У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 6.4.2025

План учебного занятия № 80.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы   Интегральное исчисление функции одной переменной.

Тема:      Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.                    

Цель обучения: Сформировать понятие  определенного интеграла  и сумм Дарбу, необходимых и достаточных условий интегрируемости функций.

Цель развития: Показать возможные  способы нахождения определенного интеграла.

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие применение интегрального исчисления,  исследующие   значения  площадей под графиками функций на отрезке.

Ход занятия:

  1.                                              Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

           y

         M

           m

            0       a                     xi                        b                x 

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1x0 = x1, x2x1 = x2, … ,xnxn-1  = xn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] m1, M1;   [x1, x2] m2, M2;  …   [xn-1, xn] mn, Mn.

 Составим суммы:

n = m1x1 + m2x2 +  … +mnxn =

n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =

 Сумма  называется нижней интегральной суммой, а сумма  – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi  Mi, то n  n,    а    m(b – a)  n  n  M(b – a)

 Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

x0 < 1 < x1,     x1 < <  x2,  …  , xn-1 < < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(1)x1 +  f(2)x2 + … + f(n)xn =

Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

 Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 Определение: Если для функции f(x) существует предел  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

                                              

 Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  Если f(x)  (x) на отрезке [a, b]  a < b, то

  1.  Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

  1.  Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что

Доказательство:  В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если

 и = f(), а      a    b, тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

 Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что

  1.                              Вычисление определенного интеграла.

Пусть в интеграле  нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим  = Ф(х).  Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

 Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

 Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

 Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция  - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

 Тогда .

А при х = b:   

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.




1. НА ТЕМУ Електронний Записник Зміст Анотація.
2. Барановичский государственный университет Кафедра социальногуманитарных дисциплин Утверждаю Зав
3. Правопреемство по российскому гражданскому праву
4. Митний тариф як інструмент економічної політики держави
5. Введение в языкознание Для того чтобы можно было ориентироваться в многообразии лингвистических наук н1
6. многобожья встала необходимость выбора единой веры
7. Аформируется за счет чистой прибыли в порядке предусмотренном законодательством и учредительными документ
8. 102013г ~ 2 трлн 79581 млрд
9. тема священних текстів
10. Царев изограф - Симон Ушаков