Тема уроку Похідна

Работа добавлена на сайт samzan.net:

УРОК 6

Тема уроку: Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної.

Мета уроку: Познайомити учнів з означенням похідної, вияснити механічний та геометричний зміст похідної.

І. Перевірка домашнього завдання.

1.  Фронтальна бесіда за запитаннями № 1-5, 7-9 із “Запитання і завдання для повторення” розділу VII.
2.  Перевірка правильності виконання домашніх вправ за записами на дошці, зробленими перед уроком:

№ 2

=

№ 9

.

II. Сприймання і усвідомлення поняття похідної.

На попередньому уроці ми розглянули розв'язування двох задач: знаходження миттєвої швидкості та знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Ці дві задачі розв'язуються одним і тим самим способом, який складається з таких етапів:

1) незалежній змінній х надаємо приросту Δх;

2) знаходимо приріст залежної змінної — Δу; 

3) знаходимо відношення ;

4) знаходимо .

використовується при розв’язуванні і інших важливих задач (зокрема, про швидкість протікання хімічних реакцій, знаходження густини неоднорідного стержня, теплоємності тіла при нагріванні, сили змінного струму в провіднику та інш.), тому доцільно всебічно вивчити властивості цієї границі, зокрема, вказати способи її обчислення.

Нехай задано функцію у = f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку хо даного проміжку, надамо значенню хо довільного приросту Δх (число Δх може бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб точка хо+Δх належала даному проміжку, тоді

1) Обчислимо в точці хо приріст Δу = Δf(хо) функції:

Δу = Δf(хо) = f(xo+ Δх) – f(хо);

2) Складемо відношення: .

3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δх → 0, тобто:

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції у = f(x) в точці хо і позначають f '(хо) або у' (читається еф штрих від хо або у штрих).

!

Похідною функції у = f(x) в точці хо називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = Зх2 + 2 в точці хо.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = 3(хо + Δx)2 + 2 - 3 - 2 =

= 3 + бхоΔx+ 3Δx2 + 2 - 3 - 2 = 6хоΔх+ 3Δx2 = Δx(6xο + 3Δx).

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

.

Знайдемо похідну даної функції в точці х0:

f '(хo) =  = = 6хо + 3 · 0 = 6хо.

Відповідь: 6хо.

Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = k(xo + Δx) + b - kxo - b = kxo + kΔx - kxo = kΔx.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

Отже, f '(хo) =  = = k, або (kx + b)' = k.

Відповідь: k.

З другого прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції є постійна величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо в формулі (kx + b)' = k покласти k = 0, b = C, де С — довільна постійна, то одержимо, що С' = 0, тобто похідна постійної дорівнює нулю.

Якщо в формулі покласти k = 1, b = 0, то одержимо х' = 1.

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диференційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Нехай D1 — множина точок, у яких функція у = f(x) диференційована. Якщо кожному хD1 поставити у відповідність число f'(x), то одержимо нову функцію з областю визначення – D1. Цю функцію позначають f':

Виконання вправ

1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

а) f(x) = х2 + 1 в точці 1;  б) f(x) = х3 в точці 1;  

в) f(x) =  в точці 1;   г) f(x) = в точці 1.

Відповідь: а) 2;         б) 3;        в) -1;       г) . 

2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

a) f(x) = 2х + 3;       б) f(x) = х2 + х;

в) f(x) = 5х2 + 6х;    г) f(x) = 3х2 + 5х + 6.

Відповідь: а) 2;        б) 2х + 1;   в) 10х + 6; г) 6х + 5.

3. За допомогою формули (kx + b)' = k, знайдіть похідні функції:

a) f(x) = 3х + 4;       б) f(x) = 6х - 1;

в) f(x) = 10;           г) f(x) = 5х.

Відповідь: а) 3;         б) 6;        в) 0;        г) 5.

III. Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

v(t) = s'(t).

Виконання вправ

1. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t2 (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: 4 .

2. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

a) s(t) = 3t + 1;      б) s(t) = 3 – 2t;  в) s(t)=t2·,          г)s(t) = 3t2.

Відповідь: а) 3;         б) -2;       в) 5t;       г) 6t.

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t3 — 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

а) в момент часу t;  б) в момент t = 2 с.

Відповідь: а) (6t2 – 3);     б) 21. 

4. Рух точки відбувається за законом s(t) = t2 – 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?

Відповідь: а) t = 2;    б) t = 7.

IV. Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці xo дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo : f'(xo) = k = tg α (рис. 27)

Розглянемо функцію у = f(x). Її графік зображено на рис. 27.

У точці М(xo;yo) проведено дотичну до кривої     у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(xo;yo) дотику і рівняння у = f(x) кривої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: у = kx + b. Оскільки k = f'(xo), тому рівняння дотичної має вигляд:

у = f'(xo)x + b.                           (1)

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(xo;yo) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

уо = f '(хo) · хo + b, звідси b = уo – f '(xo) · xo.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одержимо:

у = f '(xo) ·x + уо – f '(xo) · xo   y – yо = f '(xо )(x – xo)·

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:

y – yо =  f '(xo)(x – xo).                         (2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці xo можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної:  y – yо =  f '(xo)(x – xo).    

2. Знаходимо уo = f(xo)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці xo: f '(xo).

4. Підставляємо значення xo, yo і f '(xo) y рівняння (2).

Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 - 4х в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.

Розв'язання

1.  y - yо =  f '(xo)(x – xo) — рівняння шуканої дотичної.
2.  уo= 12 – 4·1 = 1 – 4 = - 3.
3.  

.

4. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2              у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 28).

Виконання вправ.______________

1. Дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою xo утворює з додатним напрямом осі ОХ кут 45°. Знайдіть f'(xо).

Відповідь: 1.

2. Відомо, що тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції у = f(x) в точці з абсцисою хo = –1 дорівнює 3. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції в цій точці, якщо f(xo) = 2.

Відповідь: у = 3x + 5.

3. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х2 + 2х в точці x = 1;  б) у = х2 + 2х в точці x = -27 

Відповідь: а) гострий;  б) тупий.

4. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х2 - 2 у точці:

а) xo = -2;          б) xo = 0;           в) xo = 1.

Відповіді: а) у = - 12х - 14;   б) у = -2;    в) у = 6х - 5.

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ VII § 2. Запитання і завдання для повторення до розділу VII № 11—17. Вправи № 1 (1, 2), 3.

PAGE  

PAGE  6

1. Понятие миссии
2. 862306x Переведено на русский с английского в 1999 г
3. Эксклюзивно для БизнесКлассаБК Менеджер Все тоже самое при объемной скидке
4. великой разрухой Московского государства
5. Реферат- Система органов государственной власти субъекта федерации (на примере Санкт-Петербурга)
6. во МГУ 1992 ~ 176 с С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение
7. Фининберг Эзра
8. Понятие о музыкальных интервалах и аккордах
9. Золотая Лилия Ричел Райчел МидЗолотая Лилия Серия- Родословная ~ 2 А
10. на тему- ldquo;Героизм советского народа на фронтах Великой Отечественной войныrdquo;
11. тема Швейцарии Швейцария относится к числу наиболее респектабельных финансовых центров Европы
12. Пути переноса натрия в почках
13. Бухгалтерский учет и анализ II СЕМЕСТР Основные положения по учету оплаты труда Бухгалтерски
14. Эффективность трудовой деятельности рассчитывается как соотношение результата и затрат то есть п.html
15. лактозою 1 Пацієнт- вік- Тл
16.  2002 г
17. В нашем случае кабель прокладывается в грунт а также предусмотрены переходы через реки
18. Кадровый центр ОЖД состоит из Аппарата управления и шести подчиненных Генеральному директору автомобильн
19. гипотезы образования земли Гипотеза О
20. по теме ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ для студентов заочного факультета

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе