Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА XI ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 66. Гармоническое колебание
В повседневной жизни и в технике мы сталкиваемся с колеба тельными движениями на каждом шагу: маятник стенных часов совер шает периодические качания около отвесного положения, фундамент быстроходной турбины вибрирует в такт с оборотами главного вала, кузов железнодорожного вагона качается на мягких рессорах при проходе колёс через каждый стык рельсов и т. д.
Во многих случаях различным колебательным движениям присущ общий признак, заключающийся в существовании некоторого устой чивого положения, в котором колеблющееся тело пребывает до и после колебаний и в котором оно может находиться неопреде ленно долгое время — до тех пор, пока внешняя сила не выведет его из этого устойчивого состояния. Для маятника таким устойчивым положением является отвесное; для фундамента машины и подвешен ного на рессорах вагона — положение, соответствующее некото рой постоянной деформации, обусловленной весом машины или ва гона.
Всегда, когда выводят тело из устойчивого положения, возникает сила, стремящаяся возвратить тело в начальное положение. Про исхождение этой силы может быть различным. Для маятника — это сила тяжести, для кузова вагона — реакция упруго деформированных стальных полос, стянутых рессорным хомутом.
Наличие возвращающей силы является ещё недостаточным усло вием возникновения колебательного движения. В самом деле, если после начального отклонения из отвесного положения маятник воз вращался бы к нему и на этом заканчивал своё движение, то не было бы и колебательного процесса, характеризующегося поперемен ным смещением маятника то в одну, то в другую сторону от отвес ного положения. Очевидно, что в колебательном движении, помимо возвращающей силы, должен участвовать ещё и другой фактор, не позволяющий колеблющемуся телу сразу же остановиться в той точке его пути, которая соответствует устойчивому состоянию. Этим фак тором является инерция колеблющегося тела.
Колебательное движение имеет особенно простой характер в том случае, когда возвращающая сила возрастает пропорционально смещению колеблющегося тела из положения равновесия. Сначала
мы рассмотрим этот случай чисто кинема тически.
Рис. 211. При равномерном движении точки М по кругу её проекция Р совершает гармоническое колебание.
Представим себе точку М (рис. 211), движущуюся по кругу радиуса а с постоян ной угловой скоростью , и рассмотрим движение проекции Р этой точки на верти кальную ось. Пусть в момент времени t ра диус ОМ повернулся из начального поло жения ОА на угол ; тогда смещение х точки Р, равное отрезку ОР, определяется простым выражением
х=asin.
Угол называют, фазой колебания точки Р; зная угловую скорость
=2/Т
(где Т—время обхода точкой М полной окружности, a 2 — длина дуги полной окружности в угловых единицах), нетрудно найти фазу :
=t=(2/T) •t,
и, следовательно,
x= asint=(asin2/T) •t. (1)
Рассматривая движение проекции точки М на горизонтальную ось, аналогично получаем:
х=acost=(acos2/T) •t. (1')
Колебательный характер дви жения, выражаемого уравнениями (1) и (1’), становится особенно очевидным, когда они представлены, как это сделано на рис. 212, графически.
Рис. 212. а — амплитуда гармони ческого колебания, Т— период.
Колебательное движение, выражаемое функцией синуса или косинуса, называют простым гармоническим колебанием; оно полностью характеризуется следующими величинами:
1. Расстоянием (а) наибольшего отклонения от начального поло жения — амплитудой.
2. Периодом колебания (Т), т. е. временем, в течение которого колеблющаяся точка (или тело) совершает полный цикл колебатель ного движения, смещаясь сначала в одну, а затем в другую сторону от начального положения и снова возвращаясь к нему.
Вместо периода колебания можно задать его частоту v, опреде ляемую числом полных колебаний, совершаемых в течение 1 сек. Единицу частоты — одно колебание в 1 сек.—называют герц. Очевидно, что период и частота являются относительно друг друга обратными величинами:
T=1/v, v=1/T. (2)
Угловая частота однозначно определяется периодом или частотой: =2/T=2v. (3)
Очевидно, что означает число полных колебаний, совершаемых в течение 2 секунд.
Перейдём к рассмотрению сил, под действием которых может возникнуть простое гармоническое колебание. Для этого, воспользо вавшись уравнением (1), найдём сначала скорость v и ускорение j гармонически колеблющейся точки:
v=ax/dt=acost, (4}
j=-dv/dt=d2x/dt2=asint=-2x. (5) Последнее выражение означает, что в каждый данный момент времени ускорение j пропорционально смещению х точки из началь ного положения; знак минус указывает, что ускорение всегда напра влено противоположно смещению. Ускорение пропорционально вызы вающей его силе и направлено в ту же сторону, что и сила; значит, сила, обусловливающая ускорение колеблющегося тела, направлена тоже в сторону, противоположную смещению, и пропорциональна величине смещения. Очевидно, что эта сила и есть сила возвращающая.
Умножая обе части уравнения (5) на массу m колеблющейся мате риальной точки, мы получим дифференциальное уравнение простого гармонического колебания
md2x/dt2 =-cx, (6)
где
с=m2. (6')
Уравнение (6) имеет простой физический смысл: в левой его части стоит произведение массы колеблющейся точки на её ускорение, чем
и определяется согласно второму закону Ньютона действующая на точку возвращающая сила — сх. Таким образом, уравнение (6) выра жает второй закон механики применительно к случаю материальной точки, связанной с положением равновесия силой, пропорциональной смещению. Обратно, при наличии возвращающей силы, пропорцио нальной смещению тела, последнее будет совершать простое гармо ническое колебание, выражаемое уравнениями (1) или (1').
Теория гармонических колебаний играет в физике совершенно исключительную по своему значению роль. Учение о гармонических колебаниях используется во всех отделах физики: в теории упругости, в акустике, в оптике, в учении об электричестве, в кинетической теории материи, в теории атома. Чем объясняется эта универсальная применимость учения о гармонических колебаниях?
Исключительная роль учения о гармонических колебаниях объяс няется двумя обстоятельствами. Гармоническое колебание — это дви жение, вызванное силой, возрастающей пропорционально отклонению х от положения равновесия. Какова бы ни была в действительности зависимость силы от х, зависимость эта всегда может быть предста влена в виде бесконечного ряда Тейлора; первым членом этого ряда является квазиупругая сила (т. е. сила, пропорциональная х), осталь ные члены ряда пропорциональны последовательно возрастающим степеням х. Если смещение х мало, старшими членами ряда можно пренебречь,— это случай гармонического колебания. При значитель ных отклонениях от положения равновесия нужно учитывать второй, третий и другие члены ряда (в этом случае колебания ангармоничны). По мере роста амплитуды колебательное движение обычно всё более и более уклоняется от гармонического колебания. Но и в этом случае каждый раз, когда колеблющаяся система подходит к положению равновесия, поочерёдно отпадает влияние старших членов ряда Тей лора, и близ положения равновесия движение определяется уже одной квазиупругой силой. Поэтому теория гармонических колебательных движений является первым и неизбежным шагом на пути к исследо ванию почти всех периодических процессов.
Второе обстоятельство, делающее теорию гармонических колеба ний весьма важной для различных отделов физики, заключается в том, что многие колебательные системы при внешнем периодическом воз действии на них «отзываются» (резонируют) на гармонические коле бания, частота которых близка к частоте собственных колебаний системы (§ 71).
1) От латинского amplitude — широта.
1)От греческого phasis — проявление.
2) В последующем (в применении к колебательному движению) мы будем, как это принято, называть величину не угловой скоростью, а угловой, или круговой, частотой.
3) От греческого harmoso — приводить в порядок.