тематических дисциплин Е

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Колледж электроники и бизнеса ОГУ

Кафедра физико-математических дисциплин

Е.Ю.Каплина, М.Г.Таспаева

теория вероятностей и математическая статистика

Методические указания

к практическим работам

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом

государственного образовательного учреждения высшего

Профессионального образования «Оренбургский государственный

университет»

Оренбург

2012

УДК 519.21 (075.32)

ББК 22.171. я73

К 95

Рецензент – преподаватель кафедры информационных технологий П.Н.Шалыминов

Каплина Е.Ю., Таспаева М.Г.

К 95 Теория вероятностей и математическая статистика: методические

указания к практическим работам ⁄ Е.Ю.Каплина, М.Г.Таспаева;

Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург : ОГУ, 2012. – 107 с.

В методических указаниях предоставлены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения задач, и вопросы к защите практических работ, помещены задачи для самостоятельного решения.

Методические указания предназначены для выполнения практических работ, обеспечивающих учебный процесс по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» в колледже электроники и бизнеса ГОУ ОГУ для студентов 3 курса в 5 семестре специальности 230105 «программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» очной формы обучения, студентов 2 курса 4 семестра специальностей 230115 «программирование в компьютерных системах» очной формы обучения и 230113 «компьютерные системы и комплексы» очной формы обучения.

УДК 519.21 (075.32)

ББК 22.171. я73

Содержание

Введение……………………………………………………………………………...	8
Рекомендации по выполнению и оформлению практических работ……………..	9
Практическая работа №1. Решение комбинаторных задач………………………..	10
1.1.Теоретические сведения к практической работе №1………………………….	11
1.2.Примеры решения задач к практической работе №1………………………….	11
1.3.Ход работы……………………………………………………………………….	14
1.4.Содержание отчёта……………………………………………………………….	14
1.5.Варианты заданий для самостоятельной работы………………………………	15
1.6.Вопросы к защите практической работы №1…………………………………..	17
Практическая работа №2. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности…………………………………………………	17
2.1.Теоретические сведения к практической работе №2…………………………	17
2.1.1.Случайные события……………………………………………………………	17
2.1.2.Классическое определение вероятности……………………………………	18
2.1.3.Относительная частота события…………………………………………….	19
2.1.4.Статистическая и геометрическая вероятности…………………………….	19
2.2.Примеры решения задач к практической работе №2………………………..	20
2.3.Ход работы……………………………………………………………………..	22
2.4.Содержание отчёта……………………………………………………………..	22
2.5.Варианты заданий для самостоятельной работы……………………………	22
2.6.Вопосы к защите практической работы №2…………………………………	24
Практическая работа №3. Вычисление вероятностей сложных событий……..	24
3.1.Теоретические сведения к практической работе №3…………………………	25
3.1.1.Теорема сложения вероятностей несовместных событий………………….	25
3.1.2.Противоположные события………………………………………………….	25
3.1.3.Теорема умножения вероятностей………………………………………….	26
3.1.4.Вероятность появления хотя бы одного события………………………….	26
3.1.5.Формула полной вероятности………………………………………………..	27
3.1.6.Формулы Байеса………………………………………………………………	27
3.2.Примеры решения задач к практической работе №3……………………….	28
3.3.Ход работы……………………………………………………………………….	34
3.4.Содержание отчёта………………………………………………………………	34
3.5.Варианты заданий для самостоятельной работы…………………………….	34
3.6.Вопросы к защите практической работы №3………………………………….	36
Практическая работа №4.Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли	37
4.1.Теоретические сведения к практической работе №4…………………………	37
4.1.1.Формула Бернулли……………………………………………………………	37
4.1.2.Локальная теорема Лапласа…………………………………………………	37
4.1.3.Интегральная теорема Лапласа……………………………………………..	39
4.2.Примеры решения задач к практической работе №4………………………..	40
4.3.Ход работы………………………………………………………………………	42
4.4.Содержание отчёта………………………………………………………………	42
4.5.Варианты заданий для самостоятельной работы……………………………	42
4.6.Вопросы к защите практической работы №4…………………………………	44
Практическая работа №5. Решение задач на запись ДСВ………………………	44
5.1.Теоретические сведения к практической работе №5.………………………..	44
5.1.1.Случайная величина………………………………………………………….	44
5.1.2.Дискретная случайная величина……………………………………………..	45
5.1.3.Независимые случайные величины………………………………………….	47
5.1.4.Функция распределения……………………………………………………….	47
5.2.Ход работы………………………………………………………………………	49
5.3.Содержание отчёта……………………………………………………………..	50
5.4.Варианты заданий для самостоятельной работы……………………………	50
5.5.Вопросы к защите практической работы №5…………………………………	52
Практическая работа №6. Вычисление характеристик ДСВ…………………….	53
6.1.Теоретические сведения к практической работе №6…………………………	53
6.1.1.Математическое ожидание дискретной случайной величины…………….	53
6.1.2.Свайства математического ожидания……………………………………….	53
6.1.3.Дисперсия дискретной случайной величины……………………………….	54
6.1.4.Свойства дисперсии…………………………………………………………..	55
6.1.5.Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины….	56
6.1.6.Мода и медиана дискретной случайной величины…………………………	56
6.2.Ход работы………………………………………………………………………	56
6.3.Содержание отчёта……………………………………………………………..	56
6.4.Варианты заданий для самостоятельной работы……………………………..	57
6.5.Вопросы к защите практической работы №6…………………………………	58
Практическая работа №7. Решение задач на биноминальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение вероятностей и равномерно распределённую НСВ…………………………………………………	58
7.1.Теоретические сведения к практической работе №7………………………….	59
7.1.1.Биноминальное распределение вероятностей………………………………	59
7.1.2.Распределение Пуассона………………………………………………………	60
7.1.3.Геометрическое распределение вероятностей………………………………	61
7.1.4.Непрерывная случайная величина (НСВ)…………………………………..	62
7.1.5.Равномерно распределённая НСВ…………………………………………..	63
7.2.Ход работы………………………………………………………………………	64
7.3.Содержание отчёта………………………………………………………………	64
7.4.Варианты заданий для самостоятельной работы…………………………….	65
7.5.Вопросы к защите практической работы №7…………………………………	66
Практическая работа №8. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения……………………………………………………………..	67
8.1.Теоретические сведения к практической работе №8……………………….	67
8.1.1.Функция плотности НСВ……………………………………………………..	67
8.1.2.Свойства плотности распределения………………………………………….	68
8.1.3.Числовые характеристики НСВ………………………………………………	70
8.2.Ход работы………………………………………………………………………	72
8.3.Содержание отчёта………………………………………………………………	72
8.4.Варианты заданий для самостоятельной работы……………………………	72
8.5.Вопросы к защите практической работы №8…………………………………	75
Практическая работа №9. Вычисление вероятностей для нормально распределённой величины; вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательного распределения величины……………………	75
9.1.Теоретические сведения к практической работе №9……………………….	75
9.1.1.Нормальный закон распределения……………………………………………	75
9.1.2.Функция Лапласа……………………………………………………………..	77
9.1.3.Показательное распределение……………………………………………….	79
9.1.4.Показательный закон надёжности……………………………………………	80
9.2.Ход работы………………………………………………………………………	81
9.3.Содержание отчёта………………………………………………………………	81
9.4.Варианты заданий для самостоятельной работы…………………………….	82
9.5.Вопросы к защите практической работы №9…………………………………	84
Практическая работа №10. Элементы математической статистики……………..	85
10.1.Теоретические сведения к практической работе №10……………………..	85
10.1.1.Генеральная и выборочная совокупности…………………………………	85
10.1.2.Повторная и бесповторная выборки……………………………………….	86
10.1.3.Способы отбора……………………………………………………………..	87
10.1.4.Статистическое распределение выборки…………………………………..	88
10.1.5.Эмпирическая функция распределения……………………………………	89
10.1.6.Полигон и гистограмма……………………………………………………..	89
10.1.7.Статистические оценки параметров распределения………………………	90
10.1.8.Несмещённая, эффективная и состоятельная оценки……………………..	91
10.1.9.Генеральная и выборочная средняя………………………………………..	92
10.1.10.Генеральная и выборочная дисперсия……………………………………	92
10.1.11.Точность оценки, надёжность, доверительный интервал………………	95
10.1.12.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения………………………………………………………...	96
10.1.13.Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения………………………………………..	98
10.1.14.Характеристики вариационного ряда…………………………………….	98
10.2.Ход работы…………………………………………………………………….	99
10.3.Содержание отчёта…………………………………………………………….	100
10.4.Варианты заданий для самостоятельной работы……………………………	100
10.5.Вопросы к защите практической работы №10………………………………	102
Список использованных источников………………………………………………	103
Приложение А………………………………………………………………………..	104
Приложение Б………………………………………………………………………...	105
Приложение В……………………………………………………………………….	106
Приложение Г……………………………………………………………………….	107

Введение

Данные методические указания предназначены для выполнения практических работ дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».

