали 10 карт. Определить, в скольких случаях среди них окажутся:

а) все карты одной масти;

б) хотя бы один туз;

в) ровно один туз;

г) не менее двух тузов;

д) ровно два туза?

1.46. В совете директоров, состоящем из 25 человек, при выборе генерального директора за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против – 10, воздержались – 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?

1.47. Поступающий в ВУЗ должен сдать четыре экзамена. Он полагает, что для поступления будет достаточно набрать 17 баллов (по пятибалльной системе). Сколькими способами он может сдать экзамены, набрав не менее 17 баллов и не получив ни одной двойки?

1.48. Сколько положительных чисел от 1 до 500 делятся ровно на одно из чисел 3, 5 или 7?

1.49. Определить количество трехзначных чисел, в которых сумма цифр равна 20.

§3. Элементы математической логики

Логика высказываний. Формулы логики высказываний. Равносильность формул. Нормальные формы формул.

1.50. Пусть , ,  – определенные следующим образом высказывания:

: «Я умираю от жажды».

: «Мой стакан пуст».

: «Сейчас три часа».

Записать каждое из следующих высказываний как логическое выражение, включающее ,  и .

а) Я умираю от жажды и мой стакан пуст.

б) Сейчас три часа, а я умираю от жажды.

в) Если сейчас три часа, то я умираю от жажды.

г) Если я умираю от жажды, то мой стакан пуст.

д) если я не умираю от жажды, то мой стакан не пуст.

1.51. Пусть , ,  и  – определенные следующим образом высказывания:

: , : , : , : .

Определить истинностное значение каждой из следующих импликаций: , , , . Ответ пояснить.

1.52. Построить таблицы истинности для следующих формул:

а) ;

б) .

1.53. Доказать выполнимость формул:

а) ;

б)

1.54. Доказать тождественную истинность формул:

а);

б) ;

в).

1.55. Проверить правильность следующего рассуждения: Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

1.56. Доказать следующие равносильности:

а);

б)

в);

г).

1.57. Привести к ДНФ и КНФ с помощью основных равносильностей следующие формулы:

а);

б) .

1.58. Привести к СДНФ и СКНФ с помощью основных равносильностей следующие формулы:

а);

б) .

Булевы функции. Полнота. Минимизация в классе ДНФ. Релейно-контактные и функциональные схемы.

1.59. Найти все существенные переменные функций, заданных следующими формулами:

а) ;

б) ;

в) .

1.60. Привести к СДНФ и СКНФ следующие функции:

а)  равна 1 тогда и только тогда, когда большинство переменных равно 1.

б)  равна 1 тогда и только тогда, когда .

1.61. Привести к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ (двумя способами: по таблице истинности и с помощью эквивалентных преобразований) функцию, заданную формулой: , где  – штрих Шеффера, а  – стрелка Пирса.

1.62. Представить полиномом Жегалкина:

а) ;

б) ;

1.63. Найти полином Жегалкина для следующих булевых функций , заданных векторами своих значений, (при этом переменные принимают значения в лексикографическом порядке, то есть в порядке возрастания чисел в двоичной системе: 000, 001,010, 011 и т.д.):

а) ;

б) .

1.64. Выразить с помощью суперпозиций:

а)  и  через  и ;

б)  и  через  и ;

в)  и  через  и ;

г) , , ,  через ;

д)  через и 0;

е)  через  и 1

1.65. Проверить на полноту следующие системы булевых функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) , где ;

е) .

Какие из указанных систем образуют базис класса всех булевых функций?

1.66. Найти минимальную ДНФ для функций, заданных векторами своих значений:

а) ;

б) .

1.67. Записать функцию проводимости и упростить схему:

а) схема представлена на рис. 2;

б) схема представлена на рис 3.

Рис. 2

Рис. 3

1.68. Составите булеву функцию, генерируемую функциональной схемой, показанной на рис. 4. Упростить ее и изобразить более простую функциональную схему.

Рис. 4

1.69. Показать эквивалентность функциональных схем, изображенных на рис. 5.

Рис. 5.

1.70. Сконструировать функциональную схему, которая реализует булеву функцию . Найти более простую схему, реализующую данную функцию.

1.71. Составить булевы функции, которые определяют каждый выход функциональной схемы, изображенной на рис. 6.

Рис. 6

Исчисление высказываний. Исчисление предикатов.

1.72. Построить вывод в исчислении высказываний.

а) ;

б);

в);

г) ;

д) .

1.73. Будут ли следующие выражения формулами, и если да, то какие переменные в них являются свободными, а какие связанными:

а);

б) .

1.74. На множестве натуральных чисел, определены следующие предикаты: , . Записать формулы истинные тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

а) ;

б) ;

в)  – четное число;

г) ;

д) ;

е)  – простое число.

1.75. Пусть  означает « высокий», а  означает « толстый», где  – какой-то человек. Что означает высказывание: ? Найдите его отрицание среди следующих утверждений: (1) найдется некто короткий и толстый; (2) нет никого высокого и худого; (3) найдется некто короткий или худой.

1.76. Пусть  – множество точек прямых и плоскостей трехмерного евклидова пространства, со следующим образом определенными предикатами:

: « – точка»,

: « – прямая»,

: «– плоскость»,

: « лежит на »,

: « совпадает с ».

Записать в этой интерпретации формулы, выражающие следующие утверждения:

а) через каждые две точки можно провести прямую и при том единственную, если эти две точки различны;

б) через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость.

1.77. Доказать или опровергнуть следующие равносильности (формула  не содержит свободных вхождений переменной ).

а) ;

б) .

1.78. Выполнимы ли следующие формулы:

а);

б)?

1.79. Будут ли общезначимыми следующие формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

§4. Элементы теории графов

Графы, основные понятия и операции.

1.80. Составить матрицу инцидентности –  и матрицу смежности –  для следующих графов:

а) графа, изображенного на рис. 7;

б) графа, изображенного на рис. 8;

в) графа, изображенного на рис. 9.

Рис. 7	Рис. 8	Рис. 9

1.81. Какие из показанных на рис. 10 графов изоморфны?

Рис. 10

1.82. Для графов  и  (рис. 11) представить в геометрической форме графы , , .

1.83. Найти , , , для графов  и  (рис. 12):

Рис. 11	Рис. 12

Маршруты, цепи, циклы. Эйлеровы и гамильтоновы графы.

1.84. Найти в графе  (рис. 13) маршруты являющиеся цепями, простыми цепями, циклами, простыми циклами. Определить обхват графа. Является ли граф связным?

1.85. Определить с помощью матрицы смежности существование -маршрута в графе  (рис. 14).

Рис. 13	Рис. 14

1.86. Найти с помощью матрицы смежности графа , изображенного на рис. 15, его матрицы: достижимости – , контрдостижимости –  и сильных компонент – .

1.87. Найти матрицу расстояний , диаметр , радиус  и центр графа  (рис. 16).

Рис. 15	Рис. 16

1.88. Определить минимальный путь из вершины  в вершину  в ориентированном графе , заданном матрицей смежности:

.

1.89. Определить минимальный путь в нагруженном (около каждой дуги указана ее длина) ориентированном графе:

а) из вершины  в вершину , для графа, изображенного на рис. 17;

б) из вершины  в вершину , для графа изображенного на рис. 18.

Рис. 17	Рис. 18

1.  

1.90. Найти степени вершин –  граф, представленного на рис. 19.

1.91. Выяснить, является ли граф эйлеровым. Найти минимальное множество покрывающих цепей графа (рис. 20):

Рис. 19	Рис. 20

1.92. Известно, что граф  является деревом, у которого три вершины степени 3, четыре вершины степени 2, а остальные вершины степени 1. Сколько вершин степени 1 в дереве ?

1.93. Определить остов (остовное дерево) графа:

а) граф изображен на рис. 21;

б) граф изображен на рис 22.

Рис. 21	Рис. 22

1.  

1.94. Определить минимальное остовное дерево нагруженного графа (рис. 23).

Рис. 23

Индивидуальные задания

Задание 1. Доказать (по определению), что для произвольных множеств ,  и  справедливо тождество Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера.

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

1.4. ;

1.5. ;

1.6. ;

1.7. ;

1.8. ;

1.9. ;

1.10. ;

1.11. ;

1.12. ;

1.13. ;

1.14. ;

1.15. ;

1.16. ;

1.17. ;

1.18. ;

1.19. ;

1.20. ;

1.21. ;

1.22. ;

1.23. ;

1.24. ;

1.25. ;

1.26. ;

1.27. ;

1.28. ;

1.29. ;

1.30. .

Задание 2.

2.1. Найти , , , если , , .

2.2. Найти , , , если , , .

2.3. Найти , , , если , , .

2.4. Найти , , , если , ,  .

2.5. Найти , , , если , ,  .

2.6. Найти , , , если , , .

2.7. Найти , , , если , , .

2.8. Найти , , , если , , .

2.9.Найти , , , если , , .

2.10. Найти , , , если , , .

2.11. Найти , , , если , , .

2.12. Найти , , , если , , .

2.13. Найти , , , если , , .

2.14. Найти , , , если , , .

2.15. Найти , , , если , , .

2.16. Найти , , , если , , .

2.17. Найти , , , если , , .

2.18. Найти , , , если , , .

2.19. Найти , , , если , , .

2.20. Найти , , , если , , .

2.21. Найти , , , если , , .

2.22. Найти , , , если , , .

2.23. Найти , , , если , , .

2.24. Найти , , ,если , , .

2.25. Найти , , , если , , .

2.26. Найти, , , если , , .

2.27. Найти , , , если , , .

2.28. Найти , , , если , , .

2.29. Найти , , , если , , .

2.30. Найти , , , если , , .

Задание 3. Даны два бинарных отношения,. Задать эти отношения явно (перечислением). Найти: 1) отношения , , ,; 2) область определения и область значений отношений  и ; 3) матрицу и графическое представление отношений  и .

3.1.	, , .
3.2.	, , , .
3.3.	, , , .
3.4.	, , .
3.5.	, ,
3.6.	, , .
3.7.	, , , .
3.8.	, , .
3.9.	, , , .
3.10.	, , ,
3.11.	, , , .
3.12.	, , , .
3.13.	, , , .
3.14.	, , , .
3.15.	, , , .
3.16.	, , , .
3.17.	, , , .
3.18.	,  , , .
3.19.	, , , .
3.20.	, , , .
3.21.	, , , .
3.22.	, , , .
3.23.	, , , .
3.24.	, , , .
3.25.	, , , .
3.26.	, , , .
3.27.	, , , .
3.28.	, , , .
3.29.	, , , .
3.30.	, , , .

Задание 4. Найти область определения, область значений отношения . Является ли отношение рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

4.7. ;

4.8. ;

4.9. ;

4.10. ;

4.11. ;

4.12. ;

4.13. ;

4.14. ;

4.15. ;

4.16. ;

4.17. ;

4.18. ;

4.19. ;

4.20. ;

4.21. ;

4.22. ;

4.23. ;

4.24. ;

4.25. ;

4.26. ;

4.27. ;

4.28. ;

4.29. ;

4.30. .

Задание 5. Сформулировать высказывание и записать его в виде формулы алгебры логики (высказывание должно содержать не менее двух логических связок).

Задание 6. Построить таблицы истинности заданных формул и упростить их с помощью равносильностей:

6.1. ;

6.2. ;

6.3. ;

6.4. ;

6.5. ;

6.6. ;

6.7. ;

6.8. ;

6.9. ;

6.10. ;

6.11. ;

6.12. ;

6.13. ;

6.14. ;

6.15. ;

6.16. ;

6.17. ;

6.18. ;

6.19. ;

6.20. ;

6.21. ;

6.22. ;

6.23. ;

6.24. ;

6.25. ;

6.26. ;

6.27. ;

6.28. ;

6.29. ;

6.30. .

Задание 7. Найти СДНФ и СКНФ функции, заданной следующей формулой а) то таблице истинности, б) с помощью эквивалентных преобразований. Составить многочлен Жегалкина.

7.1. ;

7.2. ;

7.3. ;

7.4. ;

7.5. ;

7.6. ;

7.7. ;

7.8. ;

7.9. ;

7.10. ;

7.11. ;

7.12. ;

7.13. ;

7.14. ;

7.15. ;

7.16. ;

7.17. ;

7.18. ;

7.19. ;

7.20. ;

7.21. ;

7.22. ;

7.23. ;

7.24. ;

7.25. ;

7.26. ;

7.27. ;

7.28. ;

7.29. ;

7.30..

Задание 8. Минимизировать в классе ДНФ логическую функцию , которая принимает значения равные 1 или 0 на заданных наборах переменных. Наборы располагаются в порядке возрастания чисел в двоичной системе: 0000, 0001,0010 и т.д.  

8.1.  на наборах  2,6,7,8,11,12

8.2.   на наборах  2,7,8,11,12

8.3.   на наборах  2,8,11,12

8.4.  на наборах  6,7,8,11,12

8.5.  на наборах  7,8,11,12

8.6.   на наборах  2,3,4,10,12

8.7.  на наборах  3,5,8,13,15

8.8.  на наборах 1, 2,8,13,15

8.9.  на наборах  1,3,7,14,15

8.10.  на наборах  3,5,9,13,16

8.11.  на наборах  3,5,7,8,10,13,15

8.12.  на наборах  1,3,5,6,8,9,11,14

8.13.  на наборах  4,8,10,15,16

8.14.  на наборах  2,3,5,8,13,15

8.15.   на наборах  3,5,6,7,13,14

8.16.  на наборах  1,3,5,8,10,13,15

8.17.  на наборах  1,4,5,6,8,13,15

8.18.  на наборах  4,5,8,9,12,14

8.19.  на наборах  4,6,8,11,12,13

8.20.  на наборах  1,3,5,7,8,9,11,13

8.21.  на наборах  4,6,8,9,10,11,15

8.22.   на наборах  2,3,6,7,8,14,15

8.23.  на наборах  1,2,4,5,6,7,9,11

8.24.  на наборах  1,3,5,7,8,12,14

8.25.  на наборах  1,2,5,6,10,12,13,14

8.26.  на наборах  1,3,7,9,10,12,13,14

8.27.  на наборах  1,2,5,8,10,11,14,15

8.28.   на наборах  1,2,4,7,10,11,12

8.29.  на наборах  1,5,7,8,9,12,13,15

8.30.  на наборах  1,2,3,9,12,14,15.

Задание 9. Для схемы переключателей составить формулу (функцию проводимости). Упростить схему.

9.1.		9.2.
9.3.		9.4.
9.5.		9.6.
9.7.		9.8.
9.9.		9.10.
9.11.		9.12.
9.13.		9.14.
9.15.		9.16.
9.17.		9.18.
9.19.		9.20.
9.21.		9.22.
9.23.		9.24.
9.25.		9.26.
9.27.		9.28.
9.29.		9.30.

Задание 10. Показать, что заданная схема рассуждений есть допустимое правило вывода.

10.1. ;

10.2. ;

10.3. ;

10.4. ;

10.5. ;

10.6. ;

10.7. ;

10.8. ;

10.9. ;

10.10. ;

10.11. ;

10.12. ;

10.13. ;

10.14. ;

10.15. ;

10.16. ;

10.17. ;

10.18. ;

10.19. ;

10.20. ;

10.21. ;

10.22. ;

10.23. ;

10.24. ;

10.25. ;

10.26. ;

10.27. ;

10.28. ;

10.29. ;

10.30. .

Задание 11. Следующие предложения записать на языке логики предикатов.

11.1. а) Некоторые студенты  — отличники;

б) От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, и притом только один.

11.2. а) Для любого натурального числа можно найти наибольшее;

б) Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

11.3. а) Каждое рациональное число является действительным числом;

б) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

11.4. а) Некоторые действительные числа являются рациональными;

б) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

11.5. а) Ни одно иррациональное число не является комплексным;

б) Из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, притом только один.

11.6. а) Любое число делится на единицу;

б) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

11.7. а) Никакое число не делится на 0;

б) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

11.8. а) Некоторые задачи по программированию решаются с помощью рекурсии;

б) Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от данной точки.

11.9. а) Если  и  заданные множества, то можно построить их пересечение и разность;

б) Любые две точки окружности делят ее на две части.

11.10. а) Неверно, что любую задачу можно решить на любой машине;

б) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

11.11. а) Некоторые числа не являются рациональными;

б) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

11.12. а) Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;

б) Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

11.13.  а) Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости;

б) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

11.14. а) Через две различные точки проходит единственная прямая;

б) Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

11.15. а) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;

б) Если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.

11.16. а) Между любыми двумя точками на прямой лежит по крайней мере одна точка, с ними не совпадающая;

б) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

11.17. а) Через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной;

б) Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

11.18. а) Существует многочлен 2-й степени, не имеющий действительного корня;

б) Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой прямой.

11.19. а) Любой многочлен степени n от одной переменной имеет хотя бы один корень;

б) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

11.20. а) Любой многочлен степени  от одной переменной имеет ровно  корней;

б) Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки  также принадлежит этой фигуре.

11.21. а) Некоторые многочлены от двух переменных не имеют целых корней;

б) Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.

11.22. а) Множество всех простых чисел конечно;

б) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна  этому радиусу, то она является касательной.

11.23. а) Два натуральных числа, отличных от нуля, имеют НОК и НОД (наибольшее общее кратное; наименьший общий делитель).

б) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

11.24. а) Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

б) Из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

11.25. а) Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная  от его сторон, лежит на его биссектрисе.

б) Если все вороны черные, то все нечерные предметы – не вороны.

11.26. а) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

б) Всякий квадрат является прямоугольником, но не всякий прямоугольник — квадрат.

11.27. а) Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему;

б) Четырехугольник в том и только том случае является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

11.28. а) В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

б) Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от нуля.

11.29. а) В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

б) Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости.

11.30. а) Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

б) Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Задание 12.

12.1. Дан граф , где  и . Задать граф графически и с помощью матриц смежности и инцидентности. Привести пример произвольного подграфа, остовного подграфа и подграфа, порожденного множеством вершин  графа .

12.2. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу инцидентности. Привести пример остовного несвязного подграфа графа , составить его матрицу смежности.

