Это существенно упрощает рассуждения и часто позволяет доказывать теоремы или решать задачи пользуясь опр
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1 Метод координат на плоскости и в пространстве
Метод координат в геометрии в том и состоит, что посред ством координат точек геометрические объекты задают аналитиче ски с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем и тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач используют аналитические методы. Это существенно упро щает рассуждения и часто позволяет доказывать теоремы или решать задачи, пользуясь определенным
Напомним, что фигурой называется любое множество точек. Рассмотрим фигуру Ф, расположенную на плоскости с заданной на ней аффинной системой координатУсловием, определяющим фигуру Ф в данной системе координат, называется уравнение, неравенство или их система, которым удовлетворяют ко ординаты любой точки фигуры Ф и не удовлетворяют коорди наты точки, не принадлежащей фигуре Ф. Уравнение, определя ющее фигуру Ф, называется уравнением фигуры Ф в данной системе координат.
При изучении геометрических объектов методом координат часто рассматривают две задачи: 1) по заданным геометричес ким свойствам фигуры составить аналитические условия, опреде ляющие эту фигуру; 2) по заданным аналитическим условиям, определяющим фигуру, выяснить ее геометрические свойства. будут исполь зоваться векторы трехмерного векторного пространства любая система трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, образует базис этого пространства. Координатная система в пространстве вводится по аналогии с системой координат на плоскости . Возьмем какую-нибудь точку О и произвольный базис пространства. Четверка, состоящая из точки О и базиса называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается символом или(рис. 131). Точка О называется началом координат, а векторы— координатными векторами• I— первый координатный вектор, — второй, а— третий). Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются ко ординатными осями. Оси, параллельные векторам е1 е2 и е3, называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат и обозначаются так: Ox, Oy, Oz (рис. 131).
Плоскости, определяемые Осями Ox и Oy, Ox и OZ, Oy и OZ называются координатными
плоскостями и обозначаются .соответственно через Oxy, Oxz, Oyz. Иногда систему координат Ое1е2е2 обозначают черезOxyz.
2. Пусть— аффинная система координат, а М — произвольная точка пространства (рис. 132). Векторназывается радиус-вектором точки М (относительно точки О). Координаты х, у, z векторав базисе называются координатами точки М в системе координат Число х называется абсциссой, число у — ординатой, а число z — аппликатой (или первая, вторая, третья координаты) точки М; пишут: М (х, у, z). Таким образом, координатами точки М в системеназываются числа х, у, z такие, что (1)
По аналогии с понятием координат точек на плоскости справедливо утверждение: если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное со ответствие между точками пространства и упорядоченными тройка ми (х, у, z) действительных чисел, т. е. между точками пространства и элементами множества R3=RxRxR— декартов куб
множества действительных чисел.
Если аппликата z точки М равна нулю, то из равенства (1) получаем:
Векторылинейно зависимы, поэтому они компланарны . Это означает, что точка М лежит в плоскости Оху. Из предыдущего равенства следует, что в плоскости Оху точка М в системе координат имеет координаты (х,у). Аналогично приходим к выводу, что если у=0, то точка М лежит в плоскости Oxz, а если х=0, то в плоскости Oyz. Отсюда следует, что для любой точки оси абсцисс y=z=0, для любой точки оси ординат x=z=0, а для любой оси аппликат х=у=0. Начало координат имеет координаты (0, 0, 0).
Для построения точки М (х, у, z) по ее координатам в системе воспользуемся формулой (1). От начала координат О отложим вектор, затем от точки М1 отложим вектори, наконец, от точки М2 отложим вектор(рис. 132). По правилу многоугольника Таким образом, М — искомая точка. Ломаную OM1M2M3 называют координатной ломаной точки М. Итак, для построения точки М достаточно построить ее координатную ломаную. На рисунке 133 изображена аффин ная система координат и в ней построены точки А (2, 5, 4), В (4, -2,0), С (0, 4,0), D(0,0, 1), E(3,2,-1/2).
Задача 1. В аффинной сис теме координат даны точки
Най ти координаты вектора Решение. имеем: Но векторыявляются радиус-векторами точек М1 и М2, поэтому их координаты нам известны: Таким образом, векторимеет координаты
(2) Итак, каждая координата вектора равна разности соответ ствующих координат конца и начала вектора. искомые координаты точки М.
Задача 2. Найти координаты точки М, которая делит отрезок М1М2 в отношении λ, причем λ≠-1. Воспользуемся формулой , Вектора ОМ, ОМ1, ОМ2 являются радиус векторами точек М,М1, М2Пользуясь формулой (3), получаем (4) В частности, середина отрезка M1M2 имеет координаты (λ= 1):.
4. Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной, если базис этой системы является ортонормированным. Такая система координат с началом в точке О обозначается так: Координатыточки М (х, у, г) в прямоугольной системе коорди нат имеют простой геометрический смысл. Пусть ОМ1М2М — коор динатная ломаная этой точки. В данном случае точка М1 является проекцией точки М на ось абсцисс (рис. 135). Так как OM1=xi, то OM1= |x|. Таким образом, х = OMi, если М1 —точка положитель ной полуоси Ох; х=— ОМ1, если М1 —точка отрицательной полу оси, и х = 0, если М1 совпадает с точкой О. Аналогичный геометри ческий смысл имеют ордината у и аппликата z точки М. Пусть в прямоугольной системе координатточки М1 и M2 имеют координаты Вычислим расстояние между этими точками. По формуле (2) , получаем: (5)
2.Скалярное произведение векторов и его свойства.
Пусть и — ненулевые векторы. Отложим от произвольной точки О векторы и рассмотрим лучи ОА и ОВ Углом между векторами и называется угол между лучами ОА и ОВ т. е. угол АОВ, если эти лучи не совпадают. Если лучи совпадают, то угол между ними считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов. , ( - проекция вектора b на вектор а)
Теорема. Скалярное произведение векторов и заданных в ортонормированном базисе, выражается формулой (3). Доказательство: 1. Если хотя бы один из векторов и нулевой, то справедливость формулы (3) очевидна, поэтому достаточно рассмотреть
случай, когда оба вектора ненулевые. Рассмотрим два возможных случая.
1) Векторы и не коллинеарны. От какой-нибудь точки О отложим векторыи рассмотрим треугольник ОАВ. По теореме косинусовТак както предыдущее равенство можно записать так: (4)Так как вектор имеет координаты, то .И (5)Подставив эти значения в формулу (4), после элементарных преобразований получаем формулу (3).2) Векторы и коллинеарны. По теореме о коллинеарных векторах существует такое число λ, что ,следовательно, (6) По определению скалярного произведения Отсюда следует, что при любом λ имеем: , нопоэтому . Используя равенства (6), получаем формулу (3). Доказано.Следствие: Следствие: векторы в ортонормированном базисе взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, огда .Свойства скалярного произведения: 1. , 2. (доказательство: ). 3. (доказательство: =). 4. - скалярный квадрат. Выберем ортонормированный базиси введем в рассмотрение координаты данных векторов: Ограничимся доказательством одного из равенств, например равенства 3°:, остальные равенства доказываются аналогично. Так
3 . Пусть и — неколлинеарные векторы. От некоторой точки М пространства отложим векторыи построим параллелограмм МАСВ так, чтобы отрезки МА и МВ были смежными сторонами этого параллелограмма. В зависимости от выбора точки М на данных векторах можно построить бесконечное мно жество параллелограммов, но все они равны друг другу, поэтому имеют одну и ту же площадь.Рассмотрим ориентированное пространство. Векторным произведением неколлинеарных векто ров и , взятых в данном порядке, называется вектор р, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах; этот вектор перпендикулярен векторам и и на правлен так, что базисимеет правую ориен тацию. Векторное произведение коллинеарных век торов считается равным нуль-вектору.
Т1. Каковы бы ни были век торы (1)
D Рассмотрим сначала случай, когда векторы коллинеарны. Тогда векторы компланарны, поэтому левая часть равенства (1) обращается в нуль. Но правая часть этого равен ства также обращается в нуль, так каки поэтому Таким образом, в этом случае равенство (1) верно. Пусть теперь векторы не коллинеарны, а— единичный вектор, который перпендикулярен векторам и направ лен так, что базис правый (рис. 142). Тогда, очевидно, где S — площадь параллелограмма, построенного на век торах С другой стороны, векторы и сонаправлены, поэтому Итак, в этом случае равенство (1) также верно.
Рассмотрим, наконец, случай, когда векторыне коллинеарны, а— произвольный вектор. Пусть— единичный вектор, который перпендикулярен векторам и направлен так, что
базис правый. Разложим вектор по этому базису: Тогд
С другой стороны, по аналогичному свой ству скалярного произведения векторов ). Таким
образом,
Т 2. Если векторыв ортонормированием правом базисеимеют координаты векторимеет координаты:
Свойства векторного произведения:
1. при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак () (доказательство: векторы коллинеарны, имеют одинаковые модули (площади параллелограммов равны), но противоположно направлены (тройки и противоположной ориентации) следовательно, ). 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. (доказательство: пусть λ>0. Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы лежат в одной плоскости) значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и их направления совпадают. Имеют одинаковую длину: и . поэтому . аналогично для λ<0.). 3. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нуль-вектору, т.е. . Доказательство следует из того, что синус 0 и 180 равен нулю. 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: .
Векторное произведение через координаты: Или, что тоже самое .Определение коллинеарности через векторное произведение: .
•Лемма. Для любых векторовсправедливо равенство :
■ □ Выберем ортонормированный базистак, чтобы ии рассмотрим координаты векторов этом базисе: Выразим левую часть равенства (6) через координаты век торов По формуле (4) вектор [ab] имеет координаты: поэтому
С другой стороны, Таким образом, имеет место равенство (6).
Задача 1. Доказать, что площадь треугольника ABC вы числяется по формуле
(7)где Решение. Площадь параллелограмма, построенного на век торахчисленно равна , поэтому Отсюда, учитывая предыдущую лемму, получаем искомую формулу (7).
4. смешанное произведение векторов и его свойства.
1. пусть — некомпланарные векторы. От некоторой точки М пространства отложим векторы и построим параллелепипедтак, чтобы отрезки МА, МВ и МС были ребрами этого параллелепипеда. Рассмотрим ориентированное прост ранство. Смешанным (тройным) произве дением некомпланарных векторов, взятых в данном порядке, назы вается объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, снабженный знаком «-+-», если базис правый, и знаком «—», если этот базис левый. Сме шанное произведение компланар ных векторов считается равным нулю.
Лемма. Каковы бы ни были произвольный базис и ортонормированный правый базис имеет место равенство
Т1. Если векторы в произвольном базисе имеют координаты то
D Если векторыкомпланарны, то равенство (2) очевидно , поэтому рассмотрим случай, когда они не компланарны. Пусть- какой-нибудь ортонормированный правый базис, а Д — определитель, который записан в правой частиравенства (2). По свойству 2
Таким образом, учитывая свойство 3° получаем:
По предыдущей лемме числитель правой части равенства (3) равена знаменатель равен поэтому из равенства (3)
следует равенство (2). Если базисортонормированный, то поэтому справедливо утверждение.
Следствие. Если векторыв ортонормированном базисе имеют координаты
где, если базисправый, и если этот базис левый.Свойства смешанного произведения: 1. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей . Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер. 2. смешанное произведение не изменяется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения . Действительно, и . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов и одной ориентации. следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение без знаков векторного и скалярного произведения. 3. Смешанное произведение меняет свой знак перемене мест двух любых сомножителей, т.е. . Действительно, такая перестановка равносильна перестановке в векторном произведении, меняющей знак. Выберем ортонормированный правый базиси зададим данные векторы в координатах
Воспользовавшись формулой (4) и соответствующими свойствами определителей третьего порядка, убеждаемся в справедливости всех равенствВ качестве примера докажем, что
По формуле (4) имеем:
4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Определение объема параллелепипеда и пирамиды.
Объем параллелепипеда: .Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах: .4. Используем смешанное произведение векторов для решения следующей задачи. Задача. Найти объем тетраэдра ABCD, если в некоторой прямоугольной системе координат даны координаты его вершин: РЕШЕНИЕ. Объем параллелепипеда, построенного на векторах равенОтсюда следует, что объем V тетраэдра ABCD вычисляется по формуле. Векторыимеют координаты поэтому по формуле (4) получаем:
5. уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, на зывается ее направляющим вектором. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, однако любые два из них коллинеарны, так как они параллельны одной прямой. Положение прямой определяется однозначно, если даны на правляющий вектор прямой и некоторая ее точка или две точ ки прямой.
Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим век тором. Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты некоторой точки прямой d и направляющего вектора этой прямой. Напишем уравнение прямой d. Очевидно, точка лежит на прямой d тогда и только тогда, когда векто ры коллинеарны. Так как вектор имеет коорди наты то (1)Если точка М лежит на прямой d, то ее координаты удовле творяют уравнению (1), а если она не лежит на прямой, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению, поэтому урав нение (1) является уравнением прямой d. Уравнение (1) мож но также записать в виде
(1’).Уравнение прямой, заданной двумя точками. Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты двух точек данной прямой d . Тогда векторявляется направляющим вектором этой прямой. Так как этот вектор имеет координаты то согласно формуле (1) уравнение прямой d имеет вид: (2)Еслито это уравнение можно записать в виде(2’). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и дана прямаяd, пересекающая ось ординат. Если- направляющий вектор прямой, тоне коллинеарны, поэтому. Числоназывается угловым коэффициентом прямой d. Покажем, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой. Действительно, если — другой направляющий вектор прямой d, топо этому координаты векторовпропорциональны : . Отсюда, учитывая, что полу чаем Угловой коэффициент k прямой имеет простой геометриче ский смысл, если прямая задана в прямоугольной системе коор динат. Это тангенс угла наклона направляющего вектора прямой . y=kx+b- ‘то уравнение называется уравнением прямой с угловым ко эффициентом. любой прямой, пересекающей ось ординат.5. Параметрические уравнения прямой. Вы берем какую-нибудь аффинную систему координат и зада дим прямую d направляющим вектороми точкой , Точка принадлежит прямой тогда и только тогда когда т. е. когда существует такое число t, что Это соотношение в координатах запишется так: (5 ) или. Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, а t – ее параметром. Смысл этих уравнений заключается в следующем: каково бы ни было действительное числоt, точка с координатами которые удовлетворяют условиям (5), лежит на прямой d. Обратно, если— точка прямой d, то всегда найдется такое t, что выражаются через при помощи равенств (5).
Расстояние от точки до прямой
.Общее уравнение прямой. 1. уравнение любой прямой в аффинной системе координат является уравнением первой степени, т. е. может быть записано в виде Ax+By+C=0 (1) где числа А и В одновременно не равны нулю. Таким образом, прямая является алгебраической линией первого порядка.Докажем обратное утверждение.Т 1. Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени есть прямая Ax+By+C=0 (1). Вектор (-B,A) является направляющим вектором этой прямой.
□ Пусть—линия, заданная уравнением (1), а некоторая ее точка, т. е. точка, координаты которой удовлетворяютряют уравнению (1); Ax0+By0+C=0 (2) Такая точка всегда существует, так как A и B одновременно не равны нулю. Определив из равенства (2) С и подставив в уравнение (1), получим уравнение линиив виде Ax+By-Ax0-By0=0 или A(x-x0)-(-B)(y-yo)=0 Это уравнение имеет в точности вид (1) § 20 и, следова тельно, определяет прямую, проходящую через точкус направляющим вектором. Таким образом, любое уравнение первой степени (1) в аффин ной системе координат определяет прямую линию. Другими сло вами, любая алгебраическая линия первого порядка есть пря мая линия. Уравнение (1) называется общим уравнением пря мой, а х и у называются текущими координатами точки прямой.
