Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3.1. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковитца
Модель портфельного анализа Марковитца основана на следующих предположениях:
Введем следующие обозначения. Пусть – множество активов (акций, облигаций, валютных единиц, комбинаций активов), обращающихся на финансовом рынке; – рыночная стоимость актива в дискретные моменты времени ; – величина чистого денежного потока, связанного с активом , в промежутке между и : дивиденды, купонные выплаты и т.д. Тогда доходность актива за период времени определяется по формуле:
.
Рассмотрим вероятностное пространство , где – множество элементарных исходов на финансовом рынке, – множество событий, – вероятности на множестве событий. Актив , представленный на финансовом рынке, будет описываться случайной величиной как функцией от , где характеризует доходность актива для одного временного периода.
Математическое ожидание случайной величины для конечного вероятностного пространства определяется по формуле:
,
где – вероятность элементарного исхода, или по формуле
в общем случае.
Дисперсия случайной величины :
,
ковариация между и :
.
Если , то .
На практике вместо и часто используют их выборочные оценки, построенные на основе прошлых значений доходностей :
В однопериодной () модели Марковитца инвестор в момент времени формирует портфель :
, (3.1.1)
где показывает, какая доля капитала инвестора размещена в актив . Множество , представляющее собой всю совокупность портфелей, которые могут быть сформированы из активов, называют достижимым множеством.
Любой портфель характеризуется, согласно подходу Марковитца, двумя показателями – математическим ожиданием и дисперсией .
Математическое ожидание
показывает ожидаемую доходность портфеля . Формируя портфель активов, инвестор стремится к увеличению ожидаемой доходности.
Дисперсия портфеля
(3.1.2)
(или его стандартное отклонение ) характеризует уровень риска, связанного с портфелем . Инвестор, формируя портфель стремится к уменьшению его дисперсии.
Таким образом, можно по-разному формулировать оптимизационную задачу выбора из класса допустимых портфелей в зависимости от критерия оптимальности. Например, найти , являющийся решением задачи:
1. ,
,
где – некоторая константа, задающая значение ожидаемой доходности портфеля.
2. ,
где – функция полезности инвестора с частными производными
.
3.
задача с дополнительными линейными ограничениями на множество искомых портфелей.
Портфель , являющийся решением задачи оптимизации, которая отражает индивидуальные предпочтения инвестора относительно ожидаемой доходности и риска и ограничения рынка, на котором он действует, называется эффективным портфелем.
Множество портфелей, каждый из которых обеспечивает:
или ,
где , называется эффективным множеством.
На рис. 3.1.1 отображено множество точек (,), где , которое иллюстрирует местоположение достижимого множества в системе координат (,). Часть достижимого множества, расположенного на его границе между точками и представляет эффективное множество .
Рис. 3.1.1. Достижимое и эффективное множества
.
Анализ портфелей с использованием показателей среднего и дисперсии называют средне – дисперсионным анализом. Целью его является определение множества эффективных портфелей, обеспечивающих максимум ожидаемой доходности при минимуме риска.
Для поиска эффективного портфеля могут использоваться разные алгоритмы в соответствии с критериями оптимальности инвестора относительно ожидаемой доходности или риска. В то же время состав эффективного множества при одних и тех же ограничениях на портфели будет одинаковым независимо от методики его нахождения. Будем рассматривать эффективное множество как бесконечное множество эффективных портфелей, каждый из которых удовлетворяет критерию оптимальности какого-либо инвестора.
Эффективный портфель при фиксированном значении ожидаемой доходности
В данном случае инвестор выбирает портфель с фиксированным значением ожидаемой доходности и минимальным для этого уровня доходности риском. Совокупность эффективных портфелей для всех допустимых в эффективном множестве значений ожидаемой доходности составит искомое эффективное множество.
Рассмотрим финансовый рынок с рисковыми активами. Обозначим через вектор ожидаемых доходностей, через – матрицу ковариаций доходностей. Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Отметим, что матрица ковариаций будет вырождена, если верно хотя бы одно из следующих утверждений:
.
Обозначим через вектор весов для активов из сформированного портфеля : . Ожидаемая доходность портфеля равна: , а дисперсия . Задача нахождения портфеля, минимизирующего риск при заданном значении ожидаемой доходности портфеля, сводится к следующей задаче оптимизации:
(3.1.3)
где – вектор , состоящий из единиц.
Решение задачи (3.1.3) на условный экстремум будем искать с помощью метода множителей Лагранжа. Для этого необходимо построить функцию Лагранжа, найти ее производную по , приравнять к нулю, добавить уравнения – ограничения и решить систему линейных уравнений относительно . Итак, получаем следующую функцию Лагранжа:
,
где и – множители Лагранжа.
Таким образом, необходимо решить систему линейных уравнений с неизвестными:
В соответствии с предположениями, сделанными для и , решение задачи (3.1.3) существует и единственно. Его можно записать в следующем виде:
,
где и – векторы :
.
Решая задачу оптимизации для каждого , где
получаем эффективное множество (рис. 3.1.2).
Рис. 3.1.2. Эффективное множество и эффективный портфель при заданном уровне доходности
Эффективный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску
Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Эти предположения обеспечивают существование и единственность решения задачи оптимизации.
Определение эффективного портфеля в зависимости от отношения инвестора к риску сводится к следующей задаче оптимизации:
или в векторной форме:
(3.1.4)
Параметр отражает терпимость инвестора к риску и может быть соотнесен с относительной мерой риска Эрроу – Пратта ( – функция полезности Неймана – Моргенштейна) обратной зависимостью .
Решением задачи оптимизации (3.1.4) для всех является эффективное множество (рис. 3.1.3).
В соответствии с методом множителей Лагранжа, построим функцию Лагранжа:
.
Решение задачи (3.1.4) будет удовлетворять системе линейных уравнений с неизвестным:
(3.1.5)
Для решением задачи оптимизации является вектор
, (3.1.6)
соответствующий портфелю с минимальной дисперсией на множестве всех эффективных портфелей: (рис. 3.1.3).
Рис. 3.1.3. Эффективный портфель и отношение инвестора к риску
Для фиксированного решение задачи представимо в следующем виде:
, (3.1.7)
где – вектор , обладающий следующим свойством: . Экономический смысл вектора состоит в том, что он представляет собой не принадлежащий достижимому множеству самофинансируемый портфель, в котором покупка одних активов осуществляется за счет продажи других.
Таким образом, любой эффективный портфель является линейной комбинацией портфеля , который зависит только от и обеспечивает минимальный риск, и портфеля , генерирующего максимальную доходность.
Так как , то в результате эффективное множество в системе координат (,) будет определяться следующими формулами:
Пусть инвестор формирует портфель из рисковых активов с вектором ожидаемых доходностей и матрицей ковариаций и безрискового актива с детерминированной доходностью . Предполагается, что и матрица ковариаций положительно определена, т.е. решение задачи оптимизации существует и единственно. Для любого портфеля из достижимого множества
(3.1.8)
имеем:
или в векторной форме
где .
Определение эффективного портфеля может быть сведено к следующим задачам оптимизации.
1. Если критерием оптимальности является минимальный риск при заданном значении ожидаемой доходности портфеля, то получаем задачу оптимизации:
Решение задачи находится из системы линейных уравнений с неизвестными:
где – множители Лагранжа. Получаем:
Решая задачу оптимизации для каждого , получаем эффективное множество, которое в случае существования безрискового актива будет иметь в системе координат форму луча (рис. 3.1.4).
2. Если эффективный портфель определяется с учетом отношения инвестора к риску, то задача оптимизации будет иметь следующий вид:
где характеризует терпимость инвестора к риску. Решение задачи находится из системы линейных уравнений с неизвестными:
(3.1.9)
где – множитель Лагранжа.
Эффективный портфель, являющийся решением системы уравнений, можно представить в следующем виде:
, (3.1.10)
где – портфель с минимальной дисперсией, для которого , – вектор, обладающий свойством: , причем:
Решая задачу оптимизации для каждого , получаем эффективное множество (рис. 3.1.4).
Докажем, что в случае наличия безрискового актива эффективное множество в системе координат (,) является лучом.
Любой портфель из достижимого множества (3.1.8) можно представить как совокупность двух активов: безрискового и рискового, являющегося комбинацией рисковых активов. Обозначим через долю капитала инвестора, вложенную в рисковую часть портфеля, ожидаемую доходность рискового актива портфеля – через , его дисперсию – через . Тогда доля безрискового актива в портфеле составит . Доходность безрискового актива равна , а дисперсия – . Для любого портфеля имеем:
где – ковариация доходностей рисковой и безрисковой частей портфеля.
Отсюда , а значит – уравнение луча с началом в точке , которая соответствует портфелю с минимальной дисперсией . Луч будет касаться эффективного множества, не имеющего безрискового актива (рис.3.1.4). Точка касания соответствует портфелю, состоящему только из рисковых активов. Любая точка слева от характеризует портфель, для которого , т.е. когда инвестор делает вложения в безрисковый актив. Для любой точки справа от , т.е. инвестор заимствует безрисковый актив.
Рис. 3.1.4. Эффективное множество при наличии безрискового актива
Модель Марковитца в случае наличия дополнительных линейных ограничений
Предположим, что инвестор формирует портфель из рисковых активов с вектором весов , вектором ожидаемых доходностей и положительно определенной матрицей ковариаций . При этом существуют дополнительные линейные ограничения на эффективное или достижимое множество, например, запрет на осуществление короткой продажи или требование покупки одних активов за счет продажи других: , где и т.д. Отметим, что ограничение на достижимое множество (3.1.1) может принять следующую форму: .
Задачу оптимизации в случае наличия дополнительных линейных ограничений можно сформулировать в общем виде следующим образом:
(3.1.11)
где – матрица , – вектор , определяющие ограничения на достижимое или эффективное множество.
Функция Лагранжа определяется следующим образом:
,
где – вектор множителей Лагранжа. В соответствии с теоремой Куна-Таккера решение задачи (3.1.11) должно удовлетворять системе:
Решением системы является кусочно-непрерывная функция , имеющая разрывы в некоторых точках , в которых не выполняются ограничения задачи оптимизации. Следовательно, эффективное множество в системе координат будет также кусочно-непрерывным (рис.3.1.5).
Рис. 3.1.5. Эффективное множество при наличии дополнительных
линейных ограничений
Рассмотрим однопериодную модель (), характеризующую деятельность на финансовом рынке инвесторов, которые формируют свой портфель активов с учетом текущих и будущих обязательств. Такими инвесторами являются, например, пенсионные фонды и страховые компании, которые выбирают инвестиционную стратегию в зависимости от соотношения между своими активами и обязательствами.
Обозначим через начальную стоимость чистых обязательств инвестора (пенсионного фонда, страховой компании), а через – их стоимость в конце рассматриваемого временного периода. Тогда показатель роста обязательств, зависящий, в частности, от таких факторов, как ставка процента по безрисковым активам, уровень инфляции, показатель экономического роста и т.д., будет представлен следующей случайной величиной:
.
Пусть начальная рыночная стоимость активов инвестора равна . Формируя инвестиционный портфель , состоящий из рисковых вложений и имеющий доходность , инвестор увеличивает стоимость активов в конце рассматриваемого периода до величины
.
Разница между активами и обязательствами в начальный момент времени равна , а в конце периода –. В соответствии с подходом Марковитца выбор инвестиционного портфеля с учетом текущих и будущих обязательств осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимизацию соотношения
при минимальном значении риска
.
Получаем следующую задачу оптимизации:
или в векторной форме
(3.1.12)
где ,
Чтобы решить задачу оптимизации (3.1.12), построим функцию Лагранжа:
.
Искомый вектор , который существует и единственен, должен удовлетворять следующей системе уравнений:
Для получаем портфель с минимальной дисперсией:
,
где совпадает с оптимальным портфелем (3.1.6) с минимальной дисперсией из задачи оптимизации (3.1.4) и определяется только матрицей ковариаций доходностей рисковых активов ,
обладает следующим свойством: .
Для произвольного решение задачи можно записать в следующем виде:
,
где – единственный вектор в правой части формулы, зависящий от .
Решая задачу для всех , находим эффективное множество .
Из формулы (3.1.2) для расчета дисперсии портфеля становится очевидной роль корреляции (или ковариации) доходностей активов, представленных в портфеле, как фактора увеличения или снижения риска:
,
где – корреляция между и , , .
Чем больше отрицательных корреляций (ковариаций) между доходностями активов, тем меньше показатель дисперсии для одного и того же уровня ожидаемой доходности.
Так, в случае формула для расчета дисперсии портфеля из двух активов приобретает следующий вид:
.
Если , то дисперсия при прочих равных условиях будет минимальной. И наоборот, портфель, составленный из 2-х абсолютно положительно коррелированных активов (), будет связан с наибольшим риском. Рис. 3.1.6 наглядно демонстрирует это.
Рис. 3.1.6. Эффективное множество и корреляция для двух активов
Требование отрицательной коррелированности доходностей активов есть один из главных принципов диверсификации портфеля. Помимо этого способом снижения риска портфеля является увеличение количества активов .
Пусть портфель составлен из активов с некоррелированными доходностями () и ограниченными дисперсиями (). Тогда:
Если, например, , то:
Та составляющая риска, которая может быть редуцирована диверсификацией, т.е. является управляемой, называется несистематическим риском. Включение в портфель большого количества отрицательно коррелированных активов позволяет снизить несистематический риск. Другая составляющая риска – систематический риск – не поддается управлению диверсификацией и связана со стохастической природой финансового рынка. Оценка систематического и несистематического риска будет рассмотрена в следующей главе.
14