12.3. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу смежности. Привести пример остовного несвязного подграфа графа , составить его матрицу смежности.

12.4. Дан граф , где  и . Изобразить графически граф  и его дополнительный граф , составить матрицу смежности графа  и матрицу инцидентности графа . Является ли дополнительный граф связным?

12.5. Граф  задан графически на рис. 1. Составить матрицы смежности  и инцидентности графа . Изобразить дополнительный граф  составить его матрицу инцидентности.

Рис. 1

12.6. Убедиться, что множество c заданным на нем бинарным отношением , которое определяется следующим образом: пара элементов множества   тогда и только тогда, когда для этих чисел существует неединичный общий множитель, не совпадающий с каждым их них, является графом. Дать его графическое представление, составить матрицы смежности и инцидентности. Является ли граф связным?

12.7. Дан граф , где  и . Дать графическое представление графа , составить матрицы смежности и инцидентности, привести пример произвольного подграфа, остовного подграфа и подграфа, порожденного множеством вершин  графа .

12.8. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу  инцидентности. Привести пример остовного несвязного подграфа графа , составить его матрицу смежности.

12.9. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу смежности. Привести пример остовного несвязного подграфа графа , составить его матрицу смежности.

12.10. Дан граф , где  и . Задать граф графически и с помощью матриц смежности и инцидентности. Привести пример произвольного подграфа, остовного подграфа и несвязного подграфа.

12.11. Граф  задан графически на рис. 2. Изобразить дополнительный граф, составить матрицы смежности графа  и его дополнения, указать точку сочленения графа .

Рис. 2

12.12. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу инцидентности. Привести пример остовного несвязного подграфа графа , составить его матрицу смежности.

12.13. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу смежности. Привести пример остовного подграфа графа , составить его матрицу смежности.

12.14. Дан граф , где  и . Изобразить графически граф , составить матрицу смежности и рассчитать степени вершин.

12.15. Граф  задан графически на рис. 3. Составить матрицы смежности и инцидентности графа . Изобразить дополнительный граф , составить его матрицу инцидентности. Является ли дополнительный граф связным?

Рис. 3

12.16. Убедится, что множество  c заданным на нем бинарным отношением , которое определяется следующим образом: пара элементов из множества  тогда и только тогда, когда для чисел  и  существует неединичный общий множитель, не совпадающий с каждым их них, является графом. Дать его графическое представление, составить матрицы смежности и инцидентности. Является ли граф связным?

12.17. Дан граф , где  и . Дать графическое представление графа , составить матрицы смежности и инцидентности, привести пример произвольного подграфа, остовного подграфа и подграфа, порожденного множеством вершин  графа .

12.18. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу инцидентности. Рассчитать степени вершин.

12.19. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу  смежности. Изобразить дополнительный граф , составить его матрицу инцидентности. Является ли дополнительный граф связным?

12.20. Граф  задан графически на рис. 4. Составить матрицы смежности  и инцидентности графа . Изобразить дополнительный граф , составить матрицы смежности графа  и его дополнения.

Рис. 4

12.21. Дан граф , где  и . Задать граф графически и с помощью матриц смежности и инцидентности. Вычислить степени вершин.

12.22. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу инцидентности. Вычислить степени вершин.

12.23. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу  смежности. Вычислить степени вершин.

12.24. Дан граф , где  и . Изобразить графически граф , составить матрицу смежности. Изобразить дополнительный граф  и составить его матрицу смежности.

12.25. Убедится, что множество  c заданным на нем бинарным отношением , которое определяется следующим образом: пара элементов из множества  тогда и только тогда, когда для чисел  и  существует неединичный общий множитель, не совпадающий с каждым их них, является графом. Дать его графическое представление, составить матрицы смежности и инцидентности. Является ли граф связным?

12.26. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу инцидентности. Изобразить дополнительный граф  и составить его матрицу смежности.

12.27. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу  смежности. Изобразить дополнительный граф  и составить его матрицу смежности.

12.28. Граф  задан матрицей смежности . Дать его графическое представление, составить матрицу инцидентности. Привести пример произвольного подграфа, остовного подграфа и составить его матрицу смежности.

12.29. Граф  задан матрицей инцидентности . Дать его графическое представление, составить матрицу  смежности. Привести пример произвольного подграфа, остовного подграфа и составить его матрицу смежности.

12.30.Граф  задан графически на рис. 5. Составить матрицы смежности  и инцидентности графа , рассчитать степени вершин.

Рис. 5

Задание 13.

13.1. Тридцать команд участвуют в первенстве по футболу. Каждые две команды должны сыграть между собой один матч. Доказать, что в любой момент состязания найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

13.2. Имеется три листа бумаги, некоторые из них разрезаются на 3 части, несколько новых кусков на 3 более мелкие части и т.д. Сколько всего получится листков, если всего было разрезано k листков?

13.3. Показать, что граф, у которого имеются две несмежные вершины третьей степени, а остальные вершины имеют степень, не большую чем 2, не обладает гамильтоновым циклом.

13.4. Можно ли из полного графа с 17 вершинами удалить некоторые ребра так, что бы степень каждой вершины равнялась 5?

13.5. Семеро студентов, разъезжаясь на каникулы, договорились, что каждый из них пошлет открытки трем из них. Может ли оказаться, что каждый получит открытки именно от тех друзей, которым написал сам?

13.6. В футбольном турнире участвуют 29 команд. Доказать, что в любой момент состязания найдется команда, сыгравшая четное число матчей (быть может ни одного).

13.7. Доказать, что не найдется девяти человек таких, чтобы каждый был знаком ровно с тремя другими.

13.8. Если в графе с пятью вершинами ровно две вершины имеют одинаковую степень, то могут ли они быть обе изолированными или обе иметь степень 4?

13.9. Можно ли из полного графа с 7 вершинами удалить некоторые ребра так, что бы степень каждой вершины равнялась 3?

13.10. В футбольном турнире участвуют 9 команд. Может ли в некоторый момент времени оказаться так, что каждая команда сыграла ровно три матча.

13.11. Гриша пошел с папой в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание получает право сделать еще 2 выстрела. Гриша выстрелил 17 раз. Сколько раз он попал в цель?

13.12. Какое наибольшее число веревочек, соединяющих соседние узлы сетки размера 4 на 6, можно разрезать, что бы сетка не распалась на отдельные куски?

13.13. Можно ли на окружности расположить числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?

13.14. Можно ли расположить на плоскости 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками ровно с 4 другими?

13.15. Выписать в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

13.16. В некоторой стране некоторые города связаны между собой авиалиниями. Из столицы выходит 2005 авиалиний, из города Дальнего одна, а из остальных городов – по 20 линий. Докажите, что из столицы можно добраться до Дальнего.

13.17. Дан правильный 45-ти угольник. Можно ли так расставить в его вершинах цифры от 0 до 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами.

13.18. Докажите, что среди любых пяти человек есть двое с одинаковым числом знакомых среди этих пяти человек.

13.19. В компании 18 человек. Докажите, что среди них есть 4 попарно незнакомых или 4 попарно знакомых.

13.20. В некотором городе для любых трех перекрестков ,  и  есть путь, ведущий из  в  и не проходящий через . Докажите, что с любого перекрестка на любой другой ведет по крайней мере два пути.

13.21. По правилам турнира, если два рыцаря  и  дрались с , то они не дерутся между собой. Найти максимальное число поединков, если в турнире участвуют 20 рыцарей.

13.22. Сколько было бревен, если 52-мя распилами из них получили 72 полена?

13.23. Имеется лист бумаги. Его можно разорвать на 5 частей. Каждый новый кусок можно разорвать на 5 частей или оставить целым, и т.д. Можно ли таким образом получить 50 кусков?

13.24. В метро 100 станций. От любой станции до любой другой можно проехать. Забастовочный комитет хочет закрыть проезд через одну из станций так, чтобы между всеми остальными станциями был возможен проезд. Докажите, что такая станция найдется.

13.25. Показать, что замкнутый путь в двудольном графе содержит четное число вершин.

13.26. Показать, что дерево, в котором есть хотя бы одно ребро, является двудольным графом.

13.27. Изобразить все неизоморфные графы с 4 вершинами. Сколько таких графов? Какие из них являются связными

13.28. Передатчик может передавать пять сигналов: . При приеме каждый из этих сигналов может быть истолкован двояко: сигнал  – как  или , сигнал  – как  или , сигнал  – как  или , сигнал  – как  или , сигнал  – как  или . Какое наибольшее число сигналов можно принять, не рискуя спутать их друг с другом?

13.29. Сколько ферзей достаточно расставить на шахматной доске так, чтобы каждая клетка доски находилась под ударом хотя бы одного из них? Считать, что клетка, занимаемая ферзем, также находится под его ударом.

13.30. В химии молекулу символически представляют в виде графа (атомы – вершины, а химическая связь – ребро). Известно, что углеводород  бутан, который задается формулой (), имеет два структурных изомера, т.е. представим двумя неизоморфными графами. Изобразить их, если каждый атом углерода всегда имеет валентность 4 и каждый атом водорода всегда имеет валентность 1.

Глава 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

§1. Случайные события

Пространство элементарных событий, типы событий, алгебра событий.

2.1. Бросаются 2 игральные кости,  = {cумма выпавших очков равна 6}. Описать пространство элементарных событий  и подмножество, соответствующее событию  .

2.2. Выразить событие  через события , где событие  = {из 3-х событий  осуществится ровно 2 события}.

2.3. На полке стоит 8-томное собрание сочинений. Событие  = {-й том стоит на  – м месте}, . Пояснить события  , .

2.4. Для произвольных событий  и  показать, что

.

2.5. Показать, что если события  и  несовместны, то  и  также несовместны.

2.6. В урне четыре одинаковых по размеру шарика: красный, желтый, синий и зеленый. Из нее вынимают один за другим с возвращением два  шарика. Опишите пространство элементарных событий, отвечающее этому опыту. Из скольких элементарных событий оно состоит? Сколько элементарных событий соответствует наборам из шаров разного цвета?

2.7. Из букв слова плюс наугад одна за другой без возвращения выбираются две буквы. Опишите пространство элементарных событий, отвечающее этому опыту. Из скольких элементарных событий оно состоит? Сколько элементарных событий соответствует наборам из одинаковых букв?

2.8. Для контроля качества изготовленных приборов из них случайным образом отбирают три, которые затем проверяют. Проверка показывает, исправен прибор (И) или неисправен (Н). Опишите пространство элементарных событий, отвечающее этому опыту. Из скольких элементарных событий оно состоит? Сколько элементарных событий соответствует случаю, когда среди проверявшейся тройки приборов оказался хотя ба один неисправный прибор?

2.9. На стол брошены две монеты. В связи с этим опытом рассматриваются следующие события:  – на обеих монетах выпали гербы,  – хотя бы на одной монете выпала цифра,  – хотя бы на одной монете выпал герб,  – на обеих монетах выпали цифры. Какие из перечисленных ниже пар составлены из несовместных событий?

2.10. Из колоды в 36 карт извлекается одна карта. В связи с этим опытом рассматриваются события:  – извлеченная карта бубновой масти;  – красной масти;  – черной масти;  – червовой масти. Какие из перечисленных ниже групп образуют полную группу попарно несовместных событий?

Классическое определение вероятности, непосредственное вычисление.

2.11. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что количество очков на первой кости не больше, чем на второй, а их сумма не равна 10.

2.12. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет разное число очков.

2.13. В урне 5 белых и 3 красных шара. Из нее поочередно, возвращая вынутый шар назад, случайным образом извлекают два шара. Найти вероятность того, что шары будут разного цвета.

2.14. Из десяти деталей, среди которых три бракованных, случайным образом, без возвращения извлекают две. Найти вероятность того, что среди них одна и только одна бракованная.

2.15. На шахматной доске случайным образом поставлены две фигуры. Чему равна вероятность того, что они стоят на полях одинакового цвета?

2.16. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 3 красных и 7 зеленых, а во второй 6 красных и 4 зеленых. Из этих коробок вынимают наудачу по одному карандашу. Найти вероятность того, что карандаши окажутся разного цвета.

2.17. Какова вероятность поражения мишени с третьей попытки, если вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.7?

2.18. Студент должен сдать в сессию три экзамена: по философии,  по алгебре и по математическому анализу. Вероятности сдать каждую из этих дисциплин равны соответственно: 0.9; 0.7; 0.6. Какова вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов?

2.19. Три стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,7. Какова вероятность того, что хотя бы два стрелка попадут в цель?

2.20. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных неразличимых на ощупь шаров, извлекаются последовательно, без возвращения три шара. Какова вероятность того, что не более двух из них будут черными?

Геометрическая вероятность.

2.21. Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк,  шириной в 3 м, идет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он подорвется?

2.22. На окружности радиуса  зафиксирована точка . Какова вероятность того, что случайно  выбранная точка на окружности отстоит от точки А меньше чем на ?

2.23. В окружность вписан квадрат.   В круг наудачу бросается  точка. Какова вероятность того, что точка эта попадет в квадрат?

2.24. Двое  договорились   встретиться   на   следующих условиях: в указанное место каждый из них приходит в любой момент времени между  и 14.00; придя,  ожидает  не более получаса и уходит не позднее 14.00. Какова   вероятность  того,   что встреча состоится?

2.25. В окружность   наудачу   вписывается треугольник. Какова вероятность того, что он остроугольный?

2.26. В шар вписан куб. Точка наудачу бросается в шар. Какова вероятность того, что точка попадет в куб?

2.27. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость  наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

2.28. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 см и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

2.29. На плоскость   с   нанесенной  сеткой квадратов со стороною  наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

2.30. На плоскость,  графленную параллельными прямыми, отстоящими друг от  друга на расстоянии  см, наудачу брошен круг радиуса  см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

2.31. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

2.32. Два  стрелка   стреляют   по  мишени.   Вероятность попадания   в   мишень  при   одном  выстреле  для   первого стрелка   равна  0,7,   а  для   второго – 0,8.   Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

2.33. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна .  Найти   вероятность  того,   что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

2.34. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится первом,   втором,   третьем   справочнике,   соответственно 0,6; 0,7; 0,8.  Найти вероятности того, что формула содержится:   а)   только   в   одном   справочнике; б) только в двух справочниках;   в) во всех трех справочниках.

2.35. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной   бомбы.   Найти   вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросили 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно  равны .

2.36. Вероятность попадания в мишень, каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

Формула полной вероятности.

2.37. Из урны, содержащей один белый и три черных шара, переложен один шар в урну с тремя белыми и одним черным шаром, после чего из второй урны вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался белым?

2.38. Первая бригада изготовила 60% деталей, вторая – 40%. Первая бригада допускает 6% брака, вторая – 2%. Какова вероятность того, что деталь,  случайным образом взятая из общей партии, оказалась бракованной?

2.39. Студент пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед ним уже был взят один билет, какой именно он не знает. Какова вероятность того, что взятый им случайным образом билет он знает?

2.40. На склад поступило три партии транзисторов. В первой партии 60 штук, во второй – 90, в третьей – 50. Вероятности того, что транзистор  проработает заданное время, равны, соответственно, для этих партий 0,85, 0,95 и 0,75. Какова вероятность того, что наудачу выбранный транзистор из двухсот данных проработает заданное время?

2.41. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 5% их общего числа, а число средних и мелких – соответственно, 15% и 80% от общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,85, средний – с вероятностью 0,25 и мелкий – с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

2.42. Если мама идет в магазин одна, то вероятность того, что она купит Ване игрушку, равна 0,3. Если же с ней идет Ваня, то эта вероятность равна 0,8. Вероятность, что мама возьмет его сегодня с собой, равна 0,4. Какова вероятность того, что сегодня мама купит Ване игрушку?

Формула Байеса.

2.43. На некоторой фабрике 30% деталей производится на станке , 25% – на станке , а остальные – на станке . Со станка  в брак идет 1% деталей, со станка  – 1,2% деталей, а со станка  – 2%. Известно, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь была изготовлена на втором станке ?

2.44. Вероятность сдать экзамен по математическому анализу студенту, получившему автоматический зачет, равна, 0,9. Для студентов, нерадиво относившихся к занятиям, вероятность получить зачет равна 0,5, а для тех, кому такой зачет получить удается, вероятность сдать экзамен равна 0,7. В группе 30% нерадивых студентов. Известно, что случайно встреченный студент группы сдал экзамен по математическому анализу. Какова вероятность того, что этот студент получил автоматический зачет по математическому анализу?

2.45. В школе три десятых класса. В 10"а" 20 учеников, среди которых 3 отличника. В 10"б" – 30 учеников, среди которых 4 отличника. В 10"в" – 24 ученика, среди которых всего 2 отличника. Известно, что случайно встреченный  десятиклассник оказался отличником. Какова вероятность того, что это ученик из 10"б"?

2.46. Имеется 50 деформированных монет. Для 25 из них вероятность выпадения герба равна 0,3, для 15 – равна 0,4, для остальных – равна 0,7. Случайным образом выбранная монета при подбрасывании упала вверх гербом. Какова вероятность того, что эта монета принадлежит к третьей группе монет, для которых вероятность выпадения герба равна 0,7?

2.47. На студенческой научной конференции с докладами выступили 5 студентов третьего курса, 8 студентов четвертого курса и 7 студентов пятого курса. Вероятности того, что доклады студентов третьего, четвертого и пятого  курсов будут рекомендованы к печати, равны, соответственно, 0,6, 0,75 и 0,85. Известно, что доклад студента рекомендован к изданию. Какова вероятность того, что это студент пятого курса?

2.48. Сборщик получил четыре коробки деталей, изготовленных первым заводом, и три таких же коробки деталей, изготовленных вторым заводом. Вероятность того, что деталь первого завода стандартна, равна 0,9, а второго завода – 0,75. Известно, что деталь, извлеченная сборщиком, оказалась стандартной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом заводе?

Формула Бернулли.

2.49. Вратарь парирует в среднем 0,3 всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он из четырех мячей возьмет более двух.

