Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
7 КРУЧЕННЯ
7.1 Напруження і деформації при кручені стрижнів
круглого поперечного перерізу
Деформація кручення бруса має місце тоді, коли на них діють пари сил, розташованих у площинах, перпендикулярних до осі бруса.
|
Деформація при кручені виявляється у взаємному повороті перерізів бруса і вимірюється у кутових одиницях (радіанах). Кут повороту двох крайніх перерізів, розташованих на відстані l один від одного, називають повним кутом закручування l , або просто (рисунок 7.1). Кут закручування, віднесений до одиниці довжини бруса, |
називається відносним кутом закручування
(7.1)
Зовнішній момент, що прикладений до будь-якого перерізу бруса і викликає деформацію бруса, називають скручувальним моментом Мк , а внутрішній силовий фактор називається крутним моментом Мх .
У розглядуваному брусі (рисунок 7.1) в будь-якому поперечному перерізі крутний момент Мх дорівнює скручувальному моментові Мк . Початкова твірна після деформації набуде вигляду Е, А, В, С. На відстані x від закріпленого кінця бруса виділимо елемент завдовжки dx (рисунки 7.1, 7.2). Як видно із рисунку 7.2
, (7.2)
, (7.3)
де відстань від точки перерізу до осі бруса, радіус перерізу, d діаметр бруса, max , відносний зсув на поверхні і на віддалі від осі бруса, відповідно.
Використовуючи закон Гука при зсуві (5.4), для дотичних напружень при крученні отримаємо вираз
|
(7.4) У площині поперечного перерізу на відстані від осі бруса виділимо елементарну площадку dА. Зусилля, що припадає на цю площадку, дорівнює dА, а момент цього зусилля відносно осі бруса дорівнює dА. Склавши суму зусиль отримаємо величину крутного моменту (1.13) (7.5) Підставивши значення із (7.4), матимемо (7.6) Як показано в розділі 6 (формула 6.6) |
тому (7.6) запишемо у вигляді
(7.7)
Підставивши це значення у вираз (7.4) матимемо
(7.8)
Для круглого поперечного перерізу
Користуючись цією формулою, легко визначити величину напружень в будь-якій точці перерізу, розташованій на відстані від осі бруса. Максимальні напруження діють у точках, які розташовані на контурі поперечного перерізу бруса (рисунок 7.2), для яких max = r. Величина максимальних напружень
Замінивши Ip/r полярним моментом опору (див.(6.21)) отримаємо
Для круглого поперечного перерізу
(7.9)
З формули (7.8) видно, що напруження змінюються прямо
|
пропорційно відстані від осі бруса. Розподіл дотичних напружень по перерізу бруса наведено на рисунку 7.3. Згідно з законом парності дотичних напружень, такі самі напруження діятимуть і в повздовжніх перерізах бруса (рисунок 7.3). Таким чином при кручені бруса виникає плоский напружений стан чистий зсув (рисунок |
7.3). Для елемента біля поверхні бруса взаємне положення головних площадок і площадок, на яких діють максимальні дотичні напруження, показано на рисунку 7.3.
Характер руйнування при крученні визначається напруженим станом і особливостями опору матеріалу бруса лінійним і кутовим деформаціям. Так, стержні із пластичних матеріалів будуть руйнуватися по поперечному перерізі від дотичних напружень. Дерев’яний стержень буде руйнуватися по повздовжніх перерізах, оскільки дерево погано чинить опір зсуву вздовж волокон. Стержень із крихкого матеріалу буде руйнуватися по площадках, розміщених під кутом 45 до осі, тобто перпендикулярних головному напруженню max .
Кут закручування ділянки стержня довжиною l знайдемо за формулою (7.7) з врахуванням (7.1)
(7.10)
Якщо крутний момент Мх і жорсткість перерізу GIp величини сталі на ділянці довжиною l, то
(7.11)
Кут закручування стрижня, який має n ділянок
(7.12)
7.2 Епюри крутних моментів
Для розрахунку бруса на кручення (формули 7.77.12) необхідно знати величину крутного моменту Мх в будь-якому поперечному перерізі бруса. Закон зміни крутних моментів по довжині бруса Мх(х) називають епюрою крутних моментів. Епюра дає наочне зображення розподілу крутних моментів вздовж осі бруса. Величину Мх знаходять із умови рівноваги будь-якої частини бруса, розміщеної з одного боку від перерізу. Із рівняння рівноваги (1.7) випливає, що крутний момент у будь-якому поперечному перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, прикладених до бруса справа або зліва від перерізу.
Епюри крутних моментів дають змогу визначити небезпечні перерізи, зокрема, якщо брус має сталий поперечний переріз, то небезпечними будуть перерізи на ділянці, де виникає найбільший крутний момент.
Крутний момент вважають додатним, якщо результувальний момент зовнішніх пар, прикладених до розглядуваної частини бруса буде
|
напрямлений за стрілкою годинника, коли дивитися в торець перерізу, і навпаки. Користуючись принципом пом’якшених граничних умов, вважатимемо, що у поперечному перерізі, де прикладений скручувальний момент, значення крутного моменту змінюється стрибкоподібно. При побудові епюри крутних моментів їх величини відкладають |
перпендикулярно прямій, паралельній осі бруса (базі епюри). На рисунку 7.4 приведений приклад побудови епюри крутних моментів.
7.3 Розрахунки на міцність і жорсткість
Для нормальної роботи стержнів на кручення необхідно задовольнити:
умову міцності
(7.13)
умову жорсткості
(7.14)
де допустиме напруження кручення, яке вибирають залежно від допустимого напруження на розтяг, умов роботи конструкції та інше. Наприклад:
для сталей
[]=(0,55...0,60)[]р,
для чавунів
[]=(1,0...1,2)[]р.
В формулі (7.14) допустимий кут закручування, нормований технічними умовами.
Для вала суцільного поперечного перерізу
, звідки
.
Для трубчастого вала
, звідки
де =d/D.
При розрахунках на жорсткість, враховуючи (7.14) і значення Ip для суцільного вала ,
для трубчастого вала
знаходимо:
для суцільного вала
для трубчастого вала
Таким чином діаметр вала визначають з умови міцності (7.13) та умови жорсткості (7.14). За кінцевий розмір беруть більший діаметр.
Часто скручувальні моменти визначають за потужністю N, що передається на вал або знімається з нього і за його кутовою швидкістю . У такому випадку скручувальний момент визначають за формулою
. (7.15)
Якщо N взяти в ватах, а у радіанах за секунду, то Мк буде в Нм.
7.4 Напруження і деформації в стержнях некруглого
поперечного перерізу
В теорії кручення брусів некруглого поперечного перерізу гіпотеза плоских перерізів не виконується, оскільки в процесі деформації
|
поперечні перерізи таких брусів не залишаються плоскими і викривляються, приймаючи форму криволінійної поверхні. В зв’язку з цим задача з визначення напружень і деформацій не може бути розв’язана методами опору матеріалів. На рисунку 7.5 показана епюра розподілу напружень по прямокутному перерізі, при крученні, отримана методами теорії пружності. Як видно із рисунку 7.5 найбільші напруження |
будуть в точках А, А1, розміщених по середині довгих сторін. Їх можна визначити за формулою
, (7.16)
де
. (7.17)
В точках В і В1 напруження
. (7.18)
Кут закручування стержня
, (7.19)
де . (7.20)
Коефіцієнти , , залежать від відношення h/b і приводяться в таблиці
|
h/b |
1.0 |
1.5 |
1.75 |
2.0 |
2.5 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
0.208 |
0.231 |
0.239 |
0.246 |
0.258 |
0.267 |
0.282 |
0.299 |
0.307 |
0.313 |
|
|
0.141 |
0.196 |
0.214 |
0.229 |
0.249 |
0.263 |
0.281 |
0.299 |
0.307 |
0.313 |
|
|
1 |
0.859 |
0.820 |
0.795 |
0.766 |
0.753 |
0.745 |
0.743 |
0.742 |
0.742 |
Iк ,Wк називають моментом інерції і моментом опору при крученні.
Запишемо умови міцності та жорсткості для прямокутного перерізу:
Якщо має місце кручення стержня складного перерізу, який можна розбити на частини із прямокутних елементів, то для нього
,
де і = 1, 2, 3, …, n номери елементарних частин, на які розбитий переріз.
Оскільки кут закручування для всього перерізу і всіх його частин однаковий, то крутний момент розподіляється між окремими частинами перерізу пропорційно їх жорсткостям. Найбільшого значення напруження досягає для того елемента, в якого буде максимальне
,
де
7.5 Статично невизначувані задачі при крученні
Якщо крутні моменти, що виникають у поперечних перерізах бруса, не можуть бути визначені за допомогою лише рівнянь статики, то такі задачі називають статично невизначуваними.
|
План розв’язування статично невизначуваних задач при крученні розглянемо на такому прикладі. Визначити розміри поперечних перерізів стержня (рисунок 7.6), який закріплено з обох боків і скручується парою сил з моментом m=30 кНм. На ділянці АВ переріз стержня прямокутний, h/b=1.5; на ділянці ВСкруглий, причому d=b. Допустиме напруження =6 МПа. Побудувати епюру кутів закручування, якщо G=8104 МПа, а=0.5м. |
Щоб розв’язати задачу необхідно визначити реактивні моменти МА і МС . Оскільки для цього випадку можна скласти тільки одне рівняння статики
МА+МС=М, (7.21)
то задача є один раз статично невизначуваною. Необхідне для розв’язування ще одне рівняння отримаємо із умови, що кут закручування стрижня в перерізі
С=0, (7.22)
оскільки стержень в цьому перерізі закріплений.
Використовуючи формулу (7.12) запишемо (7.20) у вигляді
, (7.23)
Тепер (7.23) запишемо у вигляді
,
або
,
звідки
MA=0,66M.
а із (7.21) знайдемо
MC=0,34M.
За отриманими результатами побудована епюра крутних моментів Мх (рисунок 7.6, а)
Максимальні напруження:
на ділянці АВ
,
на ділянці ВС
.
Епюра напружень показана на рисунку 7.6, в. Найбільші напруження, як бачимо, мають місце в точках, які знаходяться по середині довгих сторін прямокутного перерізу (ділянка АВ). Для них необхідно задовольнити умову міцності
,
звідки
м.
Приймаємо d=100 мм, b=100 мм, h=150 мм.
Кут повороту перерізу В відносно закріпленого перерізу А
рад.
Епюра кутів закручування показана на рисунку 7.6, г.