Здесь рассмотрены основные теоретические вопросы, формулы, приведены примеры решения задач и даны практические задания для самостоятельного решения. В конце находятся вопросы к защите практической работы.

Для успешного выполнения практических работ студенты должны изучить теоретический материал по теме работы. Теоретический материал включает в себя элементы комбинаторики, основные комбинаторные объекты, формулы для расчёта количества комбинаций, классическое и геометрическое определения вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы для вычисления вероятностей сложных событий, вероятность появления хотя бы одного события, формула полной вероятности, формулы Байеса, формула Бернулли, локальная и интегральная теоремы Лапласа, закон распределения дискретной случайной величины, числовые характеристики дискретной случайной величины, понятие функции и плотности распределения, числовые характеристики непрерывной случайной величины, нормальное и показательное распределение случайной величины, основы математической статистики.

При выполнении практических работ студенты могут использовать данные методические указания, лекционный материал, дополнительную литературу. Итогом выполнения практической работы является отчёт, содержание которого приводиться. После выполнения практических работ каждый студент защищает работы по вопросам к защите.

Рекомендации по выполнению и оформлению практических работ

При подготовке к выполнению практических работ студент должен изучить соответствующие разделы по пособиям и учебникам (список литературы прилагается).

При выполнении практической работы и её оформлении необходимо соблюдать следующие правила:

1) Работа оформляется в тетради, имеющей поля.

2) Работа выполняется чернилами синего или чёрного цвета.

3) Перед решением каждой задачи нужно записать полностью её условие. В случае общей формулировки задачи, студент выбирает условие своего варианта, переписывает условие задачи, заменив общие данные конкретными из соответствующего варианта.

4) Решение задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.

5) Решение задач надо оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы.

6) В конце работы ставиться дата и подпись студента выполнявшего работу.

7) Если в работе допущены ошибки, то все исправления делаются в конце работы, после чего ставиться дата и подпись. Вносить исправления в текст практической работы запрещается.

Если студент испытывает затруднения при выполнении практической работы, то он может получить консультацию преподавателя.

Практическая работа №1

Тема: Решение комбинаторных задач.

Цель работы: Изучить основные комбинаторные объекты, формулы и правила расчета количества комбинаций. Научиться определять тип комбинаторного объекта, рассчитывать количество комбинаций заданного типа при заданных условиях.

1.1 Теоретические сведения к практической работе №1

Для успешного решения задач, с использованием классического определения вероятности, необходимо знать основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинации, использование которых необходимо знать: перестановки, сочетания, размещения.

Перестановки (от французского слова – permutation) – это комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся только порядком расположения элементов.

Формула для расчёта количества перестановок:

, (1)

где n – общее количество элементов;

– факториал числа n.

Факториал числа рассчитывается по формуле:

, (2)

где n – положительное число, от которого вычисляется факториал.

Сочетания (от французского слова – combinasion) – это комбинации, составленные из n различных элементов по k элементам и отличающихся составом элементов.

Формула для расчёта количества сочетаний:

, (3)

где n – общее количество элементов;

k – количество выбираемых элементов из n;

Формулу (3) применяют, когда порядок расположения выбранных элементов не важен.

Свойства сочетаний:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Размещения (от французского слова – arrangement) – это комбинации, составленные из n различных элементов по k элементам и отличающихся либо составом элементов, либо порядком расположения элементов.

Формула для расчёта количества размещений:

, (4)

где n – общее количество элементов;

k – количество выбираемых элементов из n;

Формулу (4) применяют, когда порядок расположения выбранных элементов важен.

Свойства размещений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1.2 Примеры решения задач к практической работе №1

Пример 1: В соревновании участвовало 8 команд. Сколько существует вариантов в распределении мест между ними?

Решение:

Ответ: 40320 варианта в распределении мест.

Пример 2: В полуфинале 8 команд, в финал попадает только три из них. Сколько существует вариантов выхода команд в финал?

Решение:

Ответ: 56 вариантов выхода трёх команд в финал.

Пример 3: В финале 8 команд. Разыгрываются три медали. Сколько существует вариантов в распределении медалей?

Решение:

Ответ: 336 вариантов в распределении медалей.

Пример 4: Вычислить значение выражения:

В данное выражение входят три размещения. Вычислим отдельно каждое размещение.

Подставим найденные значения в первоначальное выражение.

Ответ: Значение выражения равно 9.

Пример 5: Решить уравнение:

Решение:

По свойству пропорции получаем:

Ответ: 9,10.

Пример 6: В шахматном турнире, где участники встретились между собой один раз, два шахматиста выбыли по болезни, успев сыграть по 3 партии каждый. Сколько шахматистов начали турнир, если было сыграно 84 партии?

Решение: Составим и решим уравнение:

Ответ: 15 шахматистов начали турнир.

1.3 Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

1.4 Содержание отчета

1) Тема работы.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

1.5 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант 1

Вычислите значения выражений:

а) ; б) ;

Решите уравнения:

а) ; б) ;

Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
В розыгрыше личного первенства по шахматам было сыграно 120 игр. Сколько было участников, если каждые два участника встречались между собой один раз?
Среди 10 человек было разыграно три приза. Сколькими способами их можно разыграть, если:

а) все три приза различны;

б) все три приза одинаковы?

Вариант 2

Вычислите значения выражений:

а) ; б) ;

Решите уравнения:

а) ; б) ;

Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по трем ящикам?
В розыгрыше первенства по футболу было сыграно 153 матча. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
На пять сотрудников выделены три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если:

а) все три путевки различны;

б) все три путевки одинаковы?

Вариант 3

Вычислите значения выражений:

а) ; б) ;

Решите уравнения:

а) ; б) ;

На курсе изучается 5 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на субботу, если в этот день должны быть две различные пары?
В розыгрыше первенства по хоккею было сыграно 66 матчей. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
Среди 8 человек было разыграно три приза. Сколькими способами их можно разыграть, если:

а) все три приза различны;

б) все три приза одинаковы?

Вариант 4

Вычислите значения выражений:

а) ; б) ;

Решите уравнения:

а) ; б) ;

Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно составить из 15 преподавателей?
В розыгрыше первенства по баскетболу было сыграно 120 игр. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
На 6 сотрудников выделены три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если:

а) все три путевки различны;

б) все три путевки одинаковы?

1.6 Вопросы к защите практической работы №1

1) Что является предметом теории вероятностей?

2) Что такое «комбинаторика»?

3) Какие задачи называются комбинаторными?

4) Что такое размещения? Формула. Свойства размещений.

5) Что такое перестановки? Формула.

6) Что такое сочетания? Формула. Свойства сочетаний.

7) Связь между размещениями, перестановками и сочетаниями.

Практическая работа №2

Тема: Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности.

Цель работы: Изучить виды событий. Изучить понятие случайного события, совместные и несовместные события, полная группа событий, равновозможные события, классическое определение вероятности, методику вычисления вероятностей событий по классической формуле с использованием элементов комбинаторики. Научиться вычислять вероятности событий по классической формуле.

2.1 Теоретические сведения к практической работе №2

2.1.1 Случайные события

Испытание (опыт) – это осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых производится наблюдение.

Событие – это качественный результат испытания или испытаний, если они повторяются многократно. Принято события обозначать буквами латинского алфавита: A, B, C, … .

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое.

2.1.2 Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведём определение, которое называется классическим.

Классическое определение вероятности: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность события А вычисляется по формуле:

, (5)

где – число благоприятствующих исходов событию А;

– число всех возможных элементарных исходов.

Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможные.

Свойства классического определения вероятности:

1) если событие А – достоверное, то ;

2) если событие А – невозможное, то ;

3) если событие А – случайное, то .

2.1.3 Относительная частота события

Относительная частота события А определяется равенством:

, (6)

где – число испытаний в которых событие А наступило;

– общее число произведённых испытаний.

2.1.4 Статистическая и геометрическая вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности не применимо.

Наиболее слабая сторона классического определения вероятности состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

В качестве статической вероятности принимаем относительную частоту или число близкое к ней.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

2.2 Примеры решения задач к практической работе №2

Пример 1. Человек хотел позвонить по телефону, но забыл одну цифру в номере и набрал её наудачу. Какова вероятность, что цифра набрана верно?

Решение: Т.к. в десятичной системе счисления 10 цифр (0..9), а набрана одна цифра то число благоприятных исходов равно единице, а общее число исходов равно 10. Применяя формулу (5) получаем:

Ответ: вероятность того, что набрана правильная цифра, равна 0,1.

Пример 2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наудачу шар будет красным, зеленым или белым.

Решение: Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда, в соответствии с формулой (5) получаем:

;

Ответ: вероятности событий А, В, С соответственно равны , , .

Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, 4 стандартных.

Решение: Перед решением задачи составим схему условия (см. рисунок 1)

7 станд. 3 нест.

4 станд. и 2 нест.

Рис. 1 – Графическое изображение условия задачи

Обозначим через А – событие – из шести деталей четыре стандартных.

Применяя формулу классического определения вероятности (5), получаем:

Ответ: вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, четыре стандартных, равна .

