Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Интерполирование сплайнами
Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Стирлинга и др. при использовании большого числа узлов интерполяции на всем отрезке [a, b] часто приводят к плохому приближению из-за накопления погрешностей в процессе вычислений [2]. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязательно приводит к повышению точности. Для снижения погрешностей весь отрезок [a, b] разбивается на частичные отрезки и на каждом из них функциюзаменяют приближенно полиномом невысокой степени. Это называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.
Один из способов интерполирования на всем отрезке [a, b] является интерполирование сплайнами.
Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция, определенная наотрезке [a, b] и имеющая на этом отрезке некоторое количество непрерывных производных. Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса.
Рассмотрим один из наиболее распространенных в практике случаев – интерполирование функции кубическим сплайном.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция. Введем разбиение отрезка:
(6)
и обозначим , .
Сплайном, соответствующим данной функциии узлам интерполяции (6) называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:
1) на каждом отрезке , функция является кубическим многочленом;
2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b] ;
3)
Третье условие называется условием интерполирования. Сплайн, определяемый условиями 1) – 3), называется интерполяционным кубическим сплайном.
Рассмотрим способ построения кубического сплайна [2].
На каждом из отрезков , будем искать сплайн-функцию в виде полинома третьей степени:
(7)
где искомые коэффициенты.
Продифференцируем (7) трижды по х :
откуда следует
Из условия интерполирования 3) получаем:
. (8)
Кроме того, будем считать .
Из условий непрерывности функции вытекает:
Отсюда с учетом (7) получим:
Обозначиви опуская промежуточные выкладки [2], окончательно получим систему уравнений для определения коэффициентов:
(9)
В силу трехдиагональности матрицы коэффициентов система (9) имеет единственное решение [2]. Найдя коэффициенты , остальные коэффициенты определим по явным формулам:
(10)
Таким образом, существует и найден единственный кубический сплайн, удовлетворяющий условиям 1) – 3) .