Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
27.
Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя.
В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, ру, рz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h. Для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.
До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси К, поэтому составляющая импульса рx=0, так что рx=0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси X определяется с точностью до ширины щели, т. е. с точностью x. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2 ( — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси X, которая, как следует из рисунка и формулы ε=hv, ровнарх=рsin=(h/)sin.
Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу , удовлетворяющему условию xsin=, где x — ширина щели, а — длина волны де Бройля. Получим xpx=h, учитывая, что для некоторой, хотя и незначительной, части электронов, попадающих за пределы главного максимума, величина рxpsin. Получаем выражение xpxh, т.е. соотношение неопределенностей.
Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую составляющую импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.
28.
Дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.
Немецкий физик М. Борн предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая (х, у, z, t). Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля: W~|(х, y, z, t)|2
(||2=*) * —функция, комплексно сопряженная с ). Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz.
В квантовой механике состояние микрочастиц описывается с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна dW=||2dV. (216.2) Величина ||2=dW/dV (квадрат модуля -функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z. Физический смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля ||2, которым задается интенсивность волн де Бройля.
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна
Т.к.||2dV определяется как вероятность, необходимо волновую функцию нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей
интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству .Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция , характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 1, 2,....n,. .., то она также может находиться в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций:
где Сn (n=1,2, ...)— произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Волновая функция , являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект.
29.
Основное уравнение квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется.. Уравнение Шредингера имеет вид
где h=h/(2), m — масса частицы -оператор Лапласа (=д2/дx2+д2/дy2+д2/дz2), i — мнимая единица, U(х, у, z, t)— потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.
Уравнение справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной; 2) производные д/дx, д/дy, д/дz, д/дt должны быть непрерывны; 3) функция ||2 должна быть интегрируема;
Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, сопоставляется плоская волна. Плоская волна де Бройля имеет вид =Ae-(i/h)(Et-px) (учтено, что =E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только||2.Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р(Е=р2/(2m)) и подставляя выражения получим дифференциальное уравнение которое совпадает с уравнением для случая U=0
Уравнение является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U =U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем е-it=е-i(E/h0t, так что (х, у, z, t)=(х, у, z)e-i(E/h)t, где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя получим уравнение, определяющему функцию :
Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.