Пример 4. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: а, т, м, р, с, о. Найдите вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных в ряд карточках можно прочесть слово «трос».

Решение: Событие А - получение слова «трос». Применяя формулу (5) получаем:

Ответ: вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных в ряд карточках можно прочесть слово «трос», равна .

2.3 Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

2.4 Содержание отчета

1) Тема.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

2.5 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

2. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 3 шара. Определить вероятность, что два шара белых, один черный.

3. В группе шесть мужчин и четыре женщины. Для участия в испытаниях отобраны семь человек. Какова вероятность того, что среди них есть три женщины?

4. На полке 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

5. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из букв: А, Н, О, П, С, Т, Я. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «НАСТЯ».

6. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

Вариант 2

1. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет однозначный номер.

2. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 3 шара. Определить вероятность, что два шара черных, один белый.

3. Имеется партия, состоящая из 15 деталей, среди которых четыре бракованные. Какова вероятность, что из пяти наудачу выбранных деталей две бракованных?

4. На подносе 5 пирожков с картошкой и 4 с капустой. Наудачу взяли 3 пирожка. Какова вероятность того, что среди них хотя бы 2 с капустой?

5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: А, О, П, К, Т, Я. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «ПЯТАК».

6. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Вариант 3

1. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?

2. В ящике 8 белых и 3 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 4 шара. Определить вероятность, что три шара белых, один чёрных.

3. В группе 15 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобраны десять студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов четыре отличника.

4. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

5. На каждой из восьми одинаковых карточек напечатана одна из букв: Е, К, Л, М, Н, О, П, Р. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «ПОКЕР».

6. По цели произведено 30 выстрелов, причём относительная частота попадания в цель оказалось равная 0,55. Сколько выстрелов попало в цель?

Вариант 4

1. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет два.

2. В ящике 7 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 5 шаров. Определить вероятность, что два шара черных, три белых.

3. В ящике имеется 14 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.

4. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

5. На каждой из девяти одинаковых карточек напечатана одна из букв: И, К, У, М, Н, Т, П, Р, А. Найти вероятность того, что из шести взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «МИНУТА».

6. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,7. Найти число годных приборов, если всего было проверено 150 приборов.

2.6 Вопросы к защите практической работы №2

1) Какие события называют случайными? Примеры.

2) Дать определение совместных и несовместных событий. Примеры.

3) Что такое полная группа событий? Пример.

4) Какие события называются равновозможными?

5) Классическое определение вероятности.

6) Свойства классического определения.

7) Относительная частота события. Устойчивость относительной частоты.

8) Отличие между вероятностью и относительной частотой.

9) Ограниченность классического определения вероятности.

10) Геометрическая и статистическая вероятности.

Практическая работа №3

Тема: Вычисление вероятностей сложных событий.

Цель работы: Изучить понятие противоположного события, условной вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, совместные и несовместные события, методику вычисления вероятности суммы совместных событий, формулу полной вероятности, формулу Байеса. Научиться находить условные вероятности сложных событий, представлять сложные события через элементарные события с помощью операций над событиями.

3.1 Теоретические сведения к практической работе №3

Сложным называется событие, состоящее в появлении нескольких простых событий.

3.1.1 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

, (7)

где – вероятность появления события А;

– вероятность появления события В.

3.1.2 Противоположные события

Противоположными называется два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать .

Теорема о полной группе. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

, (8)

где , , …, – вероятности событий образующих полную группу.

Теорема о противоположных событиях. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

, (9)

где – вероятность события А;

– вероятность противоположного события.

3.1.3 Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

, (10)

где – вероятность события А;

– условная вероятность события В.

3.1.4 Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, причем вероятности появления событий известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

, (11)

где , , …, – вероятности противоположных событий.

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

, (12)

где – вероятность противоположного события;

– количество проведённых испытаний.

3.1.5 Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , …, события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

, (13)

где , , …, – вероятности событий ;

, , …, – условные вероятности события А.

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

3.1.6 Формулы Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Условная вероятность любой гипотезы (i=1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле:

, (14)

где – вероятности гипотез (i=1, 2, …, n);

, , …, – условные вероятности события А.

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

3.2 Примеры решения задач к практической работе №3

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А):

Вероятность появления синего шара (событие В):

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения (7) применима.

Ответ: Вероятность появления цветного шара равна .

Пример 2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение: Обозначим: событие А – «из 2 деталей, 1 стандартная»; событие В – «из 2 деталей, 2 стандартных».

Составим схему для события А (см. рисунок 2).

8 станд. 2 нест.

1 станд. и 1 нест.

Рис. 2 – Схема события А

Составим схему для события В (см. рисунок 3).

8 станд. 2 нест.

2 станд. и 0 нест.

Рис. 3 – Схема события В

События А и В несовместны, поэтому теорема сложения (7) применима.

Ответ: Вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стандартная, равна .

Пример 3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Решение: Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), равна

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность равна

По теореме умножения (10), искомая вероятность равна

Ответ: вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй – эллиптический равна .

Пример 4. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трёх орудий таковы: ; ; . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение: Вычислим вероятности противоположных событий.

Искомая вероятность по формуле (11) получается

Ответ: вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий равна .

Пример 5. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение: По условию задачи р=0,4, P(A)=0,9. Вычислим вероятность противоположного события

Воспользуемся формулой (12) и найдем n. Подставив известные значения в формулу (12), получим:

Преобразуем полученное показательное неравенство:

Прологарифмируем обе части показательного неравенства по основанию 10.

Ответ: Стрелок должен произвести не менее пяти выстрелов.

Пример 6. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трёх испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании.

Решение: Воспользуемся формулой (12) и найдем q. Подставив известные значения в формулу (12), получим

По теореме противоположных событий (9) получаем:

Ответ: Вероятность появления события в одном испытании равна .

Пример 7. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение: Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие ), либо из второго (событие ).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, равна

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, равна

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, равна

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, равна

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности (13) равна

Ответ: Вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная, равна .

Пример 8. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролёр (гипотеза );

2) деталь проверил второй контролёр (гипотеза ).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролёр, найдем по формуле (14).

По условию задачи имеем:

Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру, равна

Вероятность того, что деталь попадет ко второму контролёру, равна

Вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролёром стандартной, равна

Вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролёром стандартной, равна

Подставляя найденные значения в формулу (14) получаем

Ответ: Вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр, приблизительно равна .

3.3 Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

3.4 Содержание отчета

1) Тема.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

3.5 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

3. Студент сдаёт в сессию три экзамена. Вероятности того, что студент сдаст первый экзамен 0,7, второй – 0,6, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст только один экзамен.

4. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

5. На сборочное предприятие поступили комплектующие с трёх заводов в количестве: 35 – с первого завода; 25 – со второго завода; 40 - с третьего завода. Вероятность качественного изготовления изделия на первом заводе 0,6; на втором – 0,8; на третьем – 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Вариант 2

1. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

3. По цели стреляют три стрелка. Вероятность попадания первым по мишени P1=0,7, вторым P2=0,8, третьим P3=0,9. Найти вероятность того, что третий попадет, а остальные промахнутся.

4. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле равна 0,5. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?

5. На склад поступило 1500 изделий с первой фабрики и 2000 изделий со второй. Известно, что вероятность изготовления нестандартного изделия среди продукции первой фабрики равна 0,03, второй – равна 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.

Вариант 3

1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором – число, меньшее 6?

2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,9. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет хотя бы один из стрелков.

3. По цели стреляют три стрелка. Вероятность попадания первым по мишени P1=0,7, вторым P2=0,8, третьим P3=0,9. Найти вероятность того, что первый попадет, а остальные промахнутся.

4. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,45. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,6 он попал в десятку хотя бы один раз?

5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что вероятность бракованной детали первого автомата 0,03, второго – 0,02 и третьего – 0,04. Найти вероятность того, что на сборку попадет бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100, со второго – 200, с третьего – 250 деталей.

Вариант 4

1. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

2. Студент сдаёт в сессию три экзамена. Вероятности того, что студент сдаст первый экзамен 0,8, второй – 0,7, третий – 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен.

4. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле равна 0,65. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью не меньшей 0,85, иметь хотя бы одно попадание?

5. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой группе из 30 студентов 8 выполнили работу на «отлично», во второй, где 28 студентов, – 6 «отличных» работ, в третьей, где 27 студентов, – 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая выбранная наудачу работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется «отличной».

3.6 Вопросы к защите практической работы №3

1) Дать определение суммы событий. Привести пример.

2) Сформулировать теорему сложения вероятностей несовместных событий.

3) Какие события называют противоположными? Примеры.

4) Сформулировать теорему о сумме вероятностей противоположных событий.

5) Дать определение произведения событий.

6) Дать определение условной вероятности.

7) Сформулировать теорему умножения вероятностей.

8) Какие события называются независимыми?

9) Сформулировать теорему вероятности появления хотя бы одного события.

10) Формула полной вероятности.

11) Формулы Байеса.

Практическая работа №4

Тема: Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли.

Цель работы: Изучить понятие схемы Бернулли, формулу Бернулли, локальную и интегральную формулы Муавра – Лапласа. Научиться вычислять вероятности событий в схеме Бернулли, применять локальную и интегральную формулы Муавра – Лапласа к решению задач.

4.1 Теоретические сведения к практической работе №4

4.1.1 Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Теорема Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз, равна

, (15)

где n – количество испытаний;

k – число появления события А;

p – вероятность появления события А в одном испытании;

q – вероятность не появления события А в одном испытании.

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

4.1.2 Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно k раз. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа даёт формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

, (16)

где .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х (приложение А). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. . Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

, (17)

где .

4.1.3 Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить «от до раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

, (18)

где ;

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для функции Ф(х) приведена в приложении (приложение Б). В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х<0 пользуются той же таблицей (функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф(-х)=-Ф(х)). В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х>5 можно принять Ф(х)=0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от до раз, равна

, (19)

где ;

4.2 Примеры решения задач к практической работе №4

Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение: Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1-р=1-0,75=0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли (15) равна

Ответ: Вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы, равна .

Пример 2. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию задачи n=400; k=80; р=0,2; q=0,8. Воспользуемся локальной формулой Лапласа (18):

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице приложения А находим

Искомая вероятность

Ответ: Вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, равна .

Пример 3. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение: По условию задачи р=0,2; q=0,8; n=400; =70; =100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: .

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования

Таким образом, применяя формулу (20) имеем

По таблице приложения Б находим:

Ф(2,5)=0,4938,

Ф(1,25)=0,3944.

Искомая вероятность

Ответ: Вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, равна .

4.3 Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

4.4 Содержание отчета

1) Тема.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

4.5 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее: выиграть три партии из восьми или две партии из шести.

2. В цехе семь станков. Для каждого станка вероятность того, что он в данный момент работает, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работают три станка.

3. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, что среди 10 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

4. Найти вероятность того, что из 600 посеянных семян взойдет 500, если вероятность всхожести 0,95.

5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,3. Найти вероятность того, что при 2100 выстрелах мишень будет поражена от 600 до 660 раз.

6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, при 250 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 190 и не более 210 раз; б) не менее 190 раз.

Вариант 2

1. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее: выиграть четыре партии из семи или две партии из пяти.

2. В классе девять компьютеров. Для каждого компьютера вероятность того, что он в данный момент работает, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работают пять компьютеров.

3. По каналу связи передается 6 сообщений. Каждое из сообщений может быть искажено помехами с вероятностью 0.2 независимо от других. Найти вероятность того, что 4 сообщения из 6 не искажены.

4. Вероятность поражения мишени стрелком равна p = 0,7. Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена ровно 1500 раз.

5. Вероятность того, что саженец ели прижился, и будет расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут не менее 250 деревьев?

6. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний постоянна и равна р=0,9. найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 350 и не более 370 раз; б) Не более 350 раз.

Вариант 3

1. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее: выиграть две партии из семи или три партии из восьми.

2. Монету бросают восемь раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно пять раз.

3. В магазине 7 холодильников. Вероятность выхода из строя каждого холодильника в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует 4 холодильника.

4. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдет 270, если вероятность всхожести 0,75.

5. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,8. Какова вероятность того, что среди 100 грибов белых будет от 75 до 90?

6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, при 900 выстрелов мишень будет поражена: а) не менее 670 и не более 680 раз; б) не менее 670 раз.

Вариант 4

1. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее: выиграть три партии из семи или две партии из пяти.

2. В столовой десять столов. Для каждого стола вероятность того, что он занят, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент заняты шесть столов.

3. Адвокат выигрывает дело в суде с вероятностью 0,7. Найдите вероятность того, что он из 8 дел выиграет 5.

4. Вероятность поражения стрелком мишени равна p = 0,8. Найти вероятность того, что при n = 100 выстрелах мишень будет поражена ровно k = 86 раз.

5. Вероятность того, что в инкубаторе яйцо вылупится составляет 0,75. Найти вероятность того, что из 100 заложенных в инкубатор яиц вылупится от 70 до 80 яиц.

6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, при 600 выстрелов мишень будет поражена: а) не менее 350 и не более 370 раз; б) не менее 350 раз.

4.6 Вопросы к защите практической работы №4

1) Какие испытания называются независимыми?

2) Формула Бернулли. Вывод.

3) Когда применяется формула Бернулли?

4) Локальная теорема Лапласа.

5) В каких случаях целесообразно применять теорему Лапласа?

6) Как рассчитать значения функции Лапласа?

7) Интегральная теорема Лапласа.

Практическая работа №5

Тема: Решение задач на запись распределения ДСВ.

Цель работы: Изучить понятие случайной величины, дискретной случайной величины (ДСВ), распределения ДСВ и его графическое отображение, понятие функции от ДСВ. Научиться записывать распределение ДСВ, графически изображать распределение ДСВ, записывать распределение функции ДСВ.

5.1 Теоретические сведения к практической работе №5

5.1.1 Случайная величина

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайная величина является количественной характеристикой случайного результата опыта.

Примеры:

1) количество бракованных изделий в данной партии;

2) число произведённых выстрелов до первого попадания;

3) дальность полёта артиллерийского снаряда;

4) расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Обозначать случайные величины будем прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: , , .

5.1.2 Дискретная случайная величина (ДСВ)

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (с помощью формулы) и графически.

Рядом распределения дискретной случайной величины называют таблицу в верхней строке которой в порядке возрастаний перечислены все значения случайной величины, а в нижней указаны соответствие вероятности.

Х	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Т.к. в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение то события Х= x1, Х= x2, …, Х= xn образуют полную группу. По теореме о полной группе сумма вероятностей равна единице, т.е. p1+ p2+…+ pn=1.

Пример 1. Брошена игральная кость. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х-числа выпавших очков.

x	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Закон распределения можно изобразить графически. Для этого в системе координат строят точки , ,…, и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример 2. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен, в сессию по дисциплинам A и B, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение: Возможные значения случайной величины Х – числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.

Пусть - событие, состоящее в том, что студент сдаст первый экзамен; - событие, состоящее в том, что студент сдаст второй экзамен. Тогда вероятности того, что студент сдаст в сессию 0, 1, 2 экзамена, будут соответственно равны:

;

Составляем ряд распределения случайной величины:

Х	0	1	2
р	0,03	0.34	0.63

Изобразим многоугольник распределения для полученного ряда (см. рис.4)

Рис. 4

При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.

Пример 3. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения числа белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

Решение: Количество белых гвоздик среди двух одновременно взятых может быть 0 или 1 или 2. Поэтому случайная величина будет принимать значения 0, 1, 2. Вероятности этих значений рассчитаем по формуле классического определения.

Закон распределения имеет вид:

X	0	1	2
р	0.3	0.6	0.1

Пример 4. В партии из 6 деталей 2 бракованные. Составить закон распределения для числа не бракованных деталей среди 3 отобранных.

Решение: Возможные значения случайной величины таковы: 1, 2, 3. Значение ноль случайная величина принимать не может, потому что ноль не бракованных деталей среди трёх отобранных означает, что все три детали будут бракованными. Но по условию задачи имеется всего две бракованные детали. Вероятности этих значений рассчитаем по формуле классического определения.

Закон распределения имеет вид:

X	1	2	3
р	02	0.6	0.2

5.1.3 Независимые случайные величины

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные.

5.1.4 Функция распределения случайной величины

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений.

Однако такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально. Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х<x, обозначим через F(x).

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х: .

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Функцию распределения также называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения:

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2) F(x) – неубывающая функция.

при

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Пример 1. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Построить интегральную функцию распределения.

Решение: Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор.

2) Отказал один из приборов.

3) Отказали два прибора.

4) Отказали три прибора.

5) Отказали все приборы.

Получаем закон распределения:

x	0	1	2	3	4
p	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

Функция распределения будет иметь вид (см. рис. 5):

Рис. 5.

Пример 2: Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале . Положив , , получим:

5.2 Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

5.3 Содержание отчета

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

5.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

Х	1	3	7	9	10
Р	0,2	0,4	0,1	0,2	0,1

2. Вероятность появления нестандартной детали в партии 0,1. Из партии наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения ДСВ - числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник распределения.

3. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения ДСВ х-числа стандартных деталей среди отобранных.

4. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти функцию распределения и построить её график.

X	3	4	7	10
p	0.2	0.1	0.4	0.3

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Вариант №2

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

х	2	4	6	7	11
р	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения ДСВ: числа попаданий и построить многоугольник распределения.

3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения ДСВ х-числа стандартных деталей среди отобранных.

X	2	5	6	9
p	0.2	0.3	0.1	0.4

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Вариант №3

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

х	1	4	5	8	10
р	0.1	0.1	0.2	0.3	0.3

2. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Куплено 5 билетов. Написать закон распределения ДСВ - числа выигравших билетов среди пяти отобранных и построить многоугольник распределения.

3. Известно, что в партии из 7 телефонных аппаратов 4 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 3 аппарата. Составить закон распределения ДСВ х - числа недействующих аппаратов среди отобранных.

X	2	5	6	8
p	0.3	0.1	0.2	0.4

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Вариант №4

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

х	3	4	8	9	11
р	0.2	0.3	0.2	0.1	0.2

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,3. Производится 5 выстрелов. Составить закон распределения ДСВ - числа попаданий и построить многоугольник распределения.

3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения ДСВ х-числа стандартных деталей среди отобранных.

X	3	6	9	12
p	0.3	0.3	0.2	0.2

5. Случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале .

5.5 Вопросы к защите практической работы №5

1. Что такое случайная величина? Примеры.

2. Дать определение дискретной случайной величины? Примеры.

3. Закон распределения вероятности ДСВ.

4. Графическое изображение распределения ДСВ.

5. Какие случайные величины называют независимыми? Взаимно-независимыми?

6. Как записывать распределение функций от ДСВ?

7. Дать определение интегральной функции распределения. Свойства.

Практическая работа №6

Тема: Вычисление характеристик ДСВ.

Цель работы: Изучить характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. Научиться вычислять характеристики ДСВ, заданной своим распределением.

6.1 Теоретические сведения к практической работе №6

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

6.1.1 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

(20)

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Пример. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти математическое ожидание.

X	2	5	6	9
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:

6.1.2 Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пример: M(X) = 5, M(Y) = 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, применив свойства математического ожидания, если известно, что Z=2X + 3Y.

Решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1 2

= 10+6 = 16

математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий
постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания

Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Тогда имеет место следующая теорема:

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

(21)

6.1.3 Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

(22)

На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

(23)

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М2(Х) – величины постоянные, можно записать:

Итак:.

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.

Х	2	5	6	9
Х2	4	25	36	81
р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение: .

6.1.4 Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

(24)

Пример: Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в 2-х независимых испытаниях, если вероятность появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X) = 1,2.

Применим теорему из п. 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n = 2. Найдём p:

1,2 = 2∙p

p = 1,2/2

p = 0,6

q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4

Найдём дисперсию по формуле :

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

(25)

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

(26)

6.1.6 Мода и медиана дискретной случайной величины

Модой Mo ДСВ называется наиболее вероятное значение случайной величины (т.е. значение, которое имеет наибольшую вероятность)

Медианой Me ДСВ называется значение случайной величины, которое делит ряд распределения пополам. Если число значений случайной величины чётное, то медиана находится как среднее арифметическое двух средних значений.

Пример: Найти моду и медиану ДСВ Х:

X	2	5	6	9
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Mo = 9

Me = = 5,5

6.2 Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

6.3 Содержание отчета

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

6.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

1. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану ДСВ X, заданной законом распределения.

X	2	5	7	10
P	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 1.

4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 5, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.

Вариант №2

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения.

X	2	3	6	10
P	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 0,9.

4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 10, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.

Вариант №3

X	1	2	4	10
P	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в четырёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (х) = 1,2.

4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 5, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.

Вариант №4

X	1	2	5	7
P	0.3	0.1	0.4	0.2

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=4, M(Y)=2, Z=5X+3Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (х) = 1,2.

4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 5, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.

6.5 Вопросы к защите практической работы №6

1. Дать определение математического ожидания дискретной случайной величины.

2. Свойства математического ожидания.

3. Дать определение дисперсии дискретной случайной величины. Теорема для вычисления дисперсии ДСВ.

4. Свойства дисперсии.

5. Дать определение среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

6. Дать определение моде и медиане дискретной случайной величины.

Практическая работа №7

Тема: Решение задач на биноминальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение вероятностей и равномерно распределённую НСВ.

Цель работы: Изучить понятия биноминального распределения, распределения Пуассона, геометрического распределения, равномерно распределённой НСВ. Научиться вычислять вероятности для данных распределений и их характеристики.

7.1 Теоретические сведения к практической работе №7

7.1.1 Биноминальное распределение вероятностей

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=l-р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: , , , …, . Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: , где k=0, 1, 2, …, n.

Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события n—1 раз; ...; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы (см. таблицу 2)

Таблица 2 – Биноминальный закон распределения

Х	n	n-1	…	k	…	0
р			…		…

Пример: Монета брошена 2 раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение: вероятность появления «герба» при каждом бросании монеты p=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2.

В 2-х испытаниях «герб» может появиться 2 раза, 1 раз или совсем не появиться. Таким образом, возможные значения случайной величины Х: x1=2, x2=1, x3=0. Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

= 0,25

= 0,5

= 0,25

Составим закон распределения:

x	2	1	0
p	0,25	0,5	0,25

7.1.2 Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

Таким образом, получаем формулу:

, (27)

где - общее число испытаний;

- число появлений события А;

- вероятность появления события А в каждом испытании;

- постоянная величина.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти зная k и .

Пример: Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Решение: По условию n = 100 000, k = 5, p = 0,0001. События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, следовательно имеем схему Бернулли, а т.к. n достаточно велико, а p крайне мало, то воспользуемся распределением Пуассона.

Найдём λ: λ = n∙p = 100 000 ∙ 0,0001 = 10

Искомая вероятность: = 0,0375

Так же для нахождения вероятности можно воспользоваться специальными таблицами (приложение Д).

7.1.3 Геометрическое распределение вероятностей

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Следовательно вероятность непоявления события А q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появилось.

Вероятность этого сложного события вычисляется по формуле:

, (28)

где - номер испытания в котором появилось событие А;

- вероятность появления события А в каждом испытании;

- вероятность не появления события А в каждом испытании.

Полагая k=1, 2, 3,… получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q. По этой причине данное распределение называют геометрическим распределением.

Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р рассчитывается по формуле:

, (29)

где - вероятность появления события А в каждом испытании.

Дисперсия случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р рассчитывается по формуле:

, (30)

где - вероятность появления события А в каждом испытании;

- вероятность не появления события А в каждом испытании.

Пример: После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока студент не ответит на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Необходимо составить закон распределения ДСВ Х – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту и найти наиболее вероятное число заданных студенту вопросов.

Решение: ДВС Х – число заданных студенту вопросов может принимать следующие значения: 1, 2, 3, …, k, … . Найдём вероятности этих значений.

Если p = 0,9 – вероятность того, что студент ответит на вопрос преподавателя, тогда q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1 – вероятность того, что студент не ответит на заданный вопрос.

х1 = 1 – экзаменатор задал только 1 вопрос, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=1)=0,1
х2 = 2 – экзаменатор задал только 2 вопроса, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=2)=0,9∙0,1=0,09
х3 = 3 – экзаменатор задал только 3 вопроса, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=1)=0,92∙0,1=0,081

и т.д., следовательно = 0,9k-1 ∙ 0,1

Составим закон распределения:

x	1	2	3	…	k	…
p	0,1	0,09	0,081	…	0,9k-1 ∙ 0,1	…

Наиболее вероятное число заданных преподавателем вопросов, как следует из закона распределения, равно 1.

7.1.4 Непрерывная случайная величина (НСВ)

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Например: дальность полёта артиллерийского снаряда; расход электроэнергии на предприятии за месяц.

7.1.5 Равномерно распределённая НСВ

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

, (31)

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения. Построим график равномерного распределения непрерывной случайной величины (см. рисунок 1).

f(x)

0 a b x

Рис. 6 – График равномерного распределения

Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Определим математическое ожидание дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

, (32)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

, (33)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

, (34)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

Вероятность попадания равномерно распределённой случайной величины в заданный интервал :

, (35)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

Пример: Случайная величина равномерно распределена на промежутке (3;10). Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (5;9). Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Решение: воспользуемся формулой (35) для нахождения вероятности того, что равномерно распределённая величина попадёт в заданный интервал:

= 4/7

Найдём для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО:

= 6,5

= 4, 083

= 2,0207

7.2 Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

7.3 Содержание отчета

1) Тема.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

7.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших приборов в одном опыте.
Станок–автомат штампует детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей бракованными окажутся а) ровно 4; б) меньше 4-х; в) больше 4-х.
Вероятность того, что стрелок попадёт при одном выстреле равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Найти вероятность того, что промах произойдёт при 4-м выстреле. Найти для данного распределения его характеристики (математическое ожидание, дисперсию, СКО).
Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию с интервалом движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать автобус менее 3 минут. Для данного распределения найти математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вариант №2

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения ДСВ Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) меньше 3-х изделий; в) больше 3-х изделий.
Производится бросание игральной кости до первого выпадения 2-х очков. Найти вероятность того, что первое выпадение 2-х очков произойдёт при 4-м бросании игральной кости. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО,
Случайная величина равномерно распределена на промежутке (2;8). Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (3;5). Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вариант №3

Написать биноминальный закон распределения ДСВ Х – числа появлений «орла» при 4-х бросаниях игральной кости.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит: а) ровно три разбитые бутылки; б) меньше трёх разбитых бутылок; в) больше трёх разбитых бутылок.
Студент участвует в тестировании и проходит его до тех пор, пока не ошибётся. Вероятность правильного ответа студентом на вопрос тестирования равна 0,8. Найти вероятность того, что студент не ответит уже на 5-й вопрос. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.
Автобус некоторого маршрута движется строго по расписанию с интервалом движения 6 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать автобус больше 4-х минут. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вариант №4

На предприятии установлено 3 аварийные сигнализации. Вероятность того, что сигнализация не сработает равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших сигнализаций при одном срабатывании.
Завод отправил на базу 800 изделий. Вероятность повреждения изделия при транспортировке 0, 001. Найти вероятность того, что на базу прибудет: а) ровно четыре повреждённых изделия; б) меньше четырёх повреждённых изделий; в) больше четырёх повреждённых изделий.
Производится бросание игральной кости до первого выпадения 4-х очков. Найти вероятность того, что 4 очка появятся при 4-м бросании игральной кости. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.
Случайная величина равномерно распределена на промежутке (3;9). Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (5;7). Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

7.5 Вопросы к защите практической работы №7

1. Дать определение НСВ. Пример.

2. Какое распределение называется равномерным?

3. Формула равномерного распределения. График.

4. Как определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения?

5. Дать понятие геометрического распределения. Формула.

6. Какое распределение называется биноминальным?

7. Какое распределение называется распределением Пуассона?

Практическая работа №8

Тема: Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

Цель работы: Изучить методику вычисления вероятностей, характеристик НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения. Научиться вычислять математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВ по её функции плотности, находить медиану и моду.

8.1 Теоретические сведения к практической работе №8

8.1.1 Функция плотности НСВ

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

(36)

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением (может быть, конечного числа точек).

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

(37)

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

(38)

8.1.2 Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до  равен единице

Пример 1. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Решение: Построим график плотности распределения (см. рис.7):

Рис. 7.

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Пример 2. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .

Решение: Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1. На участке :

2. На участке

3. На участке

Итого:

Построим график плотности распределения:

f(x)

Рис. 8

Построим график функции распределения:

F(x)

Рис.9

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

8.1.3 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

(39)

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

(40)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

(41)

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

(42)

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

(43)

Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

(44)

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

(45)

(46)

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример. Для примера 1 определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

8.2 Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

8.3 Содержание отчета

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

8.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(х).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1,5; 2).

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

Вариант №2

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(х).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 2,5).

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

Вариант №3

Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(х).

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1,5; 2).

3. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2x на интервале (0;1), а вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

Вариант №4

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(х).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 2,5).

3. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 1/2x на интервале (0;2), а вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

8.5 Вопросы к защите практической работы №8

1. Что такое плотность распределения? Свойства плотности.

2. Вероятность смысл плотности.

3. Что такое математическое ожидание НСВ? Формула вычисления.

4. Что такое дисперсия НСВ? Формула вычисления.

5.Что такое среднее квадратическое отклонение НСВ? Формула вычисления.

6. Что такое мода, медиана?

Практическая работа №9

Тема: Вычисление вероятностей для нормально распределённой величины; вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределённой величины.

Цель работы: Изучить функцию плотности нормально и показательно распределенной НСВ, смысл параметров а и , интегральную функцию распределения нормально и показательно распределенной НСВ. Научиться вычислять вероятности для нормально и показательно распределенной НСВ, находить характеристики для показательно распределенной НСВ.

9.1 Теоретические сведения к практической работе №9

9.1.1 Нормальный закон распределения.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

(47)

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x).

(48)

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3. Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4. Найдем экстремум функции.

Т.к. при y’>0 при x<m и y’< 0 при x>m , то в точке х=т функция имеет максимум, равный .

5. Функция является симметричной относительно прямой х=а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6. Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x=m+ и x=m- вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график функции плотности распределения (см. рис. 10).

Рис. 10

Построены графики при т=0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения =1, =2 и =7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если а>0, то график сместится в положительном направлении, если а<0 – в отрицательном.

При а=0 и =1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

(49)

9.1.2 Функция Лапласа

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

(49)

Обозначим

Тогда (50)

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция , которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа (см. рис. 8).

Рис. 11

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Ф(0)=0;

2. Ф(-х)=-Ф(х);

3. Ф()=1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок.

Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

(51)

Ниже показан график нормированной функции Лапласа (см. рис. 9).

Рис. 12

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины :

(52)

Если принять =3, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример1. Математическое ожидание и СКО нормально распределено случайной величины равны соответственно 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (12; 14).

Решение: Воспользуемся формулой:

P(α<X<β) = Ф() – Ф ()

P(12<X<14) = Ф() – Ф () = Ф (2)–Ф(1) = 0,4772 – 0,3413 = 0,1359

Пример2. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Решение: Математическое ожидание равно 0, следовательно воспользуемся формулой: P(|X|<δ) = 2Ф(δ/σ)

σ = 10, δ = 15,тогда применяя правило трёх сигм, получим:

P(|X|<15) = 2Ф(15/10) = 2Ф(1,5) = 2∙0,4332 = 0,8664

9.1.3 Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

, где  - положительное число.

Найдем закон распределения.

Графики функции распределения и плотности распределения (см. рис. 13):

f(x) F(x)

 1

0 x 0 x

Рис. 13

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Результат получен с использованием того факта, что

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х2).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

(53)

Тогда (54)

Итого: (55)

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

(56)

Пример: Непрерывная случайная величина Х задана по показательному закону плотностью распределения f(x) = 3e -3x при x ≥0, f(x) = 0 при x < 0. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х попадёт в интервал (0,13; 0,7).

Решение: Воспользуемся формулой (56).

P(0,13<X<0,7) = e –3∙0,13 – e –3∙0,7 = 0,677 – 0,122 = 0,555.

9.1.4 Показательный закон надежности

Показательное распределение широко используется в теории надежности.

Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t0=0, а через какое – то время t происходит отказ устройства.

Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства.

Таким образом, функция распределения F(t)=P(T<t) определяет вероятность отказа за время длительностью t.

Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени t) равна R(t)= P(T>t)= 1–F(t).

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.

Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.

Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.

Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.

Функция надежности для какого - либо устройства при показательном законе распределения равна:

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.

Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов  и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.

Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.

Пример: Длительность безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения: F(t) = 1 – e –0,01t (t>0). Найти вероятность того, что за время t=50 часов: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение: Т.к. функция распределения определяет вероятность отказа прибора за время t, то подставив в функцию t=50, получим вероятность отказа:

F(50) = 1 – e –0,01∙50 = 1 – e –0,5 = 1 – 0,606 = 0,394

События «прибор откажет» и «прибор не откажет» являются противоположными, поэтому вероятность того, что прибор не откажет:

Р = 1 – 0,394 = 0,606

Такой же результат можно было получить, используя функцию надёжности:

R(t) = e –λt

R(50) = e –0,01∙50 = 0,606

9.2 Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

9.3 Содержание отчета

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

9.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

Математическое ожидание нормально распределённой случайно величины Х равно a = 3, среднее квадратическое отклонение σ = 2. Написать плотность вероятности.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение заключённое в интервале (15,25).
Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превосходит 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного починены нормальному закону со средним квадратическим отклонением =5мм и математическим ожиданием а=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10 и средним квадратическим отклонением σ = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадёт величина Х в результате испытания.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при плотностью распределения ; при функции . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение из интервала (1,2). Вычислить характеристики НСВ.
Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого , для второго , для третьего . Найти вероятность того, что за 5 часов откажут: а) только один элемент; б) не менее двух элементов.

Вариант №2

Написать плотность вероятности нормально распределённой случайной величины Х, зная, что М(Х) = 3 и D(X) = 16.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х соответственно равны 17 и 8. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение заключённое в интервале (5,19).
Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением =0,4мм и математическим ожиданием а=0, найти сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных?
Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0, 9973 попадёт Х в результате испытания.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при плотностью распределения ; при функции . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение из интервала (2,5). Вычислить характеристики НСВ.
Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого , для второго , для третьего . Найти вероятность того, что за 10 часов откажут: а) только два элемента; б) не более двух элементов.

Вариант №3

Нормально распределённая случайная величина Х задана плотностью распределения f(X) = . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х соответственно равны 20 и 4. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение заключённое в интервале (10,20).
Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Станок-автомат изготавливает валики, причём контролируется их диаметр Х. Считается, что Х – нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием а = 10 мм и средним квадратическим отклонением σ=0,1мм. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных шариков.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при плотностью распределения ; при функции . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение из интервала (1,2). Вычислить характеристики НСВ.
Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого , для второго , для третьего . Найти вероятность того, что за 5 часов откажут: а) только один элемент; б) не менее двух элементов.

Вариант №4

Дана функция распределения нормального закона

F(X)= . Найти плотность распределения f(X).

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х соответственно равны 15 и 7. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение заключённое в интервале (5,12).
Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением =0,4мм и математическим ожиданием а=0, найти сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных?
Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 7 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0, 9973 попадёт Х в результате испытания.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при плотностью распределения ; при функции . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение из интервала (3,5). Вычислить характеристики НСВ.
Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого , для второго , для третьего . Найти вероятность того, что за 10 часов откажут: а) только два элемента; б) не более двух элементов.

