Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 25
Содержание
Список использованной литературы
Задача 1.
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение.
Пусть Bi – необходимый минимум питательных веществ i-го типа. Так, B1=10 кг, B2=20 кг, B3= 7 кг. Ci – стоимость 1 кг j-го набора.
Целевая функция (общие расходы):
Ограничения:
(азотные удобрения)
(фосфорные удобрения)
(калийные удобрения)
т.С - пересечение (1) и (2) : т.С(2;2)
3. Определим значение F(xl, x2) в угловой точке области допустимых решений - С и определим min:
F(C) = 3*2 + 4*2 = 14 = min f(x)
Решая на максимум значение F(xl, x2) будет стремиться в , т.к. область допустимых решений не ограничена сверху:
Рис.1. Графический метод решения задачи.
Задача 2.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
|
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
|
А |
Б |
В |
Г |
||
|
I II III |
2 1 2 |
1 2 4 |
3 4 1 |
2 8 1 |
200 160 170 |
|
Цена изделия |
5 |
7 |
3 |
6 |
Требуется:
1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: •проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане
исходной задачи;
•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение.
1) Сформулируем прямую задачу:
x1 ед. продукции вида А;
x2 ед. продукции вида Б;
х3 ед. продукции вида В;
x4 ед. продукции вида Г.
Выручка от реализации продукции выражается целевой функцией:
f(x) = = 5х1 + 7х2 + Зх3 + 6x4 max
На изготовление изделий будет израсходовано (2x1 + 1х2 + 3х3+2х4) ед. ресурса 1, (1x1 +2х2 + 4х3 + 81x4) ед. ресурса 2, (2x1 +4х2+ 1х3+ 1x4) ед. ресурса 3.
Так как запасы ресурса 1 не превышают 200 ед., запасы ресурса 2 не превышают 160 ед., запасы ресурса 3 не превышают 170 ед., то имеем систему ограничений (по ресурсам):
(1)
\Ax4B
Ь >0 =
а) запишем исходную задачу в канонической форме, для чего вводим дополнительные переменные - по одному в каждое управление так, чтобы получить равенство:
(1)
-160(1)
= 170
б) в качестве основных переменных примем х5 х6 х7.
Определитель матрицы, состоящей из значений основных переменных, не равен 0:
Выразим основные переменные через свободные переменные – x1 х2 х3 х4 и получим общее решение:
(2)
т.к. в базисном решении свободные переменные объявляются равными нулями, то имеем базисное решение на I шаге = (0;0;0;0;200;160;170). Это решение допустимо, т.к. все xj 0.
Целевая функция базисного решения на I шаге: f(x) = 5*0 + 7*0 + 3*0 + 6*0 = 0.
в) найдем переменную, рост которой позволит максимально увеличить значение f(x). В нашем случае возьмем за вводимую переменную x2, т.к. С2 = 7>0 и С2 = 7 max. Определим допустимую границу роста вводимой переменной из оценочных отношений:
Xввод =min {200; 80; 42,5}=42,5, разрешающее уравнение - 2-е.
Основные переменные х5 х6 x2,
Свободные переменные – x1 х3 x4 х7.
Новое общее решение:
(2)
Имеем базисное решение на II шаге: = (0;42,5;0;0;157,5;75). Это базисное решение допустимо, т.к. все xj 0.
f(x) = 5x1 + 7(42,5 - 0,5x1 - 0,25x3 - 0,25x4 - 0,25х7) + 3х3 +6x4 =297,5 + 1,5x1 +1,25x4+4,25x4-1,75x7
г) найдем переменную, рост которой позволит максимально увеличить значение f(x). В нашем случае возьмем за вводимую переменную х1, т.к. C1 = 1,5 > 0 и C1 = 1,5 max. Определим допустимую границу роста вводимой переменной из оценочных отношений:
Xввод =min {105;-;85}=85, разрешающее уравнение – 3-е.
Основные переменные х5 х6 x1;
Свободные переменные - х3 x4 x2 х7.
Новое общее решение:
(2)
Имеем базисное решение на III шаге: = (85;0;0;0;30;75). Это базисное решение допустимо, т.к. все xj 0.
f(x) = 297,5 +1,5(85 – 2x2 - 0,5x3 - 0,5x4 - 0,5x7) +1,25x3 + 4,25x4 - 1,75x7 = 425 – 3x2 + 0,5x3 + 3,5x4 - 3,5x7
е) найдем переменную, рост которой позволит максимально увеличить значение f(x). В нашем случае возьмем за вводимую переменную х4, т.к. С4 = 3,5 > 0 и С4 = 3,5 max. Определим допустимую границу роста вводимой переменной из оценочных отношений:
xввод = min {30;10;170} = 10, разрешающее уравнение-2-е.
Основные переменные x5 x4 x1,
Свободные переменные - х2 х3 x6 х7.
Новое общее решение:
(2)
Имеем базисное решение на III шаге: = (80;0;0;10;20;0). Это базисное решение допустимо, т.к. все xj 0.
f(x) = 425-3x2 +0,5х3 +3,5(10-7/15x3 -1/15x6 +2/15x7)-3,5х7 =460-3x2 -69,5/15x3 -3,5/15x6 -45,5/15x7
В целевой функции нет переменных, рост которых позволит увеличить значение f(x). Значит, план х(80;0;0;10;20;0) - оптимален, a f(x) = 460 = max.
2) Сформулируем двойственную задачу:
y1, y2, y3 - цены сырья I, II, III соответственно.
* целевая функция Z(y)= = 200у1 + 160у2 + 170уз min.
*ограничения (2)
Найдем ее оптимальный план, подставив в систему (1):
(3)
Согласно II теореме двойственности (II ТД): .
(4)
Т.к. для i=1 (строгое неравенство), то. .
Согласно II ТД:
(5)
Т.к. для j=1 и j=2 соответственно x1>0 и x4>0, то в системе (2) для соответствующих строк 1 и 4 имеем:
Т.к. Z(Y*)=F(X*), то согласно I ТД план -оптимален, план - оптимален.
3) Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане:
Имеем оптимальную производственную программу = (80;0;0;10)
X2,3=0 означает, что выпуск данной продукции нерентабелен при данной цене и ресурсных ограничениях.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности поясним:
а) Условием не дефицитности i-го ресурса является: , тогда его оценка (y) = 0. Т.к. y1 = 0, то I вид ресурса недефицитен. Тогда II и III виды ресурсов дефицитны, причем острее чувствуется дефицитность III вида (y3 > y2).
б) Для y*i > 0 имеем:
Тогда, зная и изменения запасов ресурсов, можно определить изменение общей стоимости продукции:
___________________________________________
Итого
Изменение запасов вызовет изменение производственной программы. Найдем ее, решив систему (1) с учетом изменения запасов и относительного только дефицитных ресурсов:
Итак, новая производственная программа x (230/3;0,0;35/3).
в) Чтобы определить целесообразность включения в план нового изделия, необходимо сравнить «внутреннюю» цену ресурсов используемых в его производстве, и цену на него (Cj).
Очевидно, что данное включение целесообразно, если
т.к. , то выпуск изделия «Д» целесообразен.
Задача 4.
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице.
|
Номер варианта |
Номер наблюдения (t = 1,2, ..., 9) |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
3 |
3 |
7 |
10 |
11 |
15 |
17 |
21 |
25 |
23 |
Требуется:
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Ос новные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответ ствующие листинги с комментариями).
Решение.
Наличие аномальных точек определим по методу Ирвина, для чего определим значения Q(t): Q(t) = Z(t) / S
Сравним полученные значения Q(t) в каждой точке с критическим значением Qкрит = 1,52
если Q(t) > Qкрит, то точка аномальна
если Q(t) < Qкрит, то точка не аномальна
|
t |
Y(t) |
Z(t)= |
h(t)= |
h(t)2 |
Q(t)=Z(t)/S |
Вывод |
|
|
Y(t)-Y(t-1) |
Y(t)-Yср |
||||||
|
1 |
3 |
-11,67 |
136,11 |
||||
|
2 |
7 |
4 |
-7,67 |
58,78 |
0,53 |
= 4 / 7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
3 |
10 |
3 |
-4,67 |
21,78 |
0,40 |
= 3/7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
4 |
11 |
1 |
-3,67 |
13,44 |
0,13 |
= 1 / 7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
5 |
15 |
4 |
0,33 |
0,11 |
0,53 |
= 4/7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
6 |
17 |
2 |
2,33 |
5,44 |
0,27 |
= 2 / 7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
7 |
21 |
4 |
6,33 |
40,11 |
0,53 |
= 4 / 7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
8 |
25 |
4 |
10,33 |
106,78 |
0,53 |
= 4/7,52 |
< 1,52,т.е. точка не аномальна |
|
9 |
23 |
-2 |
8,33 |
69,44 |
-0,27 |
= -2 / 7,52 |
< 1,52, т.е. точка не аномальна |
|
132 |
452,00 |
Рис.2. Наличие аномальных точек по методу Ирвина.
|
t |
Y(t) |
t-tср |
(t-tср)2 |
Y-Yср |
(t-tср)* (Y-Yср) |
Yл(t) |
E(t)= Y(t)-Yл(t) |
E(t)2 |
P |
R(t)= E(t)-E(t-1) |
R(t)2 |
E(t)* E(t-1) |
[E(t)/ Y(t)]*100 |
|
1 |
3 |
-4 |
16 |
-11,67 |
46,7 |
3,9 |
-0,9 |
0,75 |
28,889 |
||||
|
2 |
7 |
-3 |
9 |
-7,67 |
23,0 |
6,6 |
0,4 |
0,19 |
0 |
1,30 |
1,69 |
-0,38 |
6,190 |
|
3 |
10 |
-2 |
4 |
-4,67 |
9,3 |
9,3 |
0,7 |
0,54 |
1 |
0,30 |
0,09 |
0,32 |
7,333 |
|
4 |
11 |
-1 |
1 |
-3,67 |
3,7 |
12,0 |
-1,0 |
0,93 |
1 |
-1,70 |
2,89 |
-0,71 |
8,788 |
|
5 |
15 |
0 |
0 |
0,33 |
0,0 |
14,7 |
0,3 |
0,11 |
1 |
1,30 |
1,69 |
-0,32 |
2,222 |
|
6 |
17 |
1 |
1 |
2,33 |
2,3 |
17,4 |
-0,4 |
0,13 |
1 |
-0,70 |
0,49 |
-0,12 |
2,157 |
|
7 |
21 |
2 |
4 |
6,33 |
12,7 |
20,1 |
0,9 |
0,87 |
0 |
1,30 |
1,69 |
-0,34 |
4,444 |
|
8 |
25 |
3 |
9 |
10,33 |
31,0 |
22,8 |
2,2 |
4,99 |
1 |
1,30 |
1,69 |
2,08 |
8,933 |
|
9 |
23 |
4 |
16 |
8,33 |
33,3 |
25,5 |
-2,5 |
6,08 |
-4,70 |
22,09 |
-5,51 |
10,725 |
|
|
10 |
28,2 |
||||||||||||
|
11 |
30,9 |
||||||||||||
|
45 |
132 |
0 |
60 |
162 |
132,0 |
14,60 |
5 |
-1,60 |
32,32 |
79,6821 |
Рис.3. Анализ временного ряда.
Рассчитаем по методу наименьших квадратов параметры "а" и "b" линейной модели Y* = a+b*X
Итак, Y*=1,167+2,700*t
Формулы для расчета модели Брауна:
a0(t) = Yp(t) + E(t)*(1-b2)
a1(t)=a1(t-1)+E(t)*(1-b)2
Yp(t)=a0(t-1)+a1(t-1)
E(t)=Y(t)-Yp(t)
Из модели Y*(t)=1,17+2,70*t а0(0)=1,17; а1(0)=2,70
Y(1)=a0(0)+a1(0)*k=1,17+1*2,70=3,87
E(1)=Y(1)-Yp(1)=3-3,87=-0,87
a0(1)=Yp(1)+E(1)*0,91=3,87-0,87*0,91=3,08
a1(1)=a1(0)+E(1)*0,49=2,70-0,87*0,49=2,28
и т.д. циклично.
|
t |
Y(t) |
1-b2 |
(1-b)2 |
a0(t) |
a1(t) |
Yp(t) |
E(t) |
E(t)2 |
|
0 |
0,91 |
0,49 |
1,17 |
2,7 |
||||
|
1 |
3 |
0,91 |
0,49 |
3,08 |
2,28 |
3,87 |
-0,87 |
0,75 |
|
2 |
7 |
0,91 |
0.49 |
6,85 |
3,08 |
5,35 |
1,65 |
2,71 |
|
3 |
10 |
0,91 |
0,49 |
9,99 |
3,11 |
9,93 |
0,07 |
0,00 |
|
4 |
11 |
0,91 |
0,49 |
11,19 |
2,08 |
13,11 |
-2,11 |
4,45 |
|
5 |
15 |
0,91 |
0,49 |
14,84 |
2,93 |
13,27 |
1,73 |
2,99 |
|
6 |
17 |
0,91 |
0,49 |
17,07 |
2,55 |
17,77 |
-0,77 |
0,60 |
|
7 |
21 |
0,91 |
0,49 |
20,88 |
3,23 |
19,62 |
1,38 |
1,91 |
|
8 |
25 |
0,91 |
0,49 |
24,92 |
3,67 |
24,10 |
0,90 |
0,81 |
|
9 |
23 |
0,91 |
0,49 |
23,50 |
0,93 |
28,59 |
-5,59 |
31,20 |
|
9+1 |
24,43 |
|||||||
|
9+2 |
25,36 |
|||||||
|
Итого: |
45,41 |
Рис.4. Модель Брауна для а=0,7.
Y(1)=a0(0)+a1(0)*k=1,17+1*2,70=3,87
E(1)=Y(1)-Yp(1)=3,00-3,87=-0,87
a0(1)=Yp(1)+E(1)*0,64=3,87-0,87*0,64=3,31
а1(1)=а1(0)+Е(1)*0,16=2,70-0,87*0,16=2,56
Y(2)=a0(1)+a1(1)*k=3,31+1*2,56=5,87
Е(2)=Y(2)-Yp(2)=7-5,87=1,13
а0(2)=Yp(2)+E(2)*0,64=5,87+1,13*0,64=6,59
а1(2)=а1(1)+Е(2)*0,16=2,56+1,13*0,16=2,74
и т.д. циклично.
|
t |
Y(t) |
1-b2 |
(1-b)2 |
a0(t) |
a1(t) |
Yp(t) |
E(t)= Y(t)-Yp(t) |
E(t)2 |
P |
R(t)= E(t)-E(t-1) |
R(t)2 |
E(t)* E(t-1) |
[E/Y]* 100 |
|
0 |
0,64 |
0,16 |
1,167 |
2,7 |
|||||||||
|
1 |
3 |
0,64 |
0,16 |
3,31 |
2,56 |
3.87 |
-0,87 |
0,75 |
28,89 |
||||
|
2 |
7 |
0,64 |
0,16 |
6,59 |
2,74 |
5.87 |
1,13 |
1,27 |
1 |
2,0 |
3,97 |
-0,98 |
16,10 |
|
3 |
10 |
0,64 |
0,16 |
9,76 |
2,85 |
9,34 |
0,66 |
0,44 |
0 |
-0,5 |
0,21 |
0,75 |
6,64 |
|
4 |
11 |
0,64 |
0,16 |
11,58 |
2,59 |
12,61 |
-1,61 |
2,59 |
1 |
-2,3 |
5,17 |
-1,07 |
14,63 |
|
5 |
15 |
0,64 |
0,16 |
14,70 |
2,72 |
14,17 |
0,83 |
0,69 |
1 |
2,4 |
5,95 |
-1,34 |
5,54 |
|
6 |
17 |
0,64 |
0,16 |
17,15 |
2,66 |
17,42 |
-0,42 |
0,18 |
1 |
-1,3 |
1,57 |
-0,35 |
2,50 |
|
7 |
21 |
0,64 |
0,16 |
20,57 |
2,85 |
19,81 |
1,19 |
1,42 |
0 |
1,6 |
2,61 |
-0,51 |
5,68 |
|
8 |
25 |
0,64 |
0,16 |
24,43 |
3,10 |
23,42 |
1,58 |
2,51 |
1 |
0,4 |
0,15 |
1,89 |
6,33 |
|
9 |
23 |
0,64 |
0,16 |
24,63 |
2,37 |
27,53 |
-4,53 |
20,52 |
-6,1 |
37,36 |
-7,17 |
19,69 |
|
|
9+1 |
27,01 |
||||||||||||
|
9+2 |
29,38 |
||||||||||||
|
Итого: |
30,36 |
5 |
57,00 |
-8,77 |
105,98 |
Рис.5. Модель Брауна для а=0,4.
Сравним модели по величине E(t)2. Т.к. эта величина в модели для а = 0,4 меньше, то выберем эту модель. Повторим процедуры 4,5 для линейной модели, а результаты занесем в таблицу:
|
расчет |
оценка |
|
|
p= |
p=5 |
Т.к. p>2, то свойство случайности выполняется |
|
d= |
57,00/30,36=1,88 |
Т.к. d>d(2), то свойство независимости выполняется |
|
RS= |
6,11/1,95=3,14 |
Т к. RS=3,14 в интервале (2,7;3,7), то гипотеза о НЗР подтверждает |
|
Eотн= |
105,98/9=11,78 |
Т.к. 11,78% < 15%, то модель признается допустимой по точности |
|
при k=1: Y(9+1)=a0(9)+a1(9)*1=27,01 U(1)=2,70 |
||
|
при k=2: Y(9+2)=a0(9)+a1(9)*2=29,38 U(2)=2,86 |
Построим графики:
Рис.6. Фактические данные, модель Брауна с прогнозом.
а) случайность уровней ряда E(t) проверим по критерию поворотных точек Р:
У нас, p=5, т.к. Р > 2, то свойство случайности выполняется.
б) независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда E(t) проверим по критерию Дарбина-Уотсона:
d(l)=l,08; d(l) = 1,36
т.к. d > 2, то используем d*=4-d = 4- 2,21 = 1,79; т.к. d*>d(2), то свойство независимости выполняется.
в) соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по RS-критерию:
т.к.RS = 3,48 принадлежит интервалу [RSmin; RSmax] (RSmin=2,7; RSmax=3,7 из таблицы), то гипотеза о НЗР уровней ряда E(t) подтверждается, что позволяет сделать прогноз.
т.к. Еотн=8,85<15%, то модель признается допустимой по точности.
при k=1: t=9+l = 10 Y*(10)=1,167+2,700*10=28,17
при k=2: t =9+2=11 Y*(11)=1,167+2,700*11=30,87
k - шаг прогноза
Границы доверительного интервала прогноза:
Y10=Y*(10)+/-U(1)=28,17+/-1,87; Y11=Y*(11)+/-U(2)=30,87+/-1,98
|
Точечный прогноз |
Нижняя граница прогноза |
Верхняя граница прогноза |
|
|
к=1 |
28,17 |
26,29 |
30,04 |
|
к=2 |
30,87 |
28,88 |
32,85 |
Рис.7. Таблица прогнозных значений.
Рис.8. Фактические данные, линейная модель с прогнозом.
Список использованной литературы
1. Орлова И.В.Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2004. – 144 с.
2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2001, - 391 с.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Контрольная работа
По дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»
Вариант 3
Выполнил: студент 3 курса
Группа: ДО
№ личного дела:
Проверил: к.э.н., доцент, Хусаинова З.Ф.