2.50. Экзамен состоит из 6 вопросов. На каждый вопрос приведено четыре ответа, из которых только один правильный. Какова вероятность того, что методом простого угадывания студенту удастся правильно ответить, по крайней мере, на три вопроса?

2.51. Батарея сделала 6 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при каждом выстреле равна 1/3. Найти вероятность разрушения объекта обстрела, если для этого требуется не меньше двух попаданий.

2.52. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. Какова вероятность того, что в мишень попадет ровно три пули?

2.53. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет от трех до пяти раз включительно?

2.54. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,5. Какова вероятность того, что из шести ламп не менее четырех останутся исправными после 1000 часов работы?

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

2.55. Через ОТК проходит 70% всех выпускаемых заводом изделий. Какова вероятность того, что среди 200 случайным образом отобранных изделий окажется от 60 до 70 непроверенных ОТК?

2.56. Вероятность того, что деталь не стандартна, равна 0,2. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклонится от вероятности не более, чем на 0,05?

2.57. Завод отправил потребителю 10000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0003. Найти вероятность того, что потребителю прибудут 4 негодных изделия.

2.58. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,0035. Проверяется книга, содержащая 600 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажется от двух до четырех страниц.

2.59. Какова вероятность того, что при 600 бросаниях правильной игральной кости единица выпадет ровно 100 раз? То же от 90 до 110 раз?

2.60. Работница обслуживает 500 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из них в течение смены равна 0,006. Найти наиболее вероятное число обрывов и его вероятность.

§2. Случайные величины

Дискретная случайная величина. Ряд распределений. Функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

2.61. Известно, что при работе на данном станке около 12% продукции идет в брак. Для контроля были отобраны 4 детали, изготовленные на этом станке. Для случайного числа бракованных деталей, оказавшихся в выборке, составьте таблицу распределения, интегральную функцию  и ее график, а также найдите значение .

2.62. В партии из 12 телевизоров 3 с дефектами. Для контроля наугад выбираются 4 телевизора. Составьте таблицу распределения для случайного числа неисправных телевизоров, оказавшихся в выборке, интегральную функцию  и ее график, а также найдите значение .

2.63. Для сигнализации об аварии установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что на аварию среагирует первое устройство, равна  0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного числа устройств, среагировавших на аварию.

2.64. Из 20 учащихся класса шестеро пришли на урок неподготовленными. Учитель проверил выполнение домашнего задания у троих. Для случайного числа невыполненных заданий найти математическое ожидание и дисперсию.

2.65. Проверяемая книга насчитывает 800 страниц. Вероятность того, что на странице могут оказаться опечатки, равна 0,0025. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного числа страниц с опечатками.

2.66. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба.

Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики.

2.67. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной плотностью вероятности ,

2.68. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной плотностью вероятности ,

2.69. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной плотностью вероятности ,

2.70. Дана  – плотность вероятности случайной величины . Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения . Построить графики  и . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал . 

 

2.71. Дана  – плотность вероятности случайной величины . Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения . Построить графики  и . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал ,   

.

2.72. Дана  – плотность вероятности случайной величины . Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения . Построить графики  и . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал ,  

 

Законы распределения непрерывной случайной величины (равномерное распределение, биномиальный закон, закон Пуассона, нормальный закон, показательное распределение).

2.73. Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке , выпишите плотность вероятности и функцию распределения (и сделайте рисунок). Найдите математическое ожидание и дисперсию.

2.74. Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке , выпишите плотность вероятности и функцию распределения (и сделайте рисунок). Найдите математическое ожидание и дисперсию.

2.75. Найдите математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, если .

2.76. Найдите математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, если .

2.77. Для случайной величины , распределенной по закону Пуассона, вычислите , математическое ожидание и дисперсию, если .

2.78. Произведено 1000 независимых испытаний по схеме Бернулли. В каждом испытании может произойти событие  с вероятностью . Подсчитайте приближенно по формуле Пуассона вероятность того, что при этом событие  произошло 10 раз.

2.79. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с . Найдите вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

2.80. Автомат изготовляет подшипники, которые считаются годными, если отклонение  от проектного размера по модулю не превосходит 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если  распределена нормально с ?

2.81. Случайная величина  распределена нормально. Найдите , если  и .

2.82. Случайная величина  распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения, если плотность вероятностей этой случайной величины есть

2.83. Случайная величина  распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения, если плотность вероятностей этой случайной величины есть

Функция случайной величины.

2.84. Дискретная случайная величина  задана законом распределения

	3	6	10
	0,2	0,1	0,7

Найти закон распределения случайной величины .

2.85. Дискретная случайная величина  задана законом распределения

	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

2.86. Задана дифференциальная функция  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти дифференциальную функцию  случайной величины .

2.87. Случайная величина  распределена по закону Коши . Найти дифференциальную функцию случайной величины .

2.88. Задана дифференциальная функция  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти дифференциальную функцию  случайной величины .

2.89. Задана дифференциальная функция  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти дифференциальную функцию  случайной величины .

Двумерная случайная величина. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины. Дифференциальные и условные дифференциальные функции составляющих непрерывной двумерной  случайной величины

2.90. Задана дискретная двумерная случайная величина:

	0,15	0,30	0,35
	0,05	0,12	0,03

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей , при условии, что составляющая  приняла значение ; в) условный закон распределения , при условии, что .

2.91. Задана дискретная двумерная случайная величина:

	0,25	0,10
	0,15	0,05
	0,32	0,13

Найти: а) условный закон распределения составляющей , при условии, что составляющая ; б) условный закон распределения , при условии, что .

2.92. Дифференциальная функция непрерывной двумерной  случайной величины . Найти: а) постоянный множитель ; б) дифференциальные функции составляющих; в) условные дифференциальные функции составляющих.

2.93. Непрерывная двумерная случайная величина  распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами, длина которых  и , параллельными координатным осям. Найти: а) дифференциальную функцию системы; б) дифференциальные функции составляющих.

Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин.

2.94. Задана дифференциальная функция непрерывной двумерной  случайной величины :  в квадрате ,  ; вне квадрата . Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

2.95. Задана дифференциальная функция непрерывной двумерной  случайной величины :  в квадрате ,  ; вне квадрата . Найти а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.

§3. Математическая статистика

Основные задачи математической статистики. Вариационный ряд, гистограмма.

2.96. Составить интервальный вариационный ряд, если в результате исследования получены следующие результаты:

Номера наблюдений	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Результаты	90	66	106	84	105	83	104	82	97

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
97	59	95	78	70	51	95	100	69	48	80

21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
75	75	51	109	89	58	59	72	74	76	81

2.97. Произведено 500 измерений ошибки наводки при стрельбе с самолета. Результаты измерений сведены в статистический ряд в таблице:

Интервалы
Частоты	0,012	0,050	0,144		0,240	0,176	0,092	0,020

 

Найти  и построить гистограмму.

2.98. С помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в виде статистического ряда:

Середины интервалов					5	15	25	35
Число наблюдений в данном интервале	21	72	66	38	51		64	32

Найти  и построить полигон частот.

Точечные и интервальные оценки в математической статистике.

2.99. В результате пяти  измерений некоторой величины одним прибором  получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106.

Найти:  1) выборочное среднее  результатов измерений ;  2) выборочную   и исправленную  дисперсии ошибок прибора.

2.100. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема :

    

	23,5	26,1	28,2	30,4
	2	3	4	1

2.101. Найти доверительный интервал  для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если среднеквадратическое отклонение , выборочное среднее  и  количество испытаний .

2.102. Известно, что выборочное среднее  ,  исправленное среднеквадратическое отклонение  . Оценить истинное значение   с помощью доверительного интервала с надежностью 0,99, если проведено 9 испытаний.

2.103. При помощи доверительного интервала  оценить математическое ожидание   с надежностью  если дана выборка объема :

				0,2	0,6	0,8	1,0	0,0	1,5	1,2
	1	2	1	1	1	1	1	1	1	2

2.104. Найти доверительный интервал для среднеквадратического отклонения  с надежностью 0,95, если объем выборки , а исправленное среднеквадратическое отклонение .

2.105. Произведено 10 измерений одним прибором, причем исправленное среднеквадратическое отклонение случайных ошибок измерений  .  Найти точность прибора с надежностью 0,95. Точность прибора характеризуется среднеквадратическим отклонением случайных ошибок.

Статистическая проверка гипотез.

2.106. Используя критерий Пирсона,  при уровне значимости  0,05, проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении случайной величины x с эмпирическим распределением при объеме выборки .

варианта	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3
частота	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5

2.107. Используя критерий Пирсона,  при уровне значимости  0,05, проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении случайной величины  с эмпирическим распределением при объеме выборки  .

интервал	частота	интервал	частота	интервал	частота
	7		18		14
	8		23		10
	15		19		6

2.108. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении случайной величины   с эмпирическим распределением при объеме выборки .

интервал	частота	интервал	частота	интервал	частота
	6		15		16
	8		40		8
					7

Индивидуальные задания

Задание 1. Пространство элементарных событий, типы событий, алгебра событий.

Для данного опыта описать пространство элементарных событий , подмножество, соответствующее случайному событию . Привести пример события: а) , совместного с  б) , несовместного с , в) достоверного, г) невозможного. Описать события: , . Найти , .

1.1. Монета подбрасывается три раза, {герб выпал не менее двух раз}.

1.2. Из полного набора костей домино вынимается одна кость, {вынули дубль}.

1.3. Бросаются две игральные кости, {сумма выпавших очков делится на 4}.

1.4. Баскетболист три раза бросает мяч по кольцу, {первое попадание было на 3-ем броске}.

1.5. Стрелок три раза стреляет по мишени, {не менее двух попаданий}.

1.6. Из множества всех двузначных чисел выбирается одно число, {сумма цифр равна 7}.

1.7. Из всех карт красной масти наудачу выбирают две, {обе карты старше десятки}.

1.8. Монета подбрасывается три раза, {герб выпала только один раз}.

1.9. Игральная кость бросается дважды, {оба раза выпало четное число очков}

1.10. Из множества двузначных чисел от 15 до 30 выбирается одно число, {число делится на 6}.

1.11. Монета подбрасывается три раза, {герб выпал не более двух раз}.

1.12. Из полного набора костей домино вынимается одна кость, {сумма очков меньше 8}.

1.13. Бросаются две игральные кости, {сумма выпавших очков больше 8}.

1.14. Баскетболист три раза бросает мяч по кольцу, {не более одного промаха}.

1.15. Стрелок три раза стреляет по мишени, {первое попадание было на 2-ом броске}.

1.16. Из множества всех двузначных чисел выбирается одно число, {сумма цифр меньше 5}.

1.17. Из всех карт черной масти наудачу выбирают одну, {карта старше девятки}.

1.18. Монета подбрасывается три раза, {на втором броске выпала решка}.

1.19. Игральная кость бросается дважды, {сумма выпавших очков больше 10}

1.20. Из множества двузначных чисел от 25 до 40 выбирается одно число, {число делится на 4}.

1.21. Монета подбрасывается три раза, {герб выпал два раза}.

1.22. Из полного набора костей домино вынимается одна кость, {сумма очков больше 6}.

1.23. Игральная кость бросается дважды, {сумма выпавших очков меньше 8}.

1.24. Из множества двузначных чисел от 15 до 45 выбирается одно число, {число делится на 8}.

1.25. Из всех карт черной масти наудачу выбирают две, {обе карты младше 8}.

1.26. Игральная кость бросается дважды, {сумма выпавших очков делится на 3}.

1.27. Из колоды из 36 карт вынимают 5 карт, {среди пяти карт хотя бы одна дама}.

1.28. Игральная кость бросается дважды, {сумма выпавших очков не делится на 4}.

1.29. Бросаются две игральные кости, {на костях выпадет одно и тоже число очков}.

1.30. Из колоды из 36 карт вынимают 5 карт, {среди двух карт 2 десятка и 1 дама}.

Задание 2. Классическое определение вероятности, непосредственное вычисление.

2.1. В ящике имеется  деталей, среди которых  окрашены. Сборщик наудачу извлекает  детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2.2. В ящике имеется  белых и  красных шаров. Вынули  шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

2.3. В ящике находится  зеленых,  красных и  синих одинаковых  шаров. Вынули  шаров. Найти вероятность того, что вынули  зеленых,  красных и  синих шара.

2.4. В ящике находится  деталей, из них  бракованных. Наудачу извлечены  детали. Найти вероятность того, что среди них нет бракованных.

2.5. Устройство состоит из  элементов, из которых две изношены. При включении его включаются случайным образом  элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2.6. Студент знает ровно  вопросов из . Найти вероятность того, что из  вопросов билета он знает ровно .

2.7. В ящике  деталей первого сорта и  детали второго. Наудачу берут  детали. Найти вероятность того, что обе – первого сорта.

2.8. В коробке имеется  одинаковых изделий, причем  из них окрашены. Наудачу извлечены  изделия. Найти вероятность того, что среди 2-х извлеченных изделий окажется: 1)  только одно окрашенное изделие; 2) хотя бы одно окрашенное изделие; 3) два окрашенных изделия.

2.9. Рабочий обслуживает  однотипных станка. Вероятность того, что станок в течение часа потребует наладки, равна . Предполагая, что станки работают независимо, найти вероятность того, что в течение часа потребуют наладки только  станка.

2.10. На складе находятся  кинескопов, причем  из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди  наудачу взятых кинескопов окажутся  кинескопа Львовского завода.

2.11. В ящике лежат  белых и  черных одинаковых на ощупь шаров. Вынули  шаров. Какова вероятность того, что черных шаров вынуто не более трех?

2.12. В ящике лежат  зеленых,  красных,  синих шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают  шаров. Какова вероятность того, что вынуты  зеленых,  красных и  синих шара?

2.13. При бросании  игральных костей вычислить вероятность того, что сумма выпавших очков больше их произведения.

2.14. В ящике, в котором находится  деталь без дефекта и  с дефектами, берут наудачу  детали. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, одна деталь без дефекта?

2.15. В партии из  деталей  нестандартные. Выбирается  деталей. Найти вероятность того, что среди них будет ровно  бракованных.

2.16. В урне  белых и  черных шара. Из урны вынимают случайным образом  шара. Найти вероятность того, что среди них нет черных.

2.17. В ящике находится 5 белых и 3 красных шара. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них два белых и один красный шар.

2.18. В коробке 30 конфет из них 10 с кофейной начинкой. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что среди них две конфеты с кофейной начинкой.

2.19. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Найти вероятность того, что ровно на 3-х костях выпадет 6 очков.

2.20. Найти вероятность того, что в записи нечетного четырехзначного числа нет цифр 2 и 5.

2.21. Номер автомашины состоит из 4-х цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

2.22. Найти вероятность того, что в записи четного четырехзначного числа нет цифр 1 и 9.

2.23. Цифры 1, 7, 5, 2 расположили в произвольном порядке. Найти вероятность того, что  полученное число делится на 6.

2.24. Из цифр 1, 2, 3, …, 9 выбирают без возвращения и записывают в порядке выбора 4 цифры, образующие четырехзначное число. Найти вероятность того, что в записи числа нет цифры 2.

2.25. Из цифр 1, 2, 3, …, 9 выбирают без возвращения и записывают в порядке выбора 4 цифры, образующие четырехзначное число. Найти вероятность того, что сумма  первой и последней цифры равна 10.

2.26. На полке 20 дисков, из них на 5-ти классическая музыка, на 8-ми рок-музыка, на 7-ми джаз. Наугад выбирают 5 дисков. Найти вероятность того, что среди них 3 диска с рок-музыкой и 2 с классической.  

2.27. Цифры 4, 5, 7, 8, располагают в произвольном порядке. Найти вероятность того, что полученное число делится на 15.

2.28. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 3, 6, 9, будут следовать друг за другом в произвольном порядке.

2.29. Цифры 1, 2, …, 8 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 2, 3, 6, будут следовать друг за другом в произвольном порядке.  

2.30. На карточках написано 10 различных вариантов контрольной работы. Они случайным образом распределяются среди восьми студентов, сидящих в одном ряду. Найти вероятность того, что варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам.

Задание 3. Геометрическая вероятность.

3.1. На отрезке  длины  числовой оси  наудачу нанесена точка . Найти вероятность того, что отрезки  и  имеют длину, большую .

3.2. Внутри эллипса  расположен круг . Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.

3.3. Два студента  и  условились встретиться в определенном месте между  ч. и  ч.  мин. Студент пришедший первым ждет второго в течение  мин., после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них может произойти наудачу, и моменты прихода независимы?

3.4. На окружности радиуса  зафиксирована точка . Какова вероятность того, что случайно выбранная точка на окружности отстоит от точки  меньше чем на ?

3.5. У квадратного трехчлена  коэффициенты  и  выбраны наудачу из отрезка . Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?

3.6. В окружность вписывается треугольник. Какова вероятность того, что он остроугольный?

3.7. На плоскости проведено семейство параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно . На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины . Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

3.8. Наудачу взяты два положительных числа  и , каждое из которых не превышает . Найти вероятность того, что  будет не больше , а  не больше .

3.9. Точка взята наудачу внутри круга радиуса . Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньше  ,   .

3.10. Пароход приходит к пристани между 12.00 и 13.00. Автобус отходит от пристани между 12.30 и 12.45. Пассажиру требуется 10 минут, чтобы перейти от парохода к остановке автобуса. Найти вероятность того, что он успеет на автобус.

3.11. Найти вероятность того, что точка, лежащая в квадрате с вершинами , , , , окажется и внутри круга с центром в начале координат и радиусом .

3.12. Студент и студентка условились встретиться в определенном месте между  и  часами дня. Девушка, пришедшая первой,  ждет юношу не более  минут, после чего уходит. Юноша, пришедший первым, ждет девушку не более  минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода.

3.13. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна . Определить вероятность того, что из  наудачу взятых деталей  окажутся стандартными.

3.14. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна , а расстояние между их осями равно ,  ?