9.5 Вопросы к защите практической работы №9

1. Какое распределение НВС называется нормальным?

2. Что такое нормированное нормальное распределение НВС?

3. Смысл параметров а и ?

4. Нормальная кривая. Свойства и график нормальной кривой?

5. В чем состоит влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой?

6. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.

7. Как вычисляется вероятность заданного отклонения?

8. В чем состоит правило «трех сигм»?

9. Какое распределение называется показательным?

10. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины.

11. Числовые характеристики показательного распределения?

12. Что такое функция надежности?

13. В чем состоит показательный закон надежности?

14. Характеристическое свойство показательного закона надежности?

Практическая работа №10

Тема: Элементы математической статистики.

Цель работы: Изучить выборочный метод, числовые характеристики выборки и методику их расчета, точечную и интервальную оценку, методику интервального оценивания математического ожидания нормального распределения при известной и неизвестной дисперсии, методику интервального оценивания вероятности события. Научиться строить графическую диаграмму, рассчитывать числовые характеристики выборки, рассчитывать точечные оценки, доверительные интервалы.

10.1 Теоретические сведения к практической работе №10

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

10.1.1 Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n=100.

10.1.2 Повторная и бесповторная выборки.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

10.1.3 Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают n раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема n.

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.

При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

10.1.4 Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, — раз, — раз и — объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки — относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

Написать распределение относительных частот.

Решение: Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

, , .

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0,35=1.

10.1.5 Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n — общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X<х равна . Если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота есть функция от х. Так как, эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<х.

Итак, по определению,

где — число вариант, меньших х; n — объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X<х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

обладает всеми свойствами . Действительно, из определения функции вытекают следующие ее свойства:

1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1];

2. — неубывающая функция;

3. если — наименьшая варианта, то при ; если — наибольшая варианта, то при .

10.1.6 Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , …, . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Пример. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

Решение:

Рис.14

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

10.1.7 Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение; если же есть основания считать что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распределение определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака , , ..., , полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая , , ..., как независимые случайные величины , , ..., можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения — это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

10.1.8 Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

Для того чтобы статистические оценки давали "хорошие" приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Ниже указаны эти требования.

Пусть - статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка . Повторим опыт, т.е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку . Повторяя опыт многократно, получим числа , , …, , которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , …, - как ее возможные значения.

Представим себе, что оценка дает приближенное значение с избытком; тогда каждое найденное по данным выборок число (i = 1, 2, ..., k) больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины больше, чем , т.е. М()>. Очевидно, что если дает оценку с недостатком, то М()<.

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни значения больше, а другие меньше ), однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто. Иными словами, соблюдение требований М()= гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. М()=

В теории ошибок измерений систематическими ошибками называют неслучайные ошибки, искажающие результаты измерений в одну определенную сторону. Например, измерение длины растянутой рулеткой систематически дает заниженные результаты.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при со стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

10.1.9 Генеральная и выборочная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения , , ..., признака генеральной совокупности объема N различны, то .

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем ,то

или .

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения , , ..., признака генеральной совокупности объема n различны, то .

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем ,то

или , где - варианта выборки, - частота варианты , - объём выборки.

Выборочная средняя является несмещённой оценкой генеральной средней.

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

Найти несмещённую оценку генеральной средней.

Решение: Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя

10.1.10 Генеральная и выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения , , ..., признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем , то

Пример 1. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Найти генеральную дисперсию.

Решение: Найдем генеральную среднюю:

Найдем генеральную дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии: .

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения вводят сводную характеристику - выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения , , ..., признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем , то .

Пример 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную дисперсию.

Решение: Найдем выборочную среднюю:

Найдем выборочную дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Вычисление дисперсии, безразлично - выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему.

Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: .

Пример. Найти выборочную дисперсию по данному распределению

Решение. Найдем выборочную среднюю:

Найдем среднюю квадратов значений признака:

Искомая дисперсия: .

Пусть нам необходимо по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию .

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

10.1.11 Точность оценки, надёжность. Доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, - точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом ( может быть и случайной величиной). Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что , равна : .

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством , или , имеем

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.

10.1.12 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью .

Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения таковы: ,

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение , где - заданная надежность.

, где .

Найдя из последнего равенства , можем написать

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна , окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки .

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства , или ; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки n=36 и задана надежность оценки =0,95.

Решение: Найдем t. Из соотношения получим . По таблице приложения 2 находим t=1,96.

Найдем точность оценки: .

Доверительный интервал таков: (- 0,98; + 0,98). Например, если =4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:

-0,98=4,1—0,98=3,12; +0,98=4,1+0,98=5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12< а <5,08.

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно то доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения имеет вид: , покрывающий неизвестный параметр а с надежностью .

По таблице приложения 3 по заданным n и можно найти .

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены выборочная средняя =20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение: Найдем . Пользуясь таблицей приложения 3, по =0,95 и n=16 находим =2,13.

Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774<а<20,626.

10.1.13 Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Доверительные интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью таковы:

, если q<1.

, если q>1.

Для отыскания параметра q пользуются таблицей приложения 4.

Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

Решение. По таблице приложения 4 по данным =0,95 и n=25 найдем q=0,32. Т.к. q<1, то для вычисления доверительного интервала применяем первую формулу

Искомый доверительный интервал таков:

0,8 (1-0,32)<<0,8 (1+0,32), или 0,544<<1,056.

10.1.14 Характеристики вариационного ряда

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Например, для ряда

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Например, для ряда

Для ряда, где чётное число вариант медиана рассчитывается как среднее арифметическое из двух средних вариант.

Например, для ряда

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами: .

Например, для ряда

Средним абсолютным отклонением называют среднее арифметическое абсолютных отклонений: .

Например, для ряда

Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней: .

10.2 Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

10.3 Содержание отчета

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

10.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

1. По данному распределению выборки найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и построить полигон частот.

2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение =4, выборочная средняя =10,2 и объём выборки n=16.

3. По данным выборки объёма n из генеральной совокупности нормально распределённого количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надёжностью 0,999 если n=10, s=5,1.

4. По данному распределению выборки (см. задание №1) найти характеристики вариационного ряда (моду, медиану, размах варьирования, среднее абсолютное отклонение, коэффициент вариации).

Вариант №2

2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение =5, выборочная средняя =16,8 и объём выборки n=25.

Вариант №3

2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,999 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение =4, выборочная средняя =10,2 и объём выборки n=16.

Вариант №4

2. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,999 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение =5, выборочная средняя =16,8 и объём выборки n=25.

10.5 Вопросы к защите практической работы №10

1. В чём состоит сущность выборочного метода? Примеры.

2. Что называется выборкой, генеральной совокупностью, объёмом совокупности? Примеры.

3. Какая выборка называется повторной (бесповторной)?

4. Какие существуют способы отбора? Примеры.

5. Что такое статистическое распределение выборки?

6. Дать определение эмпирической функции распределения.

7. Что такое полигон и гистограмма? Правила построения.

8. Виды оценок.

9. Генеральная и выборочная средняя.

10. Понятие точечной и интервальной оценки.

11. Характеристики вариационного ряда.

Список использованных источников

1 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.Е. Гмурман. – М.:Высшая школа, 2008. – 479 с.

2 Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике/ В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2008. – 404 с.

3 Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика/ Е.С. Кочетков – М.:ФОРУМ:ИНФРА-М, 2007. – 240 с.

4 Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.А. Колемаев – М.: ИНФРА-М, 2007. – 356 с.

5 Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей/ Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров– М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 448 с.

6 Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика/ Н.Ш. Кремер – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 573 с.

Приложение А

(обязательное)

Таблица значений функции

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

0,3989

0,3970

0,3910

0,3814

0,3683

0,3521

0,3332

0,3123

0,2897

0,2661

0,2420

0,2179

0,1942

0,1714

0,1497

0,1295

0,1109

0,0940

0,0790

0,0656

0,0540

0,0440

0,0355

0,0283

0,0224

0,0175

0,0136

0,0104

0,0079

0,0060

0,0044

0,0033

0,0024

0,0017

0,0012

0,0009

0,0006

0,0004

0,0003

0,0002

0,3989

0,3965

0,3902

0,3802

0,3668

0,3503

0,3312

0,3101

0,2874

0,2637

0,2396

0,2155

0,1919

0,1691

0,1476

0,1276

0,1092

0,0925

0,0775

0,0644

0,0529

0,0431

0,0347

0,0277

0,0219

0,0171

0,0132

0,0101

0,0077

0,0058

0,0043

0,0032

0,0023

0,0017

0,0012

0,0008

0,0006

0,0004

0,0003

0,0002

0,3989

0,3961

0,3894

0,3790

0,3652

0,3485

0,3292

0,3079

0,2850

0,2613

0,2371

0,2131

0,1895

0,1669

0,1456

0,1257

0,1074

0,0909

0,0761

0,0632

0,0519

0,0422

0,0339

0,0270

0,0213

0,0167

0,0129

0,0099

0,0075

0,0056

0,0042

0,0031

0,0022

0,0016

0,0012

0,0008

0,0006

0,0004

0,0003

0,0002

0,3988

0,3956

0,3885

0,3778

0,3637

0,3467

0,3271

0,3056

0,2827

0,2589

0,2347

0,2107

0,1872

0,1647

0,1435

0,1238

0,1057

0,0893

0,0748

0,0620

0,0508

0,0413

0,0332

0,0264

0,0208

0,0163

0,0126

0,0096

0,0073

0,0055

0,0040

0,0030

0,0022

0,0016

0,0011

0,0008

0,0005

0,0004

0,0003

0,0002

0,3986

0,3951

0,3876

0,3765

0,3621

0,3448

0,3251

0,3034

0,2803

0,2565

0,2323

0,2083

0,1849

0,1626

0,1415

0,1219

0,1040

0,0878

0,0734

0,0608

0,0498

0,0404

0,0325

0,0258

0,0203

0,0158

0,0122

0,0093

0,0071

0,0053

0,0039

0,0029

0,0021

0,0015

0,0011

0,0008

0,0005

0,0004

0,0003

0,0002

0,3984

0,3945

0,3867

0,3752

0,3605

0,3429

0,3230

0,3011

0,2780

0,2541

0,2299

0,2059

0,1826

0,1604

0,1394

0,1200

0,1023

0,0863

0,0721

0,0596

0,0488

0,0396

0,0317

0,0252

0,0198

0,0154

0,0119

0,0091

0,0069

0,0051

0,0038

0,0028

0,0020

0,0015

0,0010

0,0007

0,0005

0,0004

0,0002

0,3982

0,3939

0,3857

0,3739

0,3589

0,3410

0,3209

0,2989

0,2756

0,2516

0,2275

0,2036

0,1804

0,1582

0,1374

0,1182

0,1006

0,0848

0,0707

0,0584

0,0478

0,0387

0,0310

0,0246

0,0194

0,0151

0,0116

0,0088

0,0067

0,0050

0,0037

0,0027

0,0020

0,0014

0,0010

0,0007

0,0005

0,0003

0,0002

0,3980

0,3932

0,3847

0,3726

0,3572

0,3391

0,3187

0,2966

0,2732

0,2492

0,2251

0,2012

0,1781

0,1561

0,1354

0,1163

0,0989

0,0833

0,0694

0,0573

0,0468

0,0379

0,0303

0,0241

0,0189

0,0147

0,0113

0,0086

0,0065

0,0048

0,0036

0,0026

0,0019

0,0014

0,0010

0,0007

0,0005

0,0003

0,0002

0,3977

0,3925

0,3836

0,3712

0,3555

0,3372

0,3166

0,2943

0,2709

0,2468

0,2227

0,1989

0,1757

0,1539

0,1334

0,1145

0,0973

0,0818

0,0681

0,0562

0,0459

0,0371

0,0297

0,0235

0,0184

0,0143

0,0110

0,0084

0,0063

0,0047

0,0035

0,0025

0,0018

0,0013

0,0009

0,0007

0,0005

0,0003

0,0002

0,0001

0,3973

0,3918

0,3825

0,3697

0,3538

0,3352

0,3144

0,2920

0,2685

0,2444

0,2203

0,1965

0,1736

0,1518

0,1315

0,1127

0,0957

0,0804

0,0669

0,0551

0,0449

0,0363

0,0290

0,0229

0,0180

0,0139

0,0107

0,0081

0,0061

0,0046

0,0034

0,0025

0,0018

0,0013

0,0009

0,0006

0,0004

0,0003

0,0002

0,0001

Приложение Б

(обязательное)

Таблица значений функции

Ф(x)

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,1808

0,1844

0,1879

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2703

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

0,3849

0,3869

0,3883

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

0,4192

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

1,80

1,81

1,82

1,83

1,84

1,85

1,86

1,87

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

1,88

1,89

1,90

1,91

1,92

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,02

2,04

2,06

2,08

2,10

2,12

2,14

2,16

2,18

2,20

2,22

2,24

2,26

2,28

2,30

2,32

2,34

2,36

2,38

2,40

2,42

2,44

2,46

2,48

2,50

2,52

2,54

2,56

2,58

2,60

2,62

2,64

2,66

2,68

0,4699

0,4706

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

0,4772

0,4783

0,4793

0,4803

0,4812

0,4821

0,4830

0,4838

0,4846

0,4854

0,4861

0,4868

0,4875

0,4881

0,4887

0,4893

0,4898

0,4904

0,4909

0,4913

0,4918

0,4922

0,4927

0,4931

0,4934

0,4938

0,4941

0,4945

0,4948

0,4951

0,4953

0,4956

0,4959

0,4961

0,4963

2,70

2,72

2,74

2,76

2,78

2,80

2,82

2,84

2,86

2,88

2,90

2,92

2,94

2,96

2,98

3,00

3,20

3,40

3,60

3,80

4,00

4,50

5,00

0,4965

0,4967

0,4969

0,4971

0,4973

0,4974

0,4976

0,4977

0,4979

0,4980

0,4981

0,4982

0,4984

0,4985

0,4986

0,49865

0,49931

0,49966

0,499841

0,499928

0,499968

0,499997

Приложение В

(обязательное)

Таблица значений

0,95

0,99

0,999

100

120

∞

2,78

2,57

2,45

2,37

2,31

2,26

2,23

2,20

2,18

2,16

2,15

2,13

2,12

2,11

2,10

2,093

2,064

2,045

2,032

2,023

2,016

2,009

2,001

1,996

1,991

1,987

1,984

1,980

1,960

4,60

4,03

3,71

3,50

3,36

3,25

3,17

3,11

3,06

3,01

2,98

2,95

2,92

2,90

2,88

2,861

2,797

2,756

2,720

2,708

2,692

2,679

2,662

2,649

2,640

2,633

2,627

2,617

2,576

8,61

6,86

5,96

5,41

5,04

4,78

4,59

4,44

4,32

4,22

4,14

4,07

4,02

3,97

3,92

3,883

3,745

3,659

3,600

3,558

3,527

3,502

3,464

3,439

3,418

3,403

3,392

3,374

3,291

Приложение Г

(обязательное)

Таблица значений

0,95

0,99

0,999

100

150

200

250

1,37

1,09

0,92

0,80

0,71

0,65

0,59

0,55

0,52

0,48

0,46

0,44

0,42

0,40

0,39

0,37

0,32

0,28

0,26

0,24

0,22

0,21

0,188

0,174

0,161

0,151

0,143

0,115

0,099

0,089

2,67

2,01

1,62

1,38

1,20

1,08

0,98

0,90

0,83

0,78

0,73

0,70

0,66

0,63

0,60

0,58

0,49

0,43

0,38

0,35

0,32

0,30

0,269

0,245

0,226

0,211

0,198

0,160

0,136

0,120

5,64

3,88

2,98

2,42

2,06

1,80

1,60

1,45

1,33

1,23

1,15

1,07

1,01

0,96

0,92

0,88

0,73

0,63

0,56

0,50

0,46

0,43

0,38

0,34

0,31

0,29

0,27

0,211

0,185

0,162

1 4 5 7

EMBED MSGraph.Chart.8 \s

1 2

0,8

0,6

0,4

0,2

1. социально организованная общность людей объединенных общими интересами целями и совместной деятельность
2. Статья 1 Аудиторская деятельность ФЗ Об аудиторской деятельности от 30 декабря 2008 года N 307ФЗ Статья 2
3. Панкреатиты
4. Особенности управления финансами некоммерческих организаций
5. Сотовые сети связи
6. Островский бесспорно самый крупный талант в современной литературе
7. Добрая книга 2002
8. Лабораторная работа 2 Задание к работе Предварительно подготовьте протокол в
9. Основные источники и виды риска, подлежащие оценке Количественные меры техногенных воздействий и нагрузок
10. по теме стволы к.р
11. На предприятии в отчетном периоде объем выпуска продукции составил 2000 ед
12. верхах после смерти Сталина
13. 5 ОРГАНIЗАЦIЙНОEKОНОМIЧНИЙ МEХАНIЗМ РEГУЛЮВАННЯ БEЗРОБIТТЯ В УKРАЇНI
14. Реферат- Методика ситуационного моделирования в познании криминальных ситуаций
15. Фосфор
16. Москва превращается в центр важнейших сухопутных и речных путей России
17. Снятия сливок кратковременное конъюнктурное завышение цен Маркетинговая цель максимизация прибыли
18. Влияние внешней среды на работу предприятия торговли
19. 100 мм и более Глыбы валуны щебень галька гравий Брекчии глыбов
20. НА ТЕМУ ldquo;ПСИХОДИАГНОСТИКА И СРЕДСТВА ИЗУЧЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ЛИЧНОСТИrdquo;

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе