Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 6
Тема уроку: Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної.
Мета уроку: Познайомити учнів з означенням похідної, вияснити механічний та геометричний зміст похідної.
І. Перевірка домашнього завдання.
№ 2
=
№ 9
.
II. Сприймання і усвідомлення поняття похідної.
На попередньому уроці ми розглянули розв'язування двох за дач: знаходження миттєвої швидкості та знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Ці дві задачі розв'язуються одним і тим самим способом, який складається з таких етапів:
1) незалежній змінній х надаємо приросту Δх;
2) знаходимо приріст залежної змінної — Δу;
3) знаходимо відношення ;
4) знаходимо .
використовується при розв’язуванні і інших важливих задач (зокрема, про швидкість протікання хімічних реакцій, знаходження густини неоднорідного стержня, теплоємності тіла при нагріванні, сили змінного струму в провіднику та інш.), тому доцільно всебічно вивчити властивості цієї границі, зокре ма, вказати способи її обчислення.
Нехай задано функцію у = f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку хо даного проміжку, надамо значенню хо довільного приросту Δх (число Δх може бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб точка хо+Δх належала даному проміжку, тоді
1) Обчислимо в точці хо приріст Δу = Δf(хо) функції:
Δу = Δf(хо) = f(xo+ Δх) – f(хо);
2) Складемо відношення: .
3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δх → 0, тобто:
Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції у = f(x) в точці хо і позначають f '(хо) або у' (читається еф штрих від хо або у штрих).
!
Похідною функції у = f(x) в точці хо називається границя відно шення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто
.
Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = Зх2 + 2 в точці хо.
Знайдемо приріст функції:
Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = 3(хо + Δx)2 + 2 - 3 - 2 =
= 3 + бхоΔx+ 3Δx2 + 2 - 3 - 2 = 6хоΔх+ 3Δx2 = Δx(6xο + 3Δx).
Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:
.
Знайдемо похідну даної функції в точці х0:
f '(хo) = = = 6хо + 3 · 0 = 6хо.
Відповідь: 6хо.
Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo.
Знайдемо приріст функції:
Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = k(xo + Δx) + b - kxo - b = kxo + kΔx - kxo = kΔx.
Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:
Отже, f '(хo) = = = k, або (kx + b)' = k.
Відповідь: k.
З другого прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції є постійна величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо в формулі (kx + b)' = k покласти k = 0, b = C, де С — довільна постійна, то одержимо, що С' = 0, тобто похідна постійної дорівнює нулю.
Якщо в формулі покласти k = 1, b = 0, то одержимо х' = 1.
Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диферен ційованою в цій точці.
Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.
Нехай D1 — множина точок, у яких функція у = f(x) диферен ційована. Якщо кожному хD1 поставити у відповідність число f'(x), то одержимо нову функцію з областю визначення – D1. Цю функцію позначають f':
Виконання вправ
1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функ ції f, якщо:
а) f(x) = х2 + 1 в точці 1; б) f(x) = х3 в точці 1;
в) f(x) = в точці 1; г) f(x) = в точці 1.
Відповідь: а) 2; б) 3; в) -1; г) .
2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:
a) f(x) = 2х + 3; б) f(x) = х2 + х;
в) f(x) = 5х2 + 6х; г) f(x) = 3х2 + 5х + 6.
Відповідь: а) 2; б) 2х + 1; в) 10х + 6; г) 6х + 5.
3. За допомогою формули (kx + b)' = k, знайдіть похідні функції:
a) f(x) = 3х + 4; б) f(x) = 6х - 1;
в) f(x) = 10; г) f(x) = 5х.
Відповідь: а) 3; б) 6; в) 0; г) 5.
III. Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.
На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямо лінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):
v(t) = s'(t).
Виконання вправ
1. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t2 (м). Знайдіть швид кість руху точки в момент часу t = 1 с.
Відповідь: 4 .
2. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:
a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t; в) s(t)=t2·, г)s(t) = 3t2.
Відповідь: а) 3; б) -2; в) 5t; г) 6t.
3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t3 — 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:
а) в момент часу t; б) в момент t = 2 с.
Відповідь: а) (6t2 – 3); б) 21.
4. Рух точки відбувається за законом s(t) = t2 – 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?
Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.
IV. Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.
На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходжен ня кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані резуль тати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці xo до рівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo : f'(xo) = k = tg α (рис. 27)
Розглянемо функцію у = f(x). Її гра фік зображено на рис. 27.
У точці М(xo;yo) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(xo;yo) дотику і рівняння у = f(x) кри вої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: у = kx + b. Оскільки k = f'(xo), тому рівняння дотичної має вигляд:
у = f'(xo)x + b. (1)
Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(xo;yo) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:
уо = f '(хo) · хo + b, звідси b = уo – f '(xo) · xo.
Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одер жимо:
у = f '(xo) ·x + уо – f '(xo) · xo y – yо = f '(xо )(x – xo)·
Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:
y – yо = f '(xo)(x – xo). (2)
Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці xo можна знаходити за таким планом (схемою):
1. Записуємо рівняння (2) дотичної: y – yо = f '(xo)(x – xo).
2. Знаходимо уo = f(xo)·
3. Знаходимо значення f '(x) у точці xo: f '(xo).
4. Підставляємо значення xo, yo і f '(xo) y рівняння (2).
Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 - 4х в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.
.
4. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 28).
Виконання вправ.______________
1. Дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою xo утворює з додат ним напрямом осі ОХ кут 45°. Знайдіть f'(xо).
Відповідь: 1.
2. Відомо, що тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції у = f(x) в точці з абсцисою хo = –1 дорівнює 3. Запишіть рів няння дотичної до графіка функції в цій точці, якщо f(xo) = 2.
Відповідь: у = 3x + 5.
3. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х2 + 2х в точці x = 1; б) у = х2 + 2х в точці x = -27
Відповідь: а) гострий; б) тупий.
4. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х2 - 2 у точці:
а) xo = -2; б) xo = 0; в) xo = 1.
Відповіді: а) у = - 12х - 14; б) у = -2; в) у = 6х - 5.
V. Підведення підсумків уроку.
VI. Домашнє завдання.
Розділ VII § 2. Запитання і завдання для повторення до роз ділу VII № 11—17. Вправи № 1 (1, 2), 3.
PAGE
PAGE 6