Расстояние от точки до прямой1. Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он перпендикулярен любому направляющему век тору прямой. Существует бесконечное множество векто ров, перпендикулярных данной прямой. Лемма. Если прямая d в прямоугольной системе координат задана уравнением Ах+Ву+С=0, то вектор перпендикулярен прямой d.2. Пусть — точка, не лежащая на прямой d. Как известно из школьного курса геометрии, длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой d называется расстоянием от точкидо прямой d. Если , то будем считать, что расстояние от точкидо прямой d равно нулю. Обозначим расстояние от произвольной точки плоскости до прямой d через. Очевидно, для произвольной точки M прямой d имеем: .Пусть — перпендикуляр, проведенный из точкик прямой d тогда . Вектор перпендикулярен к прямой d поэтому коллинеарен вектору По определению скалярного произведения векторов имеем:Таким образом, (2)
Вычислим Пусть , тогда Поэтому Так как . Таким образом, Учитывая, что из формулы (2) окончательно получаем: Пример. В прямоугольной системе координат дана пря мая d уравнением Зх— 4у —2 = 0. Найти расстояние от начала координат до прямой d.Решение. Начало координат О имеет координаты (0, 0).По формуле (3) получим:
6. уравнение плоскости и прямой в пространстве
Уравнение плоскости 1. Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость а. Множе ство L всех векторов, параллельных плоскости а, является двумерным векторным подпространством трехмерного векторного простран ства V. Подпространство L назовем направляющим подпространством плоскости a.Пусть - какая-либо пара линейно независимых векторов из L. Векторы образуют базис подпространства L, т.е. L является подпространством, натянутым на векторы . Таким образом, направляющее подпространствоплоскости а можно считать известным, если даны какие-либо два неколлинеарных векторапараллельные этой плоскости. На плоскости а с направляющим подпространством возьмем некоторую точкуТочка М лежит на плоскости о тогда и только тогда, когда векторыкомпланарны и, следовательно, когда их смешанное произведение равно нулю (1). Используя это равенство, запишем уравнение плоскости а, за данной различными способами. 2. Уравнение плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством.
Пусть в аффинной системе координат заданы своими ко ординатами точка и два неколлинеарных вектора: Написать уравнение плоскости а, про ходящей через точку и имеющей направляющее подпростран ство Как отмечено выше, произвольная точка принадлежит плоскости а тогда и только тогда, когда выполнено условие (1) и, следовательно, когда выполнено равенство (2). Если точка М принадлежит плоскости а, то имеет место ра венство (1) и, значит, координаты точки М удовлетворяют уравнению (2). Если же точка М не лежит в плоскости а, то век торы не компланарны, поэтому не выполняется равен ство (1) и, следовательно, координаты точки М не удовле творяют равнению (2). Таким образом, уравнение (2) есть уравнение плоскости а. 3. Уравнение плоскости, заданной тремя точ ками. Задача: Написать уравнение плоскости, проходящей через три не лежащие на одной прямой точки: заданные своими координатами в некоторой аффинной системе координат. Решение. Так как данные точки не лежат на одной прямой, то векторыне коллинеарны и образуют базис направляющего подпространства рассматриваемой плоскости. Эту плос кость можно определить как плоскость, проходящую через дан ную точкуи имеющую данное направляющее подпространство Следовательно, ее уравнение можно написать по образцу уравнения (2) в следующем виде: (3)4. Уравнение плоскости, заданной точкой и перпендикулярным вектором. Говорят, что вектор перпендикулярен плоскости а, если вектор перпендикулярен любому вектору из направляющего подпространства плоскости а. В прямоугольной системе координат заданы своими координатами точка и ненулевой вектор . Написать уравнение плоскости а, проходящей через точку пер пендикулярно вектору (4) 5. Параметрические уравнения п л о с к о с т и. За дадим в пространстве аффинную систему координат. Пусть плоскость а проходит через данную точкуи имеет направляющее подпространство с базисом Уравнение плоскости: (6) u,v – параметры. Общее уравнение плоскости
Любую плоскость в пространстве можно задать принадлежащей ей точкой и направляющим подпространством. , где (7)
Так как векторыне коллинеарны, то в уравнении (1) коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно и, значит, уравнение (2) — уравнение первой степени. Это утвержде ние можно выразить словами: любая плоскость есть поверхность первого порядка. Докажем обратное утверждение.Теорема. Поверхность в пространстве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени (1), есть плоскость.При этом векторы принадлежат направляющему подпространству этой плоскости и какие-либо два из них образуют базис этого подпространства. □ По условию теоремы коэффициенты А, В и С одновременно не равны нулю. Пусть для определенности А#0. Тогда уравне ние (1) равносильно уравнениюСравнивая это уравнение с уравнением (2) предыдущего пара графа и учитывая, что при не коллинеарны, приходим к выводу, что уравнение {2) [а значит, и равносильное ему уравнение (1)) определяет плоскость с направ ляющим подпространством принад лежит этому подпространству, так как Если в уравнении (1) А = 0, то В#0 или С#О. В каждом из этих случаев аналогичными рассуждениями убеждаемся в том, что урав нение (1) определяет плоскость и векторы a, b и с принадлежат на правляющему подпространству этой плоскости.Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.Уравнения прямой в пространстве1. Пусть d—прямая в пространстве. Любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, называется ее направляющим векто ром. Все эти век торы, вместе с нулевым вектором, образуют одномерное векторное подпространство, которое называется направляющим подпростран ством прямой d. Положение прямой d в пространстве определяется полностью, если даны: а) направляющий вектор прямой в и некоторая ее точ ка; б) две точки прямой; в) две плоско сти, пересекающиеся по прямой d 2. Канонические уравнения прямой. Пусть в про странстве выбрана аффинная система координат и в этой систе ме известны координаты некоторой точки и коорди наты направляющего вектора прямой d. Напишем уравнения этой прямой. Сначала рассмотрим тот случай, когда ни одна из координат вектора р не равна нулю.Если одна из координат вектора p равна нулю, например: 3. Уравнения прямой, заданной двумя точ ками. Пусть в пространстве выбрана аффинная система коор динат и в этой системе известны координаты двух точек .уравнение: 5. Параметрические уравнения прямой. Вы берем какую-нибудь аффинную систему координат и зададим пря мую d направляющим вектороми точкой Точкапространства лежит на прямой d тогда и только тогда: Лемма. Если в аффинной системе координат прямая за дана уравнениями (5), то вектор является направляющим вектором этой прямой. □ Пусть σ1 и σ2— плоскости, заданные уравнениями (5), а d — заданная прямая. По лемме о параллельности вектора и плос кости. вектор p параллелен как плоскости σ1, так и плоско сти σ2 поэтому вектор p параллелен прямой d . Вектор p ненулевой, так как в системе уравнений (5) коэффициенты при x, у и z не пропор циональны. Таким образом, р — направляющий вектор прямой d.
7. Взаимное расположение прямых
1. Рассмотрим сначала взаимное расположение двух прямых. Пусть в пространстве заданы: прямая d1 - точкой M1 и направляющим вектором p1. и прямая d2 — точкой M2 и направляющим вектором p2. По векторам можно определить взаимное расположение данных прямых. Возможны четыре случая: 1) прямые скрещиваются; 2) пря мые пересекаются; 3) прямые параллельны; 4) прямые совпа дают. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности 1) две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости (т. е. не существует плоско сти, содержащей каждую из этих прямых). Следовательно, для того чтобы данные прямые d1 и d2 были скрещивающимися, не обходимо и достаточно, чтобы для них имело место неравенство(2) 2) Пусть прямые лежат в одной плоскости, и, следо вательно, для них выполняется условие (1) - . Эти прямые пересе каются тогда и только тогда, когда их направляющие векторы не коллинеарны. Прямые d1и d2, лежащие в одной плоскости, параллельны, когда векторы коллинеарны, а векторыне коллинеарны. 4) Ясно, что прямые d1и d2 совпадают тогда и только тогда, когда векторыпопарно коллинеарны. Расстояние между скрещивающимися прямыми Если прямые заданы уравнениями и то они:
1) параллельны (но не совпадают) 2) совпадают 3) пересекаются
4) скрещиваются Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах
Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных в аффинной системе координат каноническими уравне ниями:
Решение. По этим уравнениям находим точки и направ ляющие векторы данных прямых: Далее, учитывая, что приходим к равенству (1):
Значит, данные прямые лежат в одной плоскости. При этом координаты векторовне пропорциональны, поэтому эти векторы не коллинеарны. Отсюда вывод: прямые d1,d2 пересекаются. Задача 7. Доказать, что расстояние между двумя скрещи вающимися прямыми d1,d2 может быть найдено по формуле
8. движения плоскости. Определения, свойства, координатные формулы
Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называет ся движением (или перемещением).
Параллельный перенос – движение. Симметрия относительно точки – движение.Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой, называют репером и обозначают R=(A,B,C): Точки А, В и С называются вер шинами репера, причем точка А называется его началом. Репер называется аффинным, если треуголь ник ABC произвольный, и ортонормированным, если угол А пря мой, а AB=AC=1.При любом движении репер переходит в репер, в частности ортонормированный репер — в ортонормированный репер. Теорема 1. Пусть— произвольные ортонормированные реперы плоскости о. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R'. При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку M’с теми же координатами в репере R’. 1) Докажем сначала, что существует движение, которое репер Rпереводит в репер R’ Построим отображение g : о -> о следующим образом. Произвольной точке М с координатами х, у в репере R поставим в соответствие точку М' с теми же координатами в репере R’. Ясно, что и и тображениеявляется взаимно однозначным отображением плоскости на себя, т. е. является преобразованием плоскости о. Докажем, что g сохраняет расстояния. В самом деле, пусть М1 и M2 — произвольные точки плоскости, которые в репере R имеют коор динаты Тогда Образв репере R’имеют те же координаты: , поэтому и, следовательно,Таким образом g - движение, которое переводит репер R в R'. 2) Докажем теперь, что g— единственное движение, которое переводит репер R в репер R’. Допустим, что это не так, т. е.существует другое движение f такое, что R’=f(R). Тогда на плоскости существует такая точка M, что образ M1 этой точки в движении g не совпадает с образом M2той же точки в движении f Так как поэтому т. е. точка A’равноудалена от концов отрезкаТочно так же можно доказать, что точки рfвноудалены от концов отрезка Таким образом, точкилежат на серединном перпендикуляре отрезкат. е. на одной прямой, что противоречит определению репера. Итак, g— единственное движение, которое репер R переводит в репер R’. Той этом движении точка переходит в точку1°. Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые — в параллельные прямые.2°. Движение переводит полуплоскость с границей а в полу плоскость с границей a’, где a’ — образ прямой a.Отношение λ, в котором точка С делит отрезок АВ, называется простым отношением трех точек А, В, и С и обозначается λ=(АВ,С)3°. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой.4°. Движение сохраняет отношение «лежать между».5°. Движение переводит отрезок АВ в отрезок в отрезок, сохраняя середину6°. Движение переводит луч в луч, а угол — в угол.7°. Движение переводит угол в равный ему угол.8°. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые. Два вида движений. Аналитическое выражение движения1, Будем говорить, что реперы одинаково ориентированы (противоположно ориентированы), если базисыодинаково ориентированы (противоположно ориентированы) (Таким образом, реперы R и R' одинаково ориентированы, еслии противоположно ориентированы, если Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориен тацию плоскости (меняет ориентацию плоскости), если любой репер и его образ одинаково ориентированы (противоположно ориентиро ваны).Теорема 1. Любое движение либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости.□ Пусть g— произвольное движение, ,R0— некоторый ортонормированный репер, а R0’— его образ, который также является ортонормированным репером. Возьмем произвольный репери рассмотрим его образ По основной теореме точки О, А, В в репере,R0 имеют те же коорди наты, что и соответствующие точки в репере R0’Отсюда следует, что векторыв репере R0 имеют те же координаты, что и соответственно векторы в репере R0’ поэтому Используя это равенство и свойство 2° получаем:Отсюда следует утверждение теоремы. Действительно, если
т. е. произвольный репер R и его образR’ориентированы одинаково, а если
|
Название движения |
точки |
Инвариантные прямые |
|
I. Движения первого рода |
||
|
1. Поворот а) Поворот на угол и |
Центр |
Нет |
|
б) тожд. преобр |
Любая точка пл-ти |
Любая прямая пл-ти |
|
в) Центральная симметрия |
Центр симметрии |
Любая прямая, прох. ч-з центр |
|
2. Параллельный перенос на р а) Параллельный перенос на вектор |
нет |
Любая прямая, параллель н р |
|
II. Движения второго рода |
||
|
3. Осевая симметрия 4. Скользящая симметрия |
Все точки оси Нет |
Ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная к ней Одна прямая |
9. Применение движений к решению задач на построение1. При решении многих задач на построение с успехом приме няются геометрические преобразования плоскости. При этом наибо лее часто употребляются преобразования подобия, особенно гомо тетия, различные виды движений, а также инверсия. Обычно принято говорить о различных «методах» решения задач на построение в зависимости от преобразования, применяемого при построении. В этом смысле говорят о методе подобия, методе симметрии, методе параллельного переноса, методе вращения и т. д. В этом параграфе рассмотрим примеры задач, решаемых с помощью движений, а в двух последующих параграфах рассмотрим методы подобия и инверсии. Применение движений к решению задач на построение заклю чается в том, что при анализе задачи, кроме данных фигур и искомой фигуры, рассматривают вспомогательную фигуру, которая получается из этих фигур или из их частей при помощи подходящего движения и которую легко построить по данным задачи.2. Рассмотрим пример задачи на построение, решаемой методом симметрии.Построение 18. Построить трапецию по заданным ее сто ронам. Решение. Уточним постановку задачи. Даны четыре отрезка Построить трапецию ABCD, где AD — большее осно вание, так, чтобы Анализ. Допустим, что задача решена и ABCD — искомая трапеция. Рассмотрим вспомогательную фигуру — треугольник , сторонакоторого является образом отрезка CD при парал лельном переносе на вектор (рис. 200, а). Треугольник легко построить по трем сторонам : Построив треугольник, легко построить искомую трапецию ABCD.Построение (рис. 200, б). Проведем произвольную прямую р и от некоторой точки D этой прямой на одном из лучей отложим отрезки Строим треугольниктак, чтобы АВ = с, BD = d. 3) Строим параллелограмм по трем вершинами В. Вершина С является точкой пересечения окружностей (В, b)иABCD — искомая трапеция.Исследование. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда существует треугольник , стороны которого соответственно равны отрезкам Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда a>bи наибольшее из чисел a’, с и d меньше суммы двух других. Для определения числа решений заметим, что задача отно сится ко второму типу задач. Можно утверждать, что если задача имеет решение, то она имеет только одно решение. Действительно, нетрудно доказать, что если построены две трапеции ABCD и A\B\C\D\, стороны которых соответственно равны, то эти трапеции равны.
4. При решении задач на построение методом вращения необхо димо уметь строить образы точек и прямых при данном вращении. Рассмотрим сначала эту вспомогательную задачу. Задача. Дано вращение вокруг точки О на направленный уголПостроить образ данной точки М и данной прямой а при этом вращении.Решение. Представляет интерес только тот случай, когда точка М не совпадает с точкой О, а прямая а не проходит через точку О.Для построения образа M’ точки М построим сначала окруж ность (О, ОМ), а затем направленный угол МОМ\, равный данно му направленному углуТочка пересечения луча ОМ\ с окруж ностью (О, ОМ) и есть искомая точка M’ (рис. 201).Для построения образа a’ прямой а построим сначала основание А перпендикуляра, проведенного из точки О к прямой а (рис. 201) . Построим затем образ A’ точки А в данном вращении и проведем через точку A’прямую а', перпенди кулярную прямой OA’'. Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что a’— искомая прямая. Рассмотрим теперь пример задачи, которая решается методом вращения.Задачи на доказательство. Задача 1. Даны прямая а и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. Доказать, что на прямой существует единственная точка M0такая, что для любой другой точки М этой прямой выполняется неравенство AM0+BM0<AM+BM
Ре ш ени е. Рассмотрим сим метрию s относительно прямой а. ПустьДля произвольной точки М прямой а выполня ется равенство ВМ = В1М, поэто му AM+BM=AM+B1M. Пусть М0 — точка пересечения отрез ка АВ1 с прямой а, а М — произ вольная точка прямой а, отлич ная от точки М0 (рис. 127). Так как точка М0лежит между точ ками А и В1, то AM0+M0B1=AB1 . С другой стороны, точки А, В1 и М не лежат на одной прямой, поэтом AB1<AM+MB1. Таким образом, AM0+M0B1<AM+MB1 или AM0+BM0<AM+BM
Итак, на прямой а существу ет единственная точка Мо такая, что для любой другой точки М этой прямой выполняется нера венство (1).
10. Преобразование подобия
1. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число k>0 что для любых двух точек A и B и их образов A’ и B' выполняется равенство A’B' =kAB .Числоk называется коэффициентом подобия. При k=1преобразование, подобия сохраняет расстояния, т. е. является движением. Следовательно, движение — частный случай преобразования подобия. Рассмотрим пример преобразования подо бия, отличного от движения. Зададим точку M0 и вещественное число m≠0. Каждой точке M плоскости поставим вектор в соответствие точку M’ так, чтобы M0M’=mM0M (1).
Такое отображение является преобразованием плоскости и называется гомотетией. Точка M0 называется центром гомотетии, а число m — коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия — преобразование подобия. Действительно, пусть M1,M2— произвольные точки плоскости, а M1’,M2’ - их образы. Из равенства (1) получаем: вектор M0M1’= mвектM0M1, вект M0M2’= mвектM0M2, поэтому вектM1’M2’=mвектM1M2.(2). Отсюда получаем: вект| M1’M2’|=|m||вект M1M2| или M1’M2’=|m|M1M2|. Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k=|m|. При m=1 из равенства (1) получаем: вектор M0M’=вектM0M. Отсюда следует, что любая точка М плоскости совпадает с ее образом, т. е. гомотетия с коэффициентом m=1 является тождественным преобразованием. При m = — 1 из равенства (1) получаем, что гомоте тия - центральная симметрия. В остальных случаях (т. е. когда |m|≠1) гомотетия — преобразование подобия, отличное от движения, т. е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояния между точками. Выберем ортонормированный репер (О, Е1, Е2) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у) —произволь ная точка плоскости, а точка M’(x’,y’)— ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии: x’=mx, y’=my (3).
2. Рассмотрим простейшие свойства гомотетии. 1°. Гомотетия с коэффициентом m≠1 переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии — в себя. □ Пусть Ax+By+C=0— уравнение данной прямой t. Подставив сюда значения х, у из (3) получаем уравнение образа t’ этой прямой: Ax’+By’+Cm=0. Этим уравнением определяется прямая. Если C≠0, то t’||t, а если С = 0, то t’,t совпадают. 2°. Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек. Пусть А, В и С - три точки прямой, а А’, В’ и С’—их образы, μ=(AB,C) и μ’=(A’B’,C’). По определению простого отношения трех точек имеем: векAC= μ вектСВ, вектA’C’= μ’ вектС’В’. По формуле (2) получаем: вектA’C’= m вектAC, векC’B’=m вектСВ, где m — коэффициент гомо тетии. Следовательно, mвектАС=μ’(mвектСВ) или вектАС= μ’СВ. Таким образом, μ’=μ, т.е. (AB,C)=(A’B’,C’). Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость. 3°. Гомотетия переводит угол в равный ему угол. Пусть ВАС — данный угол, а B’,A’,C’— образы точек В, А и С. По формуле (2) получаем: вектор A'B'=mвектAB, вектA'C'=mвектAC (4). Отсюда следует, что угол B'A'C'= углу ВАС. 4°. Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости. Пусть (А, В, С) — произвольный репер, а (A’,B’,C’) - его образ. Используя формулы (4), получаем: (вектAB,вектАС)| (вектA’B’,вектА’С’)=m2>0. Итак, в гомотетии любой репер и его образ ориентирова ны одинаково, т. е. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.
3. Нетрудно доказать, что если f1 и f2_ — преобразования подобия с коэффициентами k1 и k2, то f1f2— преобразование подобия с коэффициентом k1k2. Действительно f2f1 является преобра зованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек А и В и их образов A’=(f2f1)(A), B’=(f2f1)(B) выполняет ся равенство A’B’=k2k1AB. Если A1=f1(A), B1=f1(B), то A’=f2(A1), B’=f2(B1) по определению подобия A1B1=k1AB, A’B’=k2A1B1, поэтому A’B’=k2k1AB. т 1. Пусть f - преобразование подобия с коэффи циентом k, a h — гомотетия с тем же коэффициентом k и с центром в произвольной точке M0. Тогда существует одно и только одно движение g такое, что f=gh (5).□ Рассмотрим преобразование g=fh -1 (6). Оно является преобразованием подобия с коэффициентом k(1/k)=1 , т. е. движением. Из равенства (б) получаем: gh= (fh -1)h или gh= f(h -1h)=f. Таким образом, существует движение g, удовлетворяющее условию (5). Пусть теперь g1— произвольное движение, удовлетворяющее равенству f=g1h. Отсюда получаем: fh-1=g1. Учитывая равенство (6), мы приходим к выводу, что g1=g.
4. Гомотетия обладает всеми свойствами 1° — 8° движений, сформулированными в § 41 (см. п. 2). Доказанная теорема позволяет заключить, что и преобразование подобия обладает теми же свойствами. Следовательно, имеет место утверждение: преобразова ние подобия прямую переводит в прямую, параллельные прямые — в параллельные прямые, сохраняет простое отношение трех точек, полуплоскость переводит в полуплоскость, отрезок — в отрезок, луч — в луч. Преобразование подобия угол переводит в равный ему угол, а перпендикулярные прямые — в перпендикулярные пря мые. Итак, доказано, что любое преобразование подобия f можно представить в виде (5): f=gh, где g— движение, а h— гомотетия. Так как п сохраняет ориентацию плоскости, т. е. любой репер переводит в репер той же ориентации, то если g сохраняет ориентацию плоскости, то, очевидно, и f сохраняет ориентацию плоскости, а если g меняет ориентацию плоскости, то и / меняет ориентацию плоскости. Таким образом, любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию плоскости, либо меняет ее ориентацию. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае — преобразованием подо бия второго рода.
Формулы гомотетии: Если центр совпадает с началом координат, то . Если гомотетия с центром в точке А(a,b), то по опр. гомотетии вектAM'=mdtrnAM => вектAM’(x’-a, y’-b), AM(x-a,y-b) => , где c,d НЕ центр гомотетии.
Задача 10. Найти координатные формулы гомотетии, которая точки А(1; 2) и В(0; 0) отображает в точки А¢(3; 2), В¢(1; –2) соответственно. Решение. Найдём координаты векторов AB и A’B’ . Так как то коэффициент гомотетии равен 2. Будем искать формулы гомотетии в виде: Так как Н(А) = А¢, то следовательно, а = 1, b = – 2. Значит искомые формулы: .
11. Рассмотрим примеры задач на построение, решаемых методом подобия.
Построение 20. Построить треугольник по двум углам и периметру. Решение. Уточним постановку задачи: даны два углаи
отрезок Построить треугольник ABC так, чтобы , Анализ.Допустим, что задача решена и треугольник ABC построен (рис. 206, а). Этот треугольник удовлетворяет двум усло виям: Треугольник, удовлетворяющий условиюлегко построить.
Заметим, что существует бесконечное множество треугольников, удовлетворяющих этому условию. Пусть ЛВ\С\ — один из этих треугольников. Пользуясь теперь гомотетией, легко построить иско мый треугольник ABC, подобный треугольнику АВ\С\ и удовлетво ряющий условию Построение (рис. 206, б).
1) Построим треугольник АВ1С1 так, чтобы
2) На луче АВ отложим отрезки AD1 и AD, равные соответственно отрезкам периметр треугольника AB1C1. 3)Строим образы С и В точек С1 и В1 при гомотетии H, заданной центром А и парой точек DD1. Треугольник ABC искомый. Доказательство. Треугольники АВ1С1 и ABC гомотетичны, Поэтому Так как D=h(D1), то где т - коэффициент гомотетии h. Таким образом, поэтому Исследование. Ясно, что задача имеет решение только в том случае, когдаПри выполнении этого неравенства задача имеет только одно решение. Действительно, пусть построены два треугольника ABC и А1В1С1, удовлетворяющие условиям задачи. Тогда Из равенств (1) следует, что Поэтому
где к - коэффициент подо бия. Отсюда получаем : Срав нивая это равенство с равенством (2), приходим к выводу, что
Построение 21. Даны угол АОВ и точка М внутренней области этого угла. Построить окружность, проходящую через точку М и касающуюся сторон данного угла. Допустим, что искомая окружность построена (рис. 207, а). Эта окружность удовлетворяет двум условиям: окружность касается сторон угла Заметим, что легко построить какую-нибудь окружность, удовлетворяющую условию Таких окружностей существует бесконечное множество (рис. 207, а), причем их центры лежат на биссектрисе угла АОВ. Пусть w1 — одна из этих окружностей. Пользуясь теперь гомотетией, легко построить искомую окружность Отсюда вытекает следующий способ решения задачи. Используя биссектрису т угла АОВ, строим какую-нибудь окружность w1 касающуюся сторон этого угла (рис. 207, б). Пусть точка М1 — одна из точек пересечения луча ОМ с окружностью Построим образокружностипри гомотетии с центром О, которая точку M1 переводит в точку М. Задача имеет два и только два решения. На рисунке 207, б выполнено построение только одной окружности (окружно сти), удовлетворяющей условиям задачи. Для построения второй окружности следует построить образ окружности w1 при гомотетии с центром О, которая точку М2 переводит в точку М.
Задача (на вычисление). Дан треугольник АВС. Построены четыре окружности равного радиуса р так, что одна из них касается трtх других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите р, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно. Решение. Пусть А1, В1, С1 - центры трех данных окружностей, касающихся сторон треугольника, О - центр окружности, касающейся этих трех, О1 и О2 - центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС.
Прямые АА1, ВВ 1, СС 1 являются биссектрисами углов треугольника АВС, поэтому они пересекаются в точке О1. Следовательно, треугольник А1В1С1 является гомотетичным образом треугольника АВС с центром гомотетии О1 и коэффициентом равным отношению расстояния от О1 до сторон треугольников А1В1С1 и АВС, т.е. равен . При этой гомотетии описанная окружность треугольника АВС
переходит в описанную окружность треугольника А1В1С1. Поскольку , радиус описанной окружности треугольника А1В1 С1 равен 2р. Следовательно
12. эллипс, гипербола, парабола
Эллипс.Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.
Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F1F2, начало координат – с серединой отрезка F1F2. Пусть длина этого отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и сумма расстояний от нее до F1 и F2 равна 2а. Тогда r1 + r2 = 2a, но ,
поэтому Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса: Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а Определение 11.4. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат. Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида. Свойства эллипса:1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
3) Эксцентриситет эллипса e < 1 Действительно, 4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса. Доказательство. Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:
Составим уравнения директрис: (D1), (D2). Тогда Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.
Гипербола.
Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
|r1 - r2| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить
- каноническое уравнение гиперболы. (11.3)
Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Определение 11.7. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
Свойства гиперболы:
1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями и . 3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот. 4) Эксцентриситет гиперболы e > 1. 5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы. Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.
Парабола.
Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда из равенства r = d следует, что
поскольку
Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.
Свойства параболы:
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Параллельное проектированиеВ стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Ка ким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскос ти? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость. Пусть – некоторая плоскость, l – пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется параллельной проекцией точки A на плоскость π в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит пря мой l, то параллельной проекцией A на плоскость π считается точка пересечения прямой l с плоскостью π.
Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее про екция A' на плоскость π. Это соответствие называется параллельным про ектированием на плоскость π в направлении прямой l.
Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость π образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проек цией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.
Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.Используя свойства параллельности прямых и плоскостей в пространстве, нетрудно доказать следующие свойства параллельного проектирования.Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проек цией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не парал лельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при парал лельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или од ной прямой.Свойство 4. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллель ной плоскости проектирования π, то ее проекция F’ на эту плоскость бу дет равна фигуре F.Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны. Однако, поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, вооб ще говоря, не сохраняются, то проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник с разной длиной сторон, проекцией прямоугольно го треугольника может быть не прямоугольный треугольник. Аналогично, хотя проекцией параллелограмма является параллелограмм, проекцией пря моугольника может не быть прямоугольник, проекцией ромба не обязательно является ромб, проекцией правильного многоугольника может быть неправильный многоугольник. Простейшим многоугольником является треугольник. Параллельной проекцией треугольника, как следует из свойств параллельного проекти рования, является треугольник или отрезок. При этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проектирования, то, как мы выясни ли, его проекцией будет треугольник, равный исходному. Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проек цией равностороннего треугольника.Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π (рис. 2). Построим на одной из его сторон. например, AC равносто ронний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости π. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость π в направлении прямой l.Рассмотрим теперь параллельную проекцию правильного шестиугольни ка ABCDEF с центром в точке O (рис. 3). Выберем какой-нибудь треу гольник, например, AOB. Его проекцией может быть треу гольник A’O’B’ на плоскости π (рис. 4), имеющий произвольную форму. Далее отложим O’D’=A’O’ и O’E’=B’O’. Теперь из точек A’ и D’ проведем прямые, параллельные прямой B’O’; из точек B’ и E’ проведем прямые, параллельные прямой A’O’. Точки пересе чения соответствующих прямых обозначим F’ и C’. Шестиугольник A’B’C’D’E’F’ и будет искомой проекцией правильного шестиугольника ABCDEF.Параллельная проекция обычно используется для изображения многогранников. Приведем примеры изображений многогранников. Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограмма ми (рис. 5).При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается па раллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, парал лельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Ос тальные грани куба изображаются параллелограммами (рис. 6). Анало гичным образом изображается прямоугольный параллелепипед (рис. 7).Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно постро ить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоу гольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, полу чим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы (рис. 8).Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно пост роить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать ка кую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соеди нить ее с вершинами многоугольника (рис. 9). Полученные отрезки бу дут изображать боковые ребра пирамиды.
14Позиционные задачи 2. Пустьдве фигуры пространства, а — их изображения на плоскостивыполненные в одной и той же проекции. Зада ча построения изображения точек пересечения фигурназы вается позиционной задачей. Такие задачи удобно решать, пользуясь методом аксонометрии. Отметим, что любая позиционная задача на полном изображении имеет вполне определенное решение и не содержит никакого произвола. Если же изображение неполное, то, решая позиционную задачу, некоторые элементы можно задать произвольно.Рассмотрим пример решения позиционной задачи. Согласно школьной практике при решении этой задачи, а также задач следую щего параграфа мы не будем отличать точки оригинала (или прямые оригинала) от их аксонометрических проекций; их будем называть просто точками (прямыми). В соответствии с этим точки или прямые оригинала обозначаем теми же буквами А,В,С,..,а,в,с,.. что и их аксонометрические проекции (а не .как мы это делали выше).Задача. Дано изображение пирамиды DABC и прямой, пересекаюшей ее грани ABD и BCD в точках М и N Найти следпрямой MN на плоскости основания ABC.Решение. Присоединим к изображению данной пирамиды изображениеаффинного репера. Тогда все вершины пирамиды и точки М и N будут заданными, поэтому данное изображе ние является полным. Прямая МЫ лежит в плоскости DMN, поэтому след Хо этой прямой лежит на следе р0 плоскости DMN, т. е..Х0—точка пересечения пря мыхПостроим след ро плоскости DM N. Прямые DM и DN пересекают плоскость основания пирамиды в точках, поэтому прямая р0 проходит через точкит. е. совпадает с прямой Таким образом, Интересно отметить, что эта задача решается только одной линей кой.. Построение сечений простейших многогранников . Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки данного многогран ника. Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, назы вается сечением многогранника. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырех угольники (рис. 110). Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пяти угольники и шестиугольники Рассмотрим примеры построения сечений призм и пирамид. Эти построения являются важными в школьной практике. Сначала ре шим задачи на построение сечений призм. Задача 1. дано изображение треуголь ной призмыи точек, ле жащих соответственно на ребреи гранях : Построить се чение этой призмы плоскостью MNP.Решение. Присоединим к изображе нию данной призмы изображение аффинного репера. Тогда все вершины призмы и точки М, Р, N окажутся заданными, поэтому данное изображение является полным.Для решения задачи необходимо построить отрезки, по которым плоскость MNP пересекает грани данной призмы. Прямая MP ле жит в плоскости грании пересекает ребро в точке X поэтому плоскость MNP пересекает граньпо отрезку MX (Аналогично строим отрезок XY, по которому плоскость MNP пересекает грань Построив отрезок MY, получаем искомое сечение — треугольник MXY.Так как треугольная призма имеет пять граней, то ее сечениями могут быть треугольники, четырехугольники и пятиугольники. При изменении положения точек М, N и Р на поверхности призмы мы можем получить все эти случаи. Например, на рисунке 113 плоскость MNP пересекает данную призму по четырехугольнику. В самом деле. в данном случае точка пересечения Y прямых XN илежит на продолжении ребра Поэтому прямая XN пересекает ребро в некоторой точке, а прямая YМ — ребров точкеСледовательно, искомым сечением является четырехугольникЗадача 2. Дано изображение че тырехугольной призмыи точек М, N, К, лежащих соответственно на гранях , и (рис. 114). Построить сечение этой приз мы плоскостью MNK.Решение. Присоединим к изобра жению данной призмы изображение (аффинного репера. Тогда всевершины призмы и точки М, N и К ока жутся заданными (для точек М, N и К вторичными проекциями будут соответ ственно точки изображен ные на рисунке 114). Следовательно, дан ное изображение является полным, и по этому искомое сечение вполне определено.Для решения задачи достаточно по строить точку пересечения плоскости MNK с одним из боковых ребер данной призмы. Действительно, если мы построим, напри мер, точку X пересечения плоскости MNК с ребром .. то затем, так же как и в за даче 1, сможем построить искомое сечение.Точка Х лежит в плоскости MNК, и ее вторичной проекцией является заданная точка А, поэтому ее легко построить см. § 30, задача 2). Сначала построим точку (рис. 114), затем точку ', и, наконец, точку. Построив точу X, строим последовательно трезки XY, 'ХН, YZ, на которых лежат соответственно точки N, М и К. Построив отрезок HZ, получаем искомое сечение — четырехугольник XYZH (рис. 114).
15 Треугольником, или трехвершинником, или трехсторонником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых (а не отрезков прямых), соединяющих эти точки попарно (рис.1). Точки называются вершинами, а прямые – сторонами треугольника.В дальнейшем будем говорить о треугольниках только в смысле этого определения, если не будет оговорено противное.Теоремы Дезарга, прямая и обратная, верны как в том случае, когда треугольники АВС и А'В'С' расположены в двух разных плоскостях, так и в том случае, когда они расположены в одной плоскости. В первом случае мы говорим о теореме Дезарга в пространстве, во втором случае о теореме Дезарга на плоскости.Точка S называется точкой Дезарга или центром перспективности, а прямая s – прямой Дезарга или осью перспективности данных треугольников. Два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга в пространстве называются перспективными, так как один из них есть перспективный образ другого; два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга на плоскости, называются гомологическими. Доказательство векторным методом Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.ABA'B'=P,ACA'C'=Q,BCB'C'=R,AA'BB'CC'=O,Доказать: P, Q, R лежат в одной прямойДоказательство: Рассмотрим векторы порождающие соответствующие точки, так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. = . Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой ,, - линейно зависимы =
Точки С, С', О - лежат на одной прямой = γ + = = γ +
,, - линейно зависимы точки А, В, Р одной прямой, ,,- линейно зависимы точки А', В', Р' одной прямой.P=ABA'B'
- = - = (2),, - линейно зависимы точки А, С, Q одной прямой.- линейно зависимы точки А', С', Q' одной прямой.Следовательно, Q=АСА'С' - = - = (3),, –линейно зависимы точки В, С, R одной прямой.,', ' –линейно зависимы точки В', С', R' одной прямой Следовательно, R=ВСВ'С'.Составим выражение: =--++-=- векторы , , линейно зависимы точки P, Q, R лежат на одной прямой. Теорема доказана.Замечание. Теорема Дезарга верна и в том случае, когда данные трехвершинники лежат в разных пло скостях трехмерного проективного пространства. В самом деле, рассмот рим трехвершинники лежащие в двух плоскостях . Так как прямые пересекаются в точке то точки лежат в одной плоскости, поэтому прямые пересекаются в некоторой точке М. Прямая лежит в плоскости, а прямая — в плоскости', поэтому точ ка М лежит на прямой d, по которой эти плоскости пересекаются. Аналогично доказывается, что точки N и Р пересечения прямых лежат на прямой. Таким образом, точки лежат на одной прямой.2. Сформулируем предложение, двойственное теореме Дезарга наплоскости. Для этого заметим, что фигурой, двойственной трехвершиннику, является трехвершинник. Иногда эту фигуру называют трехсторонником.Теорема 2 (обратная теореме Дезарга). Если точки пересече ния соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.
* Теорема не требует доказательства, так как справедливость ее непосредственно устанавливается по принципу двойственности на плоскости.Мы замечаем, что теорема 2 является обратной теореме 1.
16 Определение: Четверка точек A,B,C,D называется гармонической, если сложное отношение (AB,CD)= -1 Гармоническая четверка точек и гармонизм — это
инвариант проективного преобразования. В полном 4-х вершиннике на любой диагонали образуется гармоническая четверка точек.
Доказательство этого факта можно привести, используя в качестве репера вершины A,B,C,D, т.е. R=( A,B,C,D)
Выберем за репер (систему координат) вершины , т.е. . В этой системе координат найдем координаты любых точек и прямых ; ; ; .Можно найти уравнения всех сторон.
Найти уравнения любых прямых.
Используя полученные уравнения прямых найдем координаты диагональных точек ; ; .
Лемма Диагональные точки не лежат на одной прямой.Доказательство: Действительно, Точки лежат на одной прямой по построению и образуют гармоническую четверку.Доказательство: 1. состояние уравнения
2. 3. Неоднородные: В этой же системе координат легко доказать, что существует другие гармонические четверки: .
Теорема. На каждой диа гонали полного четырехвер шин ника диагональные точки гармо нически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точки.□ Пусть— полный четырехвершинник,— его диагональные точки (рис. 21). До кажем, что на диагонали PQ точки гаомонически разделяют пару
Потеореме § 10 имеем: то из равенств (1) и (2) получаем Изравенства (1), учитывая, что (PQ, MN) = — 1, следует, что (AC, RN) = — 1. Мы пришли к следующему утверждению.Следствие 1. Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки. Рассмотрим четыре прямые а, b, с, d некоторого пучка. Будем говорить, что пара прямых a, b гармонически разделяет пару прямых с, d, если [ab, cd) =— 1. Следствие 2. Две противоположные стороны полного четы рехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих сторон.На проективной плоскости, так же как и на евклидовой плоскости, можно решать задачи на построение. отличие в том, что на проективной плоскости циркуль, не может быть использован, так как в проективной геометрии нет понятия окружности.задачи на построение решаются с помощью линейки. При этом предполагается, что с помощью линейки можно строить прямые, проходящие через данные или построенные точки. при решении основными фигурами являются точки и прямые на евкли довой плоскости, точки и прямые, заданные условиями задачи на по строение, считаются построенными фигурами и множество построен ных фигур конечно. существует хотя бы одна построенная прямая, на любой построенной прямой существуют по крайней мере три построенные точки и вне построенной прямой существуют построенные точки. постулаты построений на проективной плоскости,.Построение прямой, проходящей через две построенные точки.Построение точки пересечения двух построенных прямых. Постановка задачи на построение на проективной плоскости формулируется следующим образом Дано конечное множество построенных точек и прямых и описано свойство, характе ризующее искомую непостроенную точку или прямую. Требуется, используя постулаты построений, получить конечное множество точек и прямых, содержащих искомые элементы.Рассмотрим пример решения задачи на построение. Условимся называть точку D четвертой гармонической к трем точкам А, В, С, если (АВ, CD) = — 1.
17Решение задач на построение методом пересеченийМногие задачи на построение удобно решать, применяя следую щие методы: метод пересечений (этот метод иногда называют методом геометрических мест), метод преобразований и алгебраический ме тод. Настоящий параграф посвящен методу пересечений. В после дующих параграфах рассмотрены два других метода.
1. Сущность метода пересечений состоит в следующем. Задачу сводят к построению одной точки X (основного элемента построе ния), которая удовлетворяет каким-то двум условиям a1 и a2, вытекающим из постановки задачи. Пусть F\ — множество точек, удовлетворяющих условию— множество точек, удовлетворяющих условию Тогда, очевидно, искомой точкой X будет любая точка множестваДля того чтобы точка Х была построена, необходимо, что бы фигуры F\ и F2 допускали построение с помощью циркуля и линейки, т. е. чтобы они были прямыми или окружностями или состояли из этих фигур или их частей. Поэтому при реше нии задач на построение особый интерес представляют множества точек, являющиеся прямыми или окружностями. Некоторые из мно жеств, которые перечислены ниже, чаще всего применяются при решении задач на построение.1°. Множество точек плоскости, каждая из которых равноуда лена от двух данных точек А и В, есть серединный перпенди куляр отрезка АВ.2 . Множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и отстоя щие от нее на данном расстоянии.3°. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.4°. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух пересекающихся прямых, есть две взаимно перпендикулярные пря мые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными пря мыми.5°. Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность (без точек А и В), постро енная на отрезке АВ как на диаметре.6°. Множество точек плоскости, из которых отрезок А В виден под углом есть две дуги с общими концами А и В (без точек А и В), симметричные относительно прямой АВ.7°. Множество точек плоскости, из которых данная окружность видна под углом , гдеесть окружность, концентрическая с данной, радиус которой больше радиуса данной окружности.
8°. Множество точек, делящих всевозможные хордь окружности (О, ОА), проведенные через точку А окружности, в одном и том же отношенииесть окружность (без точки А) с центрона прямой ОА, проходящая через точку А. Если, то эта ок ружность построена на отрезке ОА как на диаметре .9°. Множество точек плоскости, для каждой из которых раз ность квадратов расстояний от двух данных точек А и В постоян на, есть прямая, перпендикулярная прямой АВ 10°. Множество точек плоскости, для каждой из которых сум ма квадратов расстояний до двух данных точек А и В равнс
есть окружность с центром в сеоедине отрезка АВ, если .. , середина отрезка АВ, если, и пустое множество
если11и. Множество точек плоскости, для каждой из которых от ношение расстояний до двух данных точек А и В постоянно отлично от единицы, есть окружность с центром на прямой AЕ (окружность Аполлония,■2. Рассмотрим примеры задач на построение, решаемых мето дом пересечений. Построение 15. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым а и b и проходящую через дан ную точку М.
Решение. Анализ. Предположим, что задача решена и со — искомая окружность с центром О (рис. 196, а). Если мы построим точку О, то окружность (О, ОМ) будет искомой. Таким образом, задача сводится к построению точки О (основной эле мент постооения). Точка О удовлетворяет следующим двум усло виям: — эта точка равноудалена от параллельных прямых аи— отстоит от точки М на расстоянии, где— расстояние между параллельными прямыми а и b (см. рис. 196, а). Мно жество точек 1, равноудаленных от прямых а и b, есть пря мая (множество 3°), а множество точек, отстоящих от точки М на расстоянии, есть окружность (M,). Отсюда вытекает построение.Построение (рис. 196, б).1) Строим какой-нибудь общий перпендикуляр АВ данных парал лельных прямых а и b (построение 9).2)Строим серединный перпендикуляр т. отрезка АВ (построе ние 7).Пусть С — точка пересечения прямых АВ и т.3) Строим окружность (М, АС). Обозначим через О точку пере сечения прямой т и окружности {М, АС) (см. рис. 196, б).4) Строим искомую окружность (О, ОМ).Доказательство. Окружность (О, ОМ) по построению проходит через точку М. Она касается прямых а и b, так какИсследование. Ясно, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда прямая т и окружность (M, AC) имеют общие точки, причем число решений равно числу общих точек прямой т и окружности (M, АС). Возможны три случая.1) Точка М лежит между параллельными прямыми а и b. В этом случаепоэтому окружность (М, АС) и прямая т имеют две общие точки (теорема 1 из § 97). В этом случае задача имеет два решения (на рисунке 197, а) — окружности с центрами в точках 01 и O2)- Точка М лежит на одной из прямых а или b. В этом случае поэтому окружность (М, АС) касается прямой т, т. е. задача имеет только одно решение (рис. 197, б). Точка М лежит вне полосы, ограниченной прямыми а и b. В этом случаепоэтому окружность (M, AC) и прямая т не имеют общих точек. Задача не имеет решений.
18. В средней школе рассматривают построение отрезков, за данных следующими простейшими формулами:
Здесь а, b, с — числа, выражающие длины данных отрезков а, b, с в выбранной единице измерения. Правая часть каждой из формул 1—7 является однородным выражением первой степени и по доказанной теореме определяет отрезок х с точностью до равенства независимо от выбора единицы измерения.
Построение отрезков, заданных формулами 1, 2, 6 и 7, оче видно. Для построения отрезка, заданного формулой 3, представим
эту формулу в виде х = pa/a.Строим сначала отрезок т, где т = ра, а затем делим его на q равных частей. На рисунке 213 выпол нено построение для случая, когда р = 3, q = 5 (ОA=За,)ОХ = 3a/5. Построение отрезков, заданных формулами 4 и 5, выпол нено соответственно на рисунках 214 и 215.
С помощью построений 1—7 можно строить отрезки, заданные более сложными формулами. При этом важно, чтобы длина искомого отрезка выражалась через длины данных отрезков и с помощью однородного выражения первой степени, содержащего конечное число операций, встречающихся в формулах 1—7, т. е. сложения, вычитания, умножения на рациональное число, деления и извлечения квадратных корней. Рассмотрим пример.Пример 1. Пусть— данные отрезки. Построить отрезокзаданный формулойРешение. Построение отрезка х выполняем в следующей по следовательности . 1 .Строим отрезокзаданный формулой(для этого дважды выполняем построение отрезка, задана формулой 5). 2.Строим отрезок заданный формулой (построение отрезка, заданного формулой6).3. Строим отрезки и и v по формулам:(постро ение отрезка, заданного формулой 4).4. Строим отрезок х по формуле(построение отрезков, заданных формулой 4).3. В ряде случаев приходится строить отрезок, заданный формулой (1), гдене является однородным выражением первой степени. В этом случае в зависимости от выбора единичного отрезка формулой (!) определяются разные отрезки при одном и том же выборе отрезковПоэтому для построения отрезка кроме отрезков следует задать также единичный отрезок е. Нетрудно видеть, что в этом случае построение отрезка х,заданного формулой (1), сводится к построению отрезка, задан ного формулой (4)
где— длины данных отрезкова е — длина отрезка е при произвольном выборе единицы измерения. Теперь правая часть формулы (4) — однородное выражение первой сте пени от
2. Расчет налога на добавленную стоимость
3. відновні процеси полягають в переміщенні електронів і протонів від одних атомів або молекул до інших
4. летняя петербурженка стала триумфатором чемпионата Европы по легкой атлетике Маленькая однокомнатна
5. Закон мухи
6. Западный экономический район В состав СевероЗападного экономического района СЗЭР входят- г
7. Витте денежная реформа.html
8. реферата- а в распечатанном виде в соответствии с требованиями оформления приложение 123 и содержа
9. Ростов н-Д-Феникс 2002
10. Волгоградский государственный технический университет Факультет
11. Грецьким чудом назвав цивілізацію давньої Еллади французький історик XIX століття Ернест Ренан
12. Национальные и общественные процессы Республики Татарстан в оценках СМ
13. Период революционных изменений в физике
14. Курсовая работа - Принципы построения систем сотовой связи
15. Тема Принципы разделения властей Студента Гусева Светлана Сергеевна Содержание Введение
16. 79 характеристики- Масса кг- 27 без гранаты 293г заряженный Патрон- граната 40'46 Калибр
17. Реферат на тему- Диагностика малых групп Выполнил- студент группы 1бУП2 Журавлев Ф
18. Лабораторная работа 4 1
19. Phrasal verbs
20. Экономические расчеты фабрикоционого отделения для производства труб