3.15. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно  . Круг радиуса  и два кольца с внешними радиусами  и  заштрихованы. В круге радиуса  наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки в круг радиуса  и в заштрихованную область.

3.16. Даны две концентрические окружности радиусов  и . На большей окружности наудачу ставятся две точки  и . Какова вероятность того, что отрезок  не пересечет малую окружность?

3.17. Два человека договариваются о встрече. Первый приходит в любое время между 12.00 и 12.30 и ждет 20 минут. Второй приходит в любое время между 12.10 и 12.50. Найти вероятность того, что они встретятся.

3.18. Точка наудачу ставится внутри эллипса . Найти вероятность того, что она окажется вне эллипса .

3.19. Автобус подходит к остановке между 16.30 и 17.10. Человек приходит на остановку между 16.45 и 16.55 и ждет 10 минут. Найти вероятность того, что за это время он дождется автобуса.

3.20. Пароход приходит к пристани между 13.00 и 14.00. Автобус отходит от пристани между 13.25 и 13.40. Пассажиру требуется 10 минут, чтобы перейти от парохода к остановке автобуса. Найти вероятность того, что он успеет на автобус.

3.21. На отрезке  длины  выбираются наудачу две точки  и . Найти вероятность того, что .

3.22. Два числа  и  случайным образом выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что , .  

3.23. Два числа  и  случайным образом выбираются из отрезка . Найти вероятность того, что .

3.24. Два студента договорились о встрече. Первый приходит в любое время между 10.00 и 10.30 и ждет 20 минут. Второй приходит в любое время между 10.20 и 10.50. Найти вероятность того, что они встретятся.

3.25. В квадрат с вершинами в точках , , ,  наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до любой вершины квадрата больше 2.

3.26. В треугольник с вершинами , ,  случайным образом ставится точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до вершины  не превосходит 1.

3.27. Два числа  и  случайным образом выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что , .

3.28. Из отрезка  случайным образом выбираются два числа  и . Найти вероятность события .

3.29. В прямоугольник со сторонами 2 и 4 случайным образом бросается точка. Найти вероятность  того, что расстояние ее от любой вершины прямоугольника больше 1.  

3.30. Два числа  и  случайным образом выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что , .

Задание 4. Теоремы сложения и умножения. Вероятность сложных событий.

4.1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна  для первого сигнализатора и  для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

4.2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна . Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

4.3. Среди  лотерейных билетов есть  выигрышных. Найти вероятность того, что  наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

4.4. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны ; ; ; . Найти вероятность того, что деталь содержится не менее чем в двух ящиках. В ящике  деталей, из которых  окрашены. Сборщик наудачу взял  детали. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы одна из взятых деталей окрашена; 2) только одна из взятых деталей окрашена; 3) три из взятых деталей окрашены.

4.5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна . Произведены   независимых измерения. Найти вероятность того, что в одном их них допущенная ошибка превысит заданную точность.

4.6. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна , вторым – , третьим – . Найти вероятность того, что только два стрелка попали в цель.

4.7. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятности попадания в цель для первого стрелка равна , для второго – , для третьего – . Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

4.8. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 учеников – «хорошо», 9 учеников – «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

4.9. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны  и . Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

4.10. В коробке  одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены  изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется: 1) хотя бы одно окрашенное изделие;     2) только одно окрашенное изделие; 3) два  окрашенных изделия.

4.11. В ящике  деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик  наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что среди них две или три окрашенных детали.

4.12. Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика включает  объектов. Вероятность безотказной работы каждого объекта в течение времени  равна . Объекты выходят из строя независимо один от другого. Вычислить вероятность того, что за время : 1) откажет хотя бы один объект; 2) откажут 2 объекта; 3) откажут не менее 3 объектов.

4.13. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно  и , производят по одному выстрелу. Определить: 1) вероятность хотя бы одного попадания в мишень; 2) только одного попадания в мишень.

4.14. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно  и , производят по одному выстрелу. Определить вероятность того, что в мишень попадут: 1) хотя бы один стрелок;       2) только один стрелок; 3) два стрелка.

4.15. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит при считывании показаний прибора, равна . Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна  и . Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

4.16. Из колоды в  карты наугад выбирают . Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король.

4.17. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна , второе – , третье – . Найти вероятность того, что при аварии сработает 1)  только два устройства; 2) не более двух устройств; 3) все три устройства.

4.18. Студент знает  из  вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: 1) только два вопроса; 2) только один вопрос; 3) хотя бы один вопрос.

4.19. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет: 1) только одно попадание; 2) два попадания.

4.20. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями , ,  и . Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет: 1) хотя бы одно из этих событий; 2) только два из этих событий.

4.21. По объекту производится стрельба ракетами с четырех позиций: с каждой позиции выпускается по одной ракете. Вероятности попадания при стрельбе с различных позиций равны соответственно , , , . Найти вероятность того, что: 1) в объект попадут одна, две, три, четыре ракеты; 2) в объект попадет не менее трех ракет.

4.22. Три охотника стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого охотника равна , для второго – , для третьего – . Определить вероятность того, что в цель попадет 1) хотя бы один охотник; 2) только один охотник.

4.23. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время ) первого, второго и третьего элементов равны соответственно ,  и . Найти вероятности того, что за время  будут безотказно работать: 1) только один элемент; 2) только два элемента; 3) все три элемента.

4.24. Два самолета сбрасывают бомбы на цель поочередно до первого попадания. Вероятность попасть в цель для первого самолета , для второго – . Начинает бомбометание первый самолет. Найти вероятность того, что будет сброшено  бомбы.

4.25. Рабочий обслуживает  станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна ; для второго такая вероятность равна ; для третьего –  и для четвертого – . Какова вероятность того, что в течение часа 1) хотя бы один станок не потребует внимания рабочего; 2) ни один станок не потребует внимания рабочего; 3) два станка не потребуют внимания рабочего.

4.26. Рабочий обслуживает  однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени  равна . Найти вероятность того, что: 1) за время   станка потребуют к себе внимания рабочего; 2) число требований к рабочему со стороны станков за время  будет между  и  (включая границы).

4.27. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено  учебников, причем  из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу  учебника. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете; 2) все взятые учебники окажутся в переплете.

4.28. Охотник стреляет 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,3, а после каждого выстрела уменьшается на  0,1. Найти вероятность того, что он попадет не менее двух раз.

4.29. Университет для летней практики студентов предоставил 15 мест в Москву, 10 мест в Санкт-Петербург и 5 мест в Якутск. Найти вероятность того, что три приятеля попадут на практику в один город.

4.30. В урне 2 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто первым получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

Задание 5.  Формула полной вероятности.

5.1. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны ; ; ; .

5.1. В каждой из двух урн находится  белых и  черных шаров. Из первой урны переложили во вторую наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

5.3. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна , второго – , третьего – . Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

5.4. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов равна ; второй – ; третий – . По условиям приема, события, состоящие в том, что вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

5.5. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна  и  соответственно. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

5.6. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна . Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

5.7. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшены  бомбы с вероятностями попадания соответственно , ,  , .

5.8. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элементов , , ,  которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями ; ; . Определить вероятность разрыва электрической цепи.

5.9. В группе спортсменов  лыжников,  велосипедистов,  бегуна. Вероятность сдачи норм ГТО равна: для велосипедиста ; для лыжника  и для бегуна – . Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, сдаст нормы ГТО.

5.10. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна , для второго –  и для третьего – . Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной?

5.11. Заготовки на сборку поступают из двух бункеров:  из первого и  из второго. При этом заготовки первого бункера имеют плюсовые допуски в  случаев, а второго – в . Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет плюсовой допуск?

5.12. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии  деталей бракованные, а в двух других  партиях детали все доброкачественные?

5.13. В первом ящике лежат  красных и  синих одинаковых на ощупь шаров. Во втором ящике лежат  красных и  синих одинаковых на ощупь шаров. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то наудачу вынимают шар из первого ящика, если число выпавших очков не кратно трем, то вынимают наудачу шар из второго ящика. Какова вероятность того, что вынутый шар красный?

5.14. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,001, на втором – 0,005. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь – нестандартная.

5.15. В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне 3 белых и  1 черный шар, во второй – 6 белых и 4 черных, в третьей – 9 белых и    1 черный. Из наугад выбранной урны случайным образом вынимается шар. Найти вероятность того, что он белый.

5.16. Электрическая лампочка может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями ; ; . Вероятность того, что взятая лампочка может гореть положенное число часов для этих партий соответственно равна: ; ; . Найти вероятность того, что наудачу  взятая лампочка будет гореть положенное число часов.

5.17. Бомбометание с данного типа самолета выполняется на 45% с высоты , 30% - с высоты  и 25% - с высоты . Вероятности поражения цели с этих высот при сбрасывании одной бомбы соответственно равны , , . На цель при заданной высоте сбрасываются 3 бомбы. Высота бомбометания заранее неизвестна. Для поражения цели необходимо не менее одного попадания. Определить вероятность поражения цели.

5.18. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями  и . Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампа проработает заданное число часов.

5.19. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

5.20. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найдите вероятность того, что одна наугад взятая болванка не имеет дефектов.

5.21. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03 и для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Определите вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

5.22. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

5.23. Из 10 студентов, пришедших ставать экзамен, двое знают 20 билетов из 30, один успел повторить только 15, остальные студенты знают все 30 билетов. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

5.24. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную – с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

5.25. Производится посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. Вероятность благополучной посадки в этом случае равна . Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет по приборам, вероятность благополучной посадки – . Найти вероятность благополучной посадки в любом случае, если известно, что в 10% случаев аэродром затянут низкой облачностью.

5.26. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 35%, с третьего – 25% деталей. Среди деталей первого автомата 0,2% бракованных, со второго – 0,3%, третьего – 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – не бракованная.

5.27. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 детали, а со второго – 3000.

5.28. Имеются два ящика с деталями. В одном 10 стандартных и 1 бракованная деталь, во втором – 9 стандартных и 2 бракованных детали. Из первого ящика во второй переложили одну деталь, а затем достали 5 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей нет бракованных.

5.29. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

5.30. Три самолета – один ведущий и два ведомых посылаются на бомбометание по объекту. Радионавигационное оборудование, без которого выход к цели невозможен, имеется только у ведущего самолета. После выхода на цель самолеты выполняют бомбометание независимо, вероятность разрушить объект для каждого из них равна 0,3. Перед выходом на цель самолеты проходят зону зенитной обороны противника, в которой каждый из них может быть сбит с вероятностью . Найти вероятность того, что объект будет разрушен.

Задание 6.  Формула Байеса.

6.1. В ящике лежат несколько тысяч предохранителей. Половина из них изготовлена заводом №1, остальные – заводом №2. Наудачу вынули 5 предохранителей. Чему равна вероятность того, что заводом №1 из них изготовлены два?

6.2. На заводе №1 , изготовлены 40% шестерен, лежащих в ящике, остальные – на заводе №2. Из ящика взяли наудачу 7 шестерен. Какова вероятность того, что среди них окажутся изготовленными заводом №1 более двух?

6.3. В трех ящиках находятся: в первом – 2 белых и 3 черных шара, во втором – 4 белых и 3 черных, в третьем – 6 белых и 2 черных шара. Вероятности извлечения из каждого ящика шара равны соответственно 0,1, 0,7, 0,2. Извлеченный шар из наудачу взятого ящика оказался черным. Найти вероятность того, что этот шар извлечен из второго ящика.

6.4. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка №1 составляет 0,03, а  для станка №2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем станок №1 обрабатывает вдвое больше деталей, чем станок №2. Взятая наудачу деталь оказалась небракованной. Найти вероятность того, что данная деталь обработана  станком №1.

6.5. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично,  4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10,  плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найдите вероятность того, что этот студент подготовлен плохо.

6.6. В спортивной команде района отношение числа бегунов, велосипедистов и прыгунов равно соответственно . Вероятность выполнить норму для бегуна 0,8, для велосипедиста 0,85, для прыгуна 0,7. Выбранный наудачу спортсмен выполнил норму. Найти вероятность того, что это был бегун.

6.7. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук. Причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

6.8. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Найти вероятность того, что медведь был убит первым охотником, если вероятности попадания для них соответственно равны , , .

6.9. Завод выпускает изделия, причем вероятность дефекта в каждом изделии 0,03. После изготовления каждое изделие осматривается контролером. Первый контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что изделие, в котором был дефект, забраковано вторым, а не первым контролером.

6.10. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что из второй урны будет вынут белый шар.

6.11. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку в первом месте, рыба клюет с вероятностью , на втором месте – с вероятностью ,  на третьем - с вероятностью . Известно, что рыбак закинул удочку в каждом месте, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что это произошло на первом месте.

6.12. Самолет может выполнить задания на больших, средних и малых высотах. Причем предполагается, что на больших высотах совершаются 25% всех полетов, на средних –  и на малых – . Вероятность выхода самолета на заданный объект на больших, средних и малых высотах соответственно равны , 0,9 и 0,65. Самолет вышел на заданный объект. Определить вероятность того, что полет происходил на малой высоте.

6.13. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью ; 7 – с вероятностью ; 4 – с вероятностью  и 2 – с вероятностью . Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

6.14. В каждой из трех одинаковых упаковок содержится по 10 деталей, причем в  – ой упаковке 8 стандартных деталей и 2 бракованных, во  – ой упаковке – 9 стандартных и 1 бракованная, в  – ей – одни стандартные. Выбирается наудачу 3 детали из одной упаковки. Определить вероятность того, что извлечение производилось из  – ой упаковки, если известно, что среди отобранных оказалось 2 стандартных и 1 бракованная.

6.15. Попадание случайной точки в любое место области  равновозможно, а область  состоит из четырех частей, составляющих соответственно , , ,  всей области. При испытании имело место событие , которое происходит только при попадании случайной точки в каждую из этих частей с вероятностями соответственно ; ;  и . В какую из частей области  вероятнее всего произошло попадание?

6.16. В собранной электрической цепи может быть поставлен предохранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью , или предохранитель второго типа, который  при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,9. Предохранитель первого типа может быть поставлен в цепь с вероятностью 0,6, а второго типа – с вероятностью 0,4. Предохранитель в цепи сработал. Что вероятнее: поставлен предохранитель первого типа или второго?

6.17. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар был вынут из первого ящика.

6.18. Имеются три партии деталей по 20 в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу взятой партии наудачу извлекается деталь, оказавшаяся стандартной. Найти вероятность того, что деталь была извлечена из третьей партии.

6.19. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находится по 2 черных и по 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?

6.20. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно , , . При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

6.21. В пяти ящиках лежат одинаковые на ощупь шары. В двух ящиках лежат по 6 белых и 4 черных шара (это ящики первого состава). В двух других ящиках лежат по 8 белых и 2 черных шара (это ящики второго состава). И в одном ящике лежат 8 черных и 2 белых шара (это ящик третьего состава). Мы наудачу подходим к ящику и вынимаем один шар. Он оказывается черным. Чему равна вероятность того, что шар вынимался из урны первого состава?

6.22. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй – 6 и из третьей – 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью , для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы – 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе, вероятнее всего, учится этот студент?

6.23. Вся продукция проверяется двумя контролерами. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, а второй – 0,02. Взятое наудачу изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. Какова вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером?

6.24. Изделие может поступать для обработки на первый станок с вероятностью 0,2,  на второй станок – с вероятностью 0,3 и на третий станок – с вероятностью 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0.02, на втором – 0,03, и на третьем – 0,05. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. Чему равна вероятность того, что изделие было обработано на третьем станке?

6.25. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны , , . Найти вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины.

6.26. На сборку поступают однотипные изделия из 4-х цехов. Вероятности брака в каждом из цехов соответственно равны 0,04, 0,03, 0,06, 0,02. Первый цех поставляет 30, второй - 20, третий - 50, четвертый - 25 изделий. Найти вероятность того, что изделие изготовлено в первом цехе, если известно, что оно оказалось бракованным.

6.27. В трех урнах находятся, соответственно, в 1-ой - 6 белых и 4 черных; во 2-ой - 3 белых и 5 черных; в 3-ей - 10 белых и 4 черных шара. Из одной урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, шар вынут из 1-ой урны, если он оказался белым.

6.28. Среди поступающих на сборку деталей с 1-го автомата 0,1% бракованных, со 2-го – 0,2%, с 3-го – 0,25, с 4-го – 0,5%. Производительности автоматов относятся как 4:3:2:1, соответственно. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на 4 автомате, если известно, что она оказалась стандартной.

6.29. Радиолампа может принадлежать одной из двух партий с вероятностями  и . Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий 0,7 и 0,8, соответственно. Найти вероятность того, что лампа принадлежит ко второй партии, если известно, что она  проработала заданное число часов.  

6.30. На фабрике 1-ый станок производит 25%, 2-ой – 35%, 3-ий – 40% всех деталей. В их продукции брак составляет – 5%, 4% и 2%, соответственно. Найти вероятность того, что выбранная деталь изготовлена на 1-ом станке, если она оказалась бракованной.

Задание 7. Формула Бернулли.

7.1. Вероятность появления события  в опыте равна 0,3. Опыт повторили 5 раз независимым образом. Какова вероятность того, что событие  при этом появится не менее двух раз?

7.2. Вероятность появления события  в опыте равна . Опыт повторили 8 раз независимым образом. Найти вероятность того, что событие  появится хотя бы один раз, но не более трех раз.

7.3. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга.

7.4. Для уничтожения танка требуется не менее 2-х попаданий. Найти вероятность того, что танк будет уничтожен 10-ю выстрелами, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4.

7.5. Производится 8 независимых выстрелов по резервуару с горючим, причем первый попавший снаряд вызывает течь горючего, а второй - воспламенение его. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что резервуар будет зажжен.

7.6. Всхожесть ржи составляет . Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

7.7. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?

7.8. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости число очков, кратное трем, выпадет больше двух раз, но меньше пяти раз?

7.9. Вероятность попадания в цель . Сбрасывается одиночно 8 бомб. Найти вероятность того, что будет: 1) не менее 7 попаданий; 2) не менее одного попадания.

7.10. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент в цехе: а) включено 4 мотора; б) выключены все моторы.

7.11. Вероятность появления события  в опыте равна . Опыт повторили 8 раз независимым образом. Чему равно наиболее вероятное число появлений события ?

7.12. Производится 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле – 0,3. Для получения зачета нужно не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.

7.13. Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян а) взойдет не менее 4, б) точно 3.

7.14. Устройство состоит из 10 элементов, и вероятность отказа каждого элемента в течение T часов равна 0,2. Найти вероятность того, что устройство выйдет из строя, если для этого нужно, чтобы отказало не менее 3-х элементов.

7.15. Что вероятнее – выиграть в шахматы у равносильного противника (ничейный результат исключается) три партии из четырех или пять из восьми?

7.16. Вероятность появления события  в опыте равна . Опыт повторили 8 раз независимым образом. Найти вероятность того, что событие   при этом появится хотя бы два раза.

7.17. Сбрасывается одиночно 8 бомб, вероятность попадания в цель равна 0.25. Найти вероятность того, что будет а) не менее 7 попаданий; б) не менее 1 попадания.

7.18. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0.8. Найти вероятность нормальной работы транспорта в ближайший день,  если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.

7.19. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.1. Найти вероятность того, что сообщение из 5 знаков а) не будет искажено; б) будет иметь не более 3-х искажений.

7.20. Для уничтожения танка требуется не менее 2-х попаданий. Найти вероятность того, что танк будет уничтожен 6-ю выстрелами, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,42.

7.21. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Найти вероятность того, что дважды  сумма выпавших очков будет равна 7.

7.22. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход энергии в течение 4 суток не превысит нормы.

7.23. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не менее двух мальчиков.

7.24. В елочной гирлянде 10 лампочек соединили последовательно. Вероятность перегореть для любой лампочки при повышении напряжения в сети равна 0,1. Найти вероятность разрыва цепи при повышении напряжения  в сети.

7.25. В урне находятся шары с номерами от 1 до 7. Опыт состоит в выборе одного шара. Найти вероятность того, что в 6 опытах не менее пяти раз появится четное число.

7.26. Для уничтожения цели требуется не менее 3-х попаданий. Найти вероятность того, что цель будет уничтожен 5-ю выстрелами, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,35.

7.27. Опыт состоит в бросании двух одинаковых монет. Найти вероятность того, что в 6 опытах не более двух раз на обеих монетах выпадет герб.

7.28. Опыт состоит в одновременном выборе 2-х шаров из урны, в которой 4 белых и 10 синих шаров. Найти вероятность того, что в 5 опытах 3 раза будет выбрано 2 синих шара.

7.29. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Найти вероятность того, что,  по крайней мере, один раз сумма выпавших очков будет равна 7.

7.30. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,15. Найти вероятность того, что сообщение из 4 знаков а) будет искажено; б) будет иметь не более одного искажения.

Задание 8. Прибор состоит из  блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна соответственно , где . Найти надежность прибора в целом при следующем соединении блоков.

8.1.

			1
		2		3

8.2.

		1				2				3
		1				2				3

8.3.

		1		2		3		4		5
		1		2		3		4		5

8.4.

		1				2		3
		4				5		6

8.5.

		1				2		3		4
		1				2		3		4

8.6.

				2
	1						4
				3

8.7.

		1					2
				3
		4					5

8.8.

	1			2		3		4			5
						6

8.9.

	1			2		3
					4

8.10.

	1			2		2
					3

8.11.

	1			2		3		4			5
						3

8.12.

		1		2		3
				4

8.13.

		1			2
					3
		4

8.14.

		1				2
									3
		1				2

8.15.

		1		2		3
				4

8.16.

		1
		2
		3

8.17.

	1			2		3		4			5
						4

8.18.

	1			2		3
					3

8.19.

		1		2		3		4
		1		2		3		4

8.20.

				2
	1						2
				3

8.21.

		1			3
					4
		2

8.22.

		1				2		3
		2				4		5

8.23.

				2				2
	1
				3				4

8.24.

		1					3
				4
		2					3

8.25.

				1				2
	1
				3				3

8.26.

	1			2		3		4			5
						2

8.27.

		1				2		3
		3				2		4

8.28.

		1				2		3		4
		2				3		4		5

8.29.

				2				3
	1
				5				4

8.30.

		1				1				1
		2				3				4

Задание 9. Вероятность появления события  в каждом из  испытаний постоянна и равна . Используя интегральную и локальную теоремы Лапласа, найти вероятность того, что событие  появится: а) не менее  и не более  раз; б) не более  раз; в) ровно   раз.

9.1.

9.2.  

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

9.20.

9.21.

9.22.

9.23.

9.24.

9.25.

9.26.

9.27.

9.28.

9.29.

9.30.

Задание 10. Дискретная случайная величина.

10.1. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины   – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.2. В урне имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули 2 шара. Случайная величина  – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины  . Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.3. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину  – число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой случайной величины. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.4. Из партии, состоящей из 100 изделий, среди которых имеется 10 бракованных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа  бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.5. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд распределения случайной величины  – числа светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.6. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайной величины  – случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.7. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина  – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.8. Из 25 радиоламп, среди которых 10 бракованных, случайным образом выбраны 5 радиоламп для проверки их параметров. Определить и построить: 1) ряд распределения числа  бракованных радиоламп;          2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание ; 4) дисперсию .

10.9. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения случайной величины  – числа выстрелов, производимых охотником. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание  и дисперсию .

10.10. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины  – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание  и дисперсию .

10.11. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины  – числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание  и дисперсию .

10.12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины  – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание  и дисперсию .

10.13. При установившемся технологическом процессе  всей продукции станок-автомат выпускает первым сортом, а  – вторым. Построить ряд распределения случайной величины  и функцию распределения  числа изделий второго сорта среди 5 штук отобранных случайным образом. Построить график . Определить математическое ожидание  и дисперсию .

10.14. По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск 5 ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске равна 0,8. Построить ряд распределения случайной величины  – числа попадания, функцию распределения . Построить график . Определить математическое ожидание  и дисперсию .

10.15. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в данном опыте равна 0,1. Составить ряд распределения случайной величины   – числа отказавших элементов в данном опыте. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.16. Составить ряд распределения случайной величины  – числа появления “герба” при двух подбрасываний монеты.  Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.17. В партии  10 деталей, среди которых 3 нестандартных, наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию  случайной величины  – числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.18. Составить ряд распределения случайной величины  – числа появления события  в 3-х независимых испытаниях, если вероятность появления события  в каждом испытании равна . Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.19. В городе 4 библиотеки. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна, равна  для каждой библиотеки. Составить ряд распределения случайной величины  – числа библиотек, которые посетит студент. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.20. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить ряд распределения  случайной величины  – числа стандартных деталей среди 3-х отобранных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.21. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле – . Составить ряд распределения случайной величины  – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.22. Из 10 радиоламп, среди которых 3 бракованных, случайным образом выбраны 4 радиолампы для проверки их параметров. Составить ряд распределения случайной величины  – числа бракованных радиоламп  в выборке. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание  и дисперсию .

10.23. Устройство состоит из 3 независимо работающих узлов. Вероятность отказа каждого узла в течение времени  равна . Составить ряд распределения случайной величины  – числа отказов за время . Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.24. Вероятность попадания мячом в корзину равна . Мяч брошен 3 раза. Построить ряд распределения случайной величины   – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.25. Вероятность попадания  в цель при одном выстреле равна . Построить ряд распределения случайной величины  – числа промахов до первого попадания при 4-х выстрелах. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.26. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна . Составить ряд распределения случайной величины   – числа искаженных знаков среди 4 переданных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.27. В партии  12 деталей, среди них 5 нестандартных. Наудачу отобраны  2 детали. Составить ряд распределения случайной величины  – числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.28. В городе 3 библиотеки. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна, равна  для каждой библиотеки. Составить ряд распределения случайной величины  – числа библиотек, которые посетит студент. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.29. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле – . Составить ряд распределения случайной величины  – числа промахов. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

10.30. Устройство состоит из 3 независимо работающих узлов. Вероятность отказа каждого узла в течение времени  равна . Составить ряд распределения случайной величины  – числа узлов, которые за время  не отказали. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить  математическое ожидание  и дисперсию .

Задание 11. Непрерывная случайная величина.

11.1. Случайная величина  имеет плотность распределения . Определить коэффициент , функцию распределения , математическое ожидание  и дисперсию . 

11.2. Показать, что функция  является  плотностью распределения некоторой случайной величины . Определить функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию  и вероятность попадания случайной величины  в промежуток .

11.3. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить коэффициент , функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию  и вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток .

11.4. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить , функцию распределения , математическое ожидание  , дисперсию  и вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток  .

11.5. Случайная величина  имеет плотность распределения . Определить , функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию  и вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток  .

11.6. Случайная величина  имеет плотность распределения  . Определить , функцию распределения , математическое ожидание  и  дисперсию . Найти вероятность того, что в двух независимых испытаниях  примет значения, меньшие единицы.

11.7. Случайная величина  имеет плотность распределения . Определить , функцию распределения , математическое ожидание  и  дисперсию .

11.8. Случайная величина  имеет плотность вероятности  . Определить коэффициент , функцию распределения , математическое ожидание  и  дисперсию .

11.9. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить функцию распределения , математическое ожидание  и  дисперсию .

11.10. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить коэффициент , функцию распределения , математическое ожидание ,  дисперсию  и вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток .

11.11. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить коэффициент ,  функцию распределения , математическое ожидание ,  дисперсию  и  вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток .

11.12. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить коэффициент , функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию  и  вероятность того, что в трех испытаниях случайная величина  ровно два раза примет значение, заключенное  в интервале .

11.13. Дана функция  Показать, что  может служить плотностью распределения некоторой случайной величины . Найти: а) дисперсию ; б) функцию распределения  ; в) . Построить графики функций , .

11.14. Случайная величина  имеет плотность распределения  Определить функцию распределения , математическое ожидание  и  дисперсию .

11.15. Случайная величина  имеет плотность распределения  при  Найти: а) дисперсию ;       б) функцию распределения  ; в) . Построить графики функций , .

11.16. Случайная величина  задана плотностью распределения . Найти: а) дисперсию ; б) интегральную функцию распределения  ; в) . Построить графики функций , .

11.17. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.18. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) дисперсию ; б) интегральную функцию распределения ; в) . Построить графики функций , .

11.19. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) дисперсию ; б) интегральную функцию распределения ; в) . Построить графики функций , .

11.20. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.21. Случайная величина  задана плотностью распределения   для . Найти: а) функцию распределения ; б) ; в) дисперсию . Построить графики функций , .

11.22. Случайная величина   задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.23. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.24. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.25. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.26. Случайная величина  задана плотностью распределения   Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.27. Случайная величина  задана плотностью распределения , .  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.28. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.29. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

11.30. Случайная величина  задана плотностью распределения  Найти: а) коэффициент  и ; б) дисперсию ; в) интегральную функцию распределения . Построить графики функций , .

Задание 12.

12.1. Случайная величина  задана функцией распределения  Найти а) плотность распределения ,   б)  дисперсию , в) вероятность .  Построить графики  и .

12.2. Случайная величина  задана функцией распределения  Найти а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.3. Случайная величина    задана функцией распределения Найти а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.4. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.5. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.6. Случайная величина  задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.7. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.8. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.9. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.10. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.11. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения ,   б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.12. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.13. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.14. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) коэффициент  и плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.15. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.16. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения ,       б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.17. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.18. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения ,     б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.19. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.20. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.21. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.22. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения ,        б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.23. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.24. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.25. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.26. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.27. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.28. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.29. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

12.30. Случайная величина   задана функцией распределения  Найти: а) плотность распределения , б) дисперсию , в) вероятность . Построить графики  и .

Задание 13. Законы распределения. Нормальное распределение.

13.1. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение  от проектного размера по модулю не превосходит 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из ста, если  распределено нормально с  мм?

13.2. Пачки печенья упаковывают автоматически. Масса пачки распределена по нормальному закону и имеет среднее значение 200 г, среднеквадратичное отклонение 5 г. Найти вероятность того, что вес случайно взятой пачки меньше 195 г.

13.3. Детали, выпускаемые цехом, исходя из диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 5 см; дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

13.4. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с  г. Найдите  вероятность того, взвешивание будет произведено с ошибкой не  превосходящей 40 г.

13.5. Детали, выпускаемые цехом, исходя из диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 5 см, а дисперсия равна 0,81. Найти границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95.

13.6. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 16 км, а среднее квадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не меньше 15,8 км.

13.7. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание ее пусть равно    164 см, а среднее квадратичное отклонение 5,5 см. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что ни одна из пяти наудачу выбранных женщин не будет иметь рост более 160 см.

13.8. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 20 км; среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 17-ти км, но не более 21-го км. 

13.9. Отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. Стандартная длина равна 20 сантиметров, среднее квадратичное отклонение равно 0,1 см. Определить, какую точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,9.

13.10. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 20 км; среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 21 км.

13.11. Детали, выпускаемые цехом, исходя из размера диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 7 см; дисперсия равна 0,7. Установить границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95.

13.12. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание равно 2,5 см, а дисперсия – 0,0001. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973)?

13.13. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 16 км; а среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не меньше 15,8 км.

13.14. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение  диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина  распределена по нормальному закону с  мм. Найти, сколько в среднем будет годных шариков из 100 изготовленных.

13.15. Детали, выпускаемые цехом, исходя из диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 7 см; дисперсия равна 0,7. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали — от 3 до 5 см.

13.16. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона - случайная величина, распределенная по нормальному закону с  математическим ожиданием  т и  средним квадратичным отклонением  т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

13.17. Детали, выпускаемые цехом, исходя из размера диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 7 см; дисперсия равна 0,7. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

13.18. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с  мм. Найдите  вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой,  не превосходящей 20 мм.

13.19. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону со следующими параметрами: математическое ожидание равно 16 км, а среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 15,75 км, но не более 16,3 км.

13.20. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание  равно   178 см, а дисперсия – 32. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из  наудачу выбранных  пяти мужчин будет иметь рост  от 168 до 182 см.

13.21. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с  г. Найдите  вероятность того, взвешивание будет произведено с ошибкой  не превосходящей 10 г.

13.22. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры . Считая, что   распределено нормально,  мм,  мм, найдите интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

13.23. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 16 км, а среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 16,25 км.

13.24. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с  мм. Найдите  вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей 15 мм.

13.25. Детали, выпускаемые цехом, исходя из диаметра распределяются по нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 5 см; дисперсия равна 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали – от 4 до 7 см.

13.26. Случайная величина  распределена по нормальному закону с математическим ожиданием  и средним квадратичным отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью  попадет значение величины  в результате испытания.

13.27. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с такими параметрами: математическое ожидание равно 20 км; среднеквадратичное отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не меньше 18 км.

13.28. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание ее пусть равно 170 см, а дисперсия – 36. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см.

13.29. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с  г. Найдите  вероятность того, взвешивание будет произведено с ошибкой не  превосходящей 30 г.

13.30. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина  см и среднее квадратичное отклонение  см, то какую точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Задание 14. Законы распределения

14.1. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения с . Вероятность попадания ее значений в промежуток  равна 0,25. Найти ее среднее квадратичное отклонение.

14.2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 10, а дисперсия – 4. Найти вероятность попадания ее значений в промежуток .

14.3. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 20, а среднее квадратичное отклонение – 10. Найти вероятность того, что при очередном испытании она примет значение большее 23.

14.4. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 6, а среднее квадратичное отклонение – 2. Найти вероятность того, что при очередном испытании она примет значение вне интервала .

14.5. Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке . Выписать плотность вероятности и функцию распределения, найти математическое ожидание  и дисперсию .

14.6. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения, среднее квадратичное отклонение которой равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

14.7. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения, среднее квадратичное отклонение которой равно 0,5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 1.

14.8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 14, а среднее квадратичное отклонение – 2. Найти вероятность того, что при очередном испытании она примет значение большее 15.

14.9. Распределение веса деталей, выпускаемых заводом, подчиняется нормальному закону со средним весом 40 г и среднеквадратическим отклонением 1 г. Найти вероятность того, что отклонение веса детали от среднего веса по абсолютной величине не превысит 1,5 г.

14.10. Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке . Выписать плотность вероятности и функцию распределения, найти математическое ожидание  и дисперсию .

14.11. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения с . Вероятность попадания ее значений в промежуток  равна 0,3108. Найти дисперсию .

14.12. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 5, а дисперсия – 4. Найти вероятность того, что при очередном испытании она примет значение вне интервала .

14.13. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 1 мм и математическим ожиданием 0. Найти вероятность того, что при очередном измерении ошибка превзойдет 1,28 мм.

14.14. Для полета самолета отведен коридор 100 м. Самолет должен лететь по его средней линии, однако из-за систематической ошибки в показаниях высотометра он летит на 20 м выше. Случайная ошибка в показаниях прибора имеет среднее квадратичное отклонение 75 м. Какова вероятность того, что самолет будет лететь внутри коридора?

14.15. По какому закону распределена случайная величина  и чему равны ее математическое ожидание , дисперсия , функция распределения, если плотность вероятностей этой случайной величины есть  при ,  при .

14.16. Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке . Выписать плотность вероятности и функцию распределения, найти математическое ожидание  и дисперсию .

14.17. Случайное отклонение размера детали от номинала при изготовлении ее на данном станке имеет нулевое математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение, равное 3 мк. Найти вероятность того, что две детали окажутся стандартными, если для годной детали допустимо отклонение не более чем на 4 мк.

14.18. Изделие является изделием высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превышает 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратичным отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовляются 4 изделия.

14.19. При большом числе измерений установлено, что 75 % ошибок не превосходят по абсолютной величине 1,25 мм. Определить среднее квадратичное отклонение ошибок измерения, считая их нормально распределенными с нулевым математическим ожиданием.

14.20. Средняя квадратичная ошибка измерения дальности радиолокатором равна 25м, систематическая ошибка отсутствует. Определить вероятность того, что ошибка не превзойдет 20 м.

14.21. Для случайной величины , распределенной равномерно на отрезке . Выписать плотность вероятности и функцию распределения, найти математическое ожидание  и дисперсию .

14.22. При средней длине детали 20 см найдено, что отклонения, превосходящие 0,5, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите ее среднее квадратичное отклонение.

14.23. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения с . Вероятность попадания ее значений в промежуток  равна 0,45. Найти ее среднее квадратичное отклонение.

14.24. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 11, а дисперсия – 4. Найти вероятность попадания ее значений в промежуток .

14.25. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 10, а среднее квадратичное отклонение – 5. Найти вероятность того, что при очередном испытании она примет значение большее 12.

14.26. Непрерывная случайная величина  распределена по показательному закону с функцией плотности  при ,  при . Найти вероятность того, что в результате испытаний  попадет в интервал .

14.27. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно 7, а среднее квадратичное отклонение – 1. Найти вероятность того, что при очередном испытании она примет значение вне интервала .

14.28. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения, среднее квадратичное отклонение которой равно 4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.

14.29. Случайная величина  подчинена нормальному закону распределения, среднее квадратичное отклонение которой равно 5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 10.

14.30. По какому закону распределена случайная величина  и чему равны ее математическое ожидание , дисперсия , функция распределения, если плотность вероятностей этой случайной величины есть  при ,   при .

Задание 15.

15.1. Задана дифференциальная функция случайной величины   в интервале  и  вне этого интервала. Найти дифференциальную функцию  случайной величины .

15.2. Случайная величина  подчинена закону равномерной плотности на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.3. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.4. Случайная величина  распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.5. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.6. Случайная величина  подчинена закону равномерной плотности на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.7. Случайная величина  распределена по закону с плотностью  в интервале , вне интервала . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.8. Дискретная случайная величина  задана законом распределения:

	-1	-2	1	2
	0,3	0,1	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины .

15.9. Случайная величина  распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.10. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.11. Случайная величина  распределена в интервале  с плотностью вероятности . Определить плотность вероятности случайной величины .

15.12. Случайная величина  подчинена закону равномерной плотности на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.13. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.14. Случайная величина  распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.15. Случайная величина  распределена по закону с плотностью вероятности  при . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.16. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.17. Случайная величина  распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.18. Случайная величина  распределена равномерно в интервале , . Найти математическое ожидание и дисперсию .

15.19. Задана плотность нормально распределенной случайной величины  . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.20. Задана плотность случайной величины : . Найти плотность распределения   случайной величины .

15.21. Случайная величина  распределена равномерно в интервале , . Найти математическое ожидание и дисперсию .

15.22. Дискретная случайная величина  задана законом распределения:

	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

15.23. Случайная величина  подчинена закону равномерной плотности на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.24. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.25. Случайная величина  распределена равномерно в интервале , . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.26. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.27. Случайная величина  имеет плотность  при  и  вне интервала. Случайная величина  связана с  зависимостью . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.28. Задана плотность распределения  случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения  случайной величины .

15.29. Случайная величина  распределена по закону с плотностью  . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

15.30. Случайная величина  подчинена закону равномерной плотности на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Задание 16.  Дискретная 2-мерная случайная величина.

Дан совместный закон распределения двумерной случайной величины . Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание  и условное математическое ожидание  при .

16.1.

	1	2	3
	0,15	0,2	0,3
1	0,2	0,1	0,05

16.2.

	0	1	4
2	0,1	0,5	0
3	0,05	0,25	0,1

16.3.

	0	1	2
	0,1	0,1	0
	0,1	0,5	0,2

16.4.

		1	2
1	0,1	0,15	0,2
3	0,25	0,1	0,2

16.5.

		0	1
	0,4	0,15	0,1
1	0,1	0,2	0,05

16.6.

		1	3
	0,3	0	0,02
0	0,2	0,18	0,3

16.7.

			1
0	0,2	0,1	0,15
	0,3	0,05	0,2

16.8.

		0	3
1	0,1	0,2	0,15
3	0,25	0,2	0,1

16.9.

			0
	0,35	0,1	0
3	0,05	0,2	0,3

16.10.

		2	3
	0,1	0,2	0
0	0,05	0,4	0,25

16.11.

	0	2	4
	0,1	0,1	0,2
1	0,25	0,2	0,15

16.12.

			1
1	0	0,4	0,1
2	0,15	0,25	0,1

16.13.

	0	1	2
	0,4	0,1	0,1
	0,3	0,1	0

16.14.

			0
1	0,2	0,05	0,3
2	0,25	0,1	0,1

16.15.

	1	3	4
	0,4	0,1	0
1	0,05	0,3	0,15

16.16.

		2	3
0	0,4	0	0,08
2	0,1	0,12	0,3

16.17.

		1	2
	0,25	0	0,35
	0,1	0,2	0,1

16.18.

		0	3
1	0,1	0,2	0,15
3	0,25	0,2	0,1

16.19.

			2
	0,15	0,1	0,3
3	0,2	0,2	0,05

16.20.

	1	2	4
	0,3	0,1	0,2
0	0,15	0,2	0,05

16.21.

		1	3
1	0,1	0,15	0,1
2	0,3	0,2	0,15

16.22.

	1	3	4
	0,2	0,05	0,1
	0,1	0,3	0,25

16.23.

		0	1
0	0,1	0,1	0,15
2	0,25	0,2	0,2

16.24.

		1	3
	0,3	0,05	0,2
1	0,1	0,2	0,15

16.25.

		0	2
0	0,35	0,1	0,08
1	0,1	0,12	0,25

16.26.

		2	3
	0,1	0,15	0,32
	0,25	0,08	0,1

16.27.

	1	2	4
	0,2	0,25	0,15
0	0,05	0,15	0,2

16.28.

			1
1	0,2	0,15	0,25
3	0,15	0,1	0,15

16.29.

		0	3
	0,12	0,05	0,3
1	0,25	0,18	0,1

16.30.

		1	2
	0,25	0,05	0,25
	0,1	0,2	0,15

Задание 17. Двумерная непрерывная случайная величина. 

Плотность распределения системы случайных величин  задана формулой

1. Найти постоянную .

2. Найти одномерные плотности  и  случайных величин  и .

3. Вычислить .

4. Вычислить математические ожидания , , дисперсии , , и коэффициент корреляции .

5. Являются ли случайные величины  и  независимы?

17.1.		17.2.
17.3.		17.4.
17.5.		17.6.
17.7.		17.8.
17.9.		17.10.
17.11.		17.12.
17.13.		17.14.
17.15.		17.16.
17.17.		17.18.
17.19.		17.20.
17.21.		17.22.
17.23.		17.24.
17.25.		17.26.
17.27.		17.28.
17.29.		17.30.

Задание 18.

18.1. Дана плотность вероятности непрерывной  двумерной случайной величины : . Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятности  и .

18.2. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.3. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.4.Непрерывная двумерная случайная величина  распределена равномерно внутри прямоугольной трапеции с вершинами , , , . Найти двумерную плотность вероятности системы.

18.5.Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :   и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.6. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :   и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.7. Дана плотность вероятности непрерывной  двумерной случайной величины : . Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятности  и .

18.8. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.9. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины  имеет вид  при  и  вне области. Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.10. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :  и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.11. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.12. Дана плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины : . Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятности  и .

18.13. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.14. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.15. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности   в области :  и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.16. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности . Написать выражения для плотностей распределения случайных величин  и . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.17. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :  и   вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.18. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.19. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.20. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :  и  и  вне области . Найти интегральную функцию распределения .

18.21. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :   и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.22. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.23. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.24. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.25. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :  и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.26. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :   и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.27. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.28. Дана функция распределения непрерывной двумерной случайной величины :  при ,  и  если , . Найти плотность вероятности системы случайных величин .

18.29. Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :  и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

18.30 Система случайных величин  подчинена закону распределения с плотностью вероятности  в области :  и  вне области . Найти: 1) коэффициент ; 2) интегральную функцию распределения .

Задание 19.

Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты  количественного признака ).

Найдите:

1) методом произведений

– выборочное среднеквадратичное отклонение,

– выборочную дисперсию;

2) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания  с заданной надежностью .

Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости  установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема  .

19.1.

	102	112	122	132	142	152	162
	4	6	10	400	20	12	8

19.2.

	10,6	15,6	20,6	25,6	30,6	35,6	40,6
	8	10	60	12	5	3	2

19.3.

	26	32	38	44	50	56	62
	5	15	40	25	8	4	3

19.4.

	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	64,4
	4	6	10	40	20	12	8

19.5.

	110	115	120	125	130	135	140
	5	10	30	25	15	10	5

19.6.

	45	50	55	60	65	70	75
	4	6	10	40	20	12	8

19.7.

	10,2	10,9	11,6	12,3	13	13,7	14,4
	8	10	60	12	5	3	2

19.8.

	11,5	12	12,5	13	13,5	14	14,5
	5	15	40	25	8	4	3

19.9.

	104	109	114	119	124	129	134
	4	6	10	40	20	12	8

19.10.

	105	110	115	120	125	130	135
	4	6	10	30	30	15	5

19.11.

	12,5	13	13,5	14	14,5	15	15,5
	5	15	30	35	8	4	3

19.12.

	100	110	120	130	140	150	160
	1	9	15	35	20	12	8

19.13.

	130	140	150	160	170	180	190
	5	10	30	25	15	10	5

19.14.

	80	90	100	110	120	130	140
	4	6	10	40	20	15	5

19.15.

	13,5	14	14,5	15	15,5	16	16,5
	4	16	40	25	7	5	3

19.16.

	21	28	35	42	49	56	63
	7	11	12	60	5	3	2

19.17.

	130	140	150	160	170	180	190
	3	7	10	40	20	12	8

19.18.

	20	30	40	50	60	70	80
	4	11	25	30	15	10	5

19.19.

	12,8	22,8	32,8	42,8	52,8	62,8	72,8
	3	17	25	40	8	4	3

19.20.

	30	35	40	45	50	55	60
	4	16	20	40	13	4	3

19.21.

	10,2	15,2	20,2	25,2	30,2	35,2	40,2
	2	12	16	60	5	3	2

19.22.

	10	15	20	25	30	35	60
	3	7	10	40	20	12	8

19.23.

	10	20	30	40	50	60	70
	4	11	25	30	15	10	5

19.24.

	125	135	145	155	165	175	185
	5	10	25	30	15	10	5

19.25.

	104	114	124	134	144	154	164
	4	6	10	40	20	12	8

19.26.

	14	15	16	17	18	19	20
	8	12	20	30	20	6	4

19.27.

	99	101	103	105	107	109	111
	5	15	40	20	10	7	3

19.28.

	5	10	15	20	25	30	35
	2	5	13	20	50	9	1

19.29.

	7	17	27	37	47	57	67
	8	12	20	40	10	6	4

19.30.

	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4
	5	10	30	25	15	10	5

Задание 20.

Постройте вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумулятивную кривую. Вычислите среднюю выборки, моду, медиану, выборочную дисперсию, среднеквадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс.

20.1. Результаты измерений диаметра (6 мм) шейки плунжера после шлифовки:

6,75;  6,77;  6,77;  6,73;  6,74;  6,70;  6,75;  6,71;  6,72;  6,77;  6,79;  6,71;  6,78;  6,73;  6,70;  6,73;  6,77;  6,75;  6,74;  6,71;  6,70;  6,78;  6,76;  6,81;  6,69;  6,80;  6,80;  6,77;  6,68;  6,74;  6,70;  6,70;  6,74;  6,77;  6,83;  6,66;  6,76;  6,82;  6,65;  6,71;  6,74;  6,77;  6,75;  6,74;  6,73;  6,77;  6,72;  6,74;  6,80;  6,73;  6,80;  6,72;  6,78;  6,70;  6,75;  6,78;  6,76;  6077;  6,74;  6,74;  6,61;  6,66;  6,65;  6,77;  6,68;  6,75;  6,74;  6,76;  6,74;  6,62;  6,74;  6,74;  6,65;  6,76;  6,72;  6,80;  6,76;  6,78;  6,73;  6,70;  6,78;  6,77;  6,75;  6,78;  6,72;  6,76;  6,78;  6,63;  6,76;  6,75;  6,73;  6,69;  6,82;  6,73;  6,80;  6,81;  6,61;  6,82;  6,77;  6,80;  6,80;  6,70;  6,82;  6,67;  6,68

20.2. Результаты исследования концентрации меди в изношенных подшипниках коленчатого вала двигателя ЯМЗ-236:

4,7;  8,9;  5,8;  6,9;  9,2;  5,8;  8,1;  6,3;  6,7;  5,3;  7,2;  6,8;  5,9;  5,4;  5,5;  8,9;  4,3;  8,5;  6,8;  8,5;  5,5;  5,7;  5,9;  6,1;  8,5;  5,5;  8,5;  8,3;  4,8;  4,9;  7,4;  7,5;  6,8;  6,9;  7,2;  8,3;  4,8;  5,8;  6,2;  7,8;  8,3;  7,8;  5,8;  5,6;  4,8;  4,5;  5,2;  9,7;  7,8;  9,6;  5,9;  9,7;  6,2;  6,7;  9,6;  4,8;  7,1;  7,6;  6,8;  7,7;  5,7;  5,6;  9,5;  9,6;  8,9;  7,5;  6,4;  7,3;  7,0;  6,5;  8,0;  4,9;  7,6;  6,8;  7,7;  5,8;  5,6;  9,5;  4,6;  8,9;  7,5;  6,4;  7,3;  7,0;  6,5;  8,0;  4,9;  7,9;  6,0;  5,0;  4,8;  5,1;  6,1;  7,2;  8,1;  8,8;  8,7;  9,1;  5,6;  7,2;  7,0;  8,1;  4,9;  5,1;  6,7

20.3. Результаты динамики роста производственно-технической базы предприятий Министерства автомобильного транспорта (в млн. руб.):

75,2;  38,1;  44,2;  72,3;  39,5;  54,1;  60,1;  73,8;  48,1;  36,1;  59,6;  69,2;  69,0;  30,2;  74,7;  53,8;  59,6;  37,2;  74,0;  40,2;  44,3;  34,5;  47,4;  74,2;  59,1;  71,9;  58,9;  36,0;  53,0;  74,3;  44,5;  47,4;  39,8;  71,9;  72,3;  43,9;  48,5;  40,1;  72,3;  35,9;  53,6;  70,8;  59,1;  74,1;  43,9;  58,7;  35,8;  73,9;  59,0;  40,3;  54,0;  61,9;  69,3;  68,9;  69,0;  59,8;  68,8;  59,9;  68,7;  69,1;  60,8;  69,0;  69,1;  69,0;  61,2;  61,2;  60,3;  58,4;  58,9;  69,2;  61,4;  65,8;  69,2;  70,0

20.4. Результаты измерения изношенных головок шатунов двигателей ГАЗ-51 при наличии следующих отклонений от их номинального размера 55,00 мм:

55,00;  54,95;  54,98;  54,98;  54,96;  54,93;  55,02;  54,93;  54,83;  55,09;  55,00;  55,03;  54,97;  55,92;  55,03;  55,01;  54,80;  55,02;  54,95;  55,03;  54,02;  54,95;  54,97;  55,01;  54,96;  55,07;  54,85;  55,00;  55,00;  54,06;  54,94;  54,98;  54,99;  54,94;  54,96;  55,00;  54,90;  55,08;  55,01;  55,02;  55,02;  54,94;  55,03;  54,81;  54,90;  55,03;  55,01;  54,04;  54,08;  54,96;  54,95;  54,93;  55,03;  54,87;  54,30;  54,06;  55,03;  55,01;  54,90;  54,86;  55,02;  54,82;  55,00;  54,84;  54,95;  54,86;  55,02;  55,04;  54,98;  55,03;  54,80;  55,04;  54,85;  54,90;  55,03

20.5. Результаты измерения зазора (мм) между накладками колодок и тормозными барабанами автомобиля ЗИС-164:

0,7;  0,3;  0,8;  0,6;  0,6;  0,9;  0,7;  0,8;  0,5;  0,7;  0,6;  0,2;  0,8;  1,6;  1,1;  0,3;  0,8;  0,5;  0,7;  0,6;  0,9;  0,3;  1,6;  0,6;  1,1;  0,5;  1,2;  1,4;  1,5;  0,7;  0,4;  0,9;  1,1;  1,0;  1,4;  1,6;  1,1;  1,5;  1,2;  1,2;  1,1;  1,1;  1,5;  1,1;  1,6;  1,4;  0,8;  1,9;  1,1;  1,0;  0,4;  0,5;  0,8;  0,9;  1,2;  0,8;  1,4;  1,2;  0,7;  0,9;  1,1;  1,2;  0,8;  0,7;  0,3;  0,3;  0,7;  0,5;  1,3;  1,2;  0,9;  1,2;  0,8;  0,5;  0,6;  1,1;  0,9;  0,8;  1,9;  0,6;  0,3;  1,0;  1,1;  0,9;  1,2;  0,8;  1,0;  1,0;  1,6;  0,8;  0,5;  0,6;  1,5;  0,9;  1,4;  0,7

20.6. Результаты анализа простоя автомобиля в ремонте (в % от времени его работы):

5;  20;  11 10;  11;  5;  11;  19;  20;  5;  10;  19;  20;  18;  19;  11;  19;  2;  11;  10;  5;  11;  11;  1;  5;  11;  20;  5;  10;  19;  18;  19;  18;  19;  20;  10;  19;  18;  1;  18;  5;  19;  11;  10;  11;  20;  5;  11;  11;  5;  10;  2;  8;  9;  10;  11;  14;  16;  18;  9;  8;  6;  7;  12;  18;  17;  15;  8;  8;  9;  7;  8;  11;  12;  12;  10;  9;  8;  7;  16;  20;  19;  18;  17;  11;  11;  8;  4;  7;  9;  11;  12;  14;  15;  7;  4;  8;  5;  6;  7;  9;  11;  10;  12;  17;  19;  12;  5;  6;  6;  9;  12;  11;  11;  14;  5;  6;  11;  12;  11

20.7. Показатели технической скорости (км/ч) автомобиля ГАЗ-93:

14,0;  7,0;  10,5;  10,0;  20,9;  10,7;  20,6;  18,1;  19,7;  17,9;  14,5;  10,9;  21,1;  6,5;  6,0;  20,9;  18,0;  12,2;  12,2;  15,8;  20,6;  15,3;  16,3;  19,1;  7,0, 12,3;  5,5;  16,9;  7,9;  18,3;  15,5;  6,0;  20,9;  17,0;  19,8;  20,6;  21,0;  19,1;  20,5;  10,9;  21,0;  17,5;  14,3;  8,7;  16,1;  14,5;  19,0;  6,0;  11,2;  17,3;  15,6;  16,7;  12,4;  17,2;  18,1;  7,9;  8,1;  17,1;  15,6;  18,3;  12,4;  13,8;  15,2;  18,1;  20,1;  13,2;  18,2;  20,3;  15,6

20.8. Результаты измерения изношенных нижних головок шатунов двигателей ГАЗ-51:

55,09;  54,93;  54,96;  54,94;  54,95;  55,05;  54,89;  54,99;  55,14;  55,03;  55,01;  54,93;  55,05;  55,03;  54,97;  55,07;  55,00;  54,99;  55,03;  54,95;  54,99;  55,00;  54,95;  54,99;  54,95;  55,01;  55,00;  55,09;  54,97;  54,98;  54,97;  54,98;  54,97;  54,98;  54,98;  55,01;  54,87;  54,97;  54,96;  55,10;  55,01;  54,98;  55,00;  55,02;  55,05;  55,02;  55,03;  54,98;  54,99;  55,03;  55,01;  55,05;  54,99;  54,89;  54,97;  54,93;  55,03;  55,09;  54,93;  54,98;  54,93;  55,05;  55,03;  54,98;  55,09;  55,08;  55,10;  54,96;  54,96;  55,01;  55,01;  55,02;  55,00;  54,99;  54,96;  55,06;  54,92;  55,10;  55,01;  54,92;  55,04;  55,10;  55,02;  55,00;  54,93;  55,02;  55,01;  54,99

20.9. Результаты пробега (тыс. км) машин с двигателями ЯМЗ-238:

28,4;  33,3;  50,8;  45,6;  67,3;  66,5;  67,9;  30,3;  75,7;  65,8;  40,2;  57,2;  53,5;  63,8;  38,8;  91,8;  57,8;  49,6;  80,1;  71,1;  69,8;  41,0;  69,2;  51,0;  73,8;  35,4;  66,5;  63,1;  44,7;  94,1;  63,5;  61,0;  79,0;  47,3;  87,8;  67,7;  87,5;  50,2;  63,5;  56,8;  73,9;  97,9;  79,8;  81,2;  89,2;  72,7;  95,8;  87,6;  77,4;  85,7;  96,7;  92,2;  72,5;  68,9;  74,2;  93,1;  90,4;  32,6;  30,8;  29,4;  29,0;  40,5;  38,0;  31,8;  95,6;  29,6;  32,0;  34,0;  30,1;  95,2;  41,9;  31,5;  66,8;  68,9

20.10. Результаты исследования объема работ текущего ремонта (%):

70;  20;  125;  30;  35;  40;  115;  115;  95;  100;  30;  70;  10;  15;  120;  140;  115;  135;  38;  42;  95;  10;  10;  15;  30;  135;  140;  115;  110;  120;  110;  115;  95;  40;  35;  48;  45;  40;  10;  20;  45;  25;  110;  125;  120;  135;  60;  70;  40;  50;  45;  40;  55;  40;  10;  25;  100;  140;  125;  125;  115;  100;  118;  112;  110;  38;  25;  18;  15;  30;  35;  95;  85;  70;  65;  30;  15;  35;  120;  125;  100;  35;  40;  140;  100;  30;  45;  56;  68;  72;  65;  40;  35;  80;  40;  100;  110;  112

20.11. Результаты измерения диаметра (мм) шейки плунжера после шлифовки:

6,69;  6,73;  6,76;  6,74;  6,77;  6,72;  6,76;  6,78;  6,74;  6,75;  6,78;  6,73;  6,76;  6,80;  6,76;  6,72;  6,76;  6,76;  6,70;  6,73;  6,70;  6,81;  6,74;  6,43;  6,77;  6,74;  6,78;  6,69;  6,71;  6,71;  6,70;  6,73;  6,74;  6,74;  6,77;  6,75;  6,80;  6,74;  6,76;  6,77;  6,78;  6,77;  6,76;  6,76;  6,76;  6,77;  6,76;  6,80;  6,77;  6,74;  6,76;  6,76;  6,81;  6,76;  6,76;  6,76;  6,80;  6,74;  6,80;  6,74;  6,74;  6,78;  6,77;  6,77;  6,75;  6,76;  6,74;  6,82;  6,76;  6,73;  6,72;  6,81;  6,72;  6,72;  6,76;  6,77;  6,75;  6,78;  6,67;  6,68;  6,71;  6,81;  6,69;  6,68;  6,71;  6,70;  6,77;  6,75;  6,76;  6,77;  6,73;  6,74;  6,69;  6,80;  6,77;  6,76;  6,81;  6,72;  6,75;  6,75;  6,81;  6,79;  6,77;  6,75;  6,75;  6,77;  6,77;  6,76;  6,76;  6,67

20.12. Показатели пробега (тыс. км) машин с двигателями ЯМЗ-238:

28,4;  33,3;  50,8;  45,6;  67,3;  106,5;  67,9;  30,3;  75,7;  65,8;  45,2;  57,2;  53,5;  63,8;  39,8;  91,8;  57,9;  49,6;  80,1;  71,1;  69,8;  41,0;  69,2;  51,0;  73,8;  35,4;  66,5;  63,1;  44,7;  94,1;  63,5;  61,0;  79,0;  47,3;  87,4;  67,7;  87,5;  50,2;  63,5;  56,8;  73,9;  97,9;  79,8;  81,2;  89,2;  75,7;  87,4;  67,7;  87,5;  50,2;  63,5;  56,8;  73,9;  97,9;  79,8;  81,2;  89,2;  75,7;  95,4;  87,6;  77,4;  85,0;  90,5;  100,2;  72,5;  68,9;  74,2

20.13. Данные фондоотдачи автобусов (фондоотдача – доход/стоимость автобуса в руб.):

1,14;  0,83;  1,11;  0,58;  0,66;  0,76;  0,85;  0,73;  0,72;  1,31;  1,27;  1,11;  1,01;  0,91;  1,01;  0,71;  0,96;  1,12;  1,15;  1,16;  1,18;  0,60;  0,59;  0,61;  0,71;  0,81;  0,93;  0,65;  1,13;  1,06;  1,11;  1,12;  1,15;  1,01;  0,77;  1,02;  1,01;  1,00;  1,01;  0,96;  0,83;  0,77;  0,83;  1,01;  0,96;  0,96;  0,99;  0,97;  0,83;  0,87;  0,63;  0,59;  1,12;  0,69;  0,79;  0,84;  1,10;  1,02;  1,09;  1,09;  1,12;  0,89;  0,98;  0,75;  0,69;  0,99;  0,89;  1,10;  1,11;  1,09;  1,11;  0,74;  0,92;  1,02;  1,09;  0,99;  0,99;  0,98;  1,02;  0,69;  0,58;  0,74;  1,10;  1,12;  1,09;  1,09;  1,10;  1,11;  0,99;  0,98;  0,96;  0,89;  1,10;  1,09;  1,11;  1,12;  1,16;  1,18;  0,89;  1,10;  1,13;  0,98;  0,99;  1,12;  1,10;  1,09;  1,00;  1,12;  0,89;  0,98;  0,99;  0,88;  0,89;  0,99

20.14. Показатели общего пробега (тыс. км) автобусов до капитального ремонта:

355,8;  327,7;  354,6;  317,6;  415,6;  396,8;  336,2;  371,8;  373,0;  324,1;  346,1;  379,9;  368,2;  422,2;  396,5;  364,1;  417,5;  338,2;  317,6;  289,5;  299,0;  317,9;  326,1;  331,6;  315,8;  382,7;  368,9;  398,6;  378,6;  327,8;  296,8;  398,8;  300,6;  289,2;  263,1;  271,8;  326,1;  337,1;  329,3;  317,6;  300,0;  300,3;  299,1;  300,5;  219,6;  301,5;  273,6;  319,1;  371,1;  368,3;  323,6;  417,6;  397,6;  376,1;  389,1;  381,6;  326,1;  362,8;  383,2;  338,9;  327,9;  315,8;  400,9;  356,8;  300,8;  319,2

20.15. Изменения прогибов (в мм) коленчатого вала двигателя ЯМЗ-236

0,05;  0,01;  0,12;  0,05;  0,02;  0,04;  0,03;  0,04;  0,04;  0,05;  0,14;  0,08;  0,09;  0,04;  0,02;  0,02;  0,06;  0,08;  0,15;  0,07;  0,10;  0,05;  0,03;  0,04;  0,10;  0,06;  0,09;  0,12;  0,07;  0,18;  0,22;  0,07;  0,04;  0,04;  0,03;  0,05;  0,05;  0,08;  0,04;  0,05;  0,06;  0,07;  0,02;  0,03;  0,02;  0,03;  0,04;  0,04;  0,05;  0,10;  0,13;  0,15;  0,25;  0,22;  0,11;  0,20;  0,07;  0,08;  0,17;  0,11;  0,08;  0,05;  0,06;  0,05;  0,06;  0,05;  0,21;  0,18;  0,17;  0,18;  0,03;  0,04;  0,05;  0,06;  0,08;  0,09;  0,04;  0,04;  0,08;  0,10;  0,11;  0,06

20.16. Количество заказов на такси в будние дни:

101;  130;  140;  90;  85;  150;  78;  99;  140;  60;  180;  85;  195;  150;  160;  79;  110;  112;  110;  102;  180;  110;  198;  66;  60;  77;  90;  100;  88;  75;  96;  99;  112;  196;  200;  169;  178;  189;  168;  170;  160;  175;  189;  145;  156;  178;  187;  192;  191;  96;  78;  89;  76;  91;  95;  196;  187;  136;  154;  178;  110;  110;  182;  132;  163;  172;  159;  136;  140;  151;  160;  172;  196;  98;  79;  97;  86;  112;  136;  141;  152;  132;  160;  143;  159;  180;  198;  194;  140;  151;  160;  172;  196;  98;  79;  97;  86;  112;  136;  141;  152;  132;  160;  134;  159;  180;  198;  194;  140;  160;  172;  133;  169;  89;  97;  132;  141;  132;  135;  160;  162;  132;  145;  153;  136;  149;  160;  171;  175;  163;  136;  159;  168;  165;  168;  171;  139;  151;  159;  200;  198;  196;  189;  181;  172;  156;  130;  159;  161;  163;  169;  158;  156;  157;  170;  193;  163;  144;  141;  139;  146;  98;  101;  123;  141;  149

20.17. Себестоимость перевозок (руб/т км):

0,48;  0,60;  0,20;  1,50;  0,90;  0,31;  0,42;  0,21;  0,17;  0,18;  0,50;  0,55;  0,56;  0,58;  0,30;  0,32;  1,40;  0,18;  1,10;  0,25;  0,28;  0,90;  1,00;  0,50;  0,16;  0,62;  0,28;  0,26;  0,29;  0,30;  0,31;  0,20;  0,28;  0,50;  0,56;  0,58;  1,38;  1,15;  0,14;  0,10;  0,15;  0,30;  0,32;  0,38;  0,81;  0,60;  0,15;  0,25;  0,18;  0,28;  0,25;  0,52;  0,20;  0,68;  0,15;  0,50;  0,52;  0,29;  1,35;  0,70;  0,41;  1,40;  0,42;  0,22;  0,15;  0,60;  0,78;  0,72;  0,70;  0,12;  0,14;  0,19;  0,20;  0,10;  0,40;  0,22;  1,41;  0,75;  0,75;  1,57;  1,58;  0,61;  0,51;  0,15;  0,52;  0,61;  0,38;  0,46;  0,50;  0,56;  0,58;  0,59;  1,28;  0,42;  0,36;  1,12;  0,78;  0,62;  0,32;  0,48;  0,73;  1,20;  1,10;  0,80;  0,40;  0,60;  0,70

20.18. Коэффициент использования грузоподъемности автомобилей парка:

0,5;  0,4;  0,9;  0,7;  0,6;  0,9;  0,4;  0,9;  0,8;  0,7;  0,5;  0,9;  0,4;  0,8;  0,7;  0,6;  0,5;  0,2;  0,9;  0,3;  0,4;  0,9;  0,6;  0,2;  0,4;  0,5;  0,8;  0,7;  0,6;  0,5;  0,4;  0,6;  0,5;  0,9;  0,9;  0,8;  0,8;  0,9;  0,7;  0,5;  0,8;  0,6;  0,9;  0,7;  0,8;  0,9;  0,5;  0,9;  0,2;  0,7;  0,6;  0,7;  0,2;  0,4;  0,5;  0,8;  0,6;  0,8;  0,5;  0,9;  0,7;  0,6;  0,9;  0,5;  0,9;  0,4;  0,3;  0,7;  0,6;  0,5;  0,9;  0,3;  0,7;  0,6;  0,7;  0,8;  0,5;  0,4;  0,2;  0,7;  0,5;  0,7;  0,8;  0,8;  0,9;  0,9;  0,5, 0,4;  0,5;  0,1;  0,4;  0,5;  0,6;  0,1;  0,1;  0,2;  0,7;  0,5

20.19. Расход горючего, в л на 100 км пути:

39;  27;  15;  39;  27;  15;  15;  20;  15;  39;  35;  39;  37;  15;  39;  27;  25;  26;  15;  19;  23;  24;  25;  15;  35;  30;  25;  20;  15;  35;  35;  30;  25;  20;  15;  15;  35;  15;  35;  35;  36;  38;  15;  15;  20;  21;  15;  22;  15;  15;  15;  21;  27;  33;  39;  33;  15;  16;  17;  15;  39;  39;  27;  26;  20;  21;  24;  18;  33;  33;  37;  21;  24;  21;  40;  42;  38;  37;  36;  26;  28;  27;  25;  15;  21;  31;  22;  31;  15;  42;  36;  37;  41;  15;  20;  17;  17;  24;  32;  38;  36;  41;  27;  18

20.20. Коэффициент использования грузоподъемности автомобилей парка:

0,5;  0,4;  0,9;  0,6;  0,9;  0,7;  0,8;  0,7;  0,8;  0,8;  0,7;  0,7;  0,7;  0,5;  0,5;  0,6;  0,7;  0,7;  0,7;  0,7;  0,8;  0,4;  0,5;  0,5;  0,8;  0,9;  0,8;  0,8;  0,8;  0,6;  0,6;  0,5;  0,5;  0,7;  0,7;  0,7;  0,7;  0,8;  0,8;  0,8;  0,5;  0,6;  0,6;  0,8;  0,4;  0,9;  0,9;  0,4;  0,7;  0,8;  0,8;  0,9;  0,9;  0,8;  0,8;  0,6;  0,9;  0,7;  0,9;  0,5;  0,9;  0,8;  0,7;  0,6;  0,7;  0,4;  0,9;  0,8;  0,7;  0,7;  0,7;  0,7;  0,6;  0,6;  0,7;  0,8;  0,9;  0,7;  0,7;  0,8;  0,8;  0,8;  0,8;  0,7;  0,4;  0,4;  0,5;  0,6;  0,7;  0,7;  0,8;  0,8;  0,3;  0,7;  0,6;  0,5;  0,7;  0,7;  0,8;  0,4;  0,8;  0,8;  0,5;  0,6;  0,7;  0,6;  0,7;  0,6;  0,7;  0,6

20.21. Результаты исследования:

5;  10;  10;  12;  20;  21;  19;  18;  15;  10;  16;  5;  15;  6;  14;  16;  20;  8;  15;  6;  5;  5;  15;  19;  20;  29;  18;  12;  15;  15;  7;  10;  20;  21;  19;  9;  20;  8;  11;  7;  10;  5;  15;  10;  11;  10;  10;  19;  14;  13;  11;  12;  12;  14;  14;  13;  13;  10;  10;  21;  20;  19;  18;  14;  15;  13;  10;  12;  12;  11;  11;  9;  8;  8;  9;  11;  12;  11;  12;  12;  12;  14;  13;  13;  13;  10;  7;  8;  8;  9;  9;  9;  11;  12;  14;  20;  21;  21;  19;  19;  8;  18;  15;  12;  12;  8;  18;  17;  11;  11;  5;  8;  9;  10;  15;  17;  10

20.22. Часовая производительность автомобилей парка:

3,80;  14,80;  8,37;  5,20;  6,23;  7,30;  14,20;  13,20;  10,40;  3,48;  5,20;  7,83;  12,20;  13,30;  5,70;  7,65;  6,65;  7,67;  6,77;  12,20;  13,20;  5,30;  3,50;  3,30;  4,60;  5,48;  6,50;  7,56;  9,40;  11,70;  12,70;  13,30;  12,60;  12,10;  11,20;  8,84;  8,98;  9,31;  8,91;  8,91;  7,81;  7,98;  8,89;  9,01;  9,36;  9,63;  6,18;  5,11;  4,33;  3,51;  3,62;  6,75;  7,54;  7,56;  8,71;  8,69;  7,62;  7,93;  7,68;  8,31;  3,42;  8,36;  11,10;  12,10;  10,12;  10,00;  11,05;  9,01;  9,32;  9,26;  9,50;  4,81;  5,62;  6,98;  7,91;  7,86;  8,98;  9,12;  9,31;  8,32;  9,41;  9,12;  7,98;  9,01;  7,36;  7,91;  8,05;  9,01;  8,91;  8,62;  9,01;  4,82;  4,28;  9,60;  7,42;  7,35;  7,42;  7,39;  8,20;  9,10;  8,31;  7,27;  7,36;  7,89;  6,97;  9,10

20.23. Затраты на перевозку грузов автопоездом ГАЗ-5041:

4,5;  3,7;  2,8;  5,5;  1,5;  1,8;  2,5;  1,5;  2,9;  2,8;  4,1;  3,8;  3,3;  2,2;  2,6;  1,7;  5,0;  3,2;  3,6;  4,1;  4,0;  3,3;  5,2;  2,1;  2,1;  4,6;  5,2;  4,5;  3,5;  2,1;  1,8;  5,6;  1,9;  1,6;  2,4;  2,9;  3,0;  2,7;  2,5;  3,0;  3,5;  5,0;  1,9;  1,8;  2,0;  1,9;  2,3;  4,1;  2,7;  3,5;  4,2;  2,7;  3,3;  3,5;  3,7;  2,9;  2,9;  1,0;  5,0;  4,3;  3,4;  2,6;  2,6;  2,7;  3,6;  3,6;  4,0;  3,2;  5,1;  4,0;  3,2;  3,1;  4,6;  3,5;  3,5;  4,1;  2,9;  4,1;  3,6;  3,9;  3,6;  3,7;  3,7;  5,7

20.24. Измерения грузоподъемности (в т) автомобиля:

3,33;  3,47;  3,92;  4,49;  3,59;  5,10;  5,80;  5,25;  4,05;  3,40;  5,00;  5,30;  3,89;  3,38;  3,89;  3,78;  3,98;  4,12;  4,21;  5,01;  4,90;  4,75;  4,57;  4,56;  5,12;  4,60;  3,98;  5,63;  3,83;  3,60;  3,92;  4,08;  4,08;  4,78;  4,87;  4,60;  4,59;  4,65;  5,21;  3,86;  3,89;  3,88;  5,05;  5,15;  5,20;  4,92;  3,49;  3,36;  3,57;  3,75;  4,64;  4,48;  5,15;  4,35;  4,53;  3,58;  3,85;  4,81;  4,28;  4,48;  4,58;  3,77;  3,69;  3,86;  3,79;  4,63;  3,61;  4,36;  4,35;  4,34;  5,05;  3,40;  5,20;  5,25;  3,42;  4,32;  5,15;  5,18;  5,00;  4,22;  3,38;  3,83;  4,18;  3,97;  3,96;  3,20;  4,17;  4,13;  5,03;  3,98;  3,91;  3,93;  3,61;  3,78;  3,71;  3,71;  4,20;  4,21;  3,96;  3,63;  3,74;  3,78;  3,77;  3,77;  3,95;  4,91;  4,02;  4,05;  4,06;  3,96;  5,01;  5,15;  4,11;  4,12;  3,89;  9,98;  3,91;  5,01;  4,36;  3,82;  4,02;  3,78

20.25. Себестоимость перевозок (руб./т км):

0,23;  0,56;  0,54;  0,26;  0,58;  0,67;  0,57;  0,57;  0,53;  0,43;  0,66;  0,67;  0,56;  0,86;  0,55;  0,64;  0,67;  0,53;  0,54;  0,59;  0,56;  0,54;  0,25;  0,87;  0,67;  0,66;  0,45;  0,55;  0,56;  0,56;  0,52;  0,45;  0,34;  0,67;  0,68;  0,64;  0,54;  0,52;  0,43;  0,38;  0,56;  0,78;  0,68;  0,66;  0,67;  0,68;  0,55;  0,52;  0,34;  0,38;  0,64;  0,46;  0,89;  0,87;  0,67;  0,28;  0,56;  0,55;  0,56;  0,57;  0,35;  0,56;  0,67;  0,68;  0,55;  0,57;  0,65;  0,54;  0,45, 0,56;  0,66;  0,68;  0,68;  0,69;  0,70;  0,68;  0,56;  0,66;  0,57;  0,38;  0,34;  0,56;  0,51;  0,65;  0,50;  0,56;  0,37;  0,68;  0,87;  0,45;  0,56;  0,55;  0,87;  0,35;  0,66

20.26. Коэффициент использования грузоподъемности автомобилей парка:

0,2;  0,4;  0,4;  0,5;  0,3;  0,8;  0,7;  0,6;  0,2;  0,8;  0,8;  0,8;  0,7;  0,6;  0,8;  0,7;  0,9;  0,6;  0,4;  0,6;  0,8;  0,7;  0,8;  0,5;  0,6;  0,8;  0,7;  0,9;  0,9;  0,8;  0,7;  0,8;  0,6;  0,5;  0,3;  0,8;  0,2;  0,8;  0,4;  0,6;  0,8;  0,7;  0,8;  0,6;  0,3;  0,4;  0,8;  0,7;  0,8;  0,9;  0,8;  0,8;  0,6;  0,7;  0,6;  0,4;  0,6;  0,4;  0,5;  0,8;  0,8;  0,7;  0,9;  0,3;  0,2;  0,8;  0,2;  0,7;  0,6;  0,7;  0,5;  0,4;  0,6;  0,4;  0,8;  0,6;  0,5;  0,1;  0,5;  0,9;  0,6;  0,8;  0,8;  0,6

20.27. Расход горючего, в л. на 100 км пути:

25;  26;  35;  37;  24;  26;  28;  15;  19;  35;  37;  42;  41;  25;  26;  19;  18;  35;  34;  33;  26;  30;  25;  26;  24;  36;  35;  16;  13;  25;  25;  35;  36;  39;  37;  32;  26;  19;  28;  27;  15;  16;  36;  29;  28;  27;  29;  23;  38;  31;  31;  30;  25;  24;  26;  27;  35;  31;  30;  41;  25;  16;  35;  35;  36;  19;  16;  31;  35;  36;  38;  39;  25;  34;  36;  36;  39;  39;  38;  37;  26;  29;  27;  28;  26;  24;  23;  26;  24;  28;  37;  29;  39;  41;  38;  36

20.28. Часовая производительность автомобилей парка:

6,8;  9,2;  6,4;  7,5;  8,5;  6,4;  8,2;  9,4;  6,4;  8,6;  9,4;  5,6;  6,7;  8,4;  5,6;  4,6;  6,8;  7,8;  8,9;  6,9;  8,6;  4,6;  6,5;  5,8;  7,4;  6,4;  4,9;  5,8;  6,6;  5,8;  8,5;  8,4;  4,8;  6,7;  7,5;  7,1;  8,2;  5,2;  6,4;  8,4;  7,4;  6,5;  4,4;  5,8;  6,4;  8,1;  9,0;  6,7;  6,2;  7,5;  5,4;  8,4;  6,4;  5,7;  5,8;  4,8;  9,0;  9,4;  8,4;  7,5;  6,7;  8,4;  6,4;  8,4;  5,4;  8,6;  8,3;  6,4;  4,5;  5,2;  6,4;  8,3;  8,1;  7,1;  9,5;  4,4;  5,5;  7,5;  8,2;  9,1;  7,7;  8,3;  5,5;  5,6;  5,6;  8,3;  4,5;  6,5;  4,5

20.29. Данные простоя автомобиля в ремонте в процентах от времени его работы:

6;  10;  15;  13;  9;  5;  13;  18;  12;  6;  2;  8;  7;  8;  8;  15;  12;  10;  12;  9;  16;  12;  12;  8;  6;  3;  18;  14;  6;  6;  8;  12;  10;  17;  16;  4;  6;  8;  3;  12;  18;  13;  16;  12;  10;  10;  5;  8;  16;  9;  5;  6;  8;  7;  7;  9;  10;  5;  6;  10;  7;  8;  12;  13;   7;  8;  15;  19;  6;  12;  13;  5;  6;  8;  7;  9;  5;  6;  3;  7;  15;  8;  9;  3;  5;  6;  6;  7;  8;  8;  9;  5;  6;  4;  6;  7;  12;  16;  13;  17;  18;  12;  10;  10;  9;  10;  9;  7;  6

20.30. Показатели технической скорости (км/ч) автомобиля ГАЗ-93:

15,2;  16,6;  23,4;  10,9;  24,6;  21,6;  19,5;  18,4;  23,5;  36,5;  21,8;  26,5;  29,9;  21,8;  19,7;  24,5;  23,3;  22,8;  19,6;  15,6;  18,9;  19,4;  24,1;  20,0;  23,5;  28,6;  23,8;  24,9;  23,8;  27,5;  21,6;  23,8;  21,5;  26,6;  24,5;  25,5;  28,9;  19,6;  25,6;  25,8;  23,3;  27,9;  21,0;  26,0;  26,8;  29,3;  12,8;  19,7;  18,6;  21,5;  22,5;  26,5;  21,0;  23,1;  24,5;  22,1;  25,1;  23,5;  28,2;  23,5;  22,1;  21,3;  23,5;  20,3;  24,4;  20,4;  23,6;  21,0;  15,6;  16,4;  21,5;  22,8

ОТВЕТЫ

Глава 1

1.3. Не существуют. 1.4. а) , в) , с) , д) . 1.8. 0,75. 1.9. 1,1.

1.11. а) ; б) . 1.12. , . 1.13. а) прямоугольник; б) квадрат; в) куб. 1.15.  или . 1.17. , , , . 1.18. 15 студентов. 1.20. 36 студентов посещали, по крайне мере, один дополнительный курс, 4 студента занимались только туризмом. 1.25. графическое задание изображено на рис 1.

Рис.1

1.26. а)  , , , ,  ; б) , , , ,  ; в) , , , ,  ; г) , ,, , . 1.27. а); б) ; в) , если ; г) при . 1.28. , , ,  представлены на рис. 2

Рис. 2

1.29. а) петли , ; б) дуги , , , ; в) дуги , ,, , . 1.31. а) рефлексивно, симметрично и транзитивно; б) транзитивно, но не рефлексивно и не симметрично; в) симметрично, но не рефлексивно и не транзитивно, г) рефлексивно и транзитивно, но не симметрично. 1.32. а) эквивалентность; б) нет.

Рис. 3	Рис. 4

1.34. =,  = . 1.35. Два класса эквивалентности:  и . 1.36. Есть только минимальные элементы – простые числа. 1.37. а) рис. 3; б) рис. 4. 1.38. . 1.39. а) 56; б) 32. 1.40. 900000. 1.41. а) ; б) . 1.42. . 1.43. 496. 1.44. а) 4650; б) 155; в) 1; г) 4806. 1.45. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 1.46. 1487285800. 1.47. 16. 1.48. 209. 1. 49. 36. 1.50. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 1.51. И, Л, И, И. 1.52. а) табл. 1; б) табл. 2.

Таблица 1.

Л	Л	И
Л	И	И
И	Л	Л
И	И	И

Таблица 2.

Л	Л	Л	И
Л	Л	И	И
Л	И	Л	И
Л	И	И	И
И	Л	Л	И
И	Л	И	И
И	И	Л	И
И	И	И	И

1.55. Рассуждение является правильным. 1.58. а) СКНФ не существует, СДНФ имеет вид:

 

б) СДНФ имеет вид:

,

СКНФ имеет вид:

. 1.59. а) все переменные существенные; б) ; в) нет существенных переменных. 1.60. а) СДНФ имеет вид: , СКНФ имеет вид: . б) СДНФ: , СКНФ:

.1.61. СДНФ имеет вид ; СКНФ имеет вид . 1.62. а) ; б) . 1.63. а) ; б) . 1.64. а) ,  ; б) , ; в) , ; г) , , , ; д) ; е) . 1.65. а) полна; б) не полна; в) полна, базис; г) полна, базис; д) полна, базис; е) полна, базис. 1.66. а) ; б) . 1.67. а) ; б) . 1.68. , схема показана на рис. 5.

Рис. 5

1.70. Схемы изображены на рис. 6.

Рис. 6

1.71.  и . 1.73. а) формула, в которой  , - связанные, а ,  - свободные переменные; б) не формула. 1.74. а) ; б) ; в) ; г)  ; д) .  е) , где  и  – формулы из пунктов (а) и (б). 1.75. Высказывание: «Любой человек – высокий и толстый». Его отрицанием является (3). 1.78. а) выполнима; б) не выполнима. 1.79. а) общезначима; б) не общезначима; в) общезначима; г) не общезначима. 1.80. а) , ;б) , ; в) , . 1.81. . 1.82. Графы   изображены на рис 7.

Рис. 7

1.83. Графы , ,   изображены на рис. 8.

Рис. 8

1.84.  , ,  - простые цепи;  – цепь, не являющаяся простой;  -маршрут не являющийся цепью;  - цикл, не являющийся простым;  - простой цикл; обхват графа равен 3; граф связный. 1.85. Существует один  - маршрут длины 3. 1.86. ; ; . 1.87.  ;  ;;  - центр графа . 1.88. . 1.89. а) ; б) . 1.90. , , , , . 1.91. Граф эйлеров. 1.92.  12 вершин. 1.93.а) остов представлен на рис. 9; б) остовное дерево представленно на рис. 10.

Рис. 9	Рис. 10

1.94. Дерево изображено на рис. 11.

Рис. 11

Глава 2

2.6. (16 и 12). 2.7. (12 и 0). 2.8. (8 и 7). 2.9. ( и ). 2.10. (, , ). 2.11. ~0,5278. 2.12. ~0,8333. 2.13. ~0,4687. 2.14. ~0,4667.2.15. ~0,4921.2.16. ~0,54. 2.17. 0,063. 2.18. 0,834. 2.19. 0,750. 2.20. ~0,967 2.21. . 2.22. . 2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. . 2.27. . 2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. . 2.32.. 2.33. . 2.34. а) ; б) ; в) . 2.35. 0,95. 2.36. . 2.37. 0,65. 2.38. 0,044. 2.39. ~0,8333. 2.40. 0,87. 2.41. 0,12. 2.42. 0,50. 2.43. 0,2. 2.44. ~0,8571. 2.45. ~0,4444. 2.46. ~0,3415. 2.47. ~0,3980. 2.48. ~0,6154. 2.49. 0,0837. 2.50. ~0,1694. 2.51. ~0,6488. 2.52. ~0,4224. 2.53. ~0,5684. 2.54. ~0,3437. 2.55. ~0,4382. 2.56. 256. 2.57. ~0,168. 2.58. ~0,558. 2.59. ~0,0437 и  ~0,7286. 2.60.~0,224. 2.61. 0,927. 2.62. 0,982. 2.63. 2,7 и 0,266. 2.64. 0,90 и 0,89. 2.65. 2,0 и 2,0. 2.66. 3,5 и 1,75. 2.67. 2,67 и 0,87. 2.68. 0,0 и 0,47. 2.69. 0,0 и 0,20. 2.70. 0,7. 2.71. 0,5. 2.72. 0,5. 2.73. 2 и . 2.74. 3 и . 2.75. 4 и . 2.76. 10 и 8. 2.77. 0,3; 0,033337. 2.78. 0,000038. 2.79. 0,866386. 2.80. около 95. 2.81. 0,29. 2.82. 0,5 и 0,25. . 2.83. 10 и 100.  . 2.84. 

	7	13	21
	0,2	0,1	0,7

2.85.

		1
	0,3	0,7

2.86. ,. 2.87. . 2.88. . 2.89. .2.90. 

	2	5	8			0,4	0,8
	0,20	0,42	0,38			0,8	0,2

, , .

	2	5	8			0,4	0,8

2.91.

	3	6			10	14	18

2.92. , , , , . 2.93. а)  внутри заданного прямоугольника; вне его ; б)  при ,  при;  при ,  при . 2.94. , . 2.95. , , . 2.99. , , . 2.100. . 2.101. . 2.102. . 2.103. . 2.104. . 2.105. . 2.106. Согласуется. 2.107. Согласуется. 2.108. Не согласуется.

Библиографический список

1. Венцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов / Е.С. Вентцель – 6-е изд. стереотип. – М.: Высш. шк., 1999.

2. Венцель Е.С. Теория вероятностейи ее инженерные приложения / Е.С. Венцель, Л. А. Овчаров. М.: Высш. шк., 2000.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. вузов / В.Е. Гмурман. – 9-е изд. стереотип. – М.: Высш. шк., 2003.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман. – 5-е изд. стереотип. – М.: Высш. шк., 1999.

5. Колмакова Н.Р. Математическая статистика: Учеб. пособие / Н.Р, Колмакова. Красноярск: КГТУ, 2000.

6. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 1993. 

7. Лихтеренко Л.М., Сукачева ТГ. Математическая логика. Курс лекций. Задачник–практикум и решения – СПб.: Изд–во «Лань», 1998.

8. Логинов Б. М. Лекции и упражнения по курсу «Введение в дискретную математику» – Калуга, 1998.

9. Нефедов В. Н., Осипова В. А. Курс дискретной  математики. – М.: Изд-во МАИ, 1992.

10. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Дискретная математика: Учебник. – 2-е изд., перераб. – М: ИНФРА – М; Новосибирск: Изд-во НГУ, 2007.

11. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. – М.: Техносфера, 2004.

12. Высшая математика: В 5 ч. Ч. 5. Кн. 2. Теория вероятностей и математическая статистика / С.И. Ахмаров, С.Н. Ахмарова; под общ. ред. Б.К, Дуракова. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003.

13. Сборник задач по математике, Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1984.

14. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А.Н. Кибзун, Е.Р. Гореинова, А.В. Наумов, А.Н. Сиротинин. М.: Физматлит. 2002.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………	3
Глава 1. Дискретная математика……………………………………….	4
§1. Множества и отношения……………………………………..	4
§2. Комбинаторика……………………………………………….	9
§3. Элементы математической логики………………………….	10
§4. Элементы теории графов…………………………………….	15
Индивидуальные задания……………………………………………….	19
Глава 2. Теория вероятностей и математическая статистика………...	42
§1. Случайные события…………………………………………..	42
§2. Случайные величины………………………………………...	48
§3. Математическая статистика………………………………….	53
Индивидуальные задания……………………………………………….	56
Ответы……………………………………………………………………	123
Библиографический список ……………………………………………	132

PAGE  133