Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 1
Занятие 9 (Фдз 10).
Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду методом Лагранжа.
9.1. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Получение нормального вида из канонического. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы. Закон инерции. Три инварианта квадратичной формы.
9.1. Квадратичная форма вида
(1)
называется канонической. Если в каноническом виде (1) квадратичной формы коэффициенты равны либо , либо , либо 0, то такую квадратичную форму называют
нормальной. Матрица квадратичной формы в каноническом или нормальном виде является диагональной матрицей.
Линейным преобразованием координат называется преобразование вида
или в матричном виде . (2)
называется матрицей линейного преобразования. Линейное преобразование (2) называется невырожденным, если определитель матрицы отличен от нуля.
В результате применения преобразования (2) квадратичная форма меняется по закону
, где , . (3)
Теорема Лагранжа (о приведении квадратичной формы к каноническому виду). Любую квадратичную форму можно линейным невырожденным преобразованием координат (2) привести к каноническому виду.
Основывающийся на этой теореме метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду посредством преобразований (2) заключается в последовательном выделении из квадратичной формы полных квадратов. Действие этого метода продемонстрируем на примерах ниже.
Ранг квадратичной формы совпадает с рангом матрицы этой формы. Проще всего находится из канонического вида (1) квадратичной формы: , где - число ненулевых коэффициентов в (1).
Число положительных коэффициентов в (1) называется положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов в (1) называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы.
Квадратичные формы подчиняются закону инерции, согласно которому положительный и отрицательный индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы линейными преобразованиями координат к каноническому виду (1) и всегда принимают одни и те же значения. Таким образом, величины и являются инвариантами квадратичной формы.
Ранг квадратичной формы можно найти по индексам инерции: .
Еще одним инвариантом квадратичной формы служит число нулевых коэффициентов в (1). Величина также не зависит от того, каким линейным преобразованием координат квадратичная форма приведена к каноническому виду.
В начале приведем примеры квадратичных форм в каноническом и нормальном виде с указанием их ранга и трех инвариантов.
1) - квадратичная форма канонического вида, - ранг квадратичной формы , - инварианты этой формы.
2) - квадратичная форма канонического вида, - ранг , - инварианты .
3) -
квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .
4) - квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .
5) - квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .
6) - квадратичная форма нормального вида, - ранг , - инварианты .
Теперь на примерах ниже изложим метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
. Найти также нормальный вид и инварианты .
Решение.
содержит слагаемое с . Это позволяет выделить полный квадрат из слагаемых, содержащих координату .
- канонический вид квадратичной формы. (4)
Этот канонический вид получен после замены
.
Из уравнений замены находится невырожденное линейное преобразование координат
, (5)
приводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду (4).
Проверка.
.
Результаты проверки доказывают справедливость сделанных выводов.
Теперь, пользуясь каноническим видом (4), найдем нормальный вид квадратичной формы.
(4) - нормальный вид квадратичной формы.
Здесь .
Приведем другое решение поставленной задачи.
содержит слагаемое с . Поэтому метод Лагранжа можно начать с выделения полного квадрата из слагаемых, содержащих координату .
- канонический вид квадратичной формы. (6)
Этот канонический вид получен в результате невырожденного линейного преобразования
. (7)
(6) - нормальный вид квадратичной формы.
Здесь .
Канонический вид (4) отличается от канонического вида (6). Проведенные решения показывают, что метод Лагранжа может проходить различными способами и приводить заданную квадратичную форму к различным каноническим видам. Однако все ответы должны подчиняться закону инерции. Из (4) и (6) следует такой общий результат:
- инварианты квадратичной формы.
Пример 2. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
. Найти также нормальный вид и ее индексы инерции.
Решение.
содержит слагаемое с . Поэтому, начнем метод Лагранжа с выделения полного квадрата из слагаемых, содержащих координату .
.
Сумма , стоящая после выделенного квадрата, содержит член с .
Поэтому, в этой сумме можно выделить полный квадрат из слагаемых с координатой .
- канонический вид квадратичной формы. (8)
Здесь
.
Из этих формул, поднимаясь по уравнениям снизу вверх, находится линейное преобразование координат, приводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду (8)
. (9)
(8) - нормальный вид квадратичной формы.
- индексы инерции квадратичной формы.
Пример 3. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
. Найти также нормальный вид и инварианты .
Решение.
В данной квадратичной форме нет слагаемых с квадратами координат, и присутствуют только смешанные члены. В этом случае необходимо применить специальное линейное преобразование координат, позволяющее получить слагаемые с квадратами координат. Наличие смешанного члена с позволяет использовать такое специальное линейное преобразование
или в матричной форме . (10)
.
Теперь можно выделить полные квадраты аналогично тому, как это делалось в примерах выше.
.
.
- канонический вид квадратичной формы. (11)
Здесь
. (12)
Из (10), (12) находим невырожденное линейное преобразование, приводящее заданную квадратичную форму к каноническому виду (11).
, где .
Вычисление матрицы линейного преобразования предоставляем читателю.
(11) - инварианты квадратичной формы.
Пример 4. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
. Найти также нормальный вид и инварианты квадратичной формы.
Решение.
Сначала выделим полный квадрат из слагаемых с координатой .
.
.
За выделенным квадратом стоит сумма из смешанных членов и .
Следующий ход в методе Лагранжа – специальное линейное преобразование координат. Сделаем его на основе слагаемого .
или . (13)
.
Теперь можно выделить полный квадрат из суммы , содержащей слагаемые с координатой .
.
.
Теперь выделим полный квадрат из суммы , содержащей слагаемые с координатой .
.
- канонический вид квадратичной формы. (14)
Здесь
или . (15)
(13), (15) - линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
(14) - инварианты .
(14) - нормальный вид квадратичной формы.
__________________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Методом Лагранжа привести к каноническому, а затем нормальному виду квадратичные формы, приведенные ниже. Записать невырожденные преобразования координат, приводящие квадратичные формы к каноническому виду.
1.1. , .
